專題14圓錐曲線轉(zhuǎn)韋達(dá)定理結(jié)構(gòu)斜率和積夾角數(shù)量積垂直直徑的圓過定點(diǎn)（知識梳理專題過關(guān)）（解析版）

專題14圓錐曲線轉(zhuǎn)韋達(dá)定理結(jié)構(gòu)：斜率和積、夾角、數(shù)量積、垂直、直徑的圓過定點(diǎn)【知識梳理】1、過橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過定點(diǎn)．2、過橢圓的長軸上任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過定點(diǎn)．3、過橢圓的短軸上任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過定點(diǎn)．4、過橢圓內(nèi)的任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，．若弦，的中點(diǎn)分別為，，那么直線恒過定點(diǎn)．5、以為直角定點(diǎn)的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)6、以上頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在軸上．7、以右頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的橢圓內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在軸上．8、以為直角定點(diǎn)的拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)，9、以為直角定點(diǎn)的雙曲線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)10、已知是橢圓上的定點(diǎn)，直線（不過點(diǎn)）與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，則直線斜率為定值．11、已知是雙曲線上的定點(diǎn)，直線（不過點(diǎn)）與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且，直線斜率為定值．12、已知是拋物線上的定點(diǎn)，直線（不過點(diǎn)）與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則直線斜率為定值．13、為橢圓上一定點(diǎn)，過點(diǎn)作斜率為，的兩條直線分別與橢圓交于兩點(diǎn)．（1）若，則直線過定點(diǎn)；（2）若，則直線過定點(diǎn)．14、設(shè)是直角坐標(biāo)平面內(nèi)不同于原點(diǎn)的一定點(diǎn)，過作兩條直線，交橢圓于、、、，直線，的斜率分別為，，弦，的中點(diǎn)記為，．（1）若，則直線過定點(diǎn)；（2）若，則直線過定點(diǎn)．15、過拋物線上任一點(diǎn)引兩條弦，，直線，斜率存在，分別記為，即，則直線經(jīng)過定點(diǎn)．【專題過關(guān)】【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)1：斜率和問題考點(diǎn)2：斜率積問題考點(diǎn)3：夾角問題考點(diǎn)4：數(shù)量積問題考點(diǎn)5：垂直問題考點(diǎn)6：直徑的圓過定點(diǎn)問題【典型例題】考點(diǎn)1：斜率和問題1．（2022·四川省綿陽南山高二期中（文））已知點(diǎn)，直線和交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為．(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，求直線與的斜率之和．【解析】（1）設(shè)，依題意可得，所以，整理得，所以點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）設(shè)直線l的方程為，，，聯(lián)立方程，消去整理得因?yàn)橹本€與橢圓存在兩個交點(diǎn)，故，根據(jù)韋達(dá)定理：則，，根據(jù)題意可知上式的分子，所以，即直線與的斜率之和為．2．（2022·江蘇泰州·高二期中）已知雙曲線C過點(diǎn),.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知,過點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于不同兩點(diǎn)M、N,設(shè)直線AM、AN的斜率分別為、,求證:為定值.【解析】（1）設(shè)雙曲線C的方程為,將,代入上式得:,解得,雙曲線C的方程為.（2）設(shè),,由題意易得直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為,代入整理得,,,,且,則,故為定值.3．（2022·江西·贛州市第三高二期中）已知拋物線，點(diǎn)在拋物線上且到焦點(diǎn)的距離為2.(1)求拋物線的方程，并求其準(zhǔn)線方程；(2)已知，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，求的值.【解析】（1）由題意得，解得.從而得到拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為；（2）設(shè)，，由得，∴，，，∴

