專題29 幾何問題輔助線添加技巧【有答案】

專題29幾何問題輔助線添加技巧全國各地每年的中考試卷里都會出現(xiàn)考查幾何的證明和計算問題，在解答試題過程中，我們發(fā)現(xiàn)當題設條件不夠，必須添加輔助線，把分散條件集中，建立已知和未知的橋梁，結(jié)合學過的知識，采用一定的數(shù)學方法，把問題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問題。學會添加輔助線技巧，是培養(yǎng)學生科學思維、科學探究的重要途徑。所以希望大家學深學透添加輔助線的技巧和方法。一、以基本圖形為切入點研究添加輔助線的技巧策略1.三角形問題方法1：有關三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關于平分線段的一些定理。方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。2.平行四邊形問題平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：（1）連對角線或平移對角線：（2）過頂點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形；（3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線；（4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形；（5）過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等。3.梯形問題梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：（1）在梯形內(nèi)部平移一腰；（2）梯形外平移一腰；（3）梯形內(nèi)平移兩腰；（4）延長兩腰；（5）過梯形上底的兩端點向下底作高；（6）平移對角線；（7）連接梯形一頂點及一腰的中點；（8）過一腰的中點作另一腰的平行線；（9）作中位線。當然在梯形的有關證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關鍵。4.圓中常用輔助線的添法在平面幾何中，解決與圓有關的問題時，常常需要添加適當?shù)妮o助線，架起題設和結(jié)論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見方法，對提高學生分析問題和解決問題的能力是大有幫助的。（1）見弦作弦心距。有關弦的問題，常作其弦心距（有時還須作出相應的半徑），通過垂徑平分定理，來溝通題設與結(jié)論間的聯(lián)系。（2）見直徑作圓周角。在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對的圓周角，利用"直徑所對的圓周角是直角"這一特征來證明問題。（3）見切線作半徑。命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過切點的半徑，利用"切線與半徑垂直"這一性質(zhì)來證明問題。（4）兩圓相切作公切線。對兩圓相切的問題，一般是經(jīng)過切點作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過公切線可以找到與圓有關的角的關系。（5）兩圓相交作公共弦。對兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來。二、添加輔助線的重要方法總結(jié)1.中點、中位線，延線，平行線。如遇條件中有中點，中線、中位線等，那么過中點，延長中線或中位線作輔助線，使延長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線，以達到應用某個定理或造成全等的目的。2.垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，，這時輔助線的做法就會應運而生。其對稱軸是垂線或角的平分線。邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形，這時輔助線的做法仍會應運而生。其對稱中心，因題而異，有時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉(zhuǎn)兩種。造角、平移、相似，和、差、積、商。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關。在制造兩個三角形相似時，一般地，有兩種方法：第一，造一個輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線段進行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見?！?.兩圓若相交，連心公共弦。如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。6.兩圓相切、離，連心，公切線。如條件中出現(xiàn)兩圓相切（外切，內(nèi)切），或相離（內(nèi)含、外離），那么，輔助線往往是連心線或內(nèi)外公切線。切線連直徑，直角與半圓。如果條件中出現(xiàn)圓的切線，那么輔助線是過切點的直徑或半徑使出現(xiàn)直角；相反，條件中是圓的直徑，半徑，那么輔助線是過直徑（或半徑）端點的切線。