第2課時切線的性質(zhì)與判定

九年級上冊數(shù)學(xué)《第二十四章圓》24.2點和圓、直線和圓的位置關(guān)系24.第2課時切線的性質(zhì)與判定知識點一知識點一圓的切線的判定定理◆1、切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.◆2、幾何語言表示：（如右圖）∵OA為☉O的半徑，BC⊥OA于A，∴直線l是☉O的切線◆3、判斷一條直線是一個圓的切線有三個方法：（1）定義法：（如圖1）直線和圓只有一個公共點時，我們說這條直線是圓的切線；（2）數(shù)量關(guān)系法：（如圖2）圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時，直線與圓相切；（3）判定定理：（如圖3）經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.◆4、常見證切線作輔助線的方法：（1）有交點，連半徑，證垂直；（2）無交點，作垂直，證相等(證明d=r).知識點二知識點二圓的切線的性質(zhì)定理◆1、切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．◆2、幾何語言表示：∵直線l是☉O的切線，A是切點，∴直線l⊥OA.題型題型一切線的判定連半徑證垂直【例題1】（2023春?保德縣校級期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O，與BC交于點D，過D作AC的垂線，垂足為E．求證：DE是⊙O切線．?【分析】連接OD，由于∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，那么∠BAC＝∠BOD，可得OD∥AC，而DE⊥AC，易證∠ODB＝90°，從而可證DE是⊙O切線．【解答】證明：連接OD，∵∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，∴∠BAC＝∠BOD，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ODE＝∠AED＝90°，∴半徑OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線．【點評】本題考查了等腰三角形三線合一定理、平行線的判定和性質(zhì)、圓周角定理、切線的判定．解題的關(guān)鍵是連接OD、AD，并證明OD∥AC．解題技巧提煉【變式11】（2022秋?黃埔區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD⊥CD，垂足為D，AC平分∠DAB．求證：DC為⊙O的切線．【分析】由于C是⊙O上一點，連接OC，證OC⊥CD即可；利用角平分線的性質(zhì)和等邊對等角，可證得∠OCA＝∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得證．【解答】證明：如圖，連接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAC，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∵C在⊙O上，∴CD是⊙O的切線．【點評】本題主要考查的是切線的判定方法．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．【變式12】（2022秋?海淀區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD＝90°，AC是對角線．點E在BC的延長線上，且∠CED＝∠BAC．判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．【分析】先根據(jù)圓周角定理證明BD是⊙O的直徑，得∠BCD＝90°，再由三角形外角的性質(zhì)和圓周角定理可得∠BDE＝90°，可得DE是⊙O的切線．【解答】解：相切．理由是：連接BD，如圖，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直徑，即點O在BD上．∴∠BCD＝90°．∴∠CED+∠CDE＝90°．∵∠CED＝∠BAC．又∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，即∠BDE＝90°．∴DE⊥OD于點D．∴DE是⊙O的切線．【點評】此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓周角定理，垂徑定理，切線的判定，熟練掌握切線的判定定理是解本題的關(guān)鍵．【變式13】（2023?義烏市模擬）如圖，⊙O的直徑AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于點D，D是BC的中點．（1）求BC的長；（2）過點D作DE⊥AC，垂足為E，求證：直線DE是⊙O的切線．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理求得∠ADB＝90°，然后解直角三角形即可求得BD，進(jìn)而求得BC即可；（2）要證明直線DE是⊙O的切線只要證明∠EDO＝90°即可．【解答】解：（1）連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，又∵∠ABC＝30°，AB＝4，∴BD＝23，∵D是BC的中點，∴BC＝2BD＝43；（2）連接OD．∵D是BC的中點，O是AB的中點，∴DO是△ABC的中位線，∴OD∥AC，則∠EDO＝∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∠EDO＝∠CED＝90°∴DE是⊙O的切線．【點評】此題主要考查了切線的判定以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．解題時要注意連接過切點的半徑是圓中的常見輔助線．【變式14】（2022?昭平縣一模）如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．（1）求AB的長；（2）若C是OP的中點，求證：PB是⊙O的切線．