正交各向異性梁固支應(yīng)力和位移的解析解

正交各向異性梁固支應(yīng)力和位移的解析解

梁的平面應(yīng)力問(wèn)題是一個(gè)非常經(jīng)典的彈性力學(xué)問(wèn)題，通常在實(shí)際工程中與此問(wèn)題有關(guān)。simpsiek等人研究了各向同性彈性梁的拉伸、純曲線、橫向動(dòng)力影響下懸臂梁的曲線、自向布置負(fù)荷影響下的簡(jiǎn)直梁的曲線以及其他連續(xù)負(fù)荷作用的圓弧彎曲。lekhniskii研究了每個(gè)向的異向異性梁的平面應(yīng)力問(wèn)題，包括拉張梁的簡(jiǎn)單折疊、純曲線、橫向激勵(lì)梁的橫向激勵(lì)梁、受織物壓力和線性分布負(fù)荷的簡(jiǎn)支梁和懸臂梁。為了研究這兩個(gè)固支梁的橫向負(fù)荷，gere等人使用eele-berroul模型提供了梁的斷裂方程和電壓解。ah0m等人通過(guò)微分法給出了兩相梁的深度彈性力學(xué)數(shù)值解。在過(guò)去多年的分析中，由于缺少兩個(gè)固支梁的二維分析解，因此引入了該方程。在本工作中，通過(guò)電壓函數(shù)法，我們研究了每個(gè)向同性梁的橫向分析解。然而，沒(méi)有關(guān)于兩側(cè)固體各向異性梁在均勻負(fù)荷下的分析解。在這項(xiàng)工作中，我們使用力函數(shù)法研究了在荷花負(fù)荷的作用下，各向異性梁的平面應(yīng)力問(wèn)題，給出了力和位移公式，并將其與有限元法的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行比較。1應(yīng)力函數(shù)的表示考慮x-y面內(nèi)的平面應(yīng)力問(wèn)題,正交各向異性體本構(gòu)方程為?u/?x=s11σx+s12σy,?v/?y=s12σx+s22σy,?u/?y+?v/?x=s66τxy,}(1)?u/?x=s11σx+s12σy,?v/?y=s12σx+s22σy,?u/?y+?v/?x=s66τxy,?????(1)式中:u和v分別為x向和y向的位移分量,σij為應(yīng)力分量,sij為平面應(yīng)力問(wèn)題的彈性柔度常數(shù).用應(yīng)力函數(shù)?表示的應(yīng)力公式為σx=?2??y2,σy=?2??x2,τxy=-?2??x?y.(2)σx=?2??y2,σy=?2??x2,τxy=??2??x?y.(2)而應(yīng)力函數(shù)?滿足如下方程s22?4??x4+(2s12+s66)?4??x2?y2+s11?4??y4=0.(3)s22?4??x4+(2s12+s66)?4??x2?y2+s11?4??y4=0.(3)2固支邊界條件圖1為受均布載荷作用的單位寬度固支梁,梁的跨度為l,高為h.取應(yīng)力函數(shù)?=a(y5-10s112s12+s66x2y3)+bxy3+cy3+dy2+ex2y+fxy+gx2,(4)?=a(y5?10s112s12+s66x2y3)+bxy3+cy3+dy2+ex2y+fxy+gx2,(4)式中:a、b、c、d、e、f和g均為待定常數(shù).可以驗(yàn)證式(4)滿足協(xié)調(diào)方程式(3).將式(4)代入式(2),得應(yīng)力表達(dá)式σx=20a(y3-3s112s12+s66x2y)+6bxy+6cy+2d,σy=-20as112s12+s66y3+2ey+2g,τxy=60as112s12+s66xy2-3by2-2ex-f.}(5)σx=20a(y3?3s112s12+s66x2y)+6bxy+6cy+2d,σy=?20as112s12+s66y3+2ey+2g,τxy=60as112s12+s66xy2?3by2?2ex?f.???????????