隨機(jī)變量及其分布

第二章隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量及其概率分布隨機(jī)變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度隨機(jī)變量的函數(shù)的分布在第一章中，我們用樣本空間的子集，即基本事件的集合來(lái)表示隨機(jī)試驗(yàn)的各種結(jié)果，這種表示方式對(duì)全面討論隨機(jī)試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性及數(shù)學(xué)工具的運(yùn)用都有較大的局限。在本章中，我們將用實(shí)數(shù)來(lái)表示隨機(jī)試驗(yàn)的各種結(jié)果，即引入隨機(jī)變量的概念。這樣，不僅可以更全面揭示隨機(jī)試驗(yàn)的客觀存在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，而且可使我們用（數(shù)學(xué)分析）微積分的方法來(lái)討論隨機(jī)試驗(yàn)。在隨機(jī)試驗(yàn)中，如果把試驗(yàn)中觀察的對(duì)象與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，即建立對(duì)應(yīng)關(guān)系X，使其對(duì)試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果e，都有一個(gè)實(shí)數(shù)X(e)與之對(duì)應(yīng)，試驗(yàn)的結(jié)果e實(shí)數(shù)X(e)對(duì)應(yīng)關(guān)系X則X的取值隨著試驗(yàn)的重復(fù)而不同，X是一個(gè)變量，且在每次試驗(yàn)中，究竟取什么值事先無(wú)法預(yù)知，也就是說(shuō)X是一個(gè)隨機(jī)取值的變量。由此，我們很自然地稱X為隨機(jī)變量。

關(guān)于隨機(jī)變量(及向量)的研究，是概率論的中心內(nèi)容．這是因?yàn)?，?duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的某個(gè)或某些量，而這些量就是隨機(jī)變量．也可以說(shuō)：隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，一如數(shù)學(xué)分析中的常量與變量的區(qū)分那樣．變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念．同樣，概率論能從計(jì)算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個(gè)更高的理論體系，其基礎(chǔ)概念是隨機(jī)變量．2.1隨機(jī)變量定義2.1(p.27)設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，S是試驗(yàn)E的樣本空間，如果對(duì)于S中的每一個(gè)樣本點(diǎn)e，有一實(shí)數(shù)X(e)與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)定義在S上的實(shí)值函數(shù)X(e)就稱為隨機(jī)變量。由定義可知，隨機(jī)變量X(e)是以樣本空間S為定義域的一個(gè)單值實(shí)值函數(shù)。有關(guān)隨機(jī)變量定義的幾點(diǎn)說(shuō)明：(1)隨機(jī)變量X不是自變量的函數(shù)而是樣本點(diǎn)e的函數(shù)，常用大寫字母X、Y、Z或小寫希臘字母

、

、

等表示。(2)隨機(jī)變量X隨著試驗(yàn)結(jié)果而取不同的值，因而在試驗(yàn)結(jié)束之前，只知道其可能的取值范圍，而事先不能預(yù)知它取什么值，對(duì)任意實(shí)數(shù)區(qū)間(a,b)，“a<X<b”的概率是確定的；(3)隨機(jī)變量X(e)的值域即為其一切可能取值的全體構(gòu)成的集合；(4)引入隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量描述事件，而且事件的討論，可以納入隨機(jī)變量的討論中。例2.1一批產(chǎn)品中任意抽取20件作質(zhì)量檢驗(yàn)，作為檢驗(yàn)結(jié)果的合格品的件數(shù)用X表示，則X是隨機(jī)變量。X的一切可能取值為0，1，2，…，20{X=0}表示事件“抽檢的20件產(chǎn)品中沒有合格品”；{X=1}表示事件“抽檢的20件產(chǎn)品中恰有1件合格品”；

