4.3對(duì)數(shù)(11種題型)講義高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

4.3對(duì)數(shù)1、對(duì)數(shù)的定義：一般地，如果，且，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作：。其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)。2、對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系：關(guān)系：當(dāng)，且時(shí)，。結(jié)論：負(fù)數(shù)和沒(méi)有對(duì)數(shù)（即）；，。3、兩種特殊的對(duì)數(shù)：我們將以為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，并把記為。另外，在科技、經(jīng)濟(jì)以及社會(huì)生活中經(jīng)常使用以無(wú)理數(shù)為底數(shù)的對(duì)數(shù)，以為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，并把記為。4、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：如果，且，，，那么：①正因數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)各個(gè)因數(shù)的對(duì)數(shù)的和：。推廣：。②兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)：。③正數(shù)的冪的對(duì)數(shù)等于冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)乘以冪指數(shù)：。5、換底公式：同底對(duì)數(shù)才能運(yùn)算，底數(shù)不同時(shí)可考慮進(jìn)行換底，在，且，的前提下有：①。。令，則有，，即，即。②。令，則有，則有。即，即，即。③。④約分法則：；。6、對(duì)數(shù)恒等式：；；?！绢}型1】對(duì)數(shù)的定義1．下列選項(xiàng)中，可以求對(duì)數(shù)的是（）A．0 B．﹣5 C．π D．﹣x22．若對(duì)數(shù)式log（t﹣2）3有意義，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A．[2，+∞） B．（2，3）∪（3，+∞） C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）3．對(duì)數(shù)式log（a﹣2）（5﹣a）中實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，5） B．（2，5） C．（2，3）∪（3，5） D．（2，+∞）4．在M＝log（x﹣3）（x+1）中，要使式子有意義，x的取值范圍為（）A．（﹣∞，3] B．（3，4）∪（4，+∞） C．（4，+∞） D．（3，4）【題型2】指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化、利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系求值1．已知3x＝4，則x等于（）A．43 B．34 C．log34 D．log2．如果N＝a2（a＞0且a≠1），則有（）A．log2N＝a B．log2a＝N C．logNa＝2 D．logaN＝23．若2a＝4，則loga12A．﹣1 B．0 C．1 D．14．若loga14=-2，則A．2 B．4 C．12 D．5．若log2x＝4，則x1A．4 B．±4 C．8 D．166．已知loga12=m，loga3＝n，則am+2A．3 B．34 C．9 D．【題型3】對(duì)數(shù)的運(yùn)算011．log24+log28＝（）A．2 B．3 C．4 D．52．log63+log62＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．lg8+lg125＝（）A．3 B．5 C．10 D．1034．化簡(jiǎn)lg2+lg5+logA．12 B．1 C．2 D．5．化簡(jiǎn)：log212+log223+log23A．5 B．4 C．﹣4 D．﹣56．log318﹣log32的值為（）A．log316 B．log320 C．log336 D．27．計(jì)算：log510﹣log52＝（）A．log58 B．lg5 C．1 D．28．log42﹣log48等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．29．log23﹣log26+log525＝（）A．0 B．﹣1 C．1 D．210．計(jì)算lg625﹣lg25+lg4＝（）A．2 B．3 C．4 D．10【題型4】對(duì)數(shù)的運(yùn)算021．計(jì)算：2log36﹣log34＝（）A．1 B．2 C．3 D．62．若2lgx+lg4﹣2＝0，則x的值是（）A．5 B．5 C．±5 3．82A．6 B．8 C．9 D．74．化簡(jiǎn)2log32﹣log3329+(2-1)A．﹣7 B．﹣3 C．0 D．﹣65．計(jì)算：(11A．0 B．152 C．2 【題型5】用已知對(duì)數(shù)表示其他對(duì)數(shù)1．已知lg2＝a，lg3＝b，則lg6等于（）A．a(chǎn)b B．a(chǎn)b C．a(chǎn)+b D．a(chǎn)﹣2．已知5a＝2，b＝log53，則log518＝（）A．a(chǎn)+3b B．a(chǎn)+2b C．2a+b D．3a+b3．已知a＝lg2，b＝lg3，則lg27A．3a﹣2b B．2b﹣3a C．2a﹣3b D．3b﹣2a4．已知2a＝9，log83＝b，則abA．23 B．2 C．6 5．設(shè)lg3＝a，lg5＝b，則lg27A．3a2b B．3a2-2b C．3a﹣2b D．