全概率公式的應(yīng)用

全概率公式的應(yīng)用

1e試驗(yàn)研究全概率公式是概率最基本、最重要的公式之一。它顯著地降低了研究問題的難度，并達(dá)到了“復(fù)雜問題簡(jiǎn)化”的目的。全概率公式所解決的問題可歸結(jié)為,復(fù)合試驗(yàn)中隨機(jī)事件的概率計(jì)算問題.復(fù)合試驗(yàn)是指,該試驗(yàn)E由相繼進(jìn)行的兩個(gè)試驗(yàn)E1,E2復(fù)合而成,其中E1為先行試驗(yàn),為E2提供試驗(yàn)的條件;E2是后繼試驗(yàn),是在E1完成的基礎(chǔ)上進(jìn)行的試驗(yàn).例如,設(shè)甲袋中有3個(gè)白球4個(gè)紅球,乙袋中有1個(gè)白球2個(gè)紅球,現(xiàn)從甲袋中任取2球放入乙袋,再從乙袋中任取2球,問從乙袋取出2個(gè)紅球的概率.在該例中,“從甲袋中任取2球放入乙袋”即為先行試驗(yàn)E1,“從乙袋中任取2球”即為后繼試驗(yàn)E2,整個(gè)試驗(yàn)E便可看作是由E1,E2復(fù)合而成的.計(jì)算后繼試驗(yàn)E2中某事件的概率,就是全概率公式的意義所在.眾所周知,全概率公式是教學(xué)上與認(rèn)識(shí)上的一個(gè)難點(diǎn),分析與實(shí)踐都表明,其難點(diǎn)歸根結(jié)底主要表現(xiàn)在其本身存在的不足上.2定理1bn定義1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為Ω,B1,B2,…,Bn為一組事件,如果(i)BiBj=Φ,i≠j,i,j=1,2,…,n;(ii)∪i=1nBi=Ω(ii)∪i=1nBi=Ω,則稱B1,B2,…,Bn為樣本空間Ω的一個(gè)劃分,或稱B1,B2,…,Bn為完備事件組.定理1(全概率公式,下稱傳統(tǒng)全概率公式)設(shè)Ω為隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間,B1,B2,…,Bn為樣本空間Ω的一個(gè)完備事件組,且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則對(duì)任一事件A,有P(A)=∑i=1n∑i=1nP(Bi)P(A/Bi).很多《概率論》教科書上,都有定理1的證明,這里不再贅述.稍作分析便不難發(fā)現(xiàn),定理1的證明是沒問題的,但在具體應(yīng)用該定理時(shí)卻存在以下兩個(gè)問題:(i)該定理難以使用,即難以對(duì)號(hào)入座;(ii)該定理易于誤導(dǎo)初學(xué)者.首先，理論依據(jù)需要b1、b2、bn和bn∪i=1nBi=Ω,∪i=1nBi=Ω,這在一些實(shí)際問題當(dāng)中是難以做到的,也是沒必要的,這是該定理難用的一個(gè)重要原因;試驗(yàn)樣本空間b把所有判決把國成立是沒問題的,但在實(shí)際問題中,這個(gè)Ω往往不是整個(gè)試驗(yàn)E的樣本空間,因而A=AΩ是難以成立的,這是易對(duì)初學(xué)者造成誤導(dǎo)的一個(gè)重要原因.下面給出的是關(guān)于前面引言中提到的那個(gè)問題的經(jīng)典解答方法,從解答過程中不難發(fā)現(xiàn)所述問題的存在.例1設(shè)甲袋中有3個(gè)白球4個(gè)紅球,乙袋中有1個(gè)白球2個(gè)紅球,現(xiàn)從甲袋中任取2球放入乙袋,再從乙袋中任取2球,問從乙袋取出2個(gè)紅球的概率?解令B1={從甲袋中任取2個(gè)白球放入乙袋},B2={從甲袋中任取1個(gè)白球和1個(gè)紅球放入乙袋},B3={從甲袋中任取2個(gè)紅球放入乙袋};A={從乙袋中任取2個(gè)球?yàn)榧t球}.因?yàn)锽1,B2,B3兩兩互不相容,且B1∪B2∪B3=Ω,(1)所以B1,B2,B3為樣本空間Ω的一個(gè)完備事件組,從而有A=AΩ=A∪i=13Bi=∪i=13(ABi)A=AΩ=A∪i=13Bi=∪i=13(ABi).(2)故由全概率公式,得P(A)=∑i=13P(Bi)P(A/Bi)=C24C27×C24C25+C23C27×C22C25+C13C14C27×C23C25=835.Ρ(A)=∑i=13Ρ(Bi)Ρ(A/Bi)=C42C72×C42C52+C32C72×C22C52+C31C41C72×C32C52=835.簡(jiǎn)要分析:該題的計(jì)算結(jié)果是正確的,但解題過程是有問題的.第一,(1)式中的B1∪B2∪B3=Ω,似乎沒問題,其實(shí)不然.這里的B1,B2,B3不是對(duì)整個(gè)試驗(yàn)E樣本空間的一個(gè)劃分,而是對(duì)先行試驗(yàn)E1樣本空間的一個(gè)劃分;第二,(2)式中的A=AΩ,只是“形式”上正確,而邏輯上不通,因?yàn)檫@個(gè)A并不是上述那個(gè)Ω(B1∪B2∪B3)的子事件.顯然,這兩條都與定理1的條件不相符.定理的條件不相符,定理還能使用嗎?這就是一些現(xiàn)行教科書和學(xué)習(xí)指導(dǎo)之類的參考資料解答此類問題時(shí)的一些通病.然而,因最終計(jì)算結(jié)果正確,又讓人渾然不覺這其中被掩蓋了的邏輯錯(cuò)誤.