一元二次方程根與系數(shù)

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用例析及訓(xùn)練對于一元二次方程，當(dāng)判別式△＝時(shí)，其求根公式為：；假設(shè)兩根為，當(dāng)△≥0時(shí)，那么兩根的關(guān)系為：；，根與系數(shù)的這種關(guān)系又稱為韋達(dá)定理；它的逆定理也是成立的，即當(dāng)，時(shí)，那么那么是的兩根。一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性強(qiáng)，應(yīng)用極為廣泛，在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有極重要的地位，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)。學(xué)習(xí)中，老師除了要求同學(xué)們應(yīng)用韋達(dá)定理解答一些變式題目外，還常常要求同學(xué)們熟記一元二次方程根的判別式存在的三種情況，以及應(yīng)用求根公式求出方程的兩個(gè)根，進(jìn)而分解因式，即。下面就對應(yīng)用韋達(dá)定理可能出現(xiàn)的問題舉例做些分析，希望能給同學(xué)們帶來小小的幫助。一、根據(jù)判別式，討論一元二次方程的根。例1：關(guān)于的方程〔1〕有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且關(guān)于的方程〔2〕沒有實(shí)數(shù)根，問取什么整數(shù)時(shí)，方程〔1〕有整數(shù)解？分析：在同時(shí)滿足方程〔1〕，〔2〕條件的的取值范圍中篩選符合條件的的整數(shù)值。說明：熟悉一元二次方程實(shí)數(shù)根存在條件是解答此題的根底，正確確定的取值范圍，并依靠熟練的解不等式的根本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出，這也正是解答此題的根本技巧。二、判別一元二次方程兩根的符號。例1：不解方程，判別方程兩根的符號。分析：對于來說，往往二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)皆為，可據(jù)此求出根的判別式△，但△只能用于判定根的存在與否，假設(shè)判定根的正負(fù)，那么需要確定或的正負(fù)情況。因此解答此題的關(guān)鍵是：既要求出判別式的值，又要確定或的正負(fù)情況。說明：判別根的符號，需要把“根的判別式〞和“根與系數(shù)的關(guān)系〞結(jié)合起來進(jìn)行確定，另外由于此題中＜0，所以可判定方程的根為一正一負(fù)；倘假設(shè)＞0，仍需考慮的正負(fù)，方可判別方程是兩個(gè)正根還是兩個(gè)負(fù)根。三、一元二次方程的一個(gè)根，求出另一個(gè)根以及字母系數(shù)的值。例2：方程的一個(gè)根為2，求另一個(gè)根及的值。分析：此題通常有兩種解法：一是根據(jù)方程根的定義，把代入原方程，先求出的值，再通過解方程方法求出另一個(gè)根；二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)根及的值。說明：比擬起來，解法二應(yīng)用了韋達(dá)定理，解答起來較為簡單。例3：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21，求的值。分析：此題假設(shè)利用轉(zhuǎn)化的思想，將等量關(guān)系“兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21〞轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可求得的值。說明：當(dāng)求出后，還需注意隱含條件，應(yīng)舍去不合題意的。四、運(yùn)用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系解題。例5：、是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，問和能否同號？假設(shè)能同號，請求出相應(yīng)的的取值范圍；假設(shè)不能同號，請說明理由，說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系深刻揭示了一元二次方程中根與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，是分析研究有關(guān)一元二次方程根的問題的重要工具，也是計(jì)算有關(guān)一元二次方程根的計(jì)算問題的重要工具。知識的運(yùn)用方法靈活多樣，是設(shè)計(jì)考察創(chuàng)新能力試題的良好載體，在中考中與此有聯(lián)系的試題出現(xiàn)頻率很高，應(yīng)是同學(xué)們重點(diǎn)練習(xí)的內(nèi)容。六、運(yùn)用一元二次方程根的意義及根與系數(shù)的關(guān)系解題。例：、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值。