專題5恒成立問題與有解問題（學(xué)生版）

專題5恒成立問題與有解問題近年來,全國高考試題及高考模擬試題中出現(xiàn)了頗有新意、構(gòu)思精巧的函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)

范圍的綜合題,涉及知識(shí)面廣、綜合性強(qiáng),思維難度高,本文試圖從5個(gè)方面總結(jié)此類題型的解題方向和方法,有針對(duì)性突破解決此類問題的卡點(diǎn),提高學(xué)生分析和解決函數(shù)綜合問題的能力.近年來,全國高考試題及高考模擬試題中出現(xiàn)了頗有新意、構(gòu)思精巧的函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)

范圍的綜合題,涉及知識(shí)面廣、綜合性強(qiáng),思維難度高,本文試圖從5個(gè)方面總結(jié)此類題型的解題方向和方法,有針對(duì)性突破解決此類問題的卡點(diǎn),提高學(xué)生分析和解決函數(shù)綜合問題的能力.學(xué)生通常對(duì)最值法和切線放縮法較為熟悉；對(duì)于同構(gòu)法中常用的同構(gòu)形式不熟悉，加之給出的不等式本身較復(fù)雜，往往很難進(jìn)行同構(gòu)變形；對(duì)于必要性“探路”法即“凸凹”反轉(zhuǎn)法，對(duì)學(xué)生的思維要求高，解題時(shí)很難想到，但恒成立問題的解法不限于這5種，還可以利用數(shù)形結(jié)合等方法解決.本專題對(duì)5種方法進(jìn)行闡述，其中的必要性“探路”法及同構(gòu)法，在拓展專題中有更詳細(xì)的解釋，學(xué)生可根據(jù)自身的情況，選擇不同難度的題目進(jìn)行學(xué)習(xí).——合肥一中高級(jí)教師陳銀科探究1：函數(shù)最值法【典例剖析】例1.(2021·河南省焦作市期中)設(shè)函數(shù)f(x)=1a+bx(a,b>0)．

(1)若函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程是bx+4y-3=0，求實(shí)數(shù)a，b的值；

(2)在(1)的條件下，若2(x-k)f(x)≥lnx對(duì)于0<x≤1恒成立，求實(shí)數(shù)選題意圖:選題意圖:解決恒成立問題的方法中，常用的方法就是分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)求最值，研究不含參的函數(shù)的單調(diào)性求最值，可避免討論，思路清晰.思維引導(dǎo)：第一問利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出參數(shù)a,b的值，第二問分離參數(shù)k，構(gòu)造函數(shù)gx=x-12x+1【變式訓(xùn)練】練11(2022·江蘇省鎮(zhèn)江市聯(lián)考)已知不等式ax+2-2lnx≥0恒成立，則a的取值范圍為(

)A.(1e2,+∞) B.(練12(2022·江蘇省南京市模擬)對(duì)于任意的x>0，xe2x-ax-x≥1+lnx恒成立，則a的取值范圍是

【規(guī)律方法】對(duì)于含參不等式的恒成立問題，將不等式朝著有利于通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方向變形,整理成一側(cè)為常數(shù)的形式,根據(jù)題目的全稱量詞或存在量詞，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值與常數(shù)的關(guān)系,這是處理不等式問題的通法.探究2：切線放縮法【典例剖析】例2.(2022·江蘇省揚(yáng)州市聯(lián)考)當(dāng)x>0時(shí)，不等式x2ex≤mx+2lnx+1有解，則實(shí)數(shù)A.[1,+∞) B.[1e,+∞) C.[2選題意圖選題意圖：將一條曲線近似用某點(diǎn)的切線來代替，稱為切線放縮，充分體現(xiàn)了“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想，利用常見的切線不等式，能快速實(shí)現(xiàn)解題,但要注意解答題中使用常見的切線不等式時(shí)，需要先證明再利用.思維引導(dǎo)：對(duì)不等式進(jìn)行分離參數(shù)，再利用ex≥x+1進(jìn)行【變式訓(xùn)練】練21(2022·遼寧省大連市模擬)若ex+1-lnx+2kx-k≥0對(duì)任意x>0練22(2021·江蘇省常州市質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=aex-x2(a∈R)(其中e≈2.71828為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求證：函數(shù)f(x)圖象上任意一點(diǎn)處的切線斜率均大于12；