所以的值為.4．（2022·江蘇·揚(yáng)州市第一高二期中）如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)分別在軸和軸上運(yùn)動，并滿足.(1)求動點(diǎn)的軌跡方程；(2)若過點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，，求直線的斜率之和.【解析】（1）設(shè)，又因?yàn)椋詾橹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)?，故，又因?yàn)?，得：，故：動點(diǎn)的軌跡方程為（2）設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，設(shè),,則斜率，由得：所以，，所以，因?yàn)樗?．（2022·河南商丘·高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，短軸的一個端點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，如圖，過點(diǎn)作斜率不為0的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線和的斜率為，，證明：為定值，并求出該定值．【解析】（1）由題意得：設(shè)橢圓C的半焦距為c因?yàn)镃的短軸的一個端點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，因?yàn)?，所以．得，所以，所以橢圓C的方程為．（2）設(shè)直線MN的方程為，，，聯(lián)立，消去y整理得：．則，，所以將，，代入上式分子中得：，即，所以為定值，且．6．（2022·江蘇·寶應(yīng)縣曹甸高級高二階段練習(xí)）已知圓過點(diǎn)且與圓：相切于點(diǎn)，直線：與圓交于不同的兩點(diǎn)、.(1)求圓的方程；(2)若圓與軸的正半軸交于點(diǎn)，直線、的斜率分別為，，求證：是定值.【解析】（1）由已知，將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，∴圓的圓心，半徑，∵圓與圓相切于點(diǎn)，∴點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，即圓的圓心在直線上，∴直線的方程為，即，又∵點(diǎn)、均在圓上，∴弦的垂直平分線過圓的圓心，，設(shè)弦的垂直平分線的斜率為，則，∴，∵、中點(diǎn)為，∴弦的垂直平分線的方程為，即，∴，解得圓的圓心，圓的半徑，∴圓的方程為.（2）由已知，求得，直線：即，消去，化簡得：，∴設(shè)，，則，，∴，，∴，∴是定值.考點(diǎn)2：斜率積問題7．（2022·河南·鄭州外國語高二期中）已知橢圓C：的下頂點(diǎn)為點(diǎn)D，右焦點(diǎn)為.延長交橢圓C于點(diǎn)E，且滿足.(1)試求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)A，B分別是橢圓長軸的左右兩個端點(diǎn)，M，N是橢圓上與A，B均不重合的相異兩點(diǎn)，設(shè)直線AM，AN的斜率分別是，.若直線MN過點(diǎn)，則是否為定值，若是求出定值，若不是請說明理由.【解析】（1）橢圓的下頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，又，，所以，解得，代入可得，即，得，又，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意設(shè)直線，，，聯(lián)立，消去，得，則，，所以．8．（2022·江蘇泰州·高二期中）長為4的線段AB的兩個端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動，線段AB的中點(diǎn)P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程，并說明其形狀；(2)過點(diǎn)作兩條直線分別與曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，若直線MP，MQ的斜率之積為，線段PQ的中點(diǎn)為D，求證：存在定點(diǎn)E，使得為定值，并求出此定值．【解析】（1）∵，P為線段AB中點(diǎn)，∴，設(shè)，則，即.則曲線C是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓；（2）根據(jù)題意，直線MP的斜率存在且不為0，MP設(shè)斜率為k，則直線方程為代入中，整理得，故，，即，因?yàn)橹本€，的斜率之積為，所以的斜率為，同理：.根據(jù)對稱性可知，直線所過定點(diǎn)在軸上，不妨令，得，此時，即過，則，所以過定點(diǎn).連接，在圓O中，由垂徑定理可得：.當(dāng)D、F不重合時，即，所以為直角三角形，取的中點(diǎn)，則．當(dāng)D、F重合時，取的中點(diǎn)，則也成立．故存在定點(diǎn)E，使得為定值，此定值為．9．（2022·四川·樹德高二期中（文））已知橢圓的離心率為，設(shè)是C上的動點(diǎn)，以M為圓心作一個半徑的圓，過原點(diǎn)作該圓的兩切線分別與橢圓C交于點(diǎn)P、Q，若存在圓M與兩坐標(biāo)軸都相切．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線OP，OQ的斜率都存在且分別為，，求證：為定值；(3)證明：為定值？并求的最大值．【解析】（1）由橢圓的離心率，則，又存在與兩坐標(biāo)軸都相切，則此時圓心，代入，解得：，則，∴橢圓方程：．（2）因?yàn)橹本€，與圓M相切，由直線與圓聯(lián)立，可得，同理，由判別式為0可得，是方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，所以，所以．（3）當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時，設(shè)，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，在橢圓C上，所以，整理得，所以，所以．當(dāng)直線落在坐標(biāo)軸上時，顯然有，綜上，，所以，所以的最大值為．10．（2022·黑龍江·哈師大附中高二期中）已知平面內(nèi)的兩點(diǎn)，，，過點(diǎn)A的直線與過點(diǎn)B的直線相交于點(diǎn)C，若直線與直線的斜率乘積為，設(shè)點(diǎn)C的軌跡為E．