【分析】（1）連接OA、OB，根據(jù)圓周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝60°，則∠OAD＝30°，所以O(shè)D=12OA＝1，AD=3OD=3，再根據(jù)垂徑定理得AD＝BD，所以AB（2）由（1）∠BOC＝60°，則△OCB為等邊三角形，所以BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，而CP＝CO＝CB，則∠CBP＝∠P，可計算出∠CBP＝30°，所以∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，于是根據(jù)切線的判定定理得PB是⊙O的切線．【解答】（1）解：連接OA、OB，如圖，∵∠ABC＝30°，OP⊥AB，∴∠AOC＝60°，∴∠OAD＝30°，∴OD=12OA=12∴AD=3OD=又∵OP⊥AB，∴AD＝BD，∴AB＝23；（2）證明：由（1）∠BOC＝60°，而OC＝OB，∴△OCB為等邊三角形，∴BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，∴C是OP的中點，∴CP＝CO＝CB，∴∠CBP＝∠P，而∠OCB＝∠CBP+∠P，∴∠CBP＝30°∴∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，∴OB⊥BP，∴PB是⊙O的切線．【點評】本題考次了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了垂徑定理、圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．【變式15】（2023?嵐山區(qū)開學(xué)）如圖，已知△ABC中，AC＝BC，AD是△ABC外接圓⊙O的直徑，過點C作BD的垂線交BD的延長線于點E，連接CD．求證：（1）CD平分∠ADE；（2）CE是⊙O的切線．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAB＝∠ABC，等量代換得到∠ADC＝∠CDE，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論；（2）連接OC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠DCE+∠CDE＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCD＝∠ODC，求得∠OCE＝90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠ABC，∵∠CDE＝∠CAB，∠ADC＝∠ABC，∴∠ADC＝∠CDE，∴CD平分∠ADE；（2）連接OC，∵CE⊥BE，∴∠E＝90°，∴∠DCE+∠CDE＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠ODC＝∠CDE，∴∠OCD＝∠CDE，∴∠OCD+∠DCE＝90°，∴∠OCE＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴CE是⊙O的切線．【點評】本題考查了切線的判定，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．題型二切線的判定題型二切線的判定作半徑證垂直【例題2】（2022?椒江區(qū)一模）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，腰AB與⊙O相切于點D．求證：AC是⊙O的切線．【分析】過點O作OE⊥AC于點E，連接OD，OA，根據(jù)切線的性質(zhì)得出AB⊥OD，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AO是∠BAC的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出OE＝OD，從而證得結(jié)論．【解答】證明：過點O作OE⊥AC于點E，連接OD，OA，∵AB與⊙O相切于點D，∴AB⊥OD，∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，∴AO是∠BAC的平分線，∴OE＝OD，即OE是⊙O的半徑，∵圓心到直線的距離等于半徑，∴AC是⊙O的切線．【點評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉直線與圓沒有已知的公共點時，通?！白鞔怪?，證半徑，得切線”.證明垂線段的長等于半徑常用的方法是利用角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.【變式21】如圖，O為正方形ABCD對角線AC上O與BC相切于點M．求證：CD與⊙O相切．【分析】利用正方形的性質(zhì)得出AC平分角∠BCD，再利用角平分線的性質(zhì)得出OM＝ON，即可得出答案．【解答】證明：如圖所示，連接OM，過點O作ON⊥CD于點N，∵⊙O與BC相切于點M，∴OM⊥BC，又∵ON⊥CD，O為正方形ABCD對角線AC上一點，∴OM＝ON，∴ON為⊙O的半徑，∴CD與⊙O相切．【點評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，得出OM＝ON是解題關(guān)鍵．【變式22】HYPERLINK如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BO為△ABC的角平分線，以點O為圓心，OC為半徑作⊙O與線段AC交于點D．求證：AB為⊙O的切線；【分析】過O作OH⊥AB于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OH=OC，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；【解答】

（1）證明：過O作OH⊥AB于H，

∵∠ACB=90°，

∴OC⊥BC，

∵BO為△ABC的角平分線，OH⊥AB，

∴OH=OC，

即OH為⊙O的半徑，

∵OH⊥AB，

