專題14 類比歸納專題：圓中利用轉(zhuǎn)化思想求角度壓軸題四種模型全攻略（解析版）

專題14類比歸納專題：圓中利用轉(zhuǎn)化思想求角度壓軸題四種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一利用同弧或等弧轉(zhuǎn)化圓周角與圓心角】 1【類型二構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形轉(zhuǎn)化角】 5【類型三利用直徑構(gòu)造直角三角形轉(zhuǎn)化角】 9【類型四利用特殊數(shù)量關(guān)系構(gòu)造特殊角轉(zhuǎn)化角】 15【典型例題】【類型一利用同弧或等弧轉(zhuǎn)化圓周角與圓心角】例題：（2023·北京·九年級專題練習）如圖，為的直徑，C，D為上的點，．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得，根據(jù)直徑所對的圓周角為90度可得，進而可得，．【詳解】解：如圖，連接，，

，，，為的直徑，，，，故選A．【點睛】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，半圓（或直徑）所對的圓周角是直角．【變式訓練】1．（2022秋·浙江溫州·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，點A是的中點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用圓周角定理求解．【詳解】解：點是的中點，，．故選：D．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．2．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點A，B，C都在上，B是的中點，，則等于．【答案】/80度【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出，然后根據(jù)圓心角、弧的關(guān)系即可求出答案．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵B是的中點，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了圓心角、弧的的關(guān)系，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，則的度數(shù)為．

【答案】/30度【分析】根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)圓周角定理解答即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是垂徑定理和圓周角定理，掌握同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·北京西城·九年級北師大實驗中學校考開學考試）如圖，四邊形內(nèi)接于，為直徑，，，則．

【答案】/度【分析】連接．利用等弧所對圓周角相等，得出，從而得出，再利用直徑所對圓周角是直角，最后由直角三角形兩銳角互余求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接．

∵，∴．∵，∴．∵為直徑，∴．∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓周角定理的推論，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理的推論是解題的關(guān)鍵．【類型二構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形轉(zhuǎn)化角】例題：（2022秋·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）是的外接圓，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】在優(yōu)弧上取一點E，連接，由是的外接圓，，利用在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得的度數(shù)，最后由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：如圖，在優(yōu)弧上取一點E，連接，

，，，．∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∴，

故選：B．【點睛】本題考查了圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半定理的應(yīng)用．【變式訓練】1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，點A，B，C，D，E均在上，且經(jīng)過圓心O，連接，若，則弧所對的圓心角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，從而得到，進而得到，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∴，∴弧所對的圓心角的度數(shù)為．故選：D．【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）如圖，點A、B、C都在上，如果，那么的度數(shù)為．【答案】【分析】如圖：在優(yōu)弧AC上取一點D，連接，由圓周角定理和圓的內(nèi)接四邊形可得，，再結(jié)合求得．【詳解】解：如圖所示，在優(yōu)弧上取一點D，連接，∴，，∵，∴∴，∴故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓周角定理、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓的內(nèi)接四邊形對角互補是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在⊙O中，C為上的點，．若，則．

【答案】50°【分析】在優(yōu)弧上取一點D，連接，，，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：在優(yōu)弧上取一點D，連接，，，∵，∴，∴，

∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：50°．【點睛】本題考查了圓周角定理，添加輔助線構(gòu)造圓心角和圓周角是解題的關(guān)鍵．4．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖，點A，B，C，D，E都是上的點，，，則．

【答案】116【分析】連接、，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理求出，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計算，得到答案．【詳解】解：連接、，

∵點A、C、D、E都是上的點，∴，∴，∵，∴，∵點A、B、C、E都是⊙O上的點，∴，∴，故答案為：116．【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．【類型三利用直徑構(gòu)造直角三角形轉(zhuǎn)化角】例題：（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，點，點是上的兩點，連接，，．若，則的度數(shù)是°．

【答案】【分析】連接，如圖，利用圓周角定理得到，則，然后利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接，

為的直徑，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．【變式訓練】1．（2023·安徽宣城·校考三模）如圖，是直徑，點B、C、D在半圓上，若，則．

【答案】/145度【分析】連接，根據(jù)直徑所對的圓周角為90度可得，進而可得，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補即可求解．【詳解】解：如圖，連接，

是直徑，點B在半圓上，，，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，故答案為：．【點睛】本題考查圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補．2．（2023·遼寧營口·校聯(lián)考一模）如圖，是的直徑，弦交于點，連接，．若，則．

【答案】/61度【分析】如圖，連接，證明，求出，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接．

∵是直徑，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理，屬于中考?？碱}型．3．（2022秋·安徽阜陽·九年級?？计谥校┤鐖D，是的直徑，C，D兩點在圓上，且，連接，P為一動點（點P不與點A，C重合），連接，在運動過程中，與相交于點M，連接．（1）的度數(shù)為．（2）當時，的度數(shù)為．【答案】【分析】（1）根據(jù)，可得，進而可求的度數(shù)；（2）由是的直徑得，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，然后可求的度數(shù)．【詳解】（1）∵，，∴，∴；（2）連接．∵是的直徑，∴，∵，∴∵，∴，∴．故答案為：（1）；（2）．【點睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，關(guān)鍵是熟練掌握圓的性質(zhì)．4．（2022秋·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，以的邊為直徑的分別交，于點，，且點是的中點，連接．(1)求證：是等腰三角形．(2)若，，求線段的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得出，再根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等，得出是的角平分線，然后再根據(jù)等腰三角形的判定定理，即可得出結(jié)論；（2）連接，根據(jù)勾股定理，得出，再根據(jù)三角形的面積公式，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)三角形的面積公式，得出，解得，再根據(jù)勾股定理，得出，然后根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵是的直徑，∴，∴，∵點是的中點，∴，∴，∴是的角平分線，∴是等腰三角形；（2）解：如圖，連接，在中，∵，，∴，∴，又∵，是等腰三角形，∴是的中線，，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，解得：，∴，∴．【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角為直角、同弧或等弧所對的圓周角相等、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理和等面積法．【類型四利用特殊數(shù)量關(guān)系構(gòu)造特殊角轉(zhuǎn)化角】例題：（2023·江蘇連云港·校聯(lián)考三模）如圖，已知：四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形，A、B、O是小正方形頂點，的半徑為1，P是上的點，且位于右上方的小正方形內(nèi)，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理求解即可．【詳解】，故選：B．【點睛】本題考查圓周角定理，熟記同圓中一條弧所對的圓周角等于所對圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023·遼寧朝陽·校聯(lián)考三模）如圖，點A、B、C、D在上，四邊形是平行四邊形，則的大小為（

）

A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】連接，證明為等邊三角形，得出，根據(jù)圓周角定理得出即可．【詳解】解：連接，如圖所示：

∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明為等邊三角形，求出．2．（2023·廣西防城港·統(tǒng)考一模）如圖，點A，B，C，D都在上，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由，根據(jù)垂徑定理的即可求得：，然后由圓周角定理，即可求得的度數(shù)．【詳解】解：，，，．故選：D．【點睛】此題考查了圓周角定理以及垂徑定理，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．（2023·廣東佛山·校考三模）如圖，四邊形內(nèi)接于，連接，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，證明，得出，則，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補，即可求解．【詳解】解：連接，在和中，，∴，∵，，∴，∴，∵四邊形內(nèi)接于，∴，故選：A．

【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形，解題的關(guān)鍵是掌握圓的內(nèi)接