重慶市2024屆高三上學(xué)期9月月度質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題(（解析版）)

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1重慶市2024屆高三上學(xué)期9月月度質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)滿足，其中為的共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，由得：，化簡得：，，解得：，．故選：D．2.已知集合，，則下列判斷正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知，，所以，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，所以C、D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．3.四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果、可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A.平均數(shù)為2，方差為3.1 B.中位數(shù)為3，方差為1.6C.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2 D.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2〖答案〗A〖解析〗對(duì)于A，若平均數(shù)為2，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，可得方差，故平均數(shù)為2，方差為3.1，一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故A正確.對(duì)于B，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為3，3，3，5，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，方差為：，此時(shí)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為6，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，3，4，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，1，2，5，6時(shí)，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故D錯(cuò)誤.故選：A4.函數(shù)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時(shí)，由.若，可得、；若，可得、.綜上所述，函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.故選：C.5.已知A，B是圓C：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若，則點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為（）A.2 B.3 C.4 D.7〖答案〗D〖解析〗由題意可知：圓C：的圓心，半徑，則，設(shè)P、C到直線AB的距離分別為，因?yàn)?，解得，分別過P、C作，垂足分別為，再過C作，垂足為，顯然當(dāng)P、C位于直線AB的同側(cè)時(shí)，點(diǎn)P到直線AB的距離較大，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即直線AB與直線PC垂直時(shí)，等號(hào)成立，所以點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為7.故選：D.6.若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，函數(shù)，設(shè)為函數(shù)在上的零點(diǎn)，則，即，即點(diǎn)在直線上，又表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，則，即，令，則，因?yàn)?，所以，在單調(diào)遞增.所以最小值為.故選：A.7.若關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，即（，取為銳角）在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，即方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解．不妨令，由，則，所以，所以．則，即，所以．故選：D．8.已知數(shù)列滿足：，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，集合的元素個(gè)數(shù)是（）A.個(gè) B.非零有限個(gè)C.無窮多個(gè) D.不確定，與的取值有關(guān)〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意，則，則集合的元素有無數(shù)個(gè)；當(dāng)時(shí)，則，根據(jù)題意，則，則集合的元素有無數(shù)個(gè)；當(dāng)且時(shí)，，若，則；若，則；若，則；若，則.而，則時(shí)，數(shù)列遞減且無下限（※）；時(shí)，數(shù)列遞增且無上限（*）.（1）若，則，根據(jù)（※）可知，在求解的迭代過程中，終有一項(xiàng)會(huì)首次小于，不妨設(shè)為；（2）若，則；①若，則，接下來進(jìn)入（2）或（3）；②若，接下來進(jìn)入（3）；（3）若，則，接下來進(jìn)入（1）或（4）；（4）若，則，接下來進(jìn)入（2）或（3）.若，則進(jìn)入（4）.若，則進(jìn)入②.若，則進(jìn)入①.如此會(huì)無限循環(huán)下去，會(huì)出現(xiàn)無限個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng).綜上：集合元素個(gè)數(shù)為無數(shù)個(gè).故選：C.二、多項(xiàng)選擇題9.在四面體ABCD中，，，E，F(xiàn)，G分別是棱BC，AC，AD上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AB，CD均與面EFG平行，則（）A.直線AB與平面ACD所成的角的余弦值為B.四面體ABCD被平面EFG所截得的截面周長為定值1C.