∴AB為⊙O的切線；【點評】本題考查了平行的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式23】（2022?武漢模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分線交BC于點D，E為AB上的一點，DE＝DC，以D為圓心，DB長為半徑作⊙D，AB＝5，EB＝3．（1）求證：AC是⊙D的切線；（2）求線段AC的長．【分析】（1）過點D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半徑，得出AC是⊙D的切線．（2）先證明△BDE≌△DCF（HL），根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等及切線的性質(zhì)的AB＝AF，得出AB+EB＝AC．【解答】證明：（1）過點D作DF⊥AC于F；∵AB為⊙D的切線，∴∠B＝90°∴AB⊥BC∵AD平分∠BAC，DF⊥AC∴BD＝DF∴AC與⊙D相切；（2）在△BDE和△DCF中；∵BD＝DF，DE＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴EB＝FC．∵AB＝AF，∴AB+EB＝AF+FC，即AB+EB＝AC，∴AC＝5+3＝8．【點評】本題考查的是切線的判定、角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握切線的判定方法，證明三角形全等得出EB=FC是解決問題（2）的關(guān)鍵．【變式24】如圖，OC平分∠AOB，D是OC上任意一點，⊙D和OA相切于點E，連接CE．（1）求證：OB與⊙D相切；（2）若OE＝4，⊙D的半徑為3，求CE的長．【分析】（1）過點D作DF⊥OB于點F，先由切線的性質(zhì)得DE⊥OA，則由角平分線的性質(zhì)得DF＝DE，即可證得結(jié)論；（2）過E作EG⊥OD于G，先由勾股定理求出OD＝5，再由面積法求出EG=125，然后由勾股定理求出DG=9【解答】（1）證明：連接DE，過點D作DF⊥OB于點F，如圖所示：∵⊙D與OA相切于點E，∴DE⊥OA，∵OC平分∠AOB，∴DF＝DE，又∵DF⊥OB，∴OB與⊙D相切；（2）解：過E作EG⊥OD于G，如圖所示：由（1）得：DE⊥OA，∴∠OED＝90°，∵OE＝4，DE＝3，∴OD=32∵EG⊥OD，∴12OD×EG=12OE∴EG=OE×DE∴DG=D∴CG＝CD+DG＝3+9∴CE=E【點評】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、勾股定理以及角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線．題型三切線判定多結(jié)論問題題型三切線判定多結(jié)論問題【例題3】（2022秋?青山湖區(qū)期末）如圖所示，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點于D，DE⊥AC于E，連接AD，則下列結(jié)論：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由直徑所對的圓周角是直角，即可判斷出選項①正確；由O為AB中點，得到AO為AB的一半，故AO為AC的一半，選項③正確；由OD為三角形ABC的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理得到OD與AC平行，由AC與DE垂直得到OD與DE垂直，即∠ODE為90°，故DE為圓O的切線，選項④正確．【解答】解：∵AB是⊙O直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，選項①正確；連接OD，如圖，∵D為BC中點，O為AB中點，∴DO為△ABC的中位線，∴OD∥AC，又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE為圓O的切線，選項④正確；又OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠EDA＝∠BDO，∴∠EDA＝∠B，選項②正確；由D為BC中點，且AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴AC＝AB，又OA=12∴OA=12AC，選項則正確結(jié)論的個數(shù)為4個．故選：D．【點評】此題考查了切線的判定，及三角形的中位線定理．證明切線時連接OD是解這類題經(jīng)常連接的輔助線．解題技巧提煉本題考查的是垂徑定理，有時需要根據(jù)題意作出輔助線，利用垂徑定理求解是解答此題的關(guān)鍵．【變式31】如圖，在⊙O中，E是半徑OA上一點，射線EF⊥OA，交圓于B，P為EB上任一點，射線AP交圓于C，D為射線BF上一點，且DC＝DP，下列結(jié)論：①CD為⊙O的切線；②PA＞PC；③∠CDP＝2∠A，其中正確的結(jié)論有（）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【分析】根據(jù)已知及切線的判定等對各個結(jié)論進(jìn)行分析，從而得到答案．【解答】解：∵DC＝DP，∴∠DPC＝∠DCP，∵∠DPC＝∠APE，∴∠DCP＝∠APE，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA；∵∠OAC+∠APE＝90°，∴∠OCA+∠DCP＝90°，∴CD為⊙O的切線（①正確）；②不一定；連接CO，∵CD是⊙O的切線，∴∠DCP=12∠∵∠DCP=12∠AOC=12（180又∵∠DCP=12（180°﹣∠∴180°﹣2∠A＝180°﹣∠CDP，∴∠CDP＝2∠A，③正確．故選：B．【點評】本題主要考查了切線的判定的理解及運用．【變式32】如圖，AB是⊙O的直徑，線段BC與⊙O的交點D是BC的中點，DE⊥AC于點E，連接AD，①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)圓周角定理和切線的判定，采用排除法，逐條分析判斷．【解答】解：∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，故①正確；連接DO，∵點D是BC的中點，∴CD＝BD，又∵∠ADC＝∠ADB＝90°，AD＝AD，∴△ACD≌△ABD（SAS），∴AC＝AB，∠C＝∠B，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是圓O的切線，故④正確；∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠EDA＝∠ODB，∵∠ODB＝∠B，∴∠EDA＝∠B，選項②正確；由D為BC中點，且AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴AC＝AB，又OA=12∴OA=12AC，選項故選：D．【點評】此題考查了切線的判定，證明切線時連接OD是解這類題經(jīng)常連接的輔助線．【變式33】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝25°，∠C＝90°，∠ADC＝115°，O為AB的中點，以點O為圓心、AO長為半徑作圓，恰好使得點D在⊙O上，連接OD，若∠EAD＝25°，下列說法中不正確的是（）A．