……{X=k}表示事件“抽檢的20件產(chǎn)品中恰有k件合格品”。例2.2將一顆骰子投擲兩次，觀察所的點(diǎn)數(shù)，以X表示所得點(diǎn)數(shù)之和，則X的可能取值為2，3，4，…，12，而且{X=2}={(1,1)},{X=3}={(1,2),(2,1)},{X=4}={(1,3),(2,2),(3,1)},……{X=12}={(6,6)}。隨機(jī)變量X的取各個(gè)可能值的概率列于下表：X23456789101112P1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36……P(X=2)=1/36……………P(X=3)=2/36……P(X=4)=3/36…P(X=12)=1/36例2.4一個(gè)地鐵車站，每隔5分鐘有一列地鐵通過(guò)該站。一位乘客不知列車通過(guò)該站的時(shí)間，他在一個(gè)任意時(shí)刻到達(dá)該站，則他候車的時(shí)間X是一個(gè)隨機(jī)變量，而且X的取值范圍是[0，5]?請(qǐng)舉幾個(gè)實(shí)際中隨機(jī)變量的例子練習(xí)

引入適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量描述下列事件：①將3個(gè)球隨機(jī)地放入三個(gè)格子中，事件A={有1個(gè)空格}，事件B={有2個(gè)空格}，事件C={全有球}。②進(jìn)行5次試驗(yàn)，事件D={試驗(yàn)成功一次}，事件F={試驗(yàn)至少成功一次}，事件G={至多成功3次}隨機(jī)變量的分類：隨機(jī)變量2.2離散型隨機(jī)變量及其概率分布

一、

離散型隨機(jī)變量及其概率分布1、離散型隨機(jī)變量的概念若某個(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值是有限多個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)，則稱這個(gè)隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。討論隨機(jī)變量的目的是要研究其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，要知道離散型隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律必須且只須知道X的所有可能取值以及X取每一個(gè)可能值的概率。2、分布律(P.29)設(shè)離散型隨機(jī)變量X，其所有可能取值為x1,x2,…,xk,…,且取這些值的概率依次為p1,p2,…,pk,…,即則稱P(X=xk)=pk(k=1,2,…)為隨機(jī)變量X的概率分布律，簡(jiǎn)稱分布律。分布律可用表格形式表示為：P(X=xk)=pk,(k=1,2,…)而且滿足（1）P(X=xk)=pk≥0，(k=1,2,…)（2）Xx1x2x3…xk…Pp1p2p3…pk…例2.5設(shè)袋中有5只球，其中有2只白球，3只黑球?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。解X=k的所有可能取值為0，1，2X是一個(gè)隨機(jī)變量解設(shè)Ai

第i次射擊時(shí)命中目標(biāo)，i=1,2,3,4,5則A1,A2，…，A5相互獨(dú)立，且P(Ai)=p,i=1,2,…,5。SX={0,1,2,3,4,5},例2.6某射手對(duì)目標(biāo)獨(dú)立射擊5次，每次命中目標(biāo)的概率為p，以X表示命中目標(biāo)的次數(shù)，求X的分布律。二、幾個(gè)常用的離散型隨機(jī)變量的概率分布律1、(0-1)分布(p.30)

若隨機(jī)變量X的分布律為：P(X=k)=pk(1-p)1-k，k=0，1，(0<p<1)則稱X服從以p為參數(shù)的0-1分布，記為X~B(1,p)。0-1分布的分布律也可寫成X10Pp1-p即隨機(jī)變量只可能取0，1兩個(gè)值，且取1的概率為p，取0的概率為1-p(0<p<1)，亦即P(X=1)=p，P(X=0)=1-p。若某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，如產(chǎn)品是否合格，試驗(yàn)是否成功，擲硬幣是否出現(xiàn)正面等等，它們的樣本空間為S={e1,e2},我們總能定義一個(gè)服從0-1分布的隨機(jī)變量即它們都可用0-1分布來(lái)描述，只不過(guò)對(duì)不同的問題參數(shù)p的值不同而已。2、二項(xiàng)分布(1)貝努里(Bernoulli)模型(P22)

