拓展專題1大小比較（教師版）

拓展專題1大小比較在歷年高考數(shù)學(xué)試卷中，“比較大小”是熱點問題，考生經(jīng)常找不到解答問題的方法，亂猜導(dǎo)致丟分，為幫助考生避免無謂失分，本專題針對以下三類問題解題策略進(jìn)行研究：指數(shù)式、對數(shù)式比較大??；（2）構(gòu)造函數(shù)比較大??；（3）利用基本不等式比較大小。在歷年高考數(shù)學(xué)試卷中，“比較大小”是熱點問題，考生經(jīng)常找不到解答問題的方法，亂猜導(dǎo)致丟分，為幫助考生避免無謂失分，本專題針對以下三類問題解題策略進(jìn)行研究：指數(shù)式、對數(shù)式比較大??；（2）構(gòu)造函數(shù)比較大??；（3）利用基本不等式比較大小。通過以上三類問題研究，大家要明白利用同構(gòu)函數(shù)方法比較大小三步驟：第一步是“用數(shù)學(xué)的眼光看問題”，觀察所給代數(shù)式結(jié)構(gòu)特征，求大同存小異；第二步是“用數(shù)學(xué)的思維思考問題”，把題目中的不等式經(jīng)過適當(dāng)整理變形，表示成結(jié)構(gòu)相同的式子；第三步是“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題”，利用結(jié)構(gòu)式構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性解決問題?！K省清江中學(xué)高級教師崔緒春探究1：指數(shù)式、對數(shù)式背景下的大小比較【典例剖析】例1.(2022·福建省三明市聯(lián)考)已知x=2?,?y=e1e?,?z=π1π，則x，A.x>y>z B.x>z>y

C.y>x>z D.y>z>x

選題意圖:選題意圖:含指數(shù)、對數(shù)的大小比較問題是近年來的高考熱點，不僅考查指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的的基本性質(zhì)、對原式等價轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)上，靈活利用構(gòu)造函數(shù)、放縮法、基本不等式等方法解題，例1重點闡述構(gòu)造函數(shù)在比較大小中的應(yīng)用.思維引導(dǎo)：x,y,z的結(jié)構(gòu)一致，對x,y,z取對數(shù)，構(gòu)造熟悉的函數(shù)fx=lnxx,轉(zhuǎn)化為比較【解析】由題意知lnx=ln22，lny=lnee，lnz=lnππ，

設(shè)f(x)=lnxx，則f'(x)=1-lnxx2，

當(dāng)0<x<e時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

x>e時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

f(4)=ln4【變式訓(xùn)練】練11(2022·山東省臨沂市期中)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(-x)+f(x-2)=0，當(dāng)-1≤x≤0時，f(x)=(1+x)ex，則(

)A.f(2022)<f(log2310)<f(e【解析】∵f(-x)+f(x-2)=0，

∴f(x)的圖象關(guān)于點(-1,0)對稱，

∵f(x)為偶函數(shù)，

∴f(-x)=f(x)=-f(x-2)，

則fx+2=-fx=fx-2，

∴f(x)的周期為4，

當(dāng)-1≤x≤0時，f(x)=(1+x)ex，f'x=x+2ex>0，

∴f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞增，

∵f(x)的圖象關(guān)于點(-1,0)對稱，∴f(x)在[-2,-1]上單調(diào)遞增，

∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減，

∴f(2022)=f(505×4+2)=f(2)，f(練12(2022·遼寧省沈陽市模擬)若實數(shù)t≥2，則下列不等式中一定成立的是(

)A.(t+2)ln(t+3)>(t+3)ln(t+2) B.(t+1【解析】令f(x)=lnxx，則f'(x)=1-lnxx2，

易得，當(dāng)x>e時，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)0<x<e時，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增，

因為t≥2，t+3>t+2>e，所以ln(t+3)t+3<ln(t+2)t+2，

所以(t+2)ln(t+3)<(t+3)ln(t+2)，故A錯誤；

同理ln(t+1)t+1>ln(t+2)t+2，所以(t+2)ln(t+1)>(t+1)ln(t+2)，

所以(t+1)t+2>(t+2)t+1，故B錯誤；

令g(x)=ln(x+1)lnx，x≥2，則g'(x)=xlnx-(x+1)ln(x+1)x(x+1)ln2x，

令h(x)=xlnx，則練13(2022·浙江省聯(lián)考)已知a=0.1e-0.1,b=1A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<a<c【解析】當(dāng)x>0時，令f(x)=ex-1-x，則f'(x)=ex-1>0，