D是劣弧BE的中點 B．CD是⊙O的切線 C．AE∥OD D．∠OBC＝120°【分析】證出∠BAD＝∠EAD，由圓周角定理得出BD=ED，得出選項A正確；由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADO＝∠BAD＝25°，求出∠ODC＝∠ADC﹣∠ADO＝90°，得出CD⊥OD，證出CD是⊙O的切線，選項B正確；由圓周角定理得出∠BOD＝2∠BAD＝50°，證出∠BOD＝∠BAE，得出AE∥OD，選項C正確；由已知條件得出∠OBC＝130°，得出選項【解答】解：∵∠BAD＝25°，∠EAD＝25°，∴∠BAD＝∠EAD，∴BD=∴D是BE的中點，選項A正確；∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠BAD＝25°，∴∠ODC＝∠ADC﹣∠ADO＝115°﹣25°＝90°，∴CD⊥OD，∴CD是⊙O的切線，選項B正確；∵∠BOD＝2∠BAD＝50°，∠BAE＝25°+25°＝50°，∴∠BOD＝∠BAE，∴AE∥OD，選項C正確；∵∠C＝90°，∴∠OBC＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°≠120°，選項D不正確；故選：D．【點評】本題考查了切線的判定、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定；熟練掌握圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式34】如圖，矩形ABCD中，G是BC的中點，過A、D、G三點的圓O與邊AB、CD分別交于點E、點F，給出下列說法：（1）AC與BD的交點是圓O的圓心；（2）AF與DE的交點是圓O的圓心；（3）BC與圓O相切，其中正確說法的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】連接DG、AG，作GH⊥AD于H，連接OD，如圖，先確定AG＝DG，則GH垂直平分AD，則可判斷點O在HG上，再根據(jù)HG⊥BC可判定BC與圓O相切；接著利用OG＝OD可判斷圓心O不是AC與BD的交點；然后根據(jù)四邊形AEFD為⊙O的內(nèi)接矩形可判斷AF與DE的交點是圓O的圓心．【解答】解：連接DG、AG，作GH⊥AD于H，連接OD，如圖，∵G是BC的中點，∴AG＝DG，∴GH垂直平分AD，∴點O在HG上，∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC與圓O相切；∵OG＝OD，∴點O不是HG的中點，∴圓心O不是AC與BD的交點；∵∠ADF＝∠DAE＝90°，∴∠AEF＝90°，∴四邊形AEFD為⊙O的內(nèi)接矩形，∴AF與DE的交點是圓O的圓心；∴（1）錯誤，（2）（3）正確．故選：C．【點評】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了矩形的性質(zhì)和三角形外心．【變式35】點D在線段AB上運動，點E與點D關(guān)于BC對稱，DF⊥DE于點D，并交EC的延長線于點F，下列結(jié)論：①CE＝CF；②∠E＝30°；③線段EF的最小值為23；④當(dāng)AD＝2時，EF與半圓相切．其中正確結(jié)論的序號是．【分析】①由點E與點D關(guān)于AC對稱可得CE＝CD，再根據(jù)DF⊥DE即可證到CE＝CF，從而判斷正誤；②由對稱性質(zhì)得BC⊥DE，∠BCD＝∠BCE，當(dāng)∠BCD≠60°時，∠E≠30°，從而判斷正誤；③根據(jù)“點到直線之間，垂線段最短”可得CD⊥AB時CD最小，由于EF＝2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值，從而判斷正誤；④連接OC，易證△AOC是等邊三角形，AD＝OD，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可求出∠ACD，進(jìn)而可求出∠ECO＝90°，從而得到EF與半圓相切，從而判斷正誤．【解答】解：①連接CD，∵點E與點D關(guān)于AC對稱，∴CE＝CD．∴∠E＝∠CDE．∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°．∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°．∴∠F＝∠CDF．∴CD＝CF．∴CE＝CD＝CF．故①的結(jié)論正確；②∵點E與點D關(guān)于AC對稱，∴DE⊥BC，∠BCD＝∠BCE，當(dāng)∠BCD≠60°時，∠E≠30°，故②的結(jié)論錯誤；③當(dāng)CD⊥AB時，∵AB是半圓的直徑，∴∠ACB＝90°．∵AB＝8，∠CBA＝30°，∴∠CAB＝60°，AC＝4，BC＝43．∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，∴CD=12BC＝2根據(jù)“點到直線之間，垂線段最短”可得點D在線段AB上運動時，CD的最小值為23．∵CE＝CD＝CF，∴EF＝2CD．∴線段EF的最小值為43．故③的結(jié)論錯誤；③當(dāng)AD＝2時，連接OC，∵OA＝OC，∠CAB＝60°，∴△OAC是等邊三角形．∴CA＝CO，∠ACO＝60°．∵AO＝4，AD＝2，∴DO＝2．∴AD＝DO．∴∠ACD＝∠OCD＝30°，∴∠BCO＝30°，∵點E與點D關(guān)于AC對稱，∴∠ECB＝∠DCB＝60°．∴∠ECO＝90°．∴OC⊥EF．∵EF經(jīng)過半徑OC的外端，且OC⊥EF，∴EF與半圓相切．故④的結(jié)論正確；故答案為：①④．【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、軸對稱的性質(zhì)、垂線段最短等知識，關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行分析．【變式36】（2023?花都區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ACD+∠BCD＝180°，連接OD，過點D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為點E、點F，則下列結(jié)論正確的是．①∠AOD＝2∠BAD；②∠DAC＝∠BAC；③DF與⊙O相切；④若AE＝4，EC＝1，則BC＝3．