3a+2【題型6】換底公式1．lg5×lg20+lgA．0 B．1 C．13 D．2．化簡(jiǎn)（lg2）2+lg20?lg5+log92?log43的值為（）A．34 B．54 C．433．計(jì)算（log54）?（log1625）＝（）A．2 B．1 C．12 D．4．若y＝log56?log67?log78?log89?log910則有（）A．y∈（0，1） B．y∈（1，2） C．y∈（2，3） D．y＝25．log9125×log1217×log253×log1712＝（）A．log173 B．12 C．34 D．log36．計(jì)算：lg【題型7】換底公式的應(yīng)用1．若4a＝6b＝24，則1aA．0 B．1 C．2 D．32．設(shè)(12)a=A．6 B．16 C．6 D．3．已知3a＝5b且2a+1A．log315 B．log515 C．log345 D．log5454．已知3a＝5b＝2，則lg6＝（）A．a(chǎn)+1a(b+1) B．b+1C．b(a+1)a(b+1) D．5．已知3a＝5b＝15，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＜b B．（a﹣1）2+（b﹣1）2＞2 C．a(chǎn)b＞5 D．a(chǎn)2+b2＜8【題型8】利用換底公式、已知對(duì)數(shù)表示其他對(duì)數(shù)1．若lg2＝a，lg3＝b，則log125＝（）A．1-aa+2b B．a(chǎn)+b2a+b C．1-a2a+b2．已知lg3＝a，lg5＝b，則log345等于（）．A．2a+bb B．2a+ba C．a(chǎn)2a+b3．若ln2＝a，ln3＝b，則log818＝（）A．a(chǎn)+3ba3 B．a(chǎn)+2b3a C．a(chǎn)+2b4．已知2a＝5b＝M，且2a+1A．20 B．25 C．±25 D．4005．如果lg2＝m，lg3＝n，則lg12lg15A．2m+n1+m+n B．m+2n1+m+n C．2m+n1-m+n【題型9】利用對(duì)數(shù)性質(zhì)解對(duì)數(shù)方程1．若log3（log4x）＝1，則x＝．2．若x?log32＝1，則2x＝．3．方程lg（2x+1）+lgx＝1的解為．4．若log（x﹣2）（x2﹣7x+13）＝0，則x的值為．5．方程（log3x）2+log93x＝2的解集為．【題型10】對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用1．2023年2月6日，土耳其發(fā)生強(qiáng)烈地震，造成重大人員傷亡和財(cái)產(chǎn)損失，江蘇救援隊(duì)伍緊急赴當(dāng)?shù)亻_展救報(bào)行動(dòng)．盡管日前人類還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過(guò)研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為lgEM．里氏8.0級(jí)地震所釋放出來(lái)的能量是里氏6.0級(jí)地震所釋放出來(lái)的能量的（）A．6倍 B．102倍 C．103倍 D．106倍2．下棋可以鍛煉腦部，促進(jìn)腦細(xì)胞新陳代謝，鍛煉腦力發(fā)育，開發(fā)智力．圍棋擁有19×19的超大棋盤，成為狀態(tài)空間復(fù)雜度最高的棋類運(yùn)動(dòng)，其狀態(tài)空間復(fù)雜度上限M約為3361，而中國(guó)象棋的狀態(tài)空間復(fù)雜度上限N為1048，則下列各數(shù)中與MN最接近的是（）（lgA．10105 B．10125 C．10145 D．101653．在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2-m1=52lgEA．10 C．lg D．104．分貝（dB）、奈培（Np）均可用來(lái)量化聲音的響度，其定義式分別為1dB=10lgAA0，1Np=12lnAA0，其中A為待測(cè)值，A0為基準(zhǔn)值．如果1dB＝tNp5．碳﹣14是碳元素的一種同位素，具有放射性．活體生物其體內(nèi)的碳﹣14含量大致不變，當(dāng)生物死亡后，其組織內(nèi)的碳﹣14開始衰變并逐漸消失．已知碳﹣14的半衰期為5730年，即生物死亡t年后，碳﹣14所剩質(zhì)量C(t)=C0(12)t5730金1115年1234年元代1206年1368年明代1368年1644年清代1616年1911年A．金 B．元 C．明 D．清【題型11】證明常見的對(duì)數(shù)恒等式1．已知b＞0，log5b＝a，lgb＝c，5d＝10，則下列等式一定成立的是（）A．d＝ac B．d＝a+c C．c＝ad D．a(chǎn)＝cd2．設(shè)x、y、z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z3．若3a+log3a＝9b+3log27b，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＞2b B．a(chǎn)＜2b C．a(chǎn)＞b2 D．a(chǎn)＜b24．設(shè)a＝log0.3，b＝log20.3，則（）A．a(chǎn)+b＜ab＜0 B．a(chǎn)b＜a+b＜0 C．a(chǎn)+b＜0＜ab D．a(chǎn)b＜0＜a+b5．已知正數(shù)x，y，z，滿足3x＝4y＝6z，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．1x+12y=1z C．x+y＞(32+2)z 當(dāng)堂檢測(cè)一．選擇題（共8小題）1．設(shè)alog34＝2，則4﹣a＝（）A．116 B．19 C．182．已知2x＝3，log483=y，則x+2A．3 B．8 C．4 D．log483．化簡(jiǎn)（2log43+log83）（log32+log92）的值為（）A．1 B．2 C．4 D．64．根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080，則下列各數(shù)中與MN（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）A．