∴f(x)是增函數(shù)，且f(x)>f(0)=e0-1=0，∴ex>1+x，

∴xe-x=xex<xx+1，∴0.1e-0.1<0.1【規(guī)律方法】1.根據(jù)指數(shù)、對數(shù)的結(jié)構(gòu)判斷：底數(shù)不同，指數(shù)相同，可考慮冪函數(shù)的單調(diào)性；底數(shù)相同，指數(shù)或?qū)?shù)不同，可考慮指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性；底數(shù)不同、指數(shù)或?qū)?shù)都不同，可借助中間數(shù)，或者利用對數(shù)運算、基本不等式、不等式的性質(zhì)綜合判斷.2.構(gòu)造函數(shù)：=1\*GB2⑴通過對原式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換,使得要比較的兩式或三式在形式上具有一致性,然后構(gòu)造符合這種形式的函數(shù),最后利用函數(shù)的單調(diào)性來解決；=2\*GB2⑵要比較的兩式在形式上不一致,若兩式中具有相同的量,則不妨將這些量看成變量,構(gòu)造相關(guān)函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性來解決問題,如比較a=2ln1.01,b=1.04-1,不妨將0.01看成變量,考慮構(gòu)造函數(shù)fx=2ln1+x-1+4x-1構(gòu)造“同變量”函數(shù),難點在于需要根據(jù)式子特點,通過等價變換,找出它們是哪個函數(shù)的函數(shù)值.此類問題配湊、構(gòu)造比較繁瑣,有時配湊可能不合理,還需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整并進(jìn)行再次構(gòu)造.探究2：與函數(shù)交匯下的大小比較【典例剖析】例2.(2022·江蘇省南通市模擬)已知O為坐標(biāo)原點，點P為函數(shù)y=cosx圖象上一動點，當(dāng)點P的橫坐標(biāo)分別為π12，π8，π6時，對應(yīng)的點分別為PA.|OP1|>|OP2|>|O選題意圖：選題意圖：數(shù)值比較大小可以將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等內(nèi)容有機結(jié)合，考查數(shù)學(xué)建模、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，此類問題命題方法多樣靈活，借助探究點對解決問題提供幫助.思維引導(dǎo)：OP1、OP2、OP3用兩點間的距離公式表示，其結(jié)構(gòu)一致，可將問題轉(zhuǎn)化為【解析】設(shè)P(x,cosx)，則OP2=x2+cos2x，

令y=x2+cos2x，x∈(0,π4)，則y'=2x-2sinxcosx=2x-sin2x，

設(shè)gx=2x-sin2x，x∈(0,【變式訓(xùn)練】練21(2022·廣東省廣州市月考)設(shè)a=1113，b=1212，c=A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b【解析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)f(x)=(24-x)lnx(x>0)，

則f'(x)=-lnx+24-xx=-lnx+24x-1(x>0)，

令hx=f'x，

又h'x=-1x-24x2=-x+24x2<0，

則f'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，

故當(dāng)x∈[11,13]時，f'(x)≤f'(11)=-ln11+2411-1<-ln練22(2020·河北省張家口市期中)已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足；函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且當(dāng)x∈(-∞,0)時，f(x)+xf'(x)<0(其中f'(x)是函數(shù)若a=(sin12)?f(sin1A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.a>c>b【解析】∵函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，∴y=f(x)關(guān)于y軸對稱，∴函數(shù)y=xfx∵xf∴當(dāng)x∈(-∞,0)時，xfx'=f當(dāng)x∈(0,+∞)時，函數(shù)y=xfx∵0<sin12<12，∴a>b>c，故選A．練23(2022·江蘇省月考)若0<x<1，則下列選項中不正確的是A.sin2x<x B.2x-【解析】因為0<x<1<π2，所以x>sinx，又0<sinx<1，所以sinx>sin2x，則sin2x<x，故A正確；

構(gòu)造函數(shù)fx=2x-x36-sinx，則f'x=2-x22-cosx，

因為0<x<1，0<cosx<1，所以f'x>1-x22>0，

則fx=2x-x36-sinx在(0,1)上為增函數(shù)，且f0=0，

所以fx>0，即2x-x36>sinx，故B錯誤；

構(gòu)造函數(shù)gx=x-x36-sinx，則g'x=1-【規(guī)律方法】1.函數(shù)的單調(diào)性：利用導(dǎo)數(shù)確定構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性,從而比較大小,為解決該類問題的通性通法,根據(jù)題目構(gòu)造出合適的函數(shù),熟練運用導(dǎo)數(shù)工具.2.放縮法：根據(jù)比較的數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，建構(gòu)熟悉的切線不等式模型，比較大小，常見的切線不等式有：ex≥x+1,ex≥ex,lnx+1≤x,lnx≤x-1,lnx≤xx∈0,1→e探究3：基本不等式下的大小比較【典例剖析】例3.(2022·青海省西寧市一模·多選)已知正實數(shù)a，b滿足a+b=4，則下列不等式恒成立的是(

)A.ab≤4 B.1a+3b選題意圖：選題意圖：基本不等式與其他知識點綜合比較大小，比如不等式的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、對數(shù)運算等相關(guān)知識，知識點交匯多，借助2020年新高考=1\*ROMANI卷，回顧真題，重視基本不等式的應(yīng)用.思維引導(dǎo)：AB選項為常見的利用基本不等式比較大小的類型；C選項使用基本不等式，使lna?lnb≤lna+lnb22，從而利用對數(shù)運算，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化；D選項利用題干條件顯化【解析】因為正實數(shù)a，b滿足a+b=4，

所以：4=a+b≥2ab?ab≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取等號，故A正確；

1a+3b=14(1a+3b)(a+b)=14(4+ba+3ab)≥14(4+23)=1+32，

當(dāng)且僅當(dāng)ba=【變式訓(xùn)練】練31(2022·山東省淄博市期末)三元均值不等式：“當(dāng)a，b，c均為正實數(shù)時，a+b+c3≥3abc，即三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立．”利用上面結(jié)論，判斷下列不等式成立的有A.若x>0，則x2+2x≥3 B.若0<x<1，則x2(1-x)≤19

C.【解析】對于A：x>0，

x2+2x=x2+1x+1x≥33x2?1x?1x=3，

當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號，故A正確，

對于B：∵0<x<1，∴1-x>0，

x2(1-x)=12x·x·(2-2x)≤12(x+x+2-2x3)3=練32(2022·福建省莆田市質(zhì)檢)已知直線l：