拱的平面內(nèi)穩(wěn)定分析的平衡方程

拱的平面內(nèi)穩(wěn)定分析的平衡方程

1鋼梁和鋼拱的非線性穩(wěn)定性拱的穩(wěn)定性是經(jīng)典的穩(wěn)定問題。只有少數(shù)解決方案。早期對(duì)拱穩(wěn)定的研究都是在簡化假定后進(jìn)行的,經(jīng)典解在工程上得到了廣泛的應(yīng)用。進(jìn)入80年代,非線性力學(xué)知識(shí)和計(jì)算工具的發(fā)展,研究人員在研究中盡量不忽略看上去次要的項(xiàng),理論更加完善,但是結(jié)果卻與經(jīng)典解有所不同(見表5的比較)。由于拱的臨界荷載很少有試驗(yàn)驗(yàn)證,新的結(jié)果是否更加可靠有待于進(jìn)一步的研究。下面進(jìn)行簡要的回顧。Timoshenko和Gere用平衡法得到鉸支圓拱受徑向勻布荷載的反對(duì)稱屈曲臨界荷載qx.cr為:式中E是材料彈性模量,I為拱截面慣性矩,R為圓拱半徑,α是拱圓心角的一半。后來的研究者大多從彎曲構(gòu)件的能量法推導(dǎo)非線性平衡方程,結(jié)果分歧較大。對(duì)鉸支圓拱受徑向勻布荷載的情況,Vlasov、Yoo和Pfeiffer、Yang和Kuo得到的結(jié)果與式(1)相同。Simitses、Papangelis和Trahair得到了不同的結(jié)果:而Kang和Yoo得到的結(jié)果為:Rajasekaran和Pandmanabhan得到的結(jié)果為:為什么這個(gè)經(jīng)典問題的解有這么大的差異?Pi,Y.L.和Bradford認(rèn)為式(1)和(2)的差異是因?yàn)椴捎昧瞬煌膹澗?曲率公式,他們對(duì)深拱的穩(wěn)定進(jìn)行了有限元分析,結(jié)果在式(1)與式(2)之間,更接近于(1)式。本文進(jìn)行研究對(duì)比發(fā)現(xiàn),對(duì)應(yīng)變的非線性的部分采用不同的近似也是產(chǎn)生差異的重要原因。上述研究大都沒有考慮徑向應(yīng)力σr的影響,Yang和Kuo在研究拱的彎扭失穩(wěn)時(shí)提出工字鋼腹板中徑向應(yīng)力σr是一個(gè)不可忽略的應(yīng)力分量,只有考慮了它的影響,拱彎扭失穩(wěn)臨界荷載才與經(jīng)典的Timoshenko解一致。但是他們引入的σr的影響并不完全。童根樹通過對(duì)直梁穩(wěn)定的研究指出,橫向應(yīng)力是維持微元體平衡所必需的,在穩(wěn)定問題中它的影響不能忽略。他們?nèi)娴乜紤]了工字形鋼梁內(nèi)的橫向應(yīng)力,包括翼緣中的橫向應(yīng)力,而不僅僅是腹板上的應(yīng)力。許強(qiáng)推導(dǎo)了工字形圓弧曲梁中橫向應(yīng)力的顯式。由于對(duì)非線性應(yīng)變進(jìn)行了近似,他僅在研究彎扭失穩(wěn)時(shí)才出現(xiàn)了σs的影響,在平面內(nèi)問題中沒有出現(xiàn)σs影響。橫向應(yīng)力是直梁中板件單元的平衡所必須的,有必要在鋼梁和鋼拱的平面內(nèi)穩(wěn)定性研究中考慮他們的影響。因?yàn)楸３制胶馑仨毜母鱾€(gè)應(yīng)力的二階效應(yīng)會(huì)互相抵消一部分,忽略任何一個(gè)應(yīng)力分量都會(huì)導(dǎo)致某些項(xiàng)得不到抵消,從而有可能獲得不正確的結(jié)果?；谏鲜鲇^點(diǎn),作者認(rèn)為有必要從基本假定入手,推導(dǎo)沒有任何近似的拱平面內(nèi)非線性分析方程,以檢驗(yàn)前人的結(jié)果,解決公式(1)~公式(4)之間的區(qū)別。2構(gòu)件速率中心圖1中r-θ-y為空間固定不變的圓柱坐標(biāo)系,原點(diǎn)在構(gòu)件曲率中心。x-y-z為截面坐標(biāo)系,在構(gòu)件變形時(shí)隨著截面平移,z指向φ的增加方向。拱截面為雙軸對(duì)稱工字形,采用平截面假定,分析限于大位移、小應(yīng)變的情況。2.1拱正應(yīng)力與變形工字形截面拱的中面上任意點(diǎn)P沿x、z方向的位移為(許強(qiáng)):式中u為形心在x方向的位移,w為形心沿z方向的位移。