(1)求E的方程；(2)設(shè)P是E與x軸正半軸的交點(diǎn)，過P點(diǎn)作兩條直線分別與E交于點(diǎn)M，N，若直線PM，PN斜率之積為－2，求證：直線MN恒過一個定點(diǎn)，并求出這個定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）設(shè)，由直線與直線的斜率乘積為，可得，化為，即為．（2）設(shè)直線，則，，即，設(shè)，，而，，，則由，得，，則，即，整理得，解得或（舍去），所以直線，知直線MN恒過點(diǎn)．11．（2022·江蘇·鹽城高二期中）已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)，過點(diǎn)作與軸不重合的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，連接，分別交直線于，兩點(diǎn)，若直線?的斜率分別為?，試問：是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由.【解析】（1）（1）由題意得，解得，故橢圓的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，，，由得，∴，，由A??三點(diǎn)共線可知，∴同理可得：，故，因此?為定值.12．（2022·黑龍江·哈爾濱市阿城區(qū)第高二階段練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，而焦點(diǎn)是雙曲線的右頂點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，求直線OA與OB的斜率之積．【解析】（1）雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)形式：，，右頂點(diǎn)A,設(shè)拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為,由于拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的右頂點(diǎn)，所以,所以拋物線的方程；（2）聯(lián)立，整理得,設(shè),則,,考點(diǎn)3：夾角問題13．（2022·四川攀枝花·高二期末（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在第一象限且為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，且△恰為等邊三角形．(1)求拋物線的方程；(2)若直線與交于兩點(diǎn)，向量的夾角為（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)由題意知：，由拋物線的定義知：，由，解得，所以拋物線方程為；(2)設(shè)，由，得，則，，則，，因?yàn)橄蛄康膴A角為，所以，，則，且，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.14．（2022·重慶市云陽江口中高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，-1）和拋物線.，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)A的動直線交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q，如圖:（1）若△POM的面積為，求向量與的夾角；（2）證明:直線PQ恒過一個定點(diǎn).【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以，即，所以，所以設(shè)∠POM=α，則所以，所以，所以又，所以.故向量與向量的夾角為.(2)設(shè)點(diǎn)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，，即，即，則，即，又，所以，因?yàn)?，所以直線的方程是，即，即，由知，代入上式，得由此可知直線PQ過定點(diǎn)E（1，－4）.15．（2022·安徽·東至縣第二高二階段練習(xí)（理））已知橢圓：，點(diǎn)在曲線上，短軸下頂點(diǎn)為，且短軸長為2.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點(diǎn)作直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，且與所成的夾角為，求的面積.【解析】（Ⅰ）將點(diǎn)代入橢圓的方程得，由短軸長為2，知，故，則橢圓的方程為.（Ⅱ）由題意可得的斜率為，即的傾斜角為，當(dāng)與直線所成夾角為時，易知直線的傾斜角為或.①當(dāng)直線的傾斜角為時，，，則；②當(dāng)直線的傾斜角為時，直線的方程為，即，聯(lián)立方程，得，則，故.，，綜上可得的面積為或.考點(diǎn)4：數(shù)量積問題16．（2022·浙江·高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)，直線上有兩點(diǎn)E，F(xiàn)使，點(diǎn)P在線段的延長線上，且.（1）若，求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）若在點(diǎn)P的軌跡上存在兩點(diǎn)M，N，設(shè)，的夾角為.①若，求證：直線過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)；②若為銳角，求直線與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在線段的延長線上，∴，∴所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，.，∴，∴.（1）若，則點(diǎn)的軌跡方程是.（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，∴，，∴∴

