專題提升02 角平分線有關(guān)的全等證明模型（解析版）

八年級數(shù)學(xué)上分層優(yōu)化堂堂清十二章全等三角形12.3三角形全等的重要模型角平分線有關(guān)的全等證明模型（解析版）學(xué)習(xí)目標(biāo)：會(huì)利用角平分線構(gòu)造全等三角形證明和計(jì)算；2、提高推理能力，獲得成功的體驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自信心。老師對你說：全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型--角平分線模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。全等三角形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等是證線段相等或角相等的重要依據(jù),在解題過程中若不能直接運(yùn)用,則需要通過作輔助線來構(gòu)造全等三角形，若已知條件中存在角平分線可利用角平分線條件作輔助線構(gòu)造全等三角形進(jìn)而解決問題。模型一過角平分線上的點(diǎn)向角兩邊作垂線。過點(diǎn)D作DF⊥BC，交BC于點(diǎn)F△BED≌△BFD（AAS）方法：利用角平分線性質(zhì)，取角平分線上一點(diǎn)，向被平分的角的兩邊作垂線注：銳角三角形的垂線在中線線段上；鈍角三角形的垂線在中線線段的延長線上。目的：構(gòu)造一組全等三角形【例1-1】如圖，的外角的平分線與內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．【答案】50°【分析】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案．【解析】延長BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，設(shè)∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°，∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°，∴∠CAF=100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)，∴∠CAP=∠FAP，又∵∠CAP+∠PAF=∠CAF，∴∠CAP=50°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PM=PN=PF是解決問題的關(guān)鍵．【例1-2】如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，求證：∠ADC+∠B=180o【答案】見解析.【分析】延長AD過C作CF垂直AD于F，由條件可證△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由條件AD＋AB＝2AE可證BE＝DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性質(zhì)可得∠B＝∠FDC，問題得證．【解析】證明：延長AD過C作CF垂直AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC＝∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AFC＝∠AEC＝90°，AC=AC，∴△AFC≌△AEC(AAS)，∴AF＝AE，CF＝CE，∵AD+AB=2AE，又∵AD＝AF?DF，AB＝AE＋BE，AF＝AE，∴2AE＝AE＋BE＋AE?DF，∴BE＝DF，在△CDF和△CBE中，CF＝CE∠CFD＝∠CEBDF＝BE，∴△CDF≌△∵∠ADC＋∠FDC＝180°，∴∠ADC+∠B=180o．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是牢記三角形全等的判定定理．【例1-3】如圖，在中，，、分別是、的平分線，、相交于點(diǎn)，試判斷和之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】詳見解析【分析】如圖，過點(diǎn)F作，，垂足分別為H、G，根據(jù)角平分線，可得點(diǎn)F是的內(nèi)心，則有，繼而根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可得，從而可得，繼而可得FE=FD.【解析】FE=FD，理由如下：如圖，過點(diǎn)F作，，垂足分別為H、G.是，的平分線AD、CE的交點(diǎn)，為的內(nèi)心，.，，又；，，又，，.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．針對性訓(xùn)練11.在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且∠EDF＋∠EAF＝180°，求證DE＝DF．【分析】過D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DN＝DM，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理和平角定義求出∠AED＝∠CFD，根據(jù)全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可．【解析】證明：過D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，即∠EMD＝∠FND＝90°，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN（角平分線性質(zhì)），∵∠EAF＋∠EDF＝180°，∴∠MED＋∠AFD＝360°?180°＝180°，∵∠AFD＋∠NFD＝180°，∴∠MED＝∠NFD，在△EMD和△FND中∠MED＝∠DFN，∠DME＝∠DNF，DM＝DN，∴△EMD≌△FND（AAS），∴DE＝DF．點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定和角平分線定義的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確作輔助線，進(jìn)一步推出△EMD和△FND全等，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．2.已知點(diǎn)C是∠MAN平分線上一點(diǎn)，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點(diǎn)，且∠ABC+∠ADC＝180°．