()′=?()/?θ。拱有以下3個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量,由線性和非線性部分構(gòu)成:應(yīng)變—位移關(guān)系為(Washizu):式中拱的正應(yīng)力為σz=E(εzL+εzN),剪應(yīng)力τzx和橫向正應(yīng)力σx由微元體平衡條件求出。截面的軸力N、彎矩M和剪力Qx為:2.2以m-為拱的虛功方程,寫成展開形式便是:σz的虛功很容易推導(dǎo),τzx和σx的非線性虛功為式中:于是就得到了整個(gè)的虛功方程:式中:將上面的變分用(8a,b,c)代入,并分部積分,利用εm-κ=-β′,得到基本微分方程為:以上兩式未進(jìn)行任何簡化,可用于圓拱的屈曲分析和非線性分析。式中并不出現(xiàn)T,這是不同應(yīng)力的非線性項(xiàng)相互抵消的結(jié)果。圓拱用內(nèi)力表示的線性平衡方程為(圖2)把(9)式的線性部分代入(12a,b,c),并利用(17c)式得到:在(16a,b)式的非線性部分引入(17a,b,c)式,并引用(8a,b,c)式,得到線性化的平衡方程為:上述方程可以作為非線性問題的線性化近似,或作為分步線性化求解的第一步。3干擾前的平衡方程根據(jù)判定穩(wěn)定性的靜力準(zhǔn)則,給線性化分析求出的平衡狀態(tài)施加位移干擾位移和內(nèi)力在干擾后變?yōu)閷⑺鼈兇?19a,b)式,整理后每個(gè)方程變成四部分。第一部分是干擾前平衡方程的左邊部分,因干擾前的狀態(tài)是平衡的,這一部分等于0;第二是干擾前的內(nèi)外力與干擾位移的乘積;第三是干擾的內(nèi)力增量與干擾前位移的乘積。第四是內(nèi)力增量與位移增量的乘積項(xiàng),由于干擾是微小的,這部分可以忽略掉。在判斷穩(wěn)定性施加干擾過程中外荷載不變,即于是得到下面判斷拱平面內(nèi)穩(wěn)定性的方程:4拱體的彎矩m判斷拱的穩(wěn)定性需要知道拱的線性分析內(nèi)力N,M,Qx。兩端鉸支圓拱在均布徑向力作用下的線性精確解為:式中線性分析的內(nèi)力圖3和圖4,圖中N0=qxR,M0=qx(2αR)2/8是將拱展開成簡支直梁時(shí)的彎矩,R=5m,EA=4.2x105kN,EI=1770kNm2。從圖3~圖4可以看出,α≥π/8時(shí),拱的軸力接近qxR,剪力和彎矩都很小;α<π/8時(shí),拱的軸力開始迅速減小,剪力和彎矩都開始增大,顯示拱以自身彎曲抗彎的成分在急劇增加,撓度也比較大。因此從線性分析的結(jié)果看,α=π/8是深拱和淺拱的分界(拱的矢高比為1:10)。5力邊界條件項(xiàng)對(duì)穩(wěn)定方程(20a,b)求解,由不同的假定,可以得到不同的結(jié)果。(一)如忽略干擾的內(nèi)力增量與干擾前位移的乘積項(xiàng),即忽略屈曲前位移的影響,且認(rèn)為拱內(nèi)只有軸力N=qxR,其他內(nèi)力為0。方程(20a,b)變?yōu)?若再采用拱屈曲時(shí)沿軸向不可伸長假定即可得:取可得到與式(1)相同的臨界荷載。如果不采用中面不可伸長的假定,假設(shè)為利用(25a,b)式建立Galerkin方程,得到Ncr見表2。表中λ是以拱半邊長度計(jì)算的長細(xì)比。由表可見采用和不采用中面不可伸長假定的有5~10%的差別,后者的臨界荷載更大。(二)如果不忽略其他內(nèi)力,但是忽略屈曲前位移的影響。(20a,b)式變?yōu)?用伽遼金法求解,位移函數(shù)(27a,b)式滿足幾何邊界條件,但不完全滿足力邊界條件。虛功方程必須加上力邊界條件項(xiàng)。干擾后力邊界條件如下:內(nèi)力采用線性分析的結(jié)果,干擾采用(27a,b),則當(dāng)θ=±α?xí)r,又因?yàn)槭桥己瘮?shù),再忽略屈曲前位移影響,力邊界條件項(xiàng)剩下:將位移函數(shù)代入帶邊界條件項(xiàng)的伽遼金方程,得到一個(gè)關(guān)于K的二次方程,用(24)得到qx.cr。表3為不同λ和不同α(α>π/8)的拱的計(jì)算結(jié)果。