1033 B．1053 C．1073 D．10935．已知2a＝5，log83＝b，則4a﹣3b＝（）A．25 B．5 C．259 D．6．已知4x＝3y＝m，且1x+2A．2 B．4 C．6 D．97．已知log189＝a，18b＝5．則log3645等于（）A．a(chǎn)+b2+a B．a(chǎn)+b2-a C．a(chǎn)+b2a8．設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，且log2x＝log3y＝log5z＞0，則x2A．x2＜y3＜z5 B．二．多選題（共4小題）（多選）9．若10a＝4，10b＝25，則（）A．a(chǎn)+b＝2 B．b﹣a＝1 C．a(chǎn)b＞8lg22 D．b﹣a＜lg6（多選）10．下列各選項(xiàng)中，值為1的是（）A．log26?log62 B．log62+log64 C．(2+3)12?（多選）11．若10a＝4，10b＝25，則（）A．a(chǎn)+b＝2 B．b﹣a＝1 C．a(chǎn)b＞8lg22 D．b﹣a＞lg6（多選）12．已知正數(shù)x，y，z滿足3x＝4y＝12z，則（）A．1x+1y=1z B．6z＜3x＜4y C．xy＜4z2三．填空題（共4小題）13．計(jì)算：log214．已知a＞b＞1，若logab+logba=52，ab＝ba，則a＝，b＝15．方程log2（9x﹣1﹣5）＝log2（3x﹣1﹣2）+2的解為．16．已知f(x)=2x，(x≤1)lg(x-1)，(x＞1)，則f（四．解答題（共6小題）17．計(jì)算（1）2log214-（827）-2（2）lg52+23lg8+lg5lg20+（lg18．求值：（1）532（2）log354﹣log32+log23?log34．19．計(jì)算求值：（1）(21（2）lg520．計(jì)算下列各式的值：（1）27（2）log21．（1）計(jì)算：(279)12+（2）設(shè)4a＝5b＝100，求2（1a22．已知1＜a＜b＜c，且logab+logbc=12（1）若c＝a3，求logab的值；（2）求logab+logbc的最小值．課后作業(yè)一．選擇題（共8小題）1．當(dāng)0＜x≤12時(shí)，4x＜logax，則A．（0，22） B．（22，1） C．（1，2） D．（2．若xlog23＝1，則3x+9x的值為（）A．3 B．6 C．2 D．13．已知f（x）=12x(x≥4)f(x+1)(x＜4)A．124 B．-238 C．14．某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：lg1.12＝0.05，lg1.3＝0.11，lg2＝0.30）A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年5．已知3a＝2，那么log38﹣2log36用a表示是（）A．a(chǎn)﹣2 B．5a﹣2 C．3a﹣（1+a）2 D．3a﹣a26．設(shè)a＝log30.4，b＝log23，則（）A．a(chǎn)b＞0且a+b＞0 B．a(chǎn)b＜0且a+b＞0 C．a(chǎn)b＞0且a+b＜0 D．a(chǎn)b＜0且a+b＜07．設(shè)a，b都為正數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若aea+1+b＜blnb，則（）A．a(chǎn)b＞e B．b＞ea+1 C．a(chǎn)b＜e D．b＜ea+18．若2a＝3b＝6c，且abc≠0，則（）A．a(chǎn)c-ab=1 B．ba二．多選題（共4小題）（多選）9．下列運(yùn)算中正確的是（）A．log3B．當(dāng)a＞0時(shí)，3aC．若a+a﹣1＝14，則a12D．(（多選）10．已知a，b∈R，滿足ea+eb＝1，則（）A．a(chǎn)+b≤﹣2ln2 B．ea+b＜0 C．a(chǎn)b≥1 D．2（e2a+e2b）≥1（多選）11．已知函數(shù)f(x)=log2x2?log2x8，若f（x1）＝f（x2A．34 B．32 C．2（多選）12．若m＞0，n＞12，且m?2m＝2n（log2A．m+log2m＜3 B．logC．m＝log2n﹣1 D．mn=三．填空題（共4小題）13．log6.25+lg1100+lne14．已知a＞b＞1，若logab+logba=103，ab＝ba，則a+b＝15．2log24-（214）-12+（2-1）lg1+（lg16．若實(shí)數(shù)x，y滿足x＞y＞0，且log2x+log2y＝1，則x2+y四．解答題（共6小題）17．求值：（1）82（2）（lg2）2+lg5（lg5+lg2）+lg2?lg500﹣2lg2+eln2．18．求值：（1）(3-π)2（2）4lo19．計(jì)算下列各式的值：（1）82（2）(log20．化簡(jiǎn)求值：（1）0.25（2）log21．求值：（1）(21（2）log251222．計(jì)算：（1）4(π-（2）9log4.3對(duì)數(shù)1、對(duì)數(shù)的定義：一般地，如果，且，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作：。其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)。2、對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系：關(guān)系：當(dāng)，且時(shí)，。結(jié)論：負(fù)數(shù)和沒(méi)有對(duì)數(shù)（即）；，。3、兩種特殊的對(duì)數(shù)：我們將以為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，并把記為。另外，在科技、經(jīng)濟(jì)以及社會(huì)生活中經(jīng)常使用以無(wú)理數(shù)為底數(shù)的對(duì)數(shù)，以為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，并把記為。