話又說回來,用傳統(tǒng)的全概率公式解答此類問題,或者說依照傳統(tǒng)全概率公式證明過程來解答此類問題時(shí),好像也只能這樣“湊合”,這就充分反映出傳統(tǒng)全概率公式內(nèi)在的不足了.3定理和bn的關(guān)系定理2(改進(jìn)型全概率公式)設(shè)試驗(yàn)E為E1,E2的復(fù)合試驗(yàn),其中,先行試驗(yàn)E1的樣本空間為Ω1,B1,B2,…,Bn為Ω1的一個(gè)完備事件組,且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),后繼試驗(yàn)E2的樣本空間為Ω2,那么,對(duì)于E2的任一事件A,有P(A)=∑i=1n∑i=1nP(Bi)P(A/Bi).證顯然,后繼試驗(yàn)E2的任一事件A發(fā)生的前提是先行試驗(yàn)E1已經(jīng)完成,故E2的事件A發(fā)生的概率P(A)就是E1(即Ω1)發(fā)生的條件下的概率,即P(A)=P(A/Ω1),注意這里的P(A/Ω1)是一種特殊的條件概率,即全條件下的概率,亦即通常所說的全概率,這就是全概率的涵義.由條件概率得從而得P(A)=∑i=1n∑i=1nP(Bi)P(A/Bi).改進(jìn)型全概率公式的特點(diǎn)十分明顯:第一,該定理完全是按照其解決實(shí)際問題的邏輯過程描述的,因而便于應(yīng)用;第二,定理明確了試驗(yàn)E1,E2各自樣本空間Ω1,Ω2的隸屬關(guān)系,強(qiáng)調(diào)了B1,B2,…,Bn角色的意義(是對(duì)先行試驗(yàn)E1樣本空間Ω1的一個(gè)劃分),因而定理的內(nèi)容便于理解.這種描述,有利于把握整個(gè)試驗(yàn)的基本結(jié)構(gòu)與內(nèi)在聯(lián)系,有利于避免某些誤解和誤導(dǎo)等現(xiàn)象的發(fā)生.根據(jù)定理2及其證明過程,可歸結(jié)出改進(jìn)型全概率公式的解題步驟:(i)指出先行試驗(yàn)E1樣本空間Ω1的一個(gè)完備事件組B1,B2,…,Bn,指出后繼試驗(yàn)E2中的一個(gè)隨機(jī)事件A;(ii)計(jì)算概率P(A)=∑i=1n∑i=1nP(Bi)P(A/Bi).在運(yùn)用改進(jìn)型全概率公式解題時(shí),只要把先行試驗(yàn)E1和后繼試驗(yàn)E2的邏輯關(guān)系以及它們的構(gòu)成要素描述清楚,問題就能迎刃而解,從根本上降低了思考此類問題的難度.例2(內(nèi)容同例1)解設(shè)從甲袋中取球的試驗(yàn)為先行試驗(yàn)E1,其樣本空間記作Ω1,從乙袋中取球的試驗(yàn)為后繼試驗(yàn)E2,其樣本空間記作Ω2.令B1={從甲袋中任取2個(gè)白球放入乙袋},B2={從甲袋中任取1個(gè)白球和1個(gè)紅球放入乙袋},B3={從甲袋中任取2個(gè)紅球放入乙袋};A={從乙袋中任取2個(gè)球?yàn)榧t球}.則B1∪B2∪B3=Ω1,A?Ω2,由改進(jìn)型全概率公式,得P(A)=∑i=13P(Bi)P(A/Bi)=P(B1)P(A/B1)+P(B2)P(A/B2)+P(B3)P(A/B3)=C24C27×C24C25+C23C27×C22C25+C13C14C27×C23C25=835.Ρ(A)=∑i=13Ρ(Bi)Ρ(A/Bi)=Ρ(B1)Ρ(A/B1)+Ρ(B2)Ρ(A/B2)+Ρ(B3)Ρ(A/B3)=C42C72×C42C52+C32C72×C22C52+C31C41C72×C32C52=835.需要說明的是,當(dāng)一個(gè)試驗(yàn)不是(或不明顯是)由相繼進(jìn)行的兩個(gè)試驗(yàn)復(fù)合而成時(shí),可以人為地將其化分為有先后邏輯關(guān)系的兩個(gè)試驗(yàn)來對(duì)待和處理,如下例.例3兩臺(tái)機(jī)床加工同樣的零件,第一臺(tái)的廢品率為0.04,第二臺(tái)的廢品率為0.07,加工出來的零件混放在一起,并設(shè)第一臺(tái)加工的零件是第二臺(tái)加工零件的2倍,現(xiàn)任取一零件,問取到合格品的概率為多少?解設(shè)選取零件的試驗(yàn)為先行試驗(yàn)E1,其樣本空間記作Ω1,檢測(cè)零件質(zhì)量的試驗(yàn)為后繼試驗(yàn)E2,其樣本空間記作Ω2(其邏輯關(guān)系是,先選取零件,再進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)).令B1={取得第一臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的1個(gè)零件},B2={取得第二臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的1個(gè)零件};A={任取一零件為合格品}.則B1∪B2=Ω1,A?Ω2,由改進(jìn)型全概率公式得P(A)=∑i=12P(Bi)P(A/Bi)=P(B1)P(A/B1)+P(B2)P(A/B2)=23×0.96+13×0.93≈0.95.Ρ(A)=∑i=12Ρ(Bi)Ρ(A/Bi)=Ρ(B1)Ρ(A/B1)+Ρ(B2)Ρ(A/B2)=23×0.96+13×0.93≈0.95.4針對(duì)“合理性”的解釋,易產(chǎn)生“不得要領(lǐng)”的問題,易于反掌全概率公式是概率論中最基本和最