的面積的最大值為D.四面體ABCD的內(nèi)切球的表面積為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，取AB的中點(diǎn)Q，CD的中點(diǎn)M，連接，由于，故，而平面，故平面，又平面，故平面平面，則即為直線AB與平面ACD所成角，又，而,故，則，故，A正確；對(duì)于B，設(shè)平面與棱BD的交點(diǎn)為P，因?yàn)槠矫妫移矫?，平面平面，故，且由題意知，否則重合，不合題意，故四邊形為梯形，同理四邊形為梯形，所以，由于，故，又因?yàn)?，同理可證，則；同理證明，則四邊形為平行四邊形，故四邊形的周長為2，即四面體ABCD被平面EFG所截得的截面周長為定值2，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)槠矫妫矫?，故；而，同理可證，故，結(jié)合，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的面積的最大值為，C正確；對(duì)于D，由以上分析知，故，而平面，，故，而，設(shè)四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑為r，則，即，故四面體ABCD的內(nèi)切球的表面積為，D正確，故選：ACD.10.已知圓M：，圓N：，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.直線MN的方程為B.若P?Q兩點(diǎn)分別是圓M和圓N上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為5C.圓M和圓N的一條公切線長為D.經(jīng)過點(diǎn)M?N兩點(diǎn)的所有圓中面積最小的圓的面積為〖答案〗AD〖解析〗由題意可知：圓M：的圓心，半徑，圓N：，的圓心，半徑，對(duì)于選項(xiàng)A：直線MN的方程為，即，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因，所以的最大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，可知圓M與圓N外切，如圖，直線為兩圓的公切線，為切點(diǎn)坐標(biāo)，過A作，交NB于，則為平行四邊形，可得，所以公切線長為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)為直徑的圓時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)M?N兩點(diǎn)的所有圓中面積最小，此時(shí)圓的面積為，故D正確；故選：AD.11.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.函數(shù)的值域?yàn)锽.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，C.若關(guān)于x的方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是D.若關(guān)于x的方程有6個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是〖答案〗BD〖解析〗由題意，當(dāng)時(shí)，，可得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，所以，當(dāng)時(shí)，可得，可得在上單調(diào)遞減，且，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，由此可得函數(shù)的值域?yàn)?，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以A錯(cuò)誤，B正確；由方程，解得或，要使得方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，因，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即和的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖象，可得或，所以C錯(cuò)誤；由方程，即，可得或，由，可得，可得或，要使得方程有6個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則有4個(gè)實(shí)數(shù)根，即與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象，可得，所以D正確.故選：BD.12.歷史上著名的伯努利錯(cuò)排問題指的是：一個(gè)人有封不同的信，投入n個(gè)對(duì)應(yīng)的不同的信箱，他把每封信都投錯(cuò)了信箱，投錯(cuò)的方法數(shù)為.例如兩封信都投錯(cuò)有種方法，三封信都投錯(cuò)有種方法，通過推理可得：.高等數(shù)學(xué)給出了泰勒公式：，則下列說法正確的是（）A. B.為等比數(shù)列C. D.信封均被投錯(cuò)的概率大于〖答案〗ABC〖解析〗選項(xiàng)A，令4封信分別為，當(dāng)在第2個(gè)信箱時(shí)，共3種錯(cuò)排方式：第1種信箱1234信第2種信箱1234信第3種信箱1234信同理可得在第3和4個(gè)信箱時(shí)，也分別有3種錯(cuò)排方式，所以共種方法，故A選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，，∴，又，則，故B選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C，，兩邊同除以得，∴，，故C選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，裝錯(cuò)信封的概率為，∵，則，即當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；綜上，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題13.若，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為______.〖答案〗〖解析〗，，，且，則與方向相同的單位向量為，設(shè)與的夾角為，則在上的投影向量為.故〖答案〗為：.14.已知正四棱柱的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，若球的表面積為，則該四棱柱的側(cè)面積的最大值為___________.