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)滿足：1°在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)；2°每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；3°在每次試驗(yàn)中，A發(fā)生的概率均一樣，即P(A)=p；4°各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，則稱這種試驗(yàn)為貝努里概型或n重貝努里試驗(yàn)。在n重貝努里試驗(yàn)中，人們感興趣的是事件A發(fā)生的次數(shù)。以隨機(jī)變量X表示n次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，X可能取值為0,1,2,3,…,n。設(shè)每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率為p，發(fā)生的概率為1-p=q。(X=k)表示事件“n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)k次”，即這里每一項(xiàng)表示k次試驗(yàn)中出現(xiàn)A，而另外n-k次試驗(yàn)中出現(xiàn)，且每一項(xiàng)兩兩互不相容，一共有Cnk項(xiàng)。由4°獨(dú)立性可知每一項(xiàng)的概率均為pk(1-p)1-k，因此此為n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)k次的概率計(jì)算公式，記為（2）二項(xiàng)分布定義（P.31）若隨機(jī)變量X具有概率分布律其中p+q=1，則稱隨機(jī)變量X服從以n，p為參數(shù)的二項(xiàng)分布，記為X~B(n,p)（或稱貝努里分布）?？梢宰C明：正好是二項(xiàng)式(p+q)n展開式的一般項(xiàng)，故稱二項(xiàng)分布。特別地，當(dāng)n=1時(shí)P(X=k)=pkq1-k(k=0,1)即為0-1分布。例2.7設(shè)有一大批產(chǎn)品，其次品率為0.002。今從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽查100件，試求所得次品件數(shù)的概率分布律。解

（視作放回抽樣檢驗(yàn)）設(shè)(X=k)表示事件“100件產(chǎn)品中有k件次品”，則X可能取值為0，1，2，…，100。本題可視作100重貝努里試驗(yàn)中恰有k次發(fā)生(k件次品)，X~B(100,0.002)。因此，所求分布律為例2.9從某大學(xué)到火車站途中有6個(gè)交通崗,假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立,并且遇到紅燈的概率都是1/3。(1)設(shè)X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律；(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率。解

(1)由題意，X~B(6,1/3)，故X的分布律為：例2.10某人獨(dú)立地射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02，射擊400次，求至少擊中目標(biāo)兩次的概率。解每次射擊看成一次試驗(yàn)，設(shè)擊中次數(shù)為X，則X~B(400,0.02)，X的分布律為所求概率為例2.10告訴我們兩個(gè)事實(shí)：1°雖然每次射擊的命中率很小(0.02)，但射擊次數(shù)足夠大(為400次)，則擊中目標(biāo)至少兩次是幾乎可以肯定的(概率為0.997)。

一個(gè)事件盡管在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率很小，但在大量的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，這事件的發(fā)生幾乎是必然的，也就是說(shuō)小概率事件在大量獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中是不可忽視的。2°若射手在400次獨(dú)立射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)不到2次，則P(X<2)=1-P(X≥2)≈0.003，即命中目標(biāo)次數(shù)不到兩次是一件概率很小的事件，而這事件竟然在一次試驗(yàn)中發(fā)生了。則根據(jù)實(shí)際推斷，我們有理由懷疑“每次射擊命中率為0.02”是否正確，即可以認(rèn)為命中率達(dá)不到0.02。

泊松(Poisson)定理設(shè)

>0，n是正整數(shù)，若npn=

，則對(duì)任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有

即當(dāng)隨機(jī)變量X~B(n,p)，(n＝0,1,2,…)，且n很大，p很小時(shí)，記=np，則例2.10可用泊松定理計(jì)算。取

=np=400×0.02＝8,

近似地有P(X2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)≈1－(1＋8)e－8＝0.996981

3、泊松(Poisson)分布

若隨機(jī)變量X所有可能取值為0,1,2,…，且其中

>0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為

的泊松分布，記為X~P(

)。泊松定理表明，泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布。例2.12設(shè)某國(guó)每對(duì)夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為

的泊松分布,且知一對(duì)夫婦有不超過(guò)1個(gè)孩子的概率為3e-2。求任選一對(duì)夫婦,至少有3個(gè)孩子的概率。 解由題意4、幾何分布