即切線與直徑互為輔助線。如果條件中有直角三角形，那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反，條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角——直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線?；　⑾?、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助線，反之，亦成立。有時，圓周角，弦切角，圓心角，圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關系互相聯(lián)想作輔助線。9.面積找底高，多邊變?nèi)?。如遇求面積，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關鍵。如遇多邊形，想法割補成三角形；反之，亦成立。三、初中幾何常見輔助線作法歌訣人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實驗?；咀鲌D很關鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學加苦練，成績上升成直線。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習慣。等積式子比例換，尋找線段很關鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。圓半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難?！纠}1】（2020廣東梅州模擬）如圖，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，則EF=．【答案】2【分析】作EG⊥OA于F，∵EF∥OB，∴∠OEF=∠COE=15°，∵∠AOE=15°，∴∠EFG=15°+15°=30°?！逧G=CE=1，∴EF=2×1=2。【點撥】角平分線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)。【對點練習】如圖，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D。求證：∠DBC=∠BAC.CCABD【答案】見解析?！窘馕觥縀CABD證明：如圖，作AE⊥BC于E，則∠EAC+ECABD∵AB=AC∴∠EAG=∠BAC∵BD⊥AC于D∴∠DBC+∠C=90°∴∠EAC=∠DBC（同角的余角相等）即∠DBC=∠BAC?！军c撥】∠DBC、∠BAC分別在直角三角形和等腰三角形中，由所證的結(jié)論“∠DBC=?∠BAC”中含有角的倍、半關系，因此，可以做∠A的平分線，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，把?∠A放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC沿BD翻折構(gòu)造2∠DBC求解?！纠}2】（2019江蘇常熟）如圖，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，點P是AD的中點，點E在BC上，CE＝2BE，點M、N在線段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，則MN＝．【答案】6．【解析】作PF⊥MN于F，如圖所示：則∠PFM＝∠PFN＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3，∠A＝∠C＝90°，∴AB＝CD＝，BD＝＝10，∵點P是AD的中點，∴PD＝AD＝，∵∠PDF＝∠BDA，∴△PDF∽△BDA，∴＝，即＝，解得：PF＝，∵CE＝2BE，∴BC＝AD＝3BE，∴BE＝CD，∴CE＝2CD，∵△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，PF⊥MN，∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，∵∠PFN＝∠C＝90°，∴△PNF∽△DEC，∴＝＝2，∴NF＝2PF＝3，∴MN＝2NF＝6【對點練習】已知，如圖，在□ABCD中，AB=2BC，M為AB中點求證：CM⊥DM【答案】見解析。【解析】證明：延長DM、CB交于N∵四邊形ABCD為平行四邊形∴AD=BC，AD∥BC∴∠A=∠NBA∠ADN=∠N又∵AM=BM∴△AMD≌△BMN∴AD=BN∴BN=BC∵AB=2BC，AM=BM∴BM=BC=BN∴∠1=∠2，∠3=∠N∵∠1＋∠2＋∠3＋∠N=180o，∴∠1＋∠3=90o∴CM⊥DM【點撥】有以平行四邊形一邊中點為端點的線段時常延長此線段.【例題3】（2020?金華）如圖，⊙O是等邊△ABC的內(nèi)切圓，分別切AB，BC，AC于點E，F(xiàn)，D，P是DF上一點，則∠EPF的度數(shù)是（）A．65° B．60° C．58° D．50°【答案】B【解析】如圖，連接OE，OF．求出∠EOF的度數(shù)即可解決問題．如圖，連接OE，OF．∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，E，F(xiàn)是切點，∴OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠OEB＝∠OFB＝90°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，∴∠EOF＝120°，∴∠EPF=12∠EOF＝60【對點練習】（2019江蘇徐州）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D為的中點．過點D作直線AC的垂線，垂足為E，連接OD．（1）求證：∠A＝∠DOB；（2）DE與⊙O有怎樣的位置關系？請說明理由．【答案】見解析。【解析】（1）證明：連接OC，∵D為的中點，∴＝，∴∠BCD＝BOC，∵∠BAC＝BOC，∴∠A＝∠DOB；（2）解：DE與⊙O相切，理由：∵∠A＝∠DOB，∴AE∥OD，∵DE⊥AE，∴OD⊥DE，∴DE與⊙O相切．【點撥】涉及圓的直徑的問題，輔助線一般是連接半徑。一、選擇題1．（2020?黔東南州）如圖，⊙O的直徑CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC＝3：5，則AB的長為（）A．8 B．12 C．16 D．291【答案】C【解析】連接OA，先根據(jù)⊙O的直徑CD＝20，OM：OD＝3：5求出OD及OM的長，再根據(jù)勾股定理可求出AM的長，進而得出結(jié)論．連接OA，∵⊙O的直徑CD＝20，OM：OD＝3：5，∴OD＝10，OM＝6，∵AB⊥CD，∴AM=OA2∴AB＝2AM＝16．2．（2020?濱州）在⊙O中，直徑AB＝15，弦DE⊥AB于點C，若OC：OB＝3：5，則DE的長為（）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】C【解析】直接根據(jù)題意畫出圖形，再利用垂徑定理以及勾股定理得出答案．如圖所示：∵直徑AB＝15，∴BO＝7.5，∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，∴DC=DO∴DE＝2DC＝12．3．（2020?天水）如圖所示，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，點C為⊙O上一點，連接AC、BC，若∠P＝70°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．60° D．65°【答案】B【分析】連接OA、OB，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OA⊥PA，OB⊥PB，則利用四邊形內(nèi)角和計算出∠AOB＝110°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠ACB的度數(shù)．【解析】連接OA、OB，如圖，∵PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB+∠P＝180°，∵∠P＝70°，∴∠AOB＝110°，∴∠ACB=12∠AOB＝4．如圖，直線a∥b，將一個直角三角尺按如圖所示的位置擺放，若∠1＝52°，則∠2的度數(shù)為（）A．38° B．52° C．48° D．62°【答案】A【解析】先利用平行線的性質(zhì)得出∠3，進而利用三角板的特征求出∠4，最后利用平行線的性質(zhì)即可．如圖，過點A作AB∥b，∴∠3＝∠1＝52°，∵∠3+∠4＝90°，∴∠4＝90°﹣∠3＝38°，∵a∥b，AB∥b，∴AB∥a，∴∠2＝∠4＝38°5.（2020浙江金華模擬）如圖，正方形ABCD和正三角形AEF都內(nèi)接于⊙O，EF與BC，CD分別相交于點G，H，則的值是（）A.B.C.D.2【答案】C.【解析】如答圖，連接，與交于點.則根據(jù)對稱性質(zhì)，經(jīng)過圓心，∴垂直平分，.不妨設正方形ABCD的邊長為2，則.∵是⊙O的直徑，∴.在中，，.在中，∵，∴.易知是等腰直角三角形，∴.又∵是等邊三角形，∴.∴.二、填空題6．（2019內(nèi)蒙古呼和浩特）已知正方形ABCD的面積是2，E為正方形一邊BC在從B到C方向的延長線上的一點，若CE＝，連接AE，與正方形另外一邊CD交于點F，連接BF并延長，與線段DE交于點G，則BG的長為．【答案】【解析】如圖：延長AD、BG相交于點H，∵正方形ABCD的面積是2，∴AB＝BC＝CDA＝，又∵CE＝，△EFC∽△EAB，∴，即：F是CD的中點，∵AH∥BE，∴∠H＝∠FBC，∠BCF＝∠HDF＝90°∴△BCF≌△HDF（AAS），∴DH＝BC＝，∵AH∥BE，∴∠H＝∠FBC，∠HDG＝∠BEG∴△HDG∽△BEG，∴，在Rt△ABH中，BH＝，∴BG＝7．（2019江蘇常熟）如圖，半徑為的⊙O與邊長為8的等邊三角形ABC的兩邊AB、BC都相切，連接OC，則tan∠OCB＝．【答案】．【解析】根據(jù)切線長定理得出∠OBC＝∠OBA＝∠ABC＝30°，解直角三角形求得BD，即可求得CD，然后解直角三角形OCD即可求得tan∠OCB的值．連接OB，作OD⊥BC于D，∵⊙O與等邊三角形ABC的兩邊AB、BC都相切，∴∠OBC＝∠OBA＝∠ABC＝30°，∴tan∠OBC＝，∴BD＝＝＝3，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，∴tan∠OCB＝＝．8．（2019湖北咸寧）如圖，半圓的直徑AB＝6，點C在半圓上，∠BAC＝30°，則陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）．