(2)若【規(guī)律方法】一些含參不等式中,將指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)綜合起來考查,尤其是與ex,lnx有關(guān)的超越函數(shù)問題,若直接求導(dǎo)找零點(diǎn)(多數(shù)情況下是隱零點(diǎn)),過程往往復(fù)雜繁瑣,此時(shí)若能巧妙運(yùn)用一些“切線不等式”進(jìn)行放縮,將復(fù)雜的超越函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)(以直代曲),常?？梢云鸬交睘楹啞⒒y為易的效果.牢記兩個(gè)重要的“切線不等式”:ex≥x+1(x∈R,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立)；lnx≤x-1(x∈R,當(dāng)且僅當(dāng)探究3：必要性“探路”法【典例剖析】例3.(2022·青海省西寧市一模)已知函數(shù)fx=axcos(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=fx在x=π(2)若不等式fx≥0對(duì)任意x≥0恒成立，求實(shí)數(shù)選題意圖選題意圖：必要性“探路”，通過取定義域內(nèi)的某個(gè)特殊的值或幾個(gè)特殊的值，得到一個(gè)必要條件，初步獲得參數(shù)的范圍，再在該范圍內(nèi)討論或驗(yàn)證其充分性.但要注意必要性探路法求出的參數(shù)并不一定是所求的實(shí)際范圍，但在一定程度上減少分類討論的類別.思維引導(dǎo)：第二問在給定的區(qū)間0，+∞上取x=π2，則利用fπ2≥0縮小參數(shù)a的【變式訓(xùn)練】練31(2022·江蘇省聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=(x-a-1)(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)令λ(x)=f(x)-(x-a-1)ex-1+ex練32(2022·廣東省模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=acosx-(x-π2)sinx,x∈[0,π2]．

(1)當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的值域；

【規(guī)律方法】對(duì)一類函數(shù)不等式恒成立問題,可以通過取函數(shù)定義域中某個(gè)數(shù),縮小參數(shù)的討論范圍,獲得初步的參數(shù)范圍,之后在此范圍內(nèi)繼續(xù)討論進(jìn)而解決問題.在這個(gè)定義中,“取函數(shù)定義域中的某一個(gè)數(shù)”相當(dāng)于尋找一個(gè)能使題意成立的必要條件,而題目本身要尋求的參數(shù)的取值范圍(或最值)相當(dāng)于是使題意成立的充分必要條件.因此,在找到必要條件的基礎(chǔ)上,只需要證明這個(gè)條件反過來能推出題意,即證明這個(gè)條件也是滿足題意的充分條件.這樣,充分性和必要性都成立,那么所求出的范圍必然是題目所尋求的參數(shù)的準(zhǔn)確取值范圍,這便是必要性“探路”法.探究4：同構(gòu)法【典例剖析】例4.(2022·安徽省蚌埠市聯(lián)考)已知不等式ex+alnx≥xa+x對(duì)任意x∈選題意圖選題意圖：同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)是高中數(shù)學(xué)解題的一種常見方法，看清題中函數(shù)結(jié)構(gòu)或等式、不等式兩側(cè)的共性，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性解題.思維引導(dǎo)：題干中的不等式含有“指數(shù)函數(shù)”和“對(duì)數(shù)函數(shù)”，容易聯(lián)想到同構(gòu)法.將不等式變形為ex-x≥ealnx-alnx,構(gòu)造函數(shù)fu=eu【變式訓(xùn)練】練41(2022·廣東省深圳市模擬)已知a>0，若對(duì)任意的x∈12,+∞，不等式12eax-A.2e,+∞ B.1e,+∞ C.[1,+∞)練42(2022·江蘇省南通市聯(lián)考)對(duì)任意x∈(0,103)，不等式em2-mx+1>【規(guī)律方法】有些題中的不等式經(jīng)適當(dāng)整理變形后,可以表示成兩側(cè)結(jié)構(gòu)相同的形式,如Fx≥0等價(jià)變形為f(g(x))≥f(h(x)),利用這個(gè)結(jié)構(gòu)式構(gòu)造對(duì)應(yīng)函數(shù)f(x),進(jìn)而利用所構(gòu)造函數(shù)f(x)xex=elnx+x,探究5：“凸凹”反轉(zhuǎn)法【典例剖析】例5.(2022·湖北省模擬)若關(guān)于x不等式xlnx-x3+x2A.[e,+∞) B.[0,+∞) C.[1e,+∞) 選題意圖選題意圖：“凸凹”反轉(zhuǎn)法是破解含參不等式恒成立問題的重要方法，將復(fù)雜的不等式問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)結(jié)構(gòu)“簡單”的函數(shù)比最值，但要注意，兩個(gè)函數(shù)在同一點(diǎn)處取最值.思維引導(dǎo)：題干中的不等式含有ex、lnx、x3且項(xiàng)數(shù)較多，嘗試構(gòu)造兩個(gè)結(jié)構(gòu)常見的函數(shù)fx=lnx-x2+x（lnx+二次【變式訓(xùn)練】練51(2021·湖南省模擬)函數(shù)f(x)=ex-xlnx+12ax3-(a-1)練52(2021·廣東省陽江市模擬)已知函數(shù)f(x)=exxlnx+2e(1)求函數(shù)f(x)