【分析】根據(jù)已知條件得出∠ACD＝∠FCD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形得出∠FCD＝∠DAB，進(jìn)而得出∠ACD＝∠DAB，根據(jù)圓周角定理即可判斷①，不能確定DC=BC，即可判斷②，證明△AOB≌△BOD得出∠ADO＝∠BDO，根據(jù)三線合一得出DO⊥AB，進(jìn)而根據(jù)AC是直徑，得出AB⊥BC，結(jié)合已知條件即可判斷③，證明△DEC≌△DFC，Rt△ADE≌Rt△BDF，得出DE＝DF，BF＝【解答】解：如圖，連接DB，∵∠ACD+∠BCD＝180°，∠ACD+∠ACB+∠DCF＝180°，∴∠BCD＝∠ACB+∠DCF，∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD，∴∠ACD＝∠FCD，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠FCD＝∠DAB，∴∠ACD＝∠DAB，∴AD=∴∠ABD＝∠BAD，∠AOD＝2∠ABD，∴∠AOD＝2∠BAD，故①正確，∵不能確定DC=∴∠DAC＝∠BAC不一定成立，故②錯誤，如圖，連接BO，∵AD=∴AD＝DB，在△AOD和△BOD中，AO=BODO=DO∴△AOD≌△BOD（SSS），∴∠ADO＝∠BDO，∴DO⊥AB，∵AC是直徑，∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC，∵DF⊥BC，∴DF∥AB，∴DF⊥OD，∴DF與⊙O相切，故③正確，∵∠DCE＝∠DCF，∠DEC＝∠DFC，DC＝DC，∴△DEC≌△DFC（AAS），∴DE＝DF，CF＝CE，在Rt△ADE和Rt△BDF中，AD＝DB，DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），∴BF＝AE，∵AE＝4，EC＝1，∴BC＝BF﹣CF＝4﹣1＝3，故④正確．故答案為：①③④．【點評】本題考查了圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，切線的判定，熟練掌握以上性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型四題型四利用切線的性質(zhì)求角度【例題4】（2023?通榆縣模擬）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BC為弦，CD為切線，連接OC．若∠BCD＝48°則∠AOC的度數(shù)為（）?A．42° B．48° C．84° D．106°【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OCD＝90°，進(jìn)而得出∠OCB＝40°，再利用圓心角等于圓周角的2倍解答即可．【解答】解：在⊙O中，AB為直徑，BC為弦，CD為切線，∴∠OCD＝90°，∵∠BCD＝48°，∴∠OCB＝42°，∴∠AOC＝84°，故選：C．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑，切線的性質(zhì)：切線垂直于過切點的半徑．解題技巧提煉已知切線，通常需連接過切點的半徑，利用切線的性質(zhì)可得到直角，然后結(jié)合圓周角定理及其推論，找到要求的角與已知角之間的聯(lián)系，從而求出角度.【變式41】（2023?李滄區(qū)三模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O外一點，過點C作⊙O的切線，切點為B，連接AC交⊙O于D，∠C＝38°．點E在AB右側(cè)的半圓上運動（不與A、B重合），則∠AED的大小是（）A．62° B．52° C．38° D．28°【分析】首先連接BD，由AB為⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，根據(jù)圓周角定理與切線的性質(zhì)，可得∠ADB＝90°，AB⊥BC，又由同角的余角相等，易證得∠AED＝∠ABD＝∠C．【解答】解：如圖，連接BD，∵AB為⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，∴∠ADB＝90°，AB⊥BC，∴∠C+∠BAC＝∠BAC+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C，∵∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠C＝38°，故選：C．【點評】此題考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式42】（2022秋?棲霞市期末）如圖，OA交⊙O于點B，AC切⊙O于點C，D點在⊙O上．若∠D＝25°，則∠A為（）A．25° B．40° C．50° D．65°【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCA＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠A．【解答】解：∵∠D＝25°，∴∠AOC＝2∠D＝2×25°＝50°，∵AC切⊙O于點C，∴OC⊥AC∴∠OCA＝90°∴∠A＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，故B正確．故選：B．【點評】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓心與切點的連線垂直切線．【變式43】（2023?安岳縣二模）如圖，AB、CD是⊙O的兩條直徑，EA切⊙O于點A，交CD的延長線于點E．若∠ABC＝75°，則∠E的度數(shù)為．【分析】連接BC、AD，則∠ADC＝∠ABC＝75°，由OA＝OD，得∠OAD＝∠ADC＝75°，則∠AOE＝30°，由切線的性質(zhì)得∠OAE＝90°，則∠E＝90°﹣∠AOE＝60°，于是得到問題的答案．【解答】解：連接BC、AD，則∠ADC＝∠ABC＝75°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADC＝75°，∴∠AOE＝180°﹣∠OAD﹣∠ADC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∵EA切⊙O于點A，∴EA⊥OA，∴∠OAE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠AOE＝90°﹣30°＝60°，故答案為：60°．