∴直線的方程是即令，得.……（1）①若，∴，∴.∴，∴代入（1）式得，所以直線過定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)是.②若為銳角，∴，∴∴，∴，∴，∴或代入（1）式得或.直線與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是或.17．（2022·陜西咸陽·高二期末（文））已知橢圓C：過點(diǎn)，，直線l：與橢圓C交于，兩點(diǎn)．Ⅰ求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；Ⅱ已知點(diǎn)，且A、M、N三點(diǎn)不共線，證明：向量與的夾角為銳角．【解析】Ⅰ將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入橢圓C的方程得，解得，所以，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；Ⅱ?qū)⒅本€l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，消去x并化簡得，恒成立，由韋達(dá)定理得．．．由于A、M、N三點(diǎn)不共線，因此，是銳角．18．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若雙曲線的一個焦點(diǎn)是，且離心率為2．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)過焦點(diǎn)的直線的一個法向量為，當(dāng)直線與雙曲線的右支相交于不同的兩點(diǎn)時，①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②是否存在實(shí)數(shù)，使得為銳角？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．【解析】（1）因?yàn)殡p曲線的一個焦點(diǎn)是，且離心率為2，由解得，所以雙曲線的方程為.（2）①根據(jù)題意設(shè)直線，由得，由得，恒成立，設(shè)，，則，，直線與雙曲線的右支相交于不同的兩點(diǎn)即所以解得.②設(shè)存在實(shí)數(shù)，使為銳角，所以即，因?yàn)?，所以，由①得即解得，與矛盾，故不存在.19．（2022·上海市奉賢區(qū)奉城高級高二階段練習(xí)）已知經(jīng)過點(diǎn)且以為一個方向向量的直線與雙曲線相交于不同兩點(diǎn)、.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若點(diǎn)、均在已知雙曲線的右支上，且滿足，求實(shí)數(shù)的值；（3）是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得、兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)且以為一個方向向量，所以直線的方程為，由得，整理得，因此，解得，即或或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）設(shè)、，因?yàn)辄c(diǎn)、均在已知雙曲線的右支上，所以由（1）可得，解得；又，即，則，整理得，則，整理得，解得，因?yàn)椋?；?）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得、兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則直線與垂直，所以，則，由（2）知，則，因此的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又，即點(diǎn)在直線，所以存在實(shí)數(shù)，使得、兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱.20．（2022·上海·上外浦東附中高二階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，且而，動點(diǎn)的軌跡為C.（1）求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若M，N是曲線C上關(guān)于x軸對稱的任意兩點(diǎn)，設(shè)，連接交曲線C于另一點(diǎn)E，求證：直線過定點(diǎn)B，并求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)B的直線交曲線C于S，T兩點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）設(shè)，則|，故點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，且，∴，即曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由，得，設(shè)，則，∴，，則直線的方程，整理可得，∴直線過定點(diǎn)；（3）當(dāng)直線的斜率不存在時，其方程為，此時，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由得，設(shè)，則.∴，綜上所述，的取值范圍是.21．（2022·上海市向明高二階段練習(xí)）已知等軸雙曲線：的右焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作一條漸近線的垂線且垂足為，.（1）求等軸雙曲線的方程；（2）若過點(diǎn)且方向向量為的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，求的值；（3）假設(shè)過點(diǎn)的動直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，試問：在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)，若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由.【解析】（1）雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以，所以等軸雙曲線的方程為.且.（2）由于直線的方向行向量為，所以直線的斜率為，而，所以：，與聯(lián)立方程并化簡得，可得，，即.