(5)將式(5)代入式(1)進(jìn)行積分,得位移表達(dá)式u=[-20as11s122s12+s66x+20as11x-(s12+s66)b]y3+[s11(-20as112s12+s66x2+3bx+6c)+2es12]xy+2ds11x+2gs12x+ωy+u0,v=5a(s12-s11s222s12+s66)y4+[s12(-30as112s12+s66x2+3bx+3c)+es22]y2+2(ds12+gs22)y+5as2112s12+s66x4-bs11x3-(3cs11+es12+es66)x2-fs66x-ωx+v0.}(6)u=[?20as11s122s12+s66x+20as11x?(s12+s66)b]y3+[s11(?20as112s12+s66x2+3bx+6c)+2es12]xy+2ds11x+2gs12x+ωy+u0,v=5a(s12?s11s222s12+s66)y4+[s12(?30as112s12+s66x2+3bx+3c)+es22]y2+2(ds12+gs22)y+5as2112s12+s66x4?bs11x3?(3cs11+es12+es66)x2?fs66x?ωx+v0.?????????????????????????????????????????(6)式中:u0、v0和ω為積分常數(shù),表示剛體位移.Timoshenko和Goodier對(duì)于固支邊界條件給出兩種形式.對(duì)于本文研究的問(wèn)題,第一種形式的邊界條件為{σy=0τxy=0,在y=h/2邊界上;σy=-q,τxy=0,在y=-h/2邊界上;u=v=0,?v/?x=0,在x=y=0點(diǎn)和x=l,y=0點(diǎn).???????????σy=0τxy=0,在y=h/2邊界上;σy=?q,τxy=0,在y=?h/2邊界上;u=v=0,?v/?x=0,在x=y=0點(diǎn)和x=l,y=0點(diǎn).第二種形式的邊界條件為{σy=0,τxy=0,在y=h/2邊界上;σy=-q,τxy=0,在y=-h/2邊界上;u=v=0,?u/?y=0,在x=y=0點(diǎn)和x=l,y=0點(diǎn).將應(yīng)力表達(dá)式(5)和位移表達(dá)式(6)代入邊界條件,可得到10個(gè)方程,對(duì)于第一種形式的邊界條件,可求解得a=q(2s12+s66)10h3s11,b=qlh3,d=qs124s11,c=-q(2s11l2+3s12h2+3s66h2)12s11h3,e=3q4h,f=-3ql4h,g=-q4,u0=0,v0=0,ω=3s66ql4h.}(7)于是應(yīng)力分量和位移分量的表達(dá)式為σx=2(2s12+s66)s11h3qy3-[2s11(6x2-6lx+l2)Ζ+3(s12+s66)h2]qy2s11h3+qs122s11,σy=-q24J(4y3-3h2y+h3),τxy=q4J(l-2x)(h24-y2).}(8)u=(2x-l)(s12+s66)qy3h3+(l-2x)(x-l)s11qxyh3-3s66qxy2h+3s664hlqy,v=(2s212+s66s12-s11s22)qy42s11h3-[12s11s12x2-12s11s12lx+2s11s12l2+3h2(s212+s12s66-s11s22)]qy24s11h3+(s212-s11s22)qy2s11+qs112h3x4-s11qlh3x3+s11ql22h3x2.}(9)式中:J=h3/12.對(duì)于第二種形式的邊界條件,可求解得a=q(2s12+s66)10h3s11,b=lqh3,d=qs124s11,c=-(2s11l2+3s12h2)12s11h3q,e=3q4h,f=-3ql4h,g=-q4,u0=0,v0=0,ω=0.}(10)于是應(yīng)力分量和位移分量的表達(dá)式為σx=22s12+s66s11h3qy3-[2s11(6x2-6lx+l2)+3s12h2]qy2s11h3+qs122s11,σy=-q24J(4y3-3h2y+h3),τxy=q4J(l-2x)(h24-y2).