計算流體力學課件：基本方程

計算流體力學

1流體力學基本方程計算流體力學(CFD)的概念及意義

流體力學的基本方程偏微分方程組的類型

重點:

流體力學基本概念：連續(xù)介質假設，流動描述方法N-S方程及其無量綱化（熟記）；

雙曲型方程性質；2計算流體力學:ComputationalFluidDynamics簡稱CFD§1.1緒論3計算流體力學是通過數(shù)值方法求解流體力學控制方程，得到流場的離散的定量描述，并以此預測流體運動規(guī)律的學科CFD:通過離散求解流動方程得到流動信息流動控制方程理論解（解析解）精確解：Poiseuille解，Blasius解，Plantdl湍流邊界層解漸進解、近似解：Stokes解數(shù)值解差分法、有限體積法、邊界元法、譜（元）方法、粒子方法……借助計算機來實現(xiàn)數(shù)值求解在計算機產生之前，數(shù)值方法已然產生方程復雜（非線性偏微方程組），解析解很難獲得4計算流體力學(CFD):在航空航天領域得到廣泛應用●1970年代，飛機設計主要依賴風洞實驗YF-17研制，風洞實驗13,500小時●1980年代，CFD逐漸發(fā)展，部分取代實驗YF-23，風洞實驗5,500小時，CFD計算15,000機時YF17YF23YF175●90年代，CFD在飛機設計中發(fā)揮了主力作用波音777，CFD占主角

●2000之后，CFD取代了大部分風洞實驗波音787：全機風洞實驗僅3次波音787波音777●航天領域，CFD發(fā)揮著實驗無法取代的作用

實驗難點：復現(xiàn)高空高速流動條件

6CFD面臨的挑戰(zhàn)及主要任務：多尺度復雜流動的數(shù)學模型化;

湍流的計算模型；

轉捩的預測模型；

燃燒及化學反應模型；

噪聲模型……可處理間斷及多尺度流場的高分辨率、強魯棒性、高效數(shù)值方法；

高精度激波捕捉法；

間斷有限元法;……

可處理復雜外形、易用性強的算法；

復雜外形——網格生成工作量大

多塊分區(qū)算法；

無網格法；粒子算法；7傳統(tǒng)計算方法：

有限差分法，

有限體積法，有限元法，

譜方法（譜元法）等；最近發(fā)展的方法:基于粒子的算法（格子-Boltzmann,BGK），無網格

優(yōu)點缺點適用范圍有限差分法簡單成熟，可構造高精度格式處理復雜網格不夠靈活相對簡單外形的高精度計算有限體積法守恒性好，可處理復雜網格不易提高精度（二階以上方法復雜）復雜外形的工程計算有限元法基于變分原理，守恒性好對于復雜方程處理困難多用于固體力學等間斷有限元法(DG)精度高、守恒性好、易于處理復雜網格計算量大；捕捉激波（限制器）難度大復雜外形的高精度計算譜方法精度高外形、邊界條件簡單簡單外形的高精度計算粒子類方法算法簡單，可處理復雜外形精度不易提高復雜外形的工程計算8課程安排流體力學基本方程

雙曲型方程組及其間斷（Riemann）解

差分法（1）：數(shù)學基礎及Fourier分析方法

差分法（2）：高精度激波捕捉格式

差分法（3）：通量分裂技術

有限體積法（1）

有限體積法（2）

間斷有限元方法

代數(shù)方程組的求解

不可壓方程的數(shù)值方法

網格生成技術湍流與轉捩（1）

湍流與轉捩（2）

燃燒及化學反應流動初步；并行計算編程初步（MPIPart1)并行計算編程初步(MPIpart2,OpenMP)9§1.2

流體力學基本方程組連續(xù)介質假設1.基本概念流體質點：微觀充分大，宏觀充分小流體連續(xù)地充滿整個空間舉例說明流體密度定義體積為V的控制體平均密度：控制體內流動的總質量/控制體體積控制體內的平均密度隨體積變化規(guī)律微觀充分大，宏觀充分小控制體太大，有宏觀波動控制體太小，有微觀波動流動描述方法Euler描述Lagrange描述描述流體信息：密度、速度、壓力、溫度等給出每個時刻每個空間點上的物理量研究的區(qū)域跟蹤每個流體質點，記錄物理量隨時間的變化初始時刻的位置物質（隨體）導數(shù)（場）例：乘火車從北京到上海，一路上記錄車廂外的溫度隨時間變化時間影響空間影響122.基本方程基于Euler描述任意點目的：給出t時刻（x,y,z）點處物理量（密度，速度、壓力、溫度）滿足的方程；

