偏微分方程-雙曲型方程

§4分離變量法1

《偏微分方程教程》

第四章雙曲型方程

§4分離變量法2§4分離變量法

分離變量法亦稱Fourier法,它是解混合問題的一個(gè)最普遍的基本方法.雖然在§2我們已經(jīng)利用波的反射原理討論過混合問題,但在數(shù)學(xué)物理問題的研究中，有許多混合問題能用分離變量法求解,而不能用波的反射原理求解.

因此，分離變量法在求解偏微分方程的混合問題時(shí)特別重要，它不僅適用于波動(dòng)方程，而且也適用于熱傳導(dǎo)方程、調(diào)和方程，以及某些形式更復(fù)雜的方程和方程組.在這一節(jié)我們將以一維波動(dòng)方程和二維波動(dòng)方程的混合問題為模型，闡述分離變量法的解題過程和理論基礎(chǔ).《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程§4分離變量法3《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程4.1齊次波動(dòng)方程的混合問題

考察兩端固定的弦的自由振動(dòng),此問題可歸結(jié)為求方程

滿足初始條件

(4.1)(4.2)及邊界條件

(4.3)的解,其中

是相容性條件.

首先，我們?cè)O(shè)法找到所有具有變量分離形式的滿足方程(4.1)和邊界條件(4.3)的非零特解.所謂函數(shù)具有變量分離形式，

下面我們用分離變量法來求解混合問題(4.1)-(4.3).

§4分離變量法4《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程是指它能寫成

(4.4)的形式.將(4.4)代入方程(4.1),有

此處

分離變量即得

(4.5)因?yàn)榈仁?4.5)的左端僅與

有關(guān),右端僅與有關(guān),因此存在常數(shù)

使得于是得到變量被分離后的兩個(gè)常微分方程

§4分離變量法5《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程(4.6)

(4.7)

現(xiàn)在我們可以通過解這兩個(gè)常微分方程來定出函數(shù)

和

．由邊界條件(4.3)得

由于我們所要求的

是非零解，故

,從而推知函數(shù)

應(yīng)滿足附加條件

(4.8)為此，我們需要解如下含參數(shù)

題:

(4.9)

的二階線性常微分方程邊值問§4分離變量法6《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程

定義4.1

使常微分方程邊值問題(4.9)具有非平凡解的那些值稱為這個(gè)邊值問題的特征值;相應(yīng)的非平凡解稱為對(duì)應(yīng)于這個(gè)特征值的特征函數(shù);尋找邊值問題(4.9)的所有特征值和特征函數(shù)的問題稱為特征值問題或施圖姆-劉維爾(Sturm-Liouville)問題.現(xiàn)在我們來解特征值問題(4.9).分三種情形進(jìn)行討論:

1)當(dāng)

時(shí),方程(4.6)的通解為

其中

是任意常數(shù),要使它滿足邊界條件(4.8),就必須有

§4分離變量法7《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程因此必須同時(shí)為零,從而

恒等于零.此時(shí)特征值問題(4.9)沒有非平凡解.

2)當(dāng)

時(shí),方程(4.6)的通解為

所以

,從而

.此時(shí),(4.9)也沒有非平凡解.

3)當(dāng)

時(shí),方程(4.6)的通解為

由于系數(shù)行列式§4分離變量法8《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程要它滿足邊界條件(4.8),必須

由這兩個(gè)等式推得

如果,那么

因此為了獲得非平凡解,必須要求

且

即

其中

是一個(gè)任意的正整數(shù).所以,只有當(dāng)

取值為

(4.10)§4分離變量法9《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程時(shí),特征值問題(4.9)才有非平凡解.這些離散的

(4.9)的特征值,與這些特征值

就是特征值問題對(duì)應(yīng)的函數(shù)

(4.11)就是特征值

所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù).

對(duì)于

方程(4.7)的通解可寫成

其中

和

都是任意常數(shù),于是對(duì)任意的

和

函數(shù)§4分離變量法10《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程滿足方程(4.1)和邊界條件(4.3).

由于方程(4.1)是線性齊次的,根據(jù)疊加原理,對(duì)任何有限個(gè)特解的線性組合也是它的解.對(duì)于無窮級(jí)數(shù)

(4.12)由級(jí)數(shù)理論知,只要級(jí)數(shù)(4.12)及它對(duì)

和

逐項(xiàng)求導(dǎo)兩次后所得的級(jí)數(shù)都一致收斂時(shí)，其和函數(shù)將仍是方程(4.1)滿足邊界條件(4.3)的解.現(xiàn)在的問題是設(shè)法確定常數(shù)

和使級(jí)數(shù)(4.12)及它對(duì)

和

逐項(xiàng)求導(dǎo)兩次后所得的級(jí)數(shù)都一致收斂,且和函數(shù)滿足初始條

件(4.2).這里先對(duì)級(jí)數(shù)(4.12)關(guān)于

形式求導(dǎo),得

(4.13)§4分離變量法11《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程利用初始條件(4.2),在(4.12)和(4.13)中令

得

由此可知,如果函數(shù)

和在區(qū)間

上都能展成Fourier正弦級(jí)數(shù),那么它們的系數(shù)

和

就由

(4.14)

給出.

§4分離變量法12《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程下面我們來證明,當(dāng)初始數(shù)據(jù)

和(4.14)確定的

和

作系數(shù)的級(jí)數(shù)(4.12)就是混合問題(4.1)-(4.3)

的解為此,我們只要能證得級(jí)數(shù)(4.12)及對(duì)它逐項(xiàng)求導(dǎo)兩次后所得級(jí)數(shù)都一致收斂就行了．在區(qū)間

上有直到

階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),

階導(dǎo)數(shù)分段連續(xù),且當(dāng)

為偶數(shù)時(shí)

若把函數(shù)

展開成正弦級(jí)數(shù)

滿足一定的條件時(shí),由

引理4.5

設(shè)函數(shù)

§4分離變量法13《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程

證:

由假設(shè)知,函數(shù)

可在區(qū)間

上展為Fourier

為奇數(shù)時(shí),展開式為

則級(jí)數(shù)是收斂的.級(jí)數(shù).當(dāng)§4分離變量法14《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程其中

§4分離變量法15《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程當(dāng)

為偶數(shù)時(shí),展開式為

同樣可以推得

根據(jù)貝塞爾(F.W.Bessel)不等式,有

§4分離變量法16《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程由此可見,無論

是奇數(shù)還是偶數(shù),都有

即利用Cauchy不等式,得

所以級(jí)數(shù)

收斂.引理證畢.

§4分離變量法17《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程

定理4.11

設(shè)在區(qū)間

上,函數(shù)

且三階導(dǎo)數(shù)分段連續(xù),函數(shù)端點(diǎn)同時(shí)滿足相容性條件

二次連續(xù)可微

連續(xù)可微且二階導(dǎo)數(shù)分段連續(xù),在

則由級(jí)數(shù)(4.12)定義的函數(shù)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且是混合問題(4.1)-(4.3)的解.§4分離變量法18《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程

證:

由引理4.5知,級(jí)數(shù)

都是收斂的,因而級(jí)數(shù)(4.12)關(guān)于

和

數(shù)也都是一致收斂的,而且分別收斂于函數(shù)

級(jí)數(shù)(4.12)所定義的函數(shù)

是定解問題(4.1)-(4.3)的解.

逐項(xiàng)微分二次后所得的級(jí)的相應(yīng)導(dǎo)數(shù),所以定理證畢.§4分離變量法19《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程第一步:

令

適合方程和邊界條件，從而

定出所適合的