過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，求證：BC＝DC；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長線上時(shí)，探究線段AB、AD與BE之間的等量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠MAN＝60°，連接BD，作∠ABD的平分線BF交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，連接DO并延長交AB于點(diǎn)G．若BG＝1，DF＝2，求線段DB的長．【答案】（1）見解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由見解析；（3）3．【詳解】（1）證明：如圖1，過點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠CBE＝∠CDF，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS）∴BC＝DC；（2）解：AD﹣AB＝2BE，理由如下：如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥AD，垂足為F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，AE＝AF，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CDF＝∠CBE，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS），∴DF＝BE，∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE，∴AD﹣AB＝2BE；（3）解：如圖3，在BD上截取BH＝BG，連接OH，∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB在△OBH和△OBG中，，∴△OBH≌△OBG（SAS）∴∠OHB＝∠OGB，∵AO是∠MAN的平分線，BO是∠ABD的平分線，∴點(diǎn)O到AD，AB，BD的距離相等，∴∠ODH＝∠ODF，∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB，∴∠DOH＝∠DAB＝60°，∴∠GOH＝120°，∴∠BOG＝∠BOH＝60°，∴∠DOF＝∠BOG＝60°，∴∠DOH＝∠DOF，在△ODH和△ODF中，，∴△ODH≌△ODF（ASA），∴DH＝DF，∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3．模型2截長補(bǔ)短構(gòu)造全等三角形截長補(bǔ)短在BC在截取BF=BE延長BC至點(diǎn)F，使BF=AE△BED≌△BFD（SAS）△BED≌△BFD（SAS）【例2-1】在△ABC中，∠ACB=2∠B，（1）如圖①，當(dāng)∠C=90°，AD為∠ABC的角平分線時(shí)，在AB上截取AE=AC，連接DE，易證AB=AC+CD．請證明AB=AC+CD；（2）①如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論，不要求證明；②如圖③，當(dāng)∠C≠90°，AD為△ABC的外角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想并證明．【答案】（1）證明見解析；（2）①AB=AC+CD；②AC+AB=CD，證明見解析．【分析】（1）首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE=45°，求出BE=DE=CD，進(jìn)而得出答案；（2）①首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE，求出BE=DE=CD，進(jìn)而得出答案；②首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠EDC，求出BE=DE=CD，進(jìn)而得出答案．【解析】解：（1）∵AD為∠ABC的角平分線，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED=90°，∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，∴∠B=45°，∴∠BDE=45°，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；（2）①AB=AC+CD．理由：在AB上截取AE=AC，連接DE，∵AD為∠ABC的角平分線，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∠B+∠BDE=∠AED，∴∠B=∠BDE，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；②AC+AB=CD．理由：在射線BA上截取AE=AC，連接DE，∵AD為∠EAC的角平分線，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠ACD=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴設(shè)∠B=x，則∠ACB=2x，∴∠EAC=3x，∴∠EAD=∠CAD=1.5x，∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，∴∠ADC=0.5x，∴∠EDC=x，∴∠B=∠EDC，∴BE=ED=CD，∴AB+AE=BE=AC+AB=CD．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)等知識，利用已知得出△AED≌△ACD是解題關(guān)鍵．【例2-2】已知：如圖，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求證：AB＝AC＋CD．【分析】在AB上取AE＝AC．連接DE，可得△ACD≌△AED，得出ED＝CD，進(jìn)而通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)論．【解析】證明：方法1：在AB上取AE＝AC，連接DE，∵AE＝AC，∠1＝∠2，且AD＝AD，∴△ACD≌△AED（SAS），∴ED＝CD，∠AED＝∠C＝2∠B，又∵∠AED＝∠B＋∠BDE，∴∠B＝∠BDE，∴EB＝ED，即△BED為等腰三角形．