分析：此題可充分運(yùn)用根的意義和根與系數(shù)的關(guān)系解題，應(yīng)摒棄常規(guī)的求根后，再帶入的方法，力求簡解。說明：既要熟悉問題的常規(guī)解法，也要隨時(shí)想到特殊的簡捷解法，是解題能力提高的重要標(biāo)志，是努力的方向。有關(guān)一元二次方程根的計(jì)算問題，當(dāng)根是無理數(shù)時(shí)，運(yùn)算將十分繁瑣，這時(shí)，如果方程的系數(shù)是有理數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系解題可起到化難為易、化繁為簡的作用。這類問題在解法上靈活多變，式子的變形具有創(chuàng)造性，重在考查能力，多年來一直受到命題老師的青睞。七、運(yùn)用一元二次方程根的意義及判別式解題。例8：兩方程和至少有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，求這兩個(gè)方程的四個(gè)實(shí)數(shù)根的乘積。分析：當(dāng)設(shè)兩方程的相同根為時(shí)，根據(jù)根的意義，可以構(gòu)成關(guān)于和的二元方程組，得解后再由根與系數(shù)的關(guān)系求值。說明：〔1〕此題的易錯(cuò)點(diǎn)為忽略對的討論和判別式的作用，常常除了犯有默認(rèn)的錯(cuò)誤，甚至還會得出并不存在的解：當(dāng)時(shí)，，兩方程相同，方程的另一根也相同，所以4個(gè)根的相乘積為：；〔2〕既然此題是討論一元二次方程的實(shí)根問題，就應(yīng)首先確定方程有實(shí)根的條件：且另外還應(yīng)注意：求得的的值必須滿足這兩個(gè)不等式才有意義?！境脽岽蜩F】一、填空題：1、如果關(guān)于的方程的兩根之差為2，那么。2、關(guān)于的一元二次方程兩根互為倒數(shù)，那么。3、關(guān)于的方程的兩根為，且，那么。4、是方程的兩個(gè)根，那么：；；。5、關(guān)于的一元二次方程的兩根為和，且，那么；。6、如果關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，那么另一個(gè)根是，的值為。7、是的一根，那么另一根為，的值為。8、一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根是和，那么這個(gè)一元二次方程為：。二、求值題：1、是方程的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求的值。2、是方程的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求的值。3、是方程的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求的值。4、兩數(shù)的和等于6，這兩數(shù)的積是4，求這兩數(shù)。5、關(guān)于x的方程的兩根滿足關(guān)系式，求的值及方程的兩個(gè)根。6、方程和有一個(gè)相同的根，求的值及這個(gè)相同的根。三、能力提升題：1、實(shí)數(shù)在什么范圍取值時(shí)，方程有正的實(shí)數(shù)根？2、關(guān)于的一元二次方程〔1〕求證：無論取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?！?〕假設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根、滿足，求的值。3、假設(shè)，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的正的實(shí)數(shù)根，求的值。4、是否存在實(shí)數(shù)，使關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，滿足，如果存在，試求出所有滿足條件的的值，如果不存在，請說明理由。5、關(guān)于的一元二次方程〔〕的兩實(shí)數(shù)根為，假設(shè)，求的值。6、實(shí)數(shù)、分別滿足方程和，求代數(shù)式的值。答案與提示：一、填空題：1、提示：，，，∴，∴，解得：2、提示：，由韋達(dá)定理得：，，∴，解得：，代入檢驗(yàn)，有意義，∴。3、提示：由于韋達(dá)定理得：，，∵，∴，∴，解得：。4、提示：由韋達(dá)定理得：，，；；由，可判定方程的兩根異號。有兩種情況：①設(shè)＞0，＜0，那么；②設(shè)＜0，＞0，那么。5、提示：由韋達(dá)定理得：，，∵，∴，，∴，∴。6、提示：設(shè)，由韋達(dá)定理得：，，∴，解得：，，即。7、提示：設(shè)，由韋達(dá)定理得：，，∴，∴，∴8、提示：設(shè)所求的一元二次方程為，那么，，∴，即；；∴設(shè)所求的一元二次方程為：二、求值題：1、提示：由韋達(dá)定理得：，，∴2、提示：由韋達(dá)定理得：，，∴3、提示：由韋達(dá)定理得：，，∴4、提示：設(shè)這兩個(gè)數(shù)為，于是有，，因此可看作方程的兩根，即，，所以可得方程：，解得：，，所以所求的兩個(gè)數(shù)分別是，。5、提示：由韋達(dá)定理得，，∵，∴，∴，∴，化簡