【點評】此題重點考查圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、切線的性質(zhì)定量、直角三角形的兩個內(nèi)角互余等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式44】（2023?青島二模）如圖，⊙O與△ABO的邊AB相切，切點為B，將△ABO繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'BO'，使點O'落在⊙O上，邊A'B交線段AO于點C，若∠A＝25°，則∠OCB為（）A．85° B．° C．88° D．90°【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBA＝90°，連接OO′，如圖，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，BO＝BO′，則判斷△OO′B為等邊三角形得到∠OBO′＝60°，所以∠ABA′＝60°，然后利用三角形外角性質(zhì)計算∠OCB．【解答】解：∵⊙O與△OAB的邊AB相切，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，連接OO′，如圖，∵△OAB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△O′A′B，∴∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，BO＝BO′，∵OB＝OO′，∴△OO′B為等邊三角形，∴∠OBO′＝60°，∴∠ABA′＝60°，∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝25°+60°＝85°．故選：A．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【變式45】（2023?臨高縣校級三模）如圖，在⊙O中，AB是直徑，弦CD垂直AB于點P，過點D作⊙O的切線，與AB的延長線相交于點E．若∠ABC＝63°，則∠E等于°．【分析】連接OD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠PCB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ODE＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算，得到答案．【解答】解：連接OD，∵弦AB⊥CD，∴∠CPB＝90°．∵∠ABC＝63°，∴∠PCB＝90°﹣63°＝27°，由圓周角定理得，∠EOD＝2∠PCB＝54°，∵DE是⊙O的切線，∴∠ODE＝90°，∴∠E＝90°﹣54°＝36°；故答案為：36．【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．【變式46】（2023?臨汾模擬）如圖，已知點D是以AB為直徑的⊙O上一點，過點D作⊙O的切線，交BA的延長線于點C，BE與⊙O相切，交直線CD于點E．（1）判斷BE與DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若∠C＝20°，求∠EBD的度數(shù)．【分析】（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OBE＝∠ODE＝90°，從而可得∠OBD+∠EBD＝90°，∠ODB+∠EDB＝90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠OBD＝∠ODB，然后利用等角的余角相等可得∠EBD＝∠EDB，再根據(jù)等角對等邊可得EB＝ED；（2）先根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余可得∠E＝70°，然后利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計算，即可解答．【解答】解：（1）BE＝DE，理由：連接OD，∵BE與⊙O相切于點B，CD與⊙O相切于點D，∴∠OBE＝∠ODE＝90°，∴∠OBD+∠EBD＝90°，∠ODB+∠EDB＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠EBD＝∠EDB，∴EB＝ED；（2）∵∠EBC＝90°，∠C＝20°，∴∠E＝90°﹣∠C＝70°，∵EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB=180°-∠E2∴∠EBD的度數(shù)為55°．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．題型五題型五利用切線的性質(zhì)求線段長【例題5】（2023?開州區(qū)校級模擬）如圖，BC與⊙O相切于點C，線段BO交⊙O于點A，過點A作⊙O的切線交BC于點D．若CD＝3，AB＝4，則⊙O的半徑等于（）?A．4 B．5 C．6 D．12【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到AD＝CD＝3，∠BCO＝∠BAD＝90°，根據(jù)勾股定理得到BD=AB2+AD2【解答】解：∵DA，CD是⊙O的切線，∴AD＝CD＝3，∠BCO＝∠BAD＝90°，∵AB＝4，∴BD=AB∴BC＝8，∵OC2+BC2＝OB2，∴OA2+82＝（OA+4）2，解得OA＝6，∴⊙O的半徑等于6，故選：C．【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、切線長定理、勾股定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉利用切線的性質(zhì)求線段長度時，通常利用切線的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形，抓住題目中的已知條件，在直角三角形中利用勾股定理找出等量關(guān)系求解.當(dāng)題目中含有特殊角時，可以含30°或45°的直角三角形的性質(zhì)求解.【變式51】（2023?海南模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，PB是⊙O的切線，PA交⊙O于點C，AB＝3，PB＝4，則BC＝．