由表3可以看出:qx,crR3/EI隨λ的減小而減小。當(dāng)λ>50時(shí),qx,crR3/EI變化很小,當(dāng)λ<50時(shí),qx,crR3/EI變化較劇烈?？梢妐x,crR3/EI并不象式(1,2,3,4)那樣只與α有關(guān),λ的影響也是相當(dāng)?shù)拇?。如此時(shí)采用中面不可伸長假定,即αD1=πD2,結(jié)果同樣見表3。由表可見,對(duì)圓心角大的拱這個(gè)假定的影響較大。(三)如果不忽略任何項(xiàng),判斷穩(wěn)定的方程采用(20a,b)式。干擾位移仍采用(27a,b)式,由前面的分析,要補(bǔ)充力的邊界條件項(xiàng)為:采用Galerkin法得到一個(gè)關(guān)于K的二次方程,用(24)式即可得到qx,cr,結(jié)果見表4。表4還給出了采用不可伸長假定的結(jié)果。綜合表2、表3與表4的結(jié)果,可以看出:(1)用僅考慮軸力的簡化方程,不采用拱軸不可伸長假定,結(jié)果在式(1)和式(2)之間,α大時(shí)更接近于(1)式,α小時(shí)更接近于(2)式,臨界荷載與長細(xì)比有關(guān)。當(dāng)前的臨界荷載公式與長細(xì)比無關(guān)是由中面不可伸長的假定帶來的。(2)考慮其他內(nèi)力,但不考慮屈曲前變形的影響,結(jié)果對(duì)α較大λ很小的拱才有明顯影響;(3)考慮其他內(nèi)力,但不考慮屈曲前變形的影響,采用中面不可伸長假定的結(jié)果,在α接近90度時(shí)也有比較明顯的差別。(4)考慮其他內(nèi)力,同時(shí)考慮屈曲前變形的影響,結(jié)果與不考慮屈曲前變形影響的相比,影響不大,但是可以注意到,考慮屈曲前變形后,對(duì)長細(xì)比小的拱,臨界荷載有所增大。表5是本文考慮所有內(nèi)力和屈曲前變形影響,不采用不可伸長假定,λ=100的結(jié)果與(1)~(4)式的比較,圖5是本文結(jié)果與Pi,Y.L.和Bradford(2002)采用非常復(fù)雜的有限元方法得到的結(jié)果的比較,兩者非常吻合,圖中NP=(π2EI)/(αR)2。6拱的總勢能方程前面提到過的公式(1)~(4)之間的差異,原因在于,各研究者對(duì)線性和非線性正應(yīng)變采用的不同的近似,以及對(duì)剪應(yīng)力和橫向應(yīng)力的非線性效應(yīng)的忽略與否或者近似程度不同。有必要對(duì)各研究者采用的位移應(yīng)變關(guān)系進(jìn)行比較。為了比較方便,作者把其他研究者的結(jié)果轉(zhuǎn)化到本文的坐標(biāo)系下。Timoshenko和Vlasov都是用平衡法得到的平衡方程,Timoshenko采用(18b)式,利用拱在均布徑向力作用下失穩(wěn)時(shí)M=-qxRu,代入后得到穩(wěn)定方程:此式與(26)式不同,但解都為(1)式。Vlasov由(17a,b,c)式得到先用直梁的位移內(nèi)力的關(guān)系(M=EIξ′、qx=Nξ′(假想橫向荷載))代入上式,再用彎曲構(gòu)件的關(guān)系式(ξ′=Ru′+u)代替直梁的ξ′即可得到穩(wěn)定方程(26)式(qz=0)。Simitses是采用下列應(yīng)變式:它們與(7a,b)式是不同的。Simitses用虛功原理推出穩(wěn)定方程如下:解上述方程得到式(2)。Papangelis,J.P.,Trahair,N.S.推導(dǎo)出的線性正應(yīng)變的公式為:并進(jìn)一步認(rèn)為得到近似的正應(yīng)變(37a)。在建立虛功方程時(shí)只考慮縱向正應(yīng)變,利用總勢能的二階變分為零得到判斷方程。假定兩端鉸支拱在均布徑向力作用下拱內(nèi)只有軸力N=qxR。其他的內(nèi)力都忽略不記,采用w′+u=0假定,由上面方程求得式(2)。Pi,Y.L.和Bradford采用(37a)和(7a)這兩種不同的線性應(yīng)變式分別建立拱的總勢能方程,非線性應(yīng)變與Simitses相同,令總勢能的二階變分為零得到穩(wěn)定方程。用w′+u=0假定,可以分別得到式(2)和式(1),但有限元結(jié)果更接近式(1)。