}(11)u=(2x-l)(s12+s66)qy3h3+(l-2x)(x-l)s11qxyh3,v=(2s212-s11s22+s12s66)qy42s11h3-[2s11s12(6x2-6lx+l2)-3s11s22h2+3s212h2]qy24s11h3-(s11s22-s212)qy2s11+x(x-l)(2s11x2-2s11lx-3s66h2)q4h3.}(12)式(8)、式(9)、式(11)和式(12)可分別退化到各向同性梁的結(jié)果,與文獻(xiàn)中的結(jié)論一致.比較一下式(7)和式(10),可以發(fā)現(xiàn)10個(gè)待定常數(shù)在兩種邊界條件下有8個(gè)相同,只有c和ω不相同,因此由式(5)看到,兩種不同的固支邊界條件,具有相同的應(yīng)力分量σy和τxy,而且這兩個(gè)應(yīng)力分量表達(dá)式與材料常數(shù)無(wú)關(guān),與各向同性梁的結(jié)果一樣;對(duì)于應(yīng)力分量σx,式(8)比式(11)多了一項(xiàng)3s66qy/(2s11h);對(duì)于中心線撓度v1(x,0)-v2(x,0)=3qs66x(x-l)/(4h),表明第一種邊界條件下的中心線撓度v1(x,0)小于第二種邊界條件下的中心線撓度v2(x,0).還發(fā)現(xiàn)y=0時(shí),u=0,即中心線各點(diǎn)均無(wú)水平位移,但在y=0處σx=qs12/(2s11),不隨截面位置而改變.如果將所加載荷改為y=±h/2時(shí),σy=±q/2,則會(huì)得到y(tǒng)=0處,u=0,σx=0,而且σy也為零.3不同邊界條件下的力學(xué)性能把上述應(yīng)力和位移的解析解與有限元法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較,計(jì)算的兩種跨高比,分別為l/h=10和l/h=5,材料常數(shù)如表1所示,受均布載荷q=6×107N/m的作用.有限元法結(jié)果由Nastran有限元程序計(jì)算給出,它采用的固支端邊界條件為,在x=0和x=l,-h/2≤y≤h/2:u=v=0.所采用的有限單元為正方形單元,單元邊長(zhǎng)為0.1h,對(duì)于l/h=10的算例,共計(jì)1000個(gè)單元,1111個(gè)節(jié)點(diǎn),對(duì)于l/h=5的算例,共計(jì)500個(gè)單元,561個(gè)節(jié)點(diǎn).首先來(lái)考察一下位移的情況.圖2是兩種不同跨高比的梁在y=0處的位移分量v的曲線,圖3為y=-h/2處的位移分量u的曲線,圖2、3中BC1和BC2分別為第一種和第二種邊界條件下的結(jié)果,圖2(a)、(b)的中心線撓度v(x,0)呈拋物線形狀,圖3(a)、(b)的y=-h/2處的位移分量u則呈類正弦曲線形狀.從圖2、3中可以看出,有限元解落在兩種邊界條件的解之間,這在物理上正好顯示出不同的固支邊界條件給梁以不同的限制,第一種邊界條件給予梁以較強(qiáng)的約束,而第二種則給予較弱的約束,從物理上看,它更接近有限元法所提的約束,這里的兩個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)用解析解是實(shí)際問(wèn)題的兩個(gè)重要近似.從不同跨高比梁的結(jié)果來(lái)看,較大的跨高比,兩種邊界條件的結(jié)果更加接近,反映出解決梁?jiǎn)栴}時(shí),應(yīng)力函數(shù)法對(duì)于淺梁有很好的精度.圖4為y=-h/2處的應(yīng)力分量σx曲線.曲線呈類拋物線形狀,兩端的應(yīng)力最大而梁中間的應(yīng)力最小.從圖4可以發(fā)現(xiàn),有限元解也是落在兩種邊界條件的解之間,也是更接近于第二種邊界條件的解,而且梁的跨高比越大,兩者區(qū)別越