【分析】先根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABP＝90°，則利用勾股定理可計算出AP，然后利用面積法計算BC的長．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵PB是⊙O的切線，∴AB⊥PB，∴∠ABP＝90°，在Rt△ABP中，∵AB＝3，PB＝4，∴AP=32∵12BC?AP=12AB∴BC=3×4故答案為：125【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了垂徑定理、圓周角定理．【變式52】（2023?遵義一模）如圖，AB是半圓O的直徑，點P為BA延長線上一點，PC是⊙O的切線，切點為C，過點B作BD⊥PC交PC的延長線于點D，連接BC．若CD＝2，BD＝4，則⊙O的半徑為（）A．3 B．2 C． D．25【分析】連接OC，作OI⊥BD于點I，由PC與⊙O相切于點C，得PC⊥OC，而BD⊥PC交PC的延長線于點D，則∠OCD＝∠CDI＝∠OID＝90°，所以四邊形OCDI是矩形，則OE＝CD＝2，ID＝OC＝OB，由BI2+OI2＝OB2，BI＝4﹣ID＝4﹣OB，得（4﹣OB）2+22＝OB2，求得OB＝，于是得到問題的答案．【解答】解：∵連接OC，作OI⊥BD于點I，∵PC與⊙O相切于點C，∴PC⊥OC，∵BD⊥PC交PC的延長線于點D，∴∠OCD＝∠CDI＝∠OID＝90°，∴四邊形OCDI是矩形，∴OE＝CD＝2，ID＝OC＝OB，∵∠OIB＝90°，BD＝4，∴BI2+OI2＝OB2，BI＝4﹣ID＝4﹣OB，∴（4﹣OB）2+22＝OB2，解得OB＝，∴⊙O的半徑為，故選：C．【點評】此題重點考查切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線并且根據(jù)勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．【變式53】（2023?西湖區(qū)校級二模）如圖，菱形OABC的頂點A，B，C在⊙O上，過點B作⊙O的切線交OA的延長線于點D．若⊙O的半徑為2，則BD的長為（）?A．2 B．4 C．22 D．【分析】連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)定理得到∠OBD＝90°，根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理得到△OAB為等邊三角形，得到∠AOB＝60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計算，得到答案．【解答】解：連接OB，∵BD是⊙O的切線，∴∠OBD＝90°，∵四邊形OABC為菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ODB＝30°，∴OD＝2OB＝4，由勾股定理得，BD=OD2故選：D．【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．【變式54】（2023春?銅梁區(qū)校級期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，點O是斜邊AB邊上一點，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，⊙O恰好與邊BC相切于點D，連接AD，若AD＝BD，⊙O的半徑為4，則CD的長度為（）A．23 B．4 C．3 D．5【分析】由切線的性質(zhì)得BC⊥OD，則∠ODB＝∠C＝90°，所以O(shè)D∥AC，則∠ODA＝∠CAD，由OA＝OD，得∠ODA＝∠BAD，所以∠CAD＝∠BAD，因為AD＝BD，所以∠BAD＝∠B，則∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，所以O(shè)B＝2OD＝8，則AD＝BD=OB2-OD2=43，所以【解答】解：∵⊙O與邊BC相切于點D，∠C＝90°，∴BC⊥OD，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD，∴∠CAD＝∠BAD，∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，∵∠CAD+∠BAD+∠B＝∠CAB+∠B＝90°，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，∴OB＝2OD＝2×4＝8，∴AD＝BD=OB2∴CD=12AD=12×故選：A．【點評】此題重點考查切線的性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的兩個銳角互余、勾股定理等知識，求得∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°是解題的關(guān)鍵．【變式55】（2022?瀘縣一模）如圖，AB是⊙O的切線，A為切點，AC是⊙O的弦，過O作OH⊥AC于點H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半徑和AC的長．【分析】利用切線的性質(zhì)得∠OAB＝90°，則根據(jù)勾股定理可計算出OA＝5，再根據(jù)垂徑定理得到AH＝CH，接著利用勾股定理計算出AH，從而得到AC的長．【解答】解：∵AB為切線，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，在Rt△OAB中，OA=OB∵OH⊥AC，∴AH＝CH，在Rt△OAH中，AH=OA∴AC＝2AH＝8，答：⊙O的半徑為5，AC的長為8．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了垂徑定理．【變式56】（2023?銀川校級四模）如圖△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于點D，以點D為圓心，BD為半徑作⊙D交AB于點E．（1）求證：⊙D與AC相切；（2）若AC＝5，BC＝3，試求AE的長．【分析】（1）過D作DF⊥AC于F，利用角平分線的性質(zhì)定理可得BD＝FD即可證明：⊙D與AC相切；（2）在直角三角形ABC中由勾股定理可求出AB的長，設(shè)圓的半徑為x，利用切線長定理可求出CF＝BC＝3，所以AF＝2，AD＝AB﹣x，利用勾股定理建立方程求出x，進(jìn)而求出AE的長．