4、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：如果，且，，，那么：①正因數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)各個(gè)因數(shù)的對(duì)數(shù)的和：。推廣：。②兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)：。③正數(shù)的冪的對(duì)數(shù)等于冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)乘以冪指數(shù)：。5、換底公式：同底對(duì)數(shù)才能運(yùn)算，底數(shù)不同時(shí)可考慮進(jìn)行換底，在，且，的前提下有：①。。令，則有，，即，即。②。令，則有，則有。即，即，即。③。④約分法則：；。6、對(duì)數(shù)恒等式：；；?！绢}型1】對(duì)數(shù)的定義1．下列選項(xiàng)中，可以求對(duì)數(shù)的是（）A．0 B．﹣5 C．π D．﹣x2【解答】解：根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，得0和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)，∴選項(xiàng)A、B沒(méi)有對(duì)數(shù)；又﹣x2≤0，∴選項(xiàng)D沒(méi)有對(duì)數(shù)；π＞0，選項(xiàng)C有對(duì)數(shù)．故選：C．2．若對(duì)數(shù)式log（t﹣2）3有意義，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A．[2，+∞） B．（2，3）∪（3，+∞） C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）【解答】解：要使對(duì)數(shù)式log（t﹣2）3有意義，須t-2＞0t-2≠1；解得t＞2且t≠3，∴實(shí)數(shù)t故選：B．3．對(duì)數(shù)式log（a﹣2）（5﹣a）中實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，5） B．（2，5） C．（2，3）∪（3，5） D．（2，+∞）【解答】解：要使對(duì)數(shù)式b＝log（a﹣2）（5﹣a）有意義，則a-2＞05-a＞0a-2≠1，解得a故選：C．4．在M＝log（x﹣3）（x+1）中，要使式子有意義，x的取值范圍為（）A．（﹣∞，3] B．（3，4）∪（4，+∞） C．（4，+∞） D．（3，4）【解答】解：由函數(shù)的解析式可得x+1＞0x-3＞0x-3≠1，解得3＜x＜4，或故選：B．【題型2】指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化、利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系求值1．已知3x＝4，則x等于（）A．43 B．34 C．log34 D．log【解答】解：3x＝4，由對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化，可得x＝log34．故選：C．2．如果N＝a2（a＞0且a≠1），則有（）A．log2N＝a B．log2a＝N C．logNa＝2 D．logaN＝2【解答】解：∵N＝a2（a＞0且a≠1），∴2＝logaN，故選：D．3．若2a＝4，則loga12A．﹣1 B．0 C．1 D．1【解答】解：2a＝4，可得a＝2.則loga12=log2故選：A．4．若loga14=-2，則A．2 B．4 C．12 D．【解答】解：loga14=-2，則a﹣2=14=故選：A．5．若log2x＝4，則x1A．4 B．±4 C．8 D．16【解答】解：∵log2x＝4，∴x＝24＝16．則x1故選：A．6．已知loga12=m，loga3＝n，則am+2A．3 B．34 C．9 D．【解答】解：∵loga12=m，loga3＝∴am=12，an＝3，∴am+2n＝am?（an）2故選：D．【題型3】對(duì)數(shù)的運(yùn)算011．log24+log28＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：log24+log28＝log2（4×8）＝log232＝log225＝5，故選：D．2．log63+log62＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：log63+log62＝log6（3×2）＝log66＝1．故選：C．3．lg8+lg125＝（）A．3 B．5 C．10 D．103【解答】解：lg8+lg125＝lg（8×125）＝lg1000＝3，故選：A．4．化簡(jiǎn)lg2+lg5+logA．12 B．1 C．2 D．【解答】解：lg2+lg5+log31＝lg10+故選：A．5．化簡(jiǎn)：log212+log223+log23A．5 B．4 C．﹣4 D．﹣5【解答】解：log212+log223+log23=log2(12×2故選：D．6．log318﹣log32的值為（）A．log316 B．log320 C．log336 D．2【解答】解：原式=log故選：D．7．計(jì)算：log510﹣log52＝（）A．log58 B．lg5 C．1 D．2【解答】解：log510﹣log52＝log5102=log故選：C．8．log42﹣log48等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：log42﹣log48＝log428=log44故選：B．9．log23﹣log26+log525＝（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：log23﹣log26+log525＝log236故選：C．10．計(jì)算lg625﹣lg25+lg4＝（）A．2 B．3 C．4 D．10【解答】解：原式＝4lg5﹣2lg5+2lg2＝2lg5+2lg2＝2，故選：A．