（3）設(shè)點(diǎn).依題意可知直線與不平行，設(shè)直線，與聯(lián)立方程有，可得，，∴，，，要為定值，需滿足，∴，即定點(diǎn).22．（2022·上海市楊浦高級高二期末）已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且向量與的夾角為．求橢圓的方程；設(shè)，點(diǎn)P是橢圓上的動點(diǎn)，求的最大值和最小值；【解析】橢圓：的，向量與的夾角為，可得，即，則橢圓方程為；設(shè)，可得，即，，由可得時，上式取得最小值；時，取得最大值6，則的范圍是；23．（2022·湖北孝感·高二期末（理））已知向量，，且滿足.(1)求點(diǎn)的軌跡方程所代表的曲線；(2)若點(diǎn)，，是曲線上的動點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足，，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，求點(diǎn)的軌跡方程.【解析】（1）因?yàn)?，，所以，，又，?即，即，即為所求的點(diǎn)的軌跡方程.所代表的曲線為以為圓心，為半徑的圓（2）因?yàn)榍€是以為圓心，半徑的圓.∴即為圓的圓心，又，，∴，點(diǎn)是的中點(diǎn)，即是的中垂線，連接，則，∴又，根據(jù)雙曲線的定義，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線，由，，所以，因此點(diǎn)的軌跡方程為.24．（2022·福建省永春第一高二階段練習(xí)）已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，是它的一個頂點(diǎn).是它的一條漸近線的一個方向向量.(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)，M為雙曲線右支上動點(diǎn)，當(dāng)|PM|取得最小時，求四邊形ODMP的面積；(3)若過點(diǎn)任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)（A，B都不同于點(diǎn)D），求證:為定值.【解析】(1)因雙曲線C的中心在原點(diǎn)，一個頂點(diǎn)是，則設(shè)雙曲線C的方程為：，于是得雙曲線C的漸近線方程為，而雙曲線C的一條漸近線的一個方向向量是，則有，所以雙曲線C的方程為.(2)依題意，設(shè)點(diǎn)，則，即，，當(dāng)時，，此時，點(diǎn)M到直線DP：的距離為，而，如圖，四邊形ODMP的面積，所以四邊形ODMP的面積為.(3)顯然直線AB不垂直于y軸，設(shè)直線AB方程：，由消去x得：，當(dāng)時，恒成立，設(shè)，則有，，因此，，所以為定值0.25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線，點(diǎn)是的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn).（1）求向量與的數(shù)量積；（2）設(shè)，若，求在軸上截距的取值范圍.【解析】（1）設(shè)A，B坐標(biāo)為，由題知直線傾斜角不可能為0，設(shè)直線方程為：.聯(lián)立得，，由韋達(dá)定理得..向量的數(shù)量積為.（2）由（1）知，代入得.在為增函數(shù)在y軸上截距的取值范圍為考點(diǎn)5：垂直問題26．（2022·黑龍江·高二期中）已知分別是橢圓

的左、右焦點(diǎn)，P是C上的動點(diǎn)，C的離心率是，且△的面積的最大值是.(1)求C的方程；(2)過作兩條相互垂直的直線，，直線交C于A，B兩點(diǎn)，直線交C于D，E兩點(diǎn)，求證：為定值.【解析】（1）設(shè)橢圓C的焦距為，根據(jù)題意，有解得，，．所以C的方程是．（2）證明：當(dāng)直線，的斜率存在且都不為0時，不妨設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，，．聯(lián)立得：．因?yàn)樵跈E圓C的內(nèi)部，所以恒成立，所以，，所以，同理，將k換成，得，所以．當(dāng)直線，中一條直線斜率為0，一條直線斜率不存在時，不妨設(shè)直線的斜率為0，則，，此時．綜上所示，為定值．27．（2022·山東德州·高二期中）已知雙曲線C：經(jīng)過點(diǎn)，且雙曲線C的右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)P分別作兩條互相垂直的直線PA，PB與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)（A，B兩點(diǎn)均與點(diǎn)P不重合），設(shè)直線AB：，試求和之間滿足的關(guān)系式．【解析】（1）已知雙曲線C：經(jīng)過點(diǎn)，則，右頂點(diǎn)為，不妨取漸近線為，即，則，從而可解得，所以雙曲線C的方程為；（2）設(shè)，聯(lián)立，消得，則，則，，，因?yàn)?，則，即，即，即，整理得，所以.28．（2022·四川省綿陽南山高二期中（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A為E上一點(diǎn)，的最小值為1．(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過焦點(diǎn)F作互相垂直的兩條直線與拋物線E相交于P，Q兩點(diǎn)，與拋物線E相交于M，N兩點(diǎn)．若C，D分別是線段的中點(diǎn)，求的最小值．【解析】（1）由已知可得，解得，所以拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由（1）得，點(diǎn)，顯然直線的斜率都存在且不為0，設(shè)直線斜率為k，則的斜率為，直線的方程為，由消去y并整理得，，設(shè)，則，所以線段中點(diǎn)，，同理，所以，令，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．