【解答】（1）證明：過D作DF⊥AC于F，∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∵CD平分∠ACB交AB于點D，∴BD＝DF，∴⊙D與AC相切；（2）解：設(shè)圓的半徑為x，∵∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，∴AB=AC∵AC，BC，是圓的切線，∴BC＝CF＝3，∴AF＝AB﹣CF＝2，∵AB＝4，∴AD＝AB﹣BD＝4﹣x，在Rt△AFD中，（4﹣x）2＝x2+22，解得：x=3∴AE＝4﹣3＝1．【點評】本題考查了圓的切線的判定、角平分線的性質(zhì)、切線長定理以及勾股定理的運用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列方程．題型六題型六切線的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例題6】（2023春?新城區(qū)校級月考）如圖，AE是⊙O的直徑，弦CB與AE交于點F，過點A的切線交CB的延長線于點D，點B是DF的中點．（1）求證：∠AFB＝∠C；（2）若AB＝5，AF＝6，求⊙O半徑的長．【分析】1）由切線性質(zhì)可知，EA⊥AD，即∠EAD＝90°，根據(jù)點B是DF的中點，可知AB=12DF=BF，進(jìn)而可知∠BAE＝∠AFB，由BE=BE（2）連接AC，則∠EAC＝∠ECF+∠ACD＝90°，由（1）可知，∠EAD＝90°，則∠AFB+∠D＝90°，可得∠ACD＝∠D，∠CFE＝∠ECF進(jìn)而可知AC＝AD，EC＝EF，由AB＝5，AF＝6，AB=12DF=BF，易知DF＝10，AD＝AC＝8，則設(shè)⊙O半徑的長為r，則AE＝2r，由勾股定理可知：AC2+CE2＝AE2，即：82+（2r﹣6）2＝（2r）2，即可求得【解答】（1）證明：∵AD是⊙O的切線，∴EA⊥AD，即∠EAD＝90°，∵點B是DF的中點，∴AB=1∴∠BAE＝∠AFB，∵BE=∴∠C＝∠BAE，∴∠AFB＝∠C；（2）解：連接AC，則∠ECA＝∠ECF+∠ACD＝90°，由（1）可知，∠EAD＝90°，則∠AFB+∠D＝90°，∵∠AFB＝∠ECF，∠AFB＝∠CFE，∴∠ACD＝∠D，∠CFE＝∠ECF∴AC＝AD，EC＝EF，∵AB＝5，AF＝6，AB=1∴DF＝10，則AD=AC=D則設(shè)⊙O半徑的長為r，則AE＝2r，CE＝EF＝AE﹣AF＝2r﹣6，由勾股定理可知：AC2+CE2＝AE2，即：82+（2r﹣6）2＝（2r）2，解得：r=25即：⊙O半徑的長為256【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．解題技巧提煉切線的判定與性質(zhì)的綜合運用問題主要里結(jié)合利用了垂徑定理、全等三角形、等腰三角形、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識；熟練掌握它們的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式61】（2022?淮安二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，AD平分∠CAE交⊙O于點D，且AE⊥CD，垂足為點E．（1）判斷直線CE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若BC＝3，CD＝33，求ED的長．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義可得出OD∥AE，再根據(jù)AE⊥CD，得出OD⊥CD，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）利用勾股定理求出半徑OD，進(jìn)而得出∠C＝30°，∠COD＝60°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠OAD＝∠ODA=12×60°＝30°＝∠C，進(jìn)而得出AD【解答】（1）證明：連接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠CAE，∴∠EAD＝∠OAD，∴∠EAD＝∠ODA，∴OD∥AE，又∵AE⊥CD，∴OD⊥CD，∵OD是半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：設(shè)OD＝x＝OB，在Rt△COD中，由勾股定理得，OD2+CD2＝OC2，即x2+（33）2＝（x+3）2，解得x＝3，即OD＝3，OC＝6，∴∠C＝30°，∠COD＝60°，∴∠EAD＝∠DAC=12×60°＝30°＝∴AD＝CD＝33，∴DE=12AD【點評】本題考查切線的判定和性質(zhì)，掌握切線的判定方法，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義是解決問題的關(guān)鍵．【變式62】（2022?儀征市一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，過點D作DE⊥AC交AC于點E．（1）試判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若⊙O的半徑為5，BC＝16，求DE的長．【分析】（1）連接AD，根據(jù)圓周角定理求出∠ADB＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BD＝CD，根據(jù)三角形的中位線求出OD∥AC，求出DE⊥OD，根據(jù)切線的判定得出即可；（2）由等腰三角形的性質(zhì)求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的長，根據(jù)三角形的面積得出答案．【解答】解：（1）直線DE與⊙O的位置關(guān)系是相切，理由是：連接AD，OD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵AO＝BO，∴DO∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半徑，∴直線DE與⊙O的位置關(guān)系是相切；（2）∵⊙O的半徑為5，∴AC＝AB＝10，∵BC＝16，BD＝CD，∴CD＝8，在Rt△ACD中，AD=AC∵S△ADC=12AC?DE=12∴DE=AD?CD【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形的面積等知識，正確作出輔助線，熟練掌握掌握切線的判定與性質(zhì)是解題