【題型4】對(duì)數(shù)的運(yùn)算021．計(jì)算：2log36﹣log34＝（）A．1 B．2 C．3 D．6【解答】解：2log36﹣log34＝log336﹣log34＝log3364=log故選：B．2．若2lgx+lg4﹣2＝0，則x的值是（）A．5 B．5 C．±5 【解答】解：2lgx+lg4﹣2＝0，∴l(xiāng)gx=2-lg42=1-lg42∴x＝5，故選：B．3．82A．6 B．8 C．9 D．7【解答】解：原式＝（23）23+3﹣（lg5﹣lg2）﹣2lg2＝4+3﹣（lg2+故選：A．4．化簡(jiǎn)2log32﹣log3329+(2-1)A．﹣7 B．﹣3 C．0 D．﹣6【解答】解：原式=lo=log3(＝log39+1﹣9＝﹣6．故選：D．5．計(jì)算：(11A．0 B．152 C．2 【解答】解：原式＝1+2﹣0+1+2+log2223故選：B．【題型5】用已知對(duì)數(shù)表示其他對(duì)數(shù)1．已知lg2＝a，lg3＝b，則lg6等于（）A．a(chǎn)b B．a(chǎn)b C．a(chǎn)+b D．a(chǎn)﹣【解答】解：∵lg2＝a，lg3＝b，∴l(xiāng)g6＝lg2+lg3＝a+b．故選：C．2．已知5a＝2，b＝log53，則log518＝（）A．a(chǎn)+3b B．a(chǎn)+2b C．2a+b D．3a+b【解答】解：因?yàn)?a＝2，所以a＝log52，則log518＝log52+log59＝log52+2log53，所以log518＝a+2b．故選：B．3．已知a＝lg2，b＝lg3，則lg27A．3a﹣2b B．2b﹣3a C．2a﹣3b D．3b﹣2a【解答】解：∵a＝lg2，b＝lg3，∴l(xiāng)g274=lg27﹣lg4＝3lg3﹣2lg2＝3b﹣2故選：D．4．已知2a＝9，log83＝b，則abA．23 B．2 C．6 【解答】解：因?yàn)?a＝9，所以a=log又b=log所以ab故選：C．5．設(shè)lg3＝a，lg5＝b，則lg27A．3a2b B．3a2-2b C．3a﹣2b D．3a+2【解答】解：因?yàn)閘g3＝a，lg5＝b，所以lg2＝1﹣lg5＝1﹣b，則lg274=lg27﹣lg4＝3lg3﹣2lg2＝3a﹣2（1﹣b）＝3a故選：D．【題型6】換底公式1．lg5×lg20+lgA．0 B．1 C．13 D．【解答】lg5×（1+lg2）+lg22-23=lg5×lg2+lg5+lg22-23=lg2（lg5+lg2）+lg5-23故選：C．2．化簡(jiǎn)（lg2）2+lg20?lg5+log92?log43的值為（）A．34 B．54 C．43【解答】解：（lg2）2+lg20?lg5+log92?log43＝（lg2）2+（1+lg2）（1﹣lg2）+12log32?12log23＝（lg2）2+1﹣（lg2）2故選：B．3．計(jì)算（log54）?（log1625）＝（）A．2 B．1 C．12 D．【解答】解：（log54）?（log1625）=lg4lg5×故選：B．4．若y＝log56?log67?log78?log89?log910則有（）A．y∈（0，1） B．y∈（1，2） C．y∈（2，3） D．y＝2【解答】解：y=lg6∵lg5+lg2＝1，lg5＞lg2＞0．∴y∈（1，2）．故選：B．5．log9125×log1217×log253×log1712＝（）A．log173 B．12 C．34 D．log3E．log1712【解答】解：log9125×log1217×log253×log1712=3lg5故選：C．6．計(jì)算：lg【解答】解：lg【題型7】換底公式的應(yīng)用1．若4a＝6b＝24，則1aA．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵4a＝6b＝24，∴a＝log424，b＝log624，∴1a=log∴1a故選：B．2．設(shè)(12)a=A．6 B．16 C．6 D．【解答】解：設(shè)(12)a=3b=m，則∵1a-1∴m2=16，解得m故選：D．3．已知3a＝5b且2a+1A．log315 B．log515 C．log345 D．log545【解答】解：b＝alog53，∴2a∴2a∴a＝2+log35＝log39+log35＝log345．故選：C．4．已知3a＝5b＝2，則lg6＝（）A．a(chǎn)+1a(b+1) B．b+1C．b(a+1)a(b+1) D．【解答】解：∵3a＝5b＝2，∴a=log32=∴l(xiāng)g2=bb+1，∴l(xiāng)g6=lg2+lg3=b(a+1)故選：C．5．已知3a＝5b＝15，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＜b B．（a﹣1）2+（b﹣1）2＞2 C．a(chǎn)b＞5 D．a(chǎn)2+b2＜8【解答】解：∵3a＝5b＝15，∴a=log315=1log15∴a＞b，A錯(cuò)誤；∴（a﹣1）2+（b﹣1）2＞2（a﹣1）（b﹣1）=2(1log∴ab=1log∴ab＞4，C錯(cuò)誤；∴a2+b2＞2ab＞8，D錯(cuò)誤．故選：B．【題型8】利用換底公式、已知對(duì)數(shù)表示其他對(duì)數(shù)1．若lg2＝a，lg3＝b，則log125＝（）A．1-aa+2b B．a(chǎn)+b2a+b C．1-a2a+b【解答】解：log125=lg5故選：C．2．已知lg3＝a，lg5＝b，則log345等于（）．A．2a+bb B．2a+ba C．a(chǎn)2a+b【解答】解：由于lg3＝a，lg5＝b，所以log3故選：B．3．若ln2＝a，ln3＝b，則log818＝（）A．a(chǎn)+3ba3 B．a(chǎn)+2b3a C．a(chǎn)+2b【解答】解：∵ln2＝a，ln3＝b，∴l(xiāng)og818=ln18故選：B．4．已知2a＝5b＝M，且2a+1A．20 B．25 C．±25 D．400【解答】解：∵2a＝5b＝M＞0，∴a＝log2M=lgMlg2，b=∵2a+1b=2，∴M2＝20．∴M=20=2故選：B．5．如果lg2＝m，lg3＝n，則lg12lg15A．2m+n1+m+n B．m+2n1+m+n C．