所以，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為1629．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知橢圓．(1)若過橢圓的一個焦點(diǎn)引兩條互相垂直的弦、．求證：是定值；(2)若、在橢圓上且．求證：是定值．【解析】（1）證明：不妨弦、過橢圓的左焦點(diǎn)，其中，，.當(dāng)、中有一條為長軸時，另一條為過焦點(diǎn)且平行于短軸的弦，聯(lián)立可得，故該過焦點(diǎn)且平行于短軸的弦長為，則；當(dāng)、中沒有一條為長軸時，設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程得，，由韋達(dá)定理可得，，根據(jù)弦長公式有．用替換上式中的即得．因此．綜上，．（2）證明：分以下兩種情況討論：當(dāng)直線的斜率存在且不為零時，設(shè)直線的斜率為，聯(lián)立，則，則．用替換上式中的即得．因此．當(dāng)、中有一條斜率不存在時，另一條斜率為，此時，因此.綜上所述，.30．（2022·江蘇省邗江高二期中）設(shè)分別是圓的左?右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，與x軸垂直.直線與C的另一個交點(diǎn)為N，且直線MN的斜率為(1)求橢圓C的離心率.(2)設(shè)是橢圓C的上頂點(diǎn)，過D任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于A?B兩點(diǎn)，過點(diǎn)D作線段AB的垂線，垂足為Q，判斷在y軸上是否存在定點(diǎn)R，使得的長度為定值？并證明你的結(jié)論.【解析】（1）由題意知，點(diǎn)在第一象限.是上一點(diǎn)且與軸垂直，的橫坐標(biāo)為.當(dāng)時，，即.又直線的斜率為，所以，即，即，則，解得或（舍去），即.（2）已知是橢圓的上頂點(diǎn)，則，橢圓的方程為，易得直線AB的斜率必然存在，設(shè)直線的方程為，由可得所以，又，.，化簡整理有，得或.當(dāng)時，直線經(jīng)過點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時滿足方程中，故直線經(jīng)過軸上定點(diǎn).又為過點(diǎn)作線段的垂線的垂足，故在以為直徑的圓上，取的中點(diǎn)為，則為定值，且31．（2022·全國·高二單元測試）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且橢圓的離心率，過橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點(diǎn)及、．(1)求橢圓的方程；(2)求證：為定值；(3)求的最小值．【解析】（1）由，得，，．①，由橢圓過點(diǎn)知，②．聯(lián)立①②式解得，．故橢圓的方程是．（2）為定值．證明：橢圓的右焦點(diǎn)為，分兩種情況．不妨設(shè)當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，，則．此時，，；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，則．又設(shè)點(diǎn)，，，．聯(lián)立方程組，消去并化簡得，，，，由題知，直線的斜率為，同理可得所以為定值．（3）由（2）知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，時取等號，的最小值為．32．（2022·云南昆明·高二期中）已知一個邊長為的等邊三角形的一個頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線上.(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交拋物線于、兩點(diǎn)，交拋物線于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，證明：直線過定點(diǎn)．【解析】(1)由對稱性可知等邊三角形的頂點(diǎn)在上，代入得：，解得：，所以拋物線方程為：；(2)由題意知和斜率均存在，，設(shè)直線方程為，則直線方程為，由聯(lián)立得：，設(shè)，則，故，同理得故直線MN方程為整理得：，故直線MN過定點(diǎn)33．（2022·江蘇·高二階段練習(xí)）已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于圓的半徑．(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與，直線交于，兩點(diǎn)，直線交于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．【解析】（1）由題設(shè)知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，由點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于圓的半徑，而可化為，即該圓的半徑為，所以，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可知，直線與直線的斜率都存在，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)椋环猎O(shè)直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，得，恒成立．設(shè)，，則，，所以，同理，得，所以四邊形的面積，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）所以四邊形的面積的最小值是．34．（2022·江蘇鹽城·高二期末）平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為橢圓上的動點(diǎn)，OP的最小值為1，F(xiàn)P的最大值為．(1)求橢圓C的方程；(2)直線上是否存在點(diǎn)Q，使得過點(diǎn)Q能作橢圓C的兩條互相垂直的切線？若存在，請求出這樣的點(diǎn)Q；若不存在，請說明理由．【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，則，當(dāng)時，OP取得最小值為，