∴BE＝ED＝CD，∴AB＝AE＋EB＝AC＋CD．點(diǎn)評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等問題，能夠利用全等三角形的性質(zhì)求證一些簡單的問題．【例2-3】如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，連接DE、DF，∠EDF＋∠BAC＝180°．求證：DE＝DF．【分析】在AB上截取AG＝AF，先證明△AGD≌△AFD，得出∠AGD＝∠AFD，DG＝DF；再根據(jù)角的關(guān)系求出∠4＝∠3，證出DE＝DG，即可得出結(jié)論DE＝DF．【解析】證明：在AB上截取AG＝AF，連接DG，如圖所示：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠1＝∠2，在△ADG與△ADF中，AG＝AF，∠1＝∠2，AD＝AD，∴△AGD≌△AFD（SAS）∴∠AGD＝∠AFD，DG＝DF又∵∠AED＋∠EDF＋∠DFA＋∠FAE＝360°，∠EDF＋∠BAC＝180°．∴∠AED＋∠AFD＝180°，又∠4＋∠AGD＝180°，∴∠4＝∠3，∴DE＝DG，∴DE＝DF．點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角的平分線的定義、等腰三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等和等腰三角形是解決問題的關(guān)鍵．針對性訓(xùn)練21.已知：如圖，，，分別平分和，點(diǎn)E在上．用等式表示線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】AB=AC+BD，證明見詳解．【詳解】解：延長AE，交BD的延長線于點(diǎn)F，∵，∴∠F=∠CAF，∵平分，∴∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AB=BF，∵平分，∴AE=EF，∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED，∴△ACE≌△FDE，∴AC=DF，∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O．(1)求證：∠AOC＝90°＋∠ABC；(2)當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，且AO＝3OD（如圖2），判斷線段AE，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)見解析；(2)AE+CD=AC，證明見解析【解析】(1)證明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，∵∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O．∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC），即∠AOC=90°+∠ABC；(2)解：AE+CD=AC，證明：如圖2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°，∴∠EOA=45°，在AC上分別截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，連接OM，ON，則在△AEO和△AMO中，，∴△AEO≌△AMO，同理△DCO≌△NCO，∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，∴∠MON=∠MOA=45°，過M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，∴MK=ML，S△AOM=AO×MK，S△MON=ON×ML，∴，∵，∴，∵AO=3OD，∴，∴，∴AN=AM=AE，∵AN+NC=AC，∴AE+CD=AC．鞏固提高1.如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=BC，E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且∠EBF=60°，求證：EF=AE+CF?！敬鸢浮浚悍椒ㄒ唬貉a(bǔ)短法延長CF至點(diǎn)G，使CG=AE，連接GB在△CBG與△ABE中∴△CBG≌△ABE∴GB=EB，∠GBC=∠ABE∵∠D=60°，∠BCD=∠BAD=90°∴∠CBA=120°∴∠GBE=120°∵∠FBE=60°∴∠GBF=60°在△GBF與△EBF中∴△GBF≌△EBF∴GF=EF∴CF+AE=EF方法二：旋轉(zhuǎn)法如圖，將△BAE以B點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)120°至△BCG處∵△BCG為△BAE旋轉(zhuǎn)120°所得∴△BCG≌△BAE，∠GBE=120°∴GC=AE，BG=BE∵∠FBE=60°∴∠GBF=60°在△GBF與△EBF中∴△GBF≌△EBF∴GF=EF∴CF+AE=EF2．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD．求證：EF=BE+FD．【答案】證明見解析．【分析】延長EB到G，使BG=DF，連接AG．先說明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性質(zhì)和已知條件證得△AEG≌△AEF，最后再運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和線段的和差即可解答．【解析】延長EB到G，使BG=DF，連接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，做出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．3．（1）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，請?zhí)骄繄D中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是什么？小明探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連結(jié)AG．