2m+n1-m+n【解答】解：∵lg2＝m，lg3＝n，∴l(xiāng)g12lg15故選：C．【題型9】利用對(duì)數(shù)性質(zhì)解對(duì)數(shù)方程1．若log3（log4x）＝1，則x＝64．【解答】解：log3（log4x）＝1，則log4x＝3，故x＝64．故答案為：64．2．若x?log32＝1，則2x＝3．【解答】解：由x?log32＝1，得x=1log33．方程lg（2x+1）+lgx＝1的解為2．【解答】解：∵lg（2x+1）+lgx＝1，即lg[（2x+1）x]＝1且x＞0，2x+1＞0，∴x(2x+1)=10x＞02x+1＞0，解得4．若log（x﹣2）（x2﹣7x+13）＝0，則x的值為4．【解答】解：由題意可得，x-2＞0x-2≠1解可得，x＝4．5．方程（log3x）2+log93x＝2的解集為{3，39【解答】解：將原方程變成(log3x)2+∴x＝3或3-∴原方程的解集為{3，3【題型10】對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用1．2023年2月6日，土耳其發(fā)生強(qiáng)烈地震，造成重大人員傷亡和財(cái)產(chǎn)損失，江蘇救援隊(duì)伍緊急赴當(dāng)?shù)亻_展救報(bào)行動(dòng)．盡管日前人類還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過(guò)研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為lgEM．里氏8.0級(jí)地震所釋放出來(lái)的能量是里氏6.0級(jí)地震所釋放出來(lái)的能量的（）A．6倍 B．102倍 C．103倍 D．106倍【解答】解：lgE1＝4.8+1.5×8＝16.8，E1lgE2＝4.8+1.5×6＝13.8，E2=10故選：C．2．下棋可以鍛煉腦部，促進(jìn)腦細(xì)胞新陳代謝，鍛煉腦力發(fā)育，開發(fā)智力．圍棋擁有19×19的超大棋盤，成為狀態(tài)空間復(fù)雜度最高的棋類運(yùn)動(dòng)，其狀態(tài)空間復(fù)雜度上限M約為3361，而中國(guó)象棋的狀態(tài)空間復(fù)雜度上限N為1048，則下列各數(shù)中與MN最接近的是（）（lgA．10105 B．10125 C．10145 D．10165【解答】解：由題意可知，M≈3361，N≈1048，則lgM≈361lg3，lgN≈48，故lgMN=lgM故MN≈10故選：B．3．在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2-m1=52lgEA．10 C．lg D．10【解答】解：由題意得兩顆星的星等與亮度滿足m2令m2＝﹣1.45，m1＝﹣26.7，則lgE故選：A．4．分貝（dB）、奈培（Np）均可用來(lái)量化聲音的響度，其定義式分別為1dB=10lgAA0，1Np=12lnAA0，其中A為待測(cè)值，A0為基準(zhǔn)值．如果1dB＝tNp【解答】解：因?yàn)?dB=10lgAA0，1Np=12lnAA0所以10lgAA0=t×1所以t=20?lgx故選：A．5．碳﹣14是碳元素的一種同位素，具有放射性．活體生物其體內(nèi)的碳﹣14含量大致不變，當(dāng)生物死亡后，其組織內(nèi)的碳﹣14開始衰變并逐漸消失．已知碳﹣14的半衰期為5730年，即生物死亡t年后，碳﹣14所剩質(zhì)量C(t)=C0(12)t5730金1115年1234年元代1206年1368年明代1368年1644年清代1616年1911年A．金 B．元 C．明 D．清【解答】解：由題意知C0所以t5730所以t=5730×2-(lg3+5lg2)lg2，所以所以2023﹣343＝1680，故對(duì)應(yīng)死亡的朝代為清代．故選：D．【題型11】證明常見的對(duì)數(shù)恒等式1．已知b＞0，log5b＝a，lgb＝c，5d＝10，則下列等式一定成立的是（）A．d＝ac B．d＝a+c C．c＝ad D．a(chǎn)＝cd【解答】解：若b＝1，則a＝log5b＝0，c＝lgb＝0，d＝log510＞1，故d＝ac，d＝a+c不成立，即選項(xiàng)A，B不符合題意；若b＝5，則ad＝1×log510＞1，c＝lg5＜1，故選項(xiàng)C不符合題意；∵c＝lgb，d＝log510，∴cd＝lgb×log510＝log5b＝a，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．2．設(shè)x、y、z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【解答】解法一：x、y、z為正數(shù)，令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．則x=lgklg2，y=lgklg3，z=lgklg5．∴3y=lgk∵33=6∴l(xiāng)g33＞lg2＞lg55＞解法二：x、y、z為正數(shù)，令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．則x=lgklg2，y=lgklg3，z=lgklg5．∴5z2x=52×綜上可得：5z＞2x＞3y．故選：D．3．若3a+log3a＝9b+3log27b，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＞2b B．a(chǎn)＜2b C．a(chǎn)＞b2 D．a(chǎn)＜b2【解答】解：設(shè)f（x）＝3x+log3x（x＞0），則f（x）＝3x+log3x（x＞0）單調(diào)遞增，∵3a+log3a＝9b+3log27b＝32b+log3b，∴f（2b）＝32b+log32b＞32b+log3b＝3a+log3a＝f（a），∴a＜2b．故選：B．4．設(shè)a＝log0.3，b＝log20.3，則（）A．a(chǎn)+b＜ab＜0 B．a(chǎn)b＜a+b＜0 C．a(chǎn)+b＜0＜ab D．a(chǎn)b＜0＜a+b【解答】解：法一、∵a+bab=＝log（2×0.2）＝log∈（0，1），且a＝log∈（0，1），b＝log20.3＜0，∴ab＜0，可得a+b＜0，結(jié)合0＜a+bab＜1，可得ab＜a故選：B．