平面向量的概念及運算

平面向量的概念及運算向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長為1的向量.零向量：模長為0的向量（它的方向是任意的）.||向量的模：向量的大?。ㄩL度）.單位向量：

向量(Vector)的概念或或在同一平面內(nèi),如果把所有單位向量的起點放在同一點,則所有單位向量的終點將構(gòu)成什么圖形?相等向量：大小相等且方向相同的向量.相反向量：大小相等但方向相反的向量.∥一、概念鞏固：1、下列各量中是向量的是()(A)面積(B)時間(C)質(zhì)量(D)速度D2、下列說法中正確的是()(A)平行向量就是向量所在直線都平行的向量

(B)長度相等的向量叫做相等向量

(C)零向量的長度為0(D)共線向量就是在同一直線上的向量C3、下列說法中錯誤的是()(A)零向量是沒有方向的

(B)零向量的長度為0(C)零向量與任一向量平行

(D)零向量的方向是任意的A4、判斷正誤(1)零向量的方向是任意的.(2)若,則(3)若,則(√)(√)(√)(4)單位向量都平行.(×)(5)單位向量都相等.(×)(6)單位向量的模都相等.(√)(8)若,則(×)(9)若,則(√)(√)(10)零向量與任何向量都平行.(11)平行向量一定是共線向量.(×)(√)(√)1加法(Addition)：（平行四邊形法則）特殊地：若‖分為同向和反向

向量的線性運算（OperationsofVectors)OAB向量OB

就表示這兩次位移的合成.

以O(shè)為起點作向量OA表示由O到A的位移，再以A為起點作向量AB表示由A到B的位移，那么2、三角形法則向量加法的基本性質(zhì)：

對于任意向量α、β、γ，有

(1)α+β=β+α(交換律)；(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)(結(jié)合律)；(3)α+0=0+α=α；

(4)α+(-α)=0.γαβα+β(α+β)+γ=α+(β+γ)三個向量α，β，γ的和可以簡記為α+β+γ,n個向量α1，α2，…，αn的和可以簡記為α1+α2+…+αn

。α1α2α5α3s=α1+α2+α3+α4+α5α4s例如2減法(Subtraction)(MultiplicationbyNumbers)3向量與數(shù)的乘法數(shù)與向量的乘積符合下列運算律（1）結(jié)合律：（2）分配律：（3）分配律：向量相加及數(shù)乘向量統(tǒng)稱為向量的線性運算..平面向量的基本定理

若是平面上兩個不共線向量，則此平面上的任意一個向量均可表示為下列形式：證充分性.如果β=mα，由數(shù)乘向量的定義知，β與α共線，充分性得證.必要性.由于β與α共線，且|α|≠0，因而有非負(fù)實數(shù)λ使得

λ.

當(dāng)β與α同向時，可取m=λ；

定理設(shè)向量α≠O，向量β與α共線的充分必要條件是，存在唯一的實數(shù)m，使β=mα.當(dāng)β與α反向時，可取m=-λ，最后證明β=mα中的m是唯一的.

若β=m1，α=m2，則(m1-m2)α=0,因為α≠0，所以m1=m2.

推論

向量α1、α2共線的充分必要條件是存在不全為零的實數(shù)k1,k2，使得k1α1+k2α2=0.于是都有β=mα1、O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足=+λ（+）λ∈[0，+∞）則P的軌跡一定通過△ABC的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心向量的夾角

兩個非零向量a和b

，作，，則

叫做向量a

和b

的夾角．OABabOABba若，a

與b

同向OABba若，a

與b

反向OABab若，a

與b

垂直，記作平面向量的數(shù)量積的定義

已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為

，我們把數(shù)量

叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b

，即規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即0．

（1）兩向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量，符號由夾角決定

（3）

a·b不能寫成a×b

，a×b

表示向量的另一種運算．（2）一種新的運算法則，以前所學(xué)的運算律、性質(zhì)不適合．3、投影的定義

叫做向量在方向上的投影

OC=

4、向量的數(shù)量積的幾何意義：

向量的模乘以向量在方向上的投影，等于與的數(shù)量積討論總結(jié)性質(zhì)：（1）e·a=a·e=|a|cos

（2）a⊥ba·b=0

(判斷兩向量垂直的依據(jù))

（3）當(dāng)a與b同向時，a·b=|a|·|b|，當(dāng)a與b反向時，a·b=—|a|·|b|

．特別地（4）（5）a·b≤|a|·|b|例題選講：

例⒈已知，當(dāng)①∥；②⊥；③與夾角為600時,

分別求與的數(shù)量積。故選B例3、已知a、b都是非零向量，且a+3b

與7a–5b

垂直，a–4b

與7a–2b垂直，求a與b的夾角。

解：∵（a+3b

）⊥（7a–

5b）（a–

4b

）⊥（7a–

2b

）

∴（a+3b

）·（7a–5b）

=0且（a–

4b

）·

（7a–

2b

）=0

即7a·a+