〖答案〗〖解析〗設(shè)，則正四棱柱的體對(duì)角線長為，所以正四棱柱外接球的半徑為，因?yàn)榍虻谋砻娣e為，所以，化簡得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以該四棱柱的側(cè)面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以該四棱柱的側(cè)面積的最大值為，故〖答案〗為：15.已知函數(shù)，則使不等式成立的的取值范圍是___________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)定義域?yàn)镽，顯然有，即函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，令，，，，因，則，即，，有，在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，因此，在上單調(diào)遞增，于是得，解得或，所以不等式成立的x的取值范圍是.故〖答案〗為：.16.2023年1月底，由馬斯克、彼得泰爾等人創(chuàng)立的人工智能研究公司發(fā)布的名為“”的人工智能聊天程序進(jìn)入中國，迅速以其極高的智能化水平引起國內(nèi)關(guān)注.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為______.（參考數(shù)據(jù)：）〖答案〗74〖解析〗根據(jù)題意可得，該指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)模型為，當(dāng)時(shí)，代入得，，解得，由學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含），可得，即，所以，因?yàn)?，所以，則取.故〖答案〗為：.四、解答題17.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.（1）解：設(shè)的公比為，由題意，可得，解得，所以，所以；（2）證明：由（1）得，所以，所以，因?yàn)?，所以，得證.18.已知，，其中，為銳角．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）由題意知所以.（2）由題意知且為銳角，所以，所以，所以，所以，因?yàn)闉殇J角，所以且，所以，則，故.19.紅蜘蛛是柚子的主要害蟲之一，能對(duì)柚子樹造成嚴(yán)重傷害，每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）和平均溫度x（℃）有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（其中…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）關(guān)于平均溫度x（℃）的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）由（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程.（計(jì)算結(jié)果精確到0.1）附：回歸方程中，，參考數(shù)據(jù)（）5215177137142781.33.6（3）根據(jù)以往每年平均氣溫以及對(duì)果園年產(chǎn)值的統(tǒng)計(jì)，得到以下數(shù)據(jù)：平均氣溫在22℃以下的年數(shù)占60%，對(duì)柚子產(chǎn)量影響不大，不需要采取防蟲措施；平均氣溫在22℃至28℃的年數(shù)占30%，柚子產(chǎn)量會(huì)下降20%；平均氣溫在28℃以上的年數(shù)占10%，柚子產(chǎn)量會(huì)下降50%.為了更好的防治紅蜘蛛蟲害，農(nóng)科所研發(fā)出各種防害措施供果農(nóng)選擇.在每年價(jià)格不變，無蟲害的情況下，某果園年產(chǎn)值為200萬元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，以得到最高收益（收益＝產(chǎn)值－防害費(fèi)用）為目標(biāo)，請(qǐng)為果農(nóng)從以下幾個(gè)方案中推薦最佳防害方案，并說明理由.方案1：選擇防害措施A，可以防止各種氣溫的紅蜘蛛蟲害不減產(chǎn)，費(fèi)用是18萬；方案2：選擇防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛蟲害，但無法防治28℃以上的紅蜘蛛蟲害，費(fèi)用是10萬；方案3：不采取防蟲害措施.解：（1）由散點(diǎn)圖可以判斷，更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型.（2）將兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，可得，由題中的數(shù)據(jù)可得，，，所以，則，所以z關(guān)于x的線性回歸方程為，故y關(guān)于x的回歸方程為；（3）用，和分別表示選擇三種方案的收益.采用第1種方案，無論氣溫如何，產(chǎn)值不受影響，收益為萬，即采用第2種方案，不發(fā)生28℃以上的紅蜘蛛蟲害，收益為萬，如果發(fā)生，則收益為萬，即，同樣，采用第3種方案，有所以，，，.顯然，最大，所以選擇方案1最佳.20.如圖，四棱錐的底面為直角梯形，平面平面，，，，，．（1）若三棱錐的外接球的球心恰為中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值；（2）求四棱錐體積的最大值．解：（1）如下圖，若為中點(diǎn)，則，即，所以，即，由，，，面，則面，由面，則，又面，則面，面，則，因?yàn)?，，設(shè)，易知，，，，所以，故，，，在中，由等面積法可知到的距離為，由上知面，即面面，又面面，所以到的距離即到面的距離，因?yàn)?，所以到面的距離為，由，而，，若到面的距離為，所以，所以與平面所成角的正弦值為.（2）由，面面，構(gòu)建如上圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，令，根據(jù)，則，整理得，所以，故點(diǎn)軌跡是在面上以為圓心，為半徑的圓上，要使四棱錐體積的最大，即到面的距離最大，綜上，到面的最大距離為，又，所以最大體積為.21.已知點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若直線：與圓相切，切點(diǎn)在第四象限，直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求證：的周長為定值．（1）解：設(shè)，由條件可知：，等號(hào)的兩邊平方，整理后得：；（2）證明：由（1）的結(jié)論知：曲線C是方程為的橢圓，設(shè)，依題意有：，則，所以直線l的方程為：，聯(lián)立方程：，得：，設(shè)，則，，，由條件可知：，，的周長，即定值為10；綜上，曲線C的