通過解方程得到這些物理量；1)

圍繞(x,y,z)點取一控制體;2)根據基本定律（質量、動量、能量守恒）,

給出控制體內總量（積分量）的變化規(guī)律；

（總質量、總動量、總能量的變化規(guī)律：積分型方程）3)令控制體尺度趨近于0，得到(x,y,z)點物理量的微分型方程控制體示意圖xy特點：控制體不動（Euler描述）13控制體質量（動量、能量）增加=穿過控制面流入的凈質量（動量、能量）數(shù)學化總質量總動量總能量

：質量密度，單位體積內的質量

：動量密度，單位體積內的動量E:能量密度，單位體積內的總能量（不考慮源項）內能（完全氣體）動能單位時間內，穿過垂直x軸單位面積流過的質量流量（從左向右流過為正）流通量(flux)14控制體質量（動量、能量）增加=穿過控制面流入的凈質量（動量、能量）穿過垂直x方向單位面積面元的質量通量同樣令(1)物理含義：通量的變化（散度）導致凈通量15控制體質量（動量、能量）增加=穿過控制面流入的凈質量（動量、能量）計算流通量問題：如圖，試計算單位時間內流過右側單位面積面元的質量、動量和總能量。注：外力沖量等同于流過的動量；外力做功等同于流過的能量質量通量：動量通量：流過質量附帶的動量+表面上外力的沖量

表面上（單位面積）所受外力所受外力能量通量：流過質量附帶的能量+表面上外力做功+熱傳遞

Fourier熱傳導定律：熱流與溫度梯度呈正比（向右為正）質量附帶動量E:能量密度，單位體積的能量基本概念：應力（張量）“把物體切開，其內部的力就暴露出來”“切的方向不同，表面上的力也不同”給定切割方向，就能得到表面力怎么描述連續(xù)體內部的力呢？切3次就夠了：垂直x軸,垂直y軸，垂直z軸各切一次沿垂直x的平面剖開，露出的面力沿垂直y的平面剖開，露出的面力沿垂直z的平面剖開，露出的面力沿任意方向切割，暴露出的力如下計算：局部力的平衡關系這個公式顯示：P是張量什么叫“張量”？矩陣不一定是張量張量的定義廣義牛頓粘性定律：通常情況下：

普通的線性應力-應變關系：

各向同性假設流體特性：靜止流體向各個方向的壓力相等（帕斯卡定律）靜止部分+運動部分通常情況下，第二粘性系數(shù)（膨脹粘性）可忽略17基本概念：力與變形的關系（本構方程，應力-應變關系）

流體特性：粘性力與變形速率呈正比（牛頓粘性定律）靜止流體牛頓實驗示意圖18所受外力壓力粘性（剪切力）壓力（垂直表面向內）xyz質量通量：動量通量：能量通量：穿過x-方向控制面的通量（密度）為：穿過y-,z-方向的通量同樣計算無粘通量粘性通量19將其帶入（1）式，得到最終的控制方程(N-S方程）：粘性通量無粘通量含義：質量（動量、能量）的變化=外界輸入的凈質量（動量、能量）質量密度動力密度能量密度補充關系20N-S方程各項物理含義剖析壓力做功流入質量帶來的能量單位時間內，流經垂直于x-軸單位面積平面的無粘流通量質量流量流入質量帶來的x-方向動量壓力（提供的沖量）流入質量帶來的y-方向動量流入質量帶來的z-方向動量單位時間內，流經垂直于x-軸單位面積平面的粘性流通量粘性力提供的x-方向沖量粘性力提供的y-方向沖量粘性力提供的z-方向沖量由于熱傳導輸入的熱量粘性力做功N-S方程的無量綱化無量綱量：

物理量與特征量之比R特征量：A速度417.2m/s,

密度2.86kg/m3

溫度262K壓力88740Pa……速度1.85

密度0.62

溫度0.86壓力0.75……A點的物理量：有量綱描述無量綱描述優(yōu)點：直觀優(yōu)點：便于對比特征量：對于某物理量，人為設定的值（可任意）例如，設定密度的特征量為：無量綱密度定義為：也可以設定成其他值，但必須是密度量綱含義：密度為特征密度的1.8倍無量綱形式的優(yōu)點：數(shù)值更加簡潔、便于對比；一組解可反映一系列（相似的）流動；缺點：數(shù)值的物理直觀性差各有優(yōu)缺點，可相互補充無量綱方式可任意出現(xiàn)的無量綱參數(shù)：