【答案】3π﹣．【解析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，即可求得CD和∠COB的度數(shù)，即可得到陰影部分的面積是半圓的面積減去△AOC和扇形BOC的面積．解：連接OC、BC，作CD⊥AB于點D，∵直徑AB＝6，點C在半圓上，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝90°，∠COB＝60°，∴AC＝3，∵∠CDA＝90°，∴CD＝，∴陰影部分的面積是：＝3π﹣三、解答題9．（2020?菏澤）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，過點D作⊙O的切線交AC于點E．（1）求證：DE⊥AC；（2）若⊙O的半徑為5，BC＝16，求DE的長．【答案】見解析?！痉治觥浚?）連接AD、OD．先證明∠ADB＝90°，∠EDO＝90°，從而可證明∠EDA＝∠ODB，由OD＝OB可得到∠EDA＝∠OBD，由等腰三角形的性質(zhì)可知∠CAD＝∠BAD，故此∠EAD+∠EDA＝90°，由三角形的內(nèi)角和定理可知∠DEA＝90°，于是可得到DE⊥AC．（2）由等腰三角形的性質(zhì)求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的長，根據(jù)三角形的面積得出答案．【解析】（1）證明：連接AD、OD．∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB＝90°．∴∠ADO+∠ODB＝90°．∵DE是圓O的切線，∴OD⊥DE．∴∠EDA+∠ADO＝90°．∴∠EDA＝∠ODB．∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD．∴∠EDA＝∠OBD．∵AC＝AB，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD．∵∠DBA+∠DAB＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°．∴∠DEA＝90°．∴DE⊥AC．（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝AC，∴BD＝CD，∵⊙O的半徑為5，BC＝16，∴AC＝10，CD＝8，∴AD=AC∵S△ADC=12AD?∴DE=AD10．（2020?福建）如圖，AB與⊙O相切于點B，AO交⊙O于點C，AO的延長線交⊙O于點D，E是BCD上不與B，D重合的點，sinA=1（1）求∠BED的大??；（2）若⊙O的半徑為3，點F在AB的延長線上，且BF＝33，求證：DF與⊙O相切．【答案】見解析。【分析】（1）連接OB，由切線求出∠ABO的度數(shù)，再由三角函數(shù)求出∠A，由三角形的外角性質(zhì)求得∠BOD，最后由圓周解與圓心角的關系求得結(jié)果；（2）連接OF，OB，證明△BOF≌△DOF，得∠ODF＝∠OBF＝90°，便可得結(jié)論．【解析】（1）連接OB，如圖1，∵AB與⊙O相切于點B，∴∠ABO＝90°，∵sinA=1∴∠A＝30°，∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，∴∠BED=12∠BOD＝（2）連接OF，OB，如圖2，∵AB是切線，∴∠OBF＝90°，∵BF＝33，OB＝3，∴tan∠∴∠BOF＝60°，∵∠BOD＝120°，∴∠BOF＝∠DOF＝60°，在△BOF和△DOF中，OB=∴△BOF≌△DOF（SAS），∴∠OBF＝∠ODF＝90°，∴DF與⊙O相切．11.在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是線段BC上一動點（與點B、C不重合），連接AP，延長BC至點Q，使得CQ=CP，過點Q作QH⊥AP于點H，交AB于點M．（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?）用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關系，并證明．【答案】見解析?！窘馕觥浚?）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）連接AQ，作ME⊥QB，由AAS證明△APC≌△QME，得出PC=ME，△AEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．解：（1）∠AMQ=45°+α；理由如下：∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，∵QH⊥AP，∴∠AHM=90°，∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α；（2）PQ=MB；理由如下：連接AQ，作ME⊥QB，如圖所示：∵AC⊥QP，CQ=CP，∴∠QAC=∠PAC=α，∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，∴AP=AQ=QM，在△APC和△QME中，，∴△APC≌△QME（AAS），∴PC=ME，∴△AEB是等腰直角三角形，∴PQ=MB，∴PQ=MB．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性