設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值是1,2,3,…,且P(X=k)=(1-p)k-1p=qk-1p，k=1，2，3，…,其中0<p<1是參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)p為的幾何分布。幾何分布背景：隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果只有2種，A與試驗(yàn)進(jìn)行到A發(fā)生為止的概率P(X=k)，即k次試驗(yàn)，前k-1次失敗，第k次成功。2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)前一節(jié)介紹的離散型隨機(jī)變量，我們可用分布律來(lái)完整地描述。而對(duì)于非離散型隨機(jī)變量，由于其取值不可能一個(gè)一個(gè)列舉出來(lái)，而且它們?nèi)∧硞€(gè)值的概率可能是零。例如：在測(cè)試燈泡的壽命時(shí)，可以認(rèn)為壽命X的取值充滿了區(qū)間[0,+∞)，事件X=x0表示燈泡的壽命正好是x0,在實(shí)際中，即使測(cè)試數(shù)百萬(wàn)只燈泡的壽命，可能也不會(huì)有一只的壽命正好是x0，也就是說(shuō)，事件(X=x0)發(fā)生的頻率在零附近波動(dòng)，自然可以認(rèn)為P(X=x0)=0。

由于許多隨機(jī)變量的概率分布情況不能以其取某個(gè)值的概率來(lái)表示，因此我們往往關(guān)心隨機(jī)變量X取值落在某區(qū)間(a,b]上的概率(a≤b)。

由于{a<x≤b}={x≤b}-{x≤a},(a≤b)，因此對(duì)任意x∈R，只要知道事件{X≤x}發(fā)生的概率，則X落在(a,b]的概率就立刻可得。因此我們用P(X≤x)來(lái)討論隨機(jī)變量X的概率分布情況。P(X≤x)：“隨機(jī)變量X取值不超過(guò)x的概率”。

定義(P.36)

設(shè)X是一隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則實(shí)值函數(shù)F(x)＝P{X

x}，x∈(-∞，+∞)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。有了分布函數(shù)定義，任意x1，x2∈R，x1＜x2，隨機(jī)變量X落在(x1,x2]里的概率可用分布函數(shù)來(lái)計(jì)算：P{x1<X

x2}＝P{X

x2}－P{X

x1}＝F(x2)－F(x1).在這個(gè)意義上可以說(shuō)，分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，或者說(shuō)，分布函數(shù)完整地表示了隨機(jī)變量的概率分布情況。一、分布函數(shù)的概念一般地，X是離散型隨機(jī)變量，其概率分布律為P(X=xk)=pk,(k=1,2,…)則X的分布函數(shù)F(x)為

F(x)的圖像：非降，右連續(xù)，且在x1，x2，…，xk，…處跳躍。二、分布函數(shù)的性質(zhì)(P37)

1、單調(diào)不減性：若x1<x2,

則F(x1)

F(x2)；

2、歸一性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，0

F(x)

1，且

3、右連續(xù)性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，反之，具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個(gè)性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。事件(X=c)并非不可能事件，它是會(huì)發(fā)生的，也就是說(shuō)零概率事件也是有可能發(fā)生的。如X為被測(cè)燈泡的壽命。若燈泡壽命都在1000小時(shí)以上，而P(X=1000)=0，但事件(X=1000)是一定會(huì)發(fā)生的，否則不會(huì)出現(xiàn)事件(X>1000)，所以

不可能事件的概率為零，但概率為零的事件不一定是不可能事件。同樣，必然事件的概率為1，但概率為1的事件不一定是必然事件。例2.15

設(shè)隨機(jī)變量X具分布律如下表解

X012P0.10.60.3試求出X的分布函數(shù)。例2.16

向[0,1]區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點(diǎn)，以X表示質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)。假定質(zhì)點(diǎn)落在[0,1]區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長(zhǎng)成正比，求X的分布函數(shù)。解

F(x)=P(X≤x)

當(dāng)x<0時(shí),F(x)=0;當(dāng)x>1時(shí),F(x)=1當(dāng)0≤x≤1時(shí),特別,F(1)=P(0≤x≤1)=k=1例2.17離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求a,b及X的分布律。解因P(X=2)=a+b-(2/3-a)=1/2，a+b=1

于是a=1/6,b=5/6X的分布律為

X-112

p1/61/31/2例2.18設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求（1）常數(shù)A，B的值；（2）P（-1<X<1）。用分布函數(shù)描述隨機(jī)變量不如分布律直觀，對(duì)非離散型隨機(jī)變量，是否有更直觀的描述方法？?ab2.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度1、概念(p39)設(shè)F(X)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，(-