．，則當(dāng)時，F(xiàn)P取得最大值﹐解得，則橢圓方程為．（2）設(shè)點(diǎn)當(dāng)或時，易得過點(diǎn)Q作橢圓的兩條切線并不垂直，故可設(shè)過點(diǎn)Q的橢圓的切線方程為，聯(lián)立方程組，消元可得由可得，又直線過點(diǎn)，則﹐于是化簡可得，由兩條切線互相垂直可知，該方程的兩根之積

則，即點(diǎn)Q在圓上，

由解得，故存在點(diǎn)滿足題意，35．（2022·江西景德鎮(zhèn)·高二期末（文））已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交C于H，I兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的周長為．(1)求拋物線C的方程；(2)過點(diǎn)F作拋物線C的兩條互相垂直的弦AB，DE，設(shè)弦AB，DE的中點(diǎn)分別為P，Q，試判斷直線PQ是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)．求出其坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．【解析】（1）由題意，在中代入，得，解得，所以．由勾股定理得|，則的周長為，解得，故拋物線C的方程為．（2）由題意可知，直線AB的斜率存在，且不為0．設(shè)直線AB的方程為，，．聯(lián)立消去x，得，，則，從而．因?yàn)镻是弦AB的中點(diǎn)，所以，同理可得．當(dāng)，即時，直線PQ的斜率，則直線PQ的方程為，即．故直線PQ過定點(diǎn)；當(dāng)，即時，直線PQ的方程為，也過點(diǎn)．綜上所述，直線PQ過定點(diǎn)．考點(diǎn)6：直徑的圓過定點(diǎn)問題36．（2022·江蘇·宿遷高二期中）已知橢圓的離心率，短軸的兩個端點(diǎn)分別為，.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)動直線與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn).問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過定點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【解析】（1）由題意可設(shè)橢圓為由題意可得，，可得，所以橢圓的方程為：.（2）聯(lián)立，整理可得：，由題意可得，可得；可得，，即.聯(lián)立，可得，，即，設(shè)在軸上存在.由，可得，可得，即，可得，可得，即定點(diǎn).37．（2022·四川·樹德高二期中（文））已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P為橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)．(1)求直線PA與PB的斜率之積；(2)任意過且與x軸不重合的直線交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，證明：以MN為直徑的圓恒過點(diǎn)A．【解析】（1）由橢圓，可得，則，．設(shè)點(diǎn)，則有，即，所以．（2）證明：設(shè)，，因?yàn)镸N與x軸不重合，所以設(shè)直線，由，化簡得；由題意可知成立，且；，將韋達(dá)定理代入上式，可得，所以，即以MN為直徑的圓恒過點(diǎn)A．38．（2022·河南信陽·高二期中）已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)P在橢圓C上，，.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知M是直線上的一點(diǎn)，是否存在這樣的直線l，使得過點(diǎn)M的直線與橢圓C相切于點(diǎn)N，且以MN為直徑的圓過點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由，【解析】（1）設(shè)橢圓C的方程為，由，知，代入橢圓方程，得，解得，則，解得，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）顯然直線MN的斜率存在，設(shè)直線MN的方程為，由，消去y得.由，得.①所以，.即切點(diǎn)N的坐標(biāo)為，以為直徑的圓恒過點(diǎn)，則.又M的坐標(biāo)為，，，，，化簡，得.上式滿足①式任意的k，m成立，則.故存在直線滿足題意.39．（2022·內(nèi)蒙古·包頭高二期中（理））已知，橢圓的兩個焦點(diǎn)，橢圓上的任意一點(diǎn)P使得，且的最大值為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)．求證直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）依題意，，由于的最大值為，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）橢圓的右頂點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，由得，設(shè)，則，由于以AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)，所以，，解得，所以直線過.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，，即①.設(shè)，則，由于以AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)，所以，，，，，，，整理得，或，若，代入①得，成立，若，代入①得成立，所以直線的方程為，過點(diǎn)；或，過點(diǎn)，不符合題意，舍去.綜上所述，直線過定點(diǎn).40．（2022·陜西·府谷縣府谷高