不同的無量綱方式得到的方程的形式不同無量綱狀態(tài)方程：22常見的無量綱形式用動壓作為特征壓力；可減少一個無量綱參數(shù)有量綱量特征量（有量綱）N-S方程的簡化1）不可壓縮情況下2）無粘情況下（Euler方程）通常：變形：假設粘性系數(shù)為常數(shù)（溫度變化較小的情況）23方程的精確解：含義：以常速度c向右傳播。波形，振幅保持不變24

（常用）特例：常系數(shù)線性單波方程§1.3偏微方程的分類及特征基本概念：橢圓型、雙曲型、拋物型方程1.一階偏微分方程初值：uxt=0uxt=t0t=0時刻與t=t0時刻物理量的分布txt=t1t=t2t=t3x-ct=const重要概念：特征線自變量空間的一條曲線，該曲線上物理量的方程可簡化ABc>0擾動波向右傳播：

左端(A)需要給定邊界條件；

右端(B)只能被動接受，無法給定邊界條件

（即使給定，對計算域也無任何影響,且造成B端的非適定性）。c<0擾動波向左傳播：

右端(B)需要給定邊界條件；左端(A)無需給定線性單波方程的邊界條件:對于初值問題，如果微分方程解的定解域中存在、唯一、且連續(xù)依賴于初始值，則稱數(shù)學問題的提法是適定的。25有限空間重要基本概念，需掌握初值：問題：如何給定邊界條件？（一般形式）一階線性偏微方程采用特征線法，可轉化為常微分方程考慮曲線G:顯然，沿著該曲線G有：如果該曲線G滿足：則有：偏微方程在特征線上變成了常微分方程特征線特征相容關系（特征線上物理量的簡化方程）26xy特征線簡化了方程，在空氣動力學領域應用廣泛27演示：如何利用特征線計算物理量特征線特征相容關系計算域xy步驟：1）設定積分步長（根據精度需求設定，例如0.1）2）在邊界上選取初始點，由邊界條件確定該點的物理量值3）根據特征線及特征相容關系數(shù)值積分，求出特征線下一個點的坐標和函數(shù)值。遞推下去，計算出整條特征線的（離散）坐標及物理量的（離散）值。4）在邊界上選取新的點，重復步驟3），計算出整個計算域物理量的分布

特征線法是空氣動力學重要的計算方法。早期（計算機出現(xiàn)之前），是主要的CFD手工計算方法之一。2.一階常系數(shù)偏微方程組如果矩陣A可以被對角化：令：有即：m個方程完全解耦，可獨立求解有m條特征線：m個特征相容關系式：如果矩陣A能夠（相似變換）對角化，則原方程是雙曲型的28

如果矩陣A具有m個實特征值，這些特征值共具有m個線性無關的特征向量，則稱為雙曲型方程一階擬線性偏微分方程組和m條特征線上的m個特征相容關系（常微分方程）等價。

如果A的特征值為m重根，而且對應的獨立特征向量數(shù)小于m，則稱為拋物型方程。如果其A的特征值均為復數(shù)，則稱為橢圓型方程組合情況：

雙曲-橢圓型雙曲-拋物型思考題：如果A為變系數(shù)情況？293.高階偏微方程——可轉化為一階方程組原方程化為一階方程組：轉化為一階偏微方程組矩陣特征方程（3）有兩個互異實根->矩陣A可對角化->雙曲型

特征方程（3）有兩個相同實根，且無法對角化->拋物型特征方程（3）無實根->橢圓型對于變系數(shù)情況，局部討論304.討論Euler方程組將矩陣A對角化一維非定常Euler方程轉化為三個單波方程:

擾動波分別以速度傳播一維非定常流動：31推導守恒變量：質量密度、動量密度、能量密度好性質：齊次函數(shù)5.雙曲型方程組邊界條件提法變換成為了彼此獨立的n個單波方程方法：獨立給定j個方程的邊界條件

如果lj>0,則在左端給定vj的邊界條件如果lj<0,