法二、∵a＝log=lg0.3-lg5，b＝log2∴a+b=lg0.3ab=-lg0.3∵lg103＞lg52，lg0.3lg2lg5＜0故選：B．5．已知正數(shù)x，y，z，滿足3x＝4y＝6z，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．1x+12y=1z C．x+y＞(32+2)z 【解答】解：設(shè)3x＝4y＝6z＝t＞1，則x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t，則1x+12y=logt∵3x=log313t，4y∵（313）12＝34＝81，（414）12＝43＝64，（616）12∴313＞∴3x＜4y＜6z，故B錯(cuò)誤；x+yz=log3t+log4tlog6t=log∴x+y＞（32+2）zxyz2=log3t?log4tlog6=1=1∴xy＞2z2，故D正確．故選：B．當(dāng)堂檢測(cè)一．選擇題（共8小題）1．設(shè)alog34＝2，則4﹣a＝（）A．116 B．19 C．18【解答】解：因?yàn)閍log34＝2，則log34a＝2，則4a＝32＝9則4﹣a=1故選：B．2．已知2x＝3，log483=y，則x+2A．3 B．8 C．4 D．log48【解答】解：∵2x＝3，∴x＝log23＝log49．∴x+2y＝log49+2log483=log故選：A．3．化簡(jiǎn)（2log43+log83）（log32+log92）的值為（）A．1 B．2 C．4 D．6【解答】解：（2log43+log83）（log32+log92）＝（2lg3lg4+lg3＝（lg3lg2+lg33lg2）（lg2lg3+lg22lg3故選：B．4．根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080，則下列各數(shù)中與MN（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）A．1033 B．1053 C．1073 D．1093【解答】解：由題意：M≈3361，N≈1080，根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì)有：3＝10lg3≈10，∴M≈3361≈（10）361≈10173，∴MN≈1故選：D．5．已知2a＝5，log83＝b，則4a﹣3b＝（）A．25 B．5 C．259 D．【解答】解：由2a＝5，log83＝b，可得8b＝23b＝3，則4a﹣3b=4故選：C．6．已知4x＝3y＝m，且1x+2A．2 B．4 C．6 D．9【解答】解：因?yàn)?x＝3y＝m，則x＝log4m，y＝log3m，所以1x所以m2＝4×32＝36，又m＞0，所以m＝6．故選：C．7．已知log189＝a，18b＝5．則log3645等于（）A．a(chǎn)+b2+a B．a(chǎn)+b2-a C．a(chǎn)+b2a【解答】解：∵18b＝5，∴b=log185=lo∴l(xiāng)og故選：B．8．設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，且log2x＝log3y＝log5z＞0，則x2A．x2＜y3＜z5 B．【解答】解：x，y，z為正實(shí)數(shù)，且log2x＝log3y＝log5z＝k＞0，可得：x＝2k＞1，y＝3k＞1，z＝5k＞1．∴x2=2k﹣1，y3=3k﹣1，z①若0＜k＜1，則函數(shù)f（x）＝xk﹣1單調(diào)遞減，∴x2②若k＝1，則函數(shù)f（x）＝xk﹣1＝1，∴x2③若1＜k，則函數(shù)f（x）＝xk﹣1單調(diào)遞增，∴x2∴x2，y因此A，B，C，正確；D錯(cuò)誤．故選：D．二．多選題（共4小題）（多選）9．若10a＝4，10b＝25，則（）A．a(chǎn)+b＝2 B．b﹣a＝1 C．a(chǎn)b＞8lg22 D．b﹣a＜lg6【解答】解：∵10a＝4，10b＝25，∴a＝lg4，b＝lg25，∴a+b＝lg4+lg25＝lg100＝2，b﹣a＝lg25﹣lg4＝lg254＞ab＝2lg2×2lg5＝4lg2?lg5＞8lg22＝4lg2?lg4．故選：AC．（多選）10．下列各選項(xiàng)中，值為1的是（）A．log26?log62 B．log62+log64 C．(2+3)12?【解答】解：A．原式=lg6B．原式＝log68＞1，因此不正確；C．原式=(4-3)D．原式=2+故選：AC．（多選）11．若10a＝4，10b＝25，則（）A．a(chǎn)+b＝2 B．b﹣a＝1 C．a(chǎn)b＞8lg22 D．b﹣a＞lg6【解答】解：由10a＝4，10b＝25，得a＝lg4，b＝lg25，則a+b＝lg100＝2，b-a=lg254＞lg6，ab＝4lg2lg5＞4lg2lg4＝8故選：ACD．（多選）12．已知正數(shù)x，y，z滿足3x＝4y＝12z，則（）A．1x+1y=1z B．6z＜3x＜4y C．xy＜4z2【解答】解：由于正數(shù)x，y，z，滿足3x＝4y＝12z，設(shè)3x＝4y＝12z＝t，t＞1，則x＝log3t，y＝log4t，z＝log12t，對(duì)于A，∵1x=1log3t=logt3，同理∴1x+1y=logt3+logt4＝logt對(duì)于B，∵6z3x=6log12t3log3t=lg9lg12＜1，∴6z＜3x，∵對(duì)于C，∵xy﹣4z2＝log3t?log4t﹣4(log12t)2=lgtlg3?lgtlg4對(duì)于D，∵x+y﹣4z＝log3t+log4t﹣4log12t=lgtlg3+lgtlg4-4lgtlg12=lgt（1lg3+1lg4故選：ABD．三．填空題（共4小題）13．計(jì)算：log2【解答】解：lo=lg3=lg3＝2+（lg5）2+lg5lg2+lg5+2lg2﹣3＝﹣1+lg5（lg5+lg2）+lg5+2lg2＝﹣1+2lg5+2lg2＝﹣1+2＝1．14．