Yoo采用Vlasov的內(nèi)力表達(dá)式,用直梁比擬的方法,得到拱的總勢能方程:在采用中面不可伸長假定后,得到穩(wěn)定方程如下:解此方程可得到式(1)。Yang中采用的應(yīng)變式如下:與本文式(7)比較可知:正應(yīng)變非線性部分忽略了剪應(yīng)變非線性部分與本文的(7e)式比較并不完整,考慮了橫向應(yīng)力σx的影響,但σx對(duì)面積的積分為∫AσxrdA=M,與本文的(14)式有區(qū)別。Yang用上述應(yīng)變由虛功原理推出平衡方程如下(均布荷載為0):Yang中沒有考慮橫向應(yīng)力σx的影響,方程中有M的影響:假定兩端鉸支拱在均布徑向力作用下拱內(nèi)只有軸力N=qxR。其他的內(nèi)力都忽略不記,采用w′+u=0假定,文獻(xiàn)得到了(26)式。Kang采用下列應(yīng)變式:其他應(yīng)變分量全為零。與式(7)比較,它忽略了剪應(yīng)變和橫向應(yīng)變的非線性部分,縱向正應(yīng)變的非線性部分也不相同。Kang用上面的應(yīng)變式由虛功原理推出的平衡方程如下:假定兩端鉸支拱在均布徑向力作用下拱內(nèi)只有軸力N=qxR,采用w′+u=0假設(shè),得到穩(wěn)定方程:解此方程得到式(3)。比較表5中的值,可以看出:對(duì)非線性縱向正應(yīng)變的項(xiàng)的簡化,忽略某一項(xiàng)的一部分并不比把該項(xiàng)全部忽略得到的結(jié)果精度高。Rajasekaran采用的線性應(yīng)變式與Kang的相同,但在正應(yīng)變的非線性部分的推導(dǎo)中出現(xiàn)了量綱問題,導(dǎo)致了不正確的結(jié)果。許強(qiáng)是采用與Yang相同的縱向應(yīng)變,但忽略所有其他應(yīng)變,平衡方程為:假定拱內(nèi)只有軸力N=qxR,利用w′+u=0假定,得到(26)式通過上邊的比較可以看出:(1)式(1)和式(2)的不同是由于正應(yīng)變的線性部分的不同產(chǎn)生的。式(3)是由于不同的正應(yīng)變的非線性部分得到的。(2)雖然很多研究者都得到了式(1),但他們的非線性平衡方程式是不同的。只是在假定兩端鉸支拱在均布徑向力作用下拱內(nèi)只有軸力N=qxR,其他的內(nèi)力都忽略不記,屈曲時(shí)假定拱軸線不可伸長即w′+u=0以后,才得到了相同的結(jié)果。7拱非線性作用下的屈曲問題本文由平截面假定出發(fā),引用有限變形下的應(yīng)變位移關(guān)系,由虛功方程推導(dǎo)出了圓拱的平面內(nèi)的非線性平衡方程。推導(dǎo)中完整地考慮了橫向應(yīng)力和剪應(yīng)力的二階效應(yīng),沒有忽略任何的非線性項(xiàng)。并給出了工字型單軸對(duì)稱截面拱的橫向應(yīng)力和剪應(yīng)力的非線性功的顯式。利用拱微段線性平衡方程,求出拱的內(nèi)力分布,對(duì)非線性方程做了線性化近似,得到的方程更為簡化,但也引入了一定的近似。得到的方程可以作為非線性問題的線性化近似,可以用于求解屈曲問題和非線性不是特別嚴(yán)重的拱的失穩(wěn)問題(拱矢高比大于等于1:10)。本文研究表明,忽略橫向應(yīng)力的非線性影響會(huì)導(dǎo)致總勢能表達(dá)式中的某些項(xiàng)不能抵消掉,導(dǎo)致不正確的結(jié)果。本文由拱的非線性平衡方程入手,推導(dǎo)了屈曲方程,對(duì)以前的研究者的研究做了對(duì)比,指出了他們之間的出現(xiàn)差異的原因。文中求得了兩端鉸接圓拱在勻布徑向力作用下的線性解析解。結(jié)果表明,當(dāng)拱的圓心角的一半α≥π/8時(shí)(拱的矢高比大于1:10)時(shí),假設(shè)拱內(nèi)只有拱軸力有比較好的近似。當(dāng)圓心角更小時(shí),拱以截面彎曲抵抗荷載的比例增加較快,拱的非線性效應(yīng)會(huì)增加。本文對(duì)兩端鉸接的圓拱在勻布徑向力作用下的反對(duì)稱屈曲做了深入的分析。推導(dǎo)了可以考慮屈曲前的內(nèi)力和變形影響的穩(wěn)定方程