<x<+

)，使對(duì)一切實(shí)數(shù)x，均有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，且稱f(x)為隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度或密度函數(shù)。常記為X～f(x),(-

<x<+

)一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)X──連續(xù)型隨機(jī)變量，則X的分布函數(shù)必是連續(xù)函數(shù)。

(1)

非負(fù)性

f(x)0，(-<x<+)；2、密度函數(shù)的性質(zhì)(p39)(2)(3)歸一性事實(shí)上(4)若f(x)在x0處連續(xù)，則有(5)f(x)在x0處連續(xù)，且Δh充分小時(shí),有

f(x)稱為概率密度的原由。對(duì)任意實(shí)數(shù)c，若X～f(x)，(-<x<+)，則P(X=c)=0結(jié)論1連續(xù)型隨機(jī)變量X取任一固定值的概率為0證明令即得P(X=c)=0。結(jié)論2對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X，有密度函數(shù)的幾何意義為密度函數(shù)曲線位于Ox軸上方。即y=f(x)，y=a，y=b，x軸所圍成的曲邊梯形面積。例2.19設(shè)求:(1)常數(shù)K；(2)X的分布函數(shù)；(3)解(1)由性質(zhì)得解之得(2)X的分布函數(shù)為(3)練習(xí)

已知隨機(jī)變量X的概率密度為(1)求X的分布函數(shù)F(x),(2)求P{X

(0.5,1.5)}二、幾個(gè)常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布若隨機(jī)變量X具有概率密度函數(shù)1.均勻分布(p.40)則稱X在[a,b]上服從均勻分布，記作X~U[a,b]。對(duì)任意實(shí)數(shù)c,d

(a≤c≤d≤b)，l=d-c，都有若X~U[a,b]，則X具有下述等可能性：

X落在區(qū)間[a,b]中任意長(zhǎng)度相同的子區(qū)間里的概率是相同的。即X落在子區(qū)間里的概率只依賴于子區(qū)間的長(zhǎng)度，而與子區(qū)間的位置無(wú)關(guān)。X的分布函數(shù)f(x),F(x)的圖像分別為O

ab

xf(x)O

ab

xF(x)1例2.22長(zhǎng)途汽車起點(diǎn)站于每時(shí)的10分、25分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時(shí)間，于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車站，求乘客候車時(shí)間超過(guò)10分鐘的概率。1545解設(shè)A—乘客候車時(shí)間超過(guò)10分鐘，X—乘客于某時(shí)X分鐘到達(dá)，則X

U(0,60)正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計(jì)中占有特別重要的地位。2、正態(tài)分布ABA，B間真實(shí)距離為

，測(cè)量值為X。X的概率密度應(yīng)該是什么形態(tài)？則稱X服從參數(shù)為

,

2的正態(tài)分布,記為X～N(

,

2)。若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為（其中

，

為實(shí)數(shù)，

>0）f(x)的圖像為

(1)

單峰對(duì)稱密度曲線關(guān)于直線x=

對(duì)稱，即f(

+x)=f(

-x)，x∈(-∞,+∞)正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)的性質(zhì)(p42)(2)x=時(shí)，f(x)取得最大值f(

)=；

(3)x=

±σ處有拐點(diǎn)；(4)

的大小直接影響概率的分布，

越大，曲線越平坦，

越小，曲線越陡峭。（如圖）正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布(5)曲線f(x)以x軸為水平漸近線。易知且事實(shí)上，令正態(tài)分布隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為其圖像為OμxF(x)1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(p43)

當(dāng)參數(shù)

＝0，

2＝1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作X~N(0,1)。分布函數(shù)表示為其密度函數(shù)表示為Ox1Φ(x)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)的圖像分別為可得對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)Φ(x)的函數(shù)值，書后附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(P.208)。表中給出了x>0的函數(shù)值。當(dāng)x<0時(shí)，可利用Φ(-x)=1-

Φ(x)計(jì)算得到。例2.23已知X~N(0,1)，求P(-∞＜X≤-3)，P(|X|＜3)解P(-∞＜X≤-3)=Φ(-3)=1-Φ(3)P(|X|＜3)=P(-3＜X＜3)=Φ(3)-Φ(-3)=Φ(3)-[