先證明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由條件可得∠EAF＝∠GAF，證明△AEF≌△AGF，進(jìn)而可得線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展應(yīng)用：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD．問（1）中的線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．【答案】（1）EF＝BE+DF；（2）結(jié)論EF＝BE+DF仍然成立；證明見解析．【分析】（1）延長FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；（2）延長FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題．【解析】（1）EF＝BE+DF，理由如下：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案為：EF＝BE+DF．（2）結(jié)論EF＝BE+DF仍然成立；理由：延長FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連結(jié)AG，如圖2，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．4.如圖所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A為y軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為第二象限一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在BD的延長線上，CD交AB于點(diǎn)F，且∠BDC＝∠BAC．(1)求證：∠ABD＝∠ACD；(2)求證：AD平分∠CDE；(3)若在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有DC＝DA+DB，在此過程中，∠BAC的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出∠BAC的度數(shù)．【答案】(1)證明過程見解析；(2)證明過程見解析；(3)∠BAC=60°，理由見解析【解析】(1)證明：∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠ABD=∠ACD；(2)證明：過點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M，作AN⊥BE于點(diǎn)N，如下圖所示：則∠AMC=∠ANB=90°．∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，由(1)可知：∠ABD=∠ACD，∴△ACM≌△ABN(AAS)，∴AM=AN．∴DA平分∠CDE．(角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上)；(3)解：∠BAC的度數(shù)為60°，理由如下：在CD上截取CP=BD，連接AP，如下圖所示：∵CD=AD+BD，∴AD=PD．∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，∴△ABD≌△ACP(SAS)，∴AD=AP，∠BAD=∠CAP，∴AD=AP=PD，即△ADP是等邊三角形，∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．5.已知：如圖1，在中，是的平分線．E是線段上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合），滿足．（1）如圖2，若，且，則________，_______．（2）求證：．（3）如圖3，若，請直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）36，126；（2）見解析；（3）【詳解】（1）∵，且，∴∠EAC=∠ACE=18°，∴∠DEC=∠EAC+∠ACE=36°，又∵是的平分線，∴∠BAD=∠CAD=18°，∵，∴∠ABE=36°，∴；故答案為：36，126（2）在上截取，連接，又∵AE=AE，，∴，∴，∵∠AFE=∠ACE+∠FEC，∠ABE=2∠ACE，∴，∴∴；（3）∵，∴，∵，，∠CAD=∠BAE，∴∠ACD=∠ABE，∵∠ABE=2∠ACE，∴∠ACD=2∠ACE，∴CE平分∠ACB，∴點(diǎn)E到CA、CB的距離相等，又∵是的平分線，∴點(diǎn)E到AC、AB的距離相等，∴點(diǎn)E到BA、BC的距離相等，∴是的平分線，∴∠ABE=∠CBE，∴，又∵，∴，即．6.如圖①，是四邊形的一個(gè)外角，//，，點(diǎn)在的延長線上，，，垂足為．(1)求證：①平分；②．(2)如圖②，若，，．求的度數(shù)．【答案】(1)①見解析；②見解析；(2)90°【解析】(1)解：①∵ADBC，∴∠C=∠CDE，∵BC=BD，∴∠C=∠CDB，∴∠CDB=∠CDE，∴DC平分；②如圖，過點(diǎn)F作FH⊥BD，交BD延長線于H，∵∠FDG=∠CDE，∠FDH=∠CDB，∠EDC=∠CDB，∴∠FDG=∠FDH，∵FG⊥AE，F(xiàn)H⊥BD，∴FH=FG，∠H=∠FGD=∠AGF=90°,∵FD=FD，∴Rt△FHD≌Rt△FGD（HL），∴DH=DG，∵，∴FB=FA，∴Rt△FHB≌Rt△FGA（HL）∴BH=AG，∵BD=BC，∴AG=BH=BD+DH=BC+DG，即AG=BC+DG；(2)解：∵AB=4，BC=3，DG=1，∴BD=BC=3，AG=BC+DG=3+1=4，∴AD=AG+DG=4+1=5，∵AB2+BD2=42+32=52=AD2，∴∠ABD=90°，過點(diǎn)F作FM⊥AB于M，交AD于N，如圖，則∠AMF=∠BMF=90°=∠ABD，∴FMBD，∴∠BFM=∠FBD，∵，∴FB=FA，∴AM=AB=2，∠AFM=∠BFM，∴∠AFM=∠FBD，由（1）②知，Rt△FHB≌Rt△FGA，∴∠FAG=∠FBD，∴∠FAG=∠AFN，∵FMBD，∴∠MFD=∠BDC，∵∠BDC=∠CDE=∠FDG，∴∠MFD=∠FDG，∴∠AFM+∠FAG+∠DFN+∠FDG=180°，∴2∠AFM+2∠DFN=180°，∴2∠AFD=180°，∴∠AFD=90°．7.已知：在四邊形中，于E，且．(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，平分交于F，點(diǎn)G在上，連接，且．求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，，過點(diǎn)F作，且，若，求線段的長．【答