已知a＞b＞1，若logab+logba=52，ab＝ba，則a＝4，b＝【解答】解：設(shè)t＝logba，由a＞b＞1知t＞1，代入logab+logba=52得即2t2﹣5t+2＝0，解得t＝2或t=1所以logba＝2，即a＝b2，因?yàn)閍b＝ba，所以b2b＝ba，則a＝2b＝b2，解得b＝2，a＝4，15．方程log2（9x﹣1﹣5）＝log2（3x﹣1﹣2）+2的解為x＝2．【解答】解：∵log2（9x﹣1﹣5）＝log2（3x﹣1﹣2）+2，∴l(xiāng)og2（9x﹣1﹣5）＝log2[4×（3x﹣1﹣2）]，∴9x﹣1﹣5＝4（3x﹣1﹣2），化為（3x）2﹣12?3x+27＝0，因式分解為：（3x﹣3）（3x﹣9）＝0，∴3x＝3，3x＝9，解得x＝1或2．經(jīng)過(guò)驗(yàn)證：x＝1不滿足條件，舍去．∴x＝2．16．已知f(x)=2x，(x≤1)lg(x-1)，(x＞1)，則f（【解答】解：∵已知f(x)=2x(x≤1)lg(x-1)(x＞1)，則f（1）＝21＝2，故f[f（1）]＝四．解答題（共6小題）17．計(jì)算（1）2log214-（827）-2（2）lg52+23lg8+lg5lg20+（lg【解答】解：（1）原式=1（2）原式＝2lg5+2lg2+lg5（2lg2+lg5）+（lg2）2＝2+（lg2+lg5）2＝3．18．求值：（1）532（2）log354﹣log32+log23?log34．【解答】解：（1）原式＝2+4+1+3（2）原式=log19．計(jì)算求值：（1）(21（2）lg5【解答】解：（1）(214)12-(-9.6)0+0.1（2）lg5+lg2+lg3+14lg9-lg3lg81-lg2720．計(jì)算下列各式的值：（1）27（2）log【解答】解：原式=3-1（2）解：原式=log21．（1）計(jì)算：(279)12+（2）設(shè)4a＝5b＝100，求2（1a【解答】解：（1）原式=(259)12+（lg（2）∵4a＝100，∴a＝log4100．同理可得，b＝log5100，則1a=1log4100=log100∴1a+2b=log1004+2log1005＝log100（4×5222．已知1＜a＜b＜c，且logab+logbc=12（1）若c＝a3，求logab的值；（2）求logab+logbc的最小值．【解答】解：（1）若c＝a3，則logab+logba3=1即logab+3logba=72，所以（logab）2-解得logab＝2或32（2）因1＜a＜b＜c，則lga＞0，lgb＞0，lgc＞0，由12+logac＝logab+logbc=lgb當(dāng)且僅當(dāng)lgblga令logac＝x，則x＞1，∴12+x≥2∴2x﹣4x+1≥0，∴x≥1+22，∴l(xiāng)ogab+logbc即logab+logbc的最小值為2+2課后作業(yè)一．選擇題（共8小題）1．當(dāng)0＜x≤12時(shí)，4x＜logax，則A．（0，22） B．（22，1） C．（1，2） D．（【解答】解：∵0＜x≤12時(shí)，1＜4x≤2,要使4x＜logax，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得0＜數(shù)形結(jié)合可知只需2＜logax，∴0＜a＜1logaa2＜loga∴0＜a＜1a2＞12故選：B．2．若xlog23＝1，則3x+9x的值為（）A．3 B．6 C．2 D．1【解答】解：由題意x=1所以3x=3所以9x＝4，所以3x+9x＝6故選：B．3．已知f（x）=12x(x≥4)f(x+1)(x＜4)A．124 B．-238 C．1【解答】解：∵f（x）=1∴f（log23）＝f（log23+1）＝f（log26）＝f（log26+1）＝f（log212）＝f（log212+1）＝f（log224）=1故選：A．4．某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：lg1.12＝0.05，lg1.3＝0.11，lg2＝0.30）A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年【解答】解：設(shè)第n年開始超過(guò)200萬(wàn)元，則130×（1+12%）n﹣2015＞200，化為：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，n﹣2015＞0.30-0.11取n＝2019．因此開始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是2019年．故選：B．5．已知3a＝2，那么log38﹣2log36用a表示是（）A．a(chǎn)﹣2 B．5a﹣2 C．3a﹣（1+a）2 D．3a﹣a2【解答】解：∵3a＝2，∴a=log∴l(xiāng)og38-2log36=3log32-故選：A．6．設(shè)a＝log30.4，b＝log23，則（）A．a(chǎn)b＞0且a+b＞0 B．a(chǎn)b＜0且a+b＞0 C．a(chǎn)b＞0且a+b＜0 D．a(chǎn)b＜0且a+b＜0【解答】解：∵13∴﹣1＜log30.4＜0；又log23＞1；即﹣1＜a＜0，b＞1；∴ab＜0，a+b＞0．故選：B．7．設(shè)a，b都為正數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若aea+1+b＜blnb，則（）A．a(chǎn)b＞e B．b＞ea+1 C．a(chǎn)b＜e D．b＜ea+1【解答】解：由已知aea+1＜b（lnb﹣1）=blnbe，則設(shè)f（x）＝xlnx，則f（ea）＜f（be∵a＞0，則ea＞1，又b（lnb﹣1）＞0，b＞0，則lnb＞1，即b＞e，從而be當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＝lnx+1＞0，則f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，∴ea＜be，即b＞故選：B．8．若2a＝3b＝6c，且abc≠0，則（）A．a(chǎn)c-ab=1 B．ba【解答】解：設(shè)2a＝3b＝6c＝k，則a＝log2k=lgklg2，b＝log3k=lgklg3，c＝logA，∵ac-aB，∵ba-bC，∵ac-bD，∵ab-b故選：A．二．多選題（