新教材2023高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運(yùn)算1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算分層演練新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

1.1空間向量及其運(yùn)算1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.已知e1,e2為單位向量,且e1⊥e2,a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,若a⊥b,則實(shí)數(shù)k的值為()A.-6B.6C.3D.-3解析:由題意,得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6.答案:B2.已知a,b是兩異面直線,點(diǎn)A,B∈a,點(diǎn)C,D∈b,若AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,則直線a,b所成的角為()A.30° B.60° C.90° D.45°解析:由題意,得AC⊥CD,DB⊥CD,即AC·CD=DB·CD=0.因?yàn)锳B=AC+CD+DB,所以AB·CD=(AC+CD+DB)·CD=CD2=1因?yàn)閏os<AB,CD>=AB·CD|所以<AB,CD>=60°,所以直線a,b所成的角為60°.答案:B3.如圖,已知空間四邊形每條邊和對(duì)角線都等于a,E,F,G分別是AB,AD,DC的中點(diǎn),則下列向量的數(shù)量積等于a2的是()A.2BA·ACB.2AD·DBC.2FG·ACD.2EF·CB解析:2符合題意C答案:C4.已知線段AB的長(zhǎng)度為64,AB與直線l的方向向量a的夾角為120°,則AB在l上的投影向量的長(zhǎng)度d為32.解析:d=5.如圖,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,∠BAA1=60°,若E為棱C1D1的中點(diǎn),則AB·AE=14.解析:AE=AA1+AD+AB·AE=AB·AA1+AB·AD+12AB2=4×3×cos60°+0+126.如圖,已知線段AB⊥平面α,BC?α,CD⊥BC,DF⊥平面α,且∠DCF=30°,D與A在α的同側(cè),若AB=BC=CD=2,試求A,D兩點(diǎn)間的距離.解:因?yàn)锳D=AB+BC+CD,所以|AD|2=(AB+BC+CD)2=|AB|2+|BC|2+|CD|2+2AB·BC+2AB·CD+2BC·CD=12+2(2×2×cos90°+2×2×cos120°+2×2×cos90°)=8,所以|AD|=22,即A,D兩點(diǎn)間的距離為22.B級(jí)能力提升7.設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A,B,C,D,若(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=0,則△ABC是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形解析:因?yàn)镈B+DC-2DA=(DB-DA)+(DC-DA)=AB+AC,所以(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=(AB+AC)·(AB-AC)=AB2-AC2所以|AB|=|AC|,所以△ABC是等腰三角形.答案:B8.如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長(zhǎng)都相等,若M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AB1和BM所成的角的大小是90°.解析:設(shè)正三棱柱ABC-A1B1C1的棱長(zhǎng)為2,則AB1=BB1-BA,BM=BC+12BB1,cos<AB1,BM>=(BB1-9.如圖所示,在一個(gè)直二面角α-AB-β的棱上有A,B兩點(diǎn),AC,BD分別是這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)垂直于AB的線段,若AB=4,AC=6,BD=8,則CD的長(zhǎng)為229.解析:由題意,得AB·AC=AB·BD=AC·BD=0.因?yàn)镃D=CA+AB+BD=AB-AC+BD,所以CD2=(AB-AC+BD)2=AB2+AC2+BD2-2AB·AC+2AB·BD-2AC·BD=16+36+64=116,所以|CD10.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分別是A1B,B1C1上的點(diǎn),且BM=2A1M,C1N=2B1N.設(shè)AB=a,AC=b,AA1(1)試用a,b,c表示向量MN;(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的長(zhǎng).解:(1)MN=MA1+A=13BA1=13(c-a)+a+13(b-a)=13a+13b(2)因?yàn)?a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+1+0+2×1×1×122×1×1×12=所以|a+b+c|=5,所以|MN|=13|a+b+c|=5即MN=5311.如圖,正四面體V-ABC的棱長(zhǎng)為1,高VD的中點(diǎn)為O,M為VC的中點(diǎn).(1)求證:AO,BO,CO兩兩垂直;(2)求<DM,AO>.(1)證明:設(shè)VA=a,VB=b,VC=c.因?yàn)檎拿骟wV-ABC的棱長(zhǎng)為1,則VD=13(a+b+c),可得AO=16(b+c-5a),BO=16(a+c-5b),CO=16(a+b所以AO·BO=136(b+c-5a)·(a+c-5b)=136(18a·b-9|a|2)=136(18×1×1×cos60°-所以AO⊥BO,即AO⊥BO.同理,AO⊥CO,BO⊥CO.所以AO,BO,CO兩兩垂直.(2)解:DM=DV+VM=-13(a+b+c)+12c=16(-2a-2b所以|DM|=16(-2又因?yàn)閨AO|=16(bDM·AO=16(-2a-2b+c)·16(b+c-5a)=所以cos<DM,AO>=1412所以<DM,AO>=45°.C級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新12.多選題在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下面給出的結(jié)論正確的是()A.|A1A+A1D1+A1B1B.A1C·(A1B1C.AD1與AD.此正方體體積為|AB·AA1·解析:A項(xiàng),由題意知|A1A+A1D1+A1B1|=|A1C|=3|A1B1|,所以|A1AB項(xiàng),由題意知A1C·(A1B1-A1A)=(A1B1A1B12+A1B1·A1D1+A1B1·A1C項(xiàng),由題意可求得AD1與A1B兩異面直線的夾角為60°,但AD1與A1BD項(xiàng),因?yàn)锳B·AA1=0,所以|AB·AA1·AD|=0,答案:AB13.多選題在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,下列向量的數(shù)量積可能為0的有()A.AD1·B1CC.AB·AD1 D.B解析:對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)四邊形ADD1A1為正方形時(shí),可得AD1⊥A1D,而A1D∥B1C,所以AD1⊥B1C,此時(shí)有AD1·B1C=0;對(duì)于