【數(shù)學(xué)】山東省臨沂市部分區(qū)縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月普通高中學(xué)科素養(yǎng)水平監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

山東省臨沂市部分區(qū)縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月普通高中學(xué)科素養(yǎng)水平監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．3．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的一個方向向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的一個方向向量為，又因?yàn)榕c共線，所以的一個方向向量可以是，故選：A.2.已知雙曲線的離心率為，則其漸近線的傾斜角為（）A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】依題意離心率，則，所以（負(fù)值舍去），又雙曲線的漸近線方程為，即，即漸近線的斜率為或，所以其漸近線的傾斜角為或.

故選：D3.已知矩形ABCD中，，，將矩形ABCD沿對角線AC折起，使平面ABC與平面ACD垂直，則（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】在矩形中，過B，D分別向AC作垂線，垂足分別為M，N．∵，，則可得，，，，．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，，又平面平面，則平面，所以，由題可得，所以，所以．故選：C.4.若兩條不同的直線：與直線：平行，則的值為（）A. B.1 C.或1 D.0【答案】B【解析】因?yàn)橹本€：與直線：平行，所以，解得，當(dāng)時，：，：，兩直線平行，當(dāng)時，：，：，兩直線重合，所以.故選：B.5.過圓C：外一點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB所在直線的過定點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知圓的方程，知圓心，半徑為，連接，則，則四點(diǎn)共圓，共在以為直徑的圓上，則圓心為的中點(diǎn)，半徑，故圓，化簡得，①，由圓C的方程②，兩圓方程②①化簡得，，即兩圓相交弦的方程，方程可化為，由解得，故直線過定點(diǎn)，故選：B.6.已知過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l的方向向量，則點(diǎn)到直線l的距離是（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知，在直線l上的投影向量的模長為，所以點(diǎn)到直線l的距離是.故點(diǎn)到直線l的距離是.故選：D7.已知橢圓，為其左焦點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)、，且．若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接、，如下圖所示：因?yàn)橹本€關(guān)于原點(diǎn)對稱，橢圓也關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線與橢圓交于點(diǎn)、，則、也關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以為、的中點(diǎn)，又因?yàn)?，則四邊形為矩形，所以，則，所以，，，由橢圓的定義可得，故該橢圓的離心率為.故選：A.8.我們都知道：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定值（不為1）的動點(diǎn)軌跡為圓．后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓．已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)和，且該平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足，若點(diǎn)P的軌跡關(guān)于直線對稱，則的最小值是（）A. B. C.3 D.9【答案】C【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，整理得：，表示以為圓心的圓，又因?yàn)辄c(diǎn)P的軌跡關(guān)于直線對稱，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，所以的最小值是3，故選:C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.下列結(jié)論正確的有（）A.過點(diǎn)，的直線的傾斜角為45°B.若直線與直線垂直，則C.已知，及x軸上的動點(diǎn)P，則的最小值為5D.直線與直線之間的距離為【答案】ABD【解析】對于A，直線的斜率，則直線的傾斜角為，A正確；對于B，直線與直線垂直，則，解得，B正確；對于C，關(guān)于軸對稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，在軸上任取點(diǎn)，連接，，，，如圖，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時取等號，因此，C錯誤；對于D，直線與直線平行，直線化為，兩條直線間距離為，D正確．故選：ABD10.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓C上，且的最大值為4，最小值為2，則（）A.橢圓C的離心率為B.的周長為8C.若，則的面積為8D.若，則【答案】AB【解析】對于A，由題意得，解得，所以離心率為，故A正確；對于B，的周長為，故B正確；對于C，由A得，，當(dāng)點(diǎn)為上頂點(diǎn)時，最大，即，，所以的面積不可能為8，故C錯誤；對于D，由且得，，所以，即，故D錯誤；故選：AB．11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為．若直線上存在一點(diǎn)P，使過P所作的圓的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)k的取值可以是（）A3 B.2 C.1 D.【答案】BCD【解析】圓C的方程可化為，其半徑，圓心，因?yàn)檫^P所作的圓的兩條切線相互垂直，所以點(diǎn)P、圓心C以及兩切點(diǎn)構(gòu)成正方形，所以．∵P在直線上，∴圓心到該直線的距離，計算得．對照選項(xiàng)，可知BCD均有可能．故選：BCD.12.如圖，在棱長為2的正方體中，E為邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上的動點(diǎn)，設(shè)，則（）A.當(dāng)時，三棱錐A-PCE的體積B.當(dāng)時，EP∥平面C.當(dāng)，平面CEP時D.的最小值為【答案】BD【解析】對于A，當(dāng)時，則，故點(diǎn)到平面的距離為,所以,故A錯誤，對于B，在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,0,，,2,，,2,，,0,，,2,，,0,，所以，則點(diǎn),,，，，，而，顯然，即是平面的一個法向量，而，因此平行于平面，即直線與平面平行，B正確；對于C，取的中點(diǎn)，連接，，，如圖，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，則，當(dāng)平面時，平面，連接，連接，連接，顯然平面平面，因此，，平面，平面，則平面，即有，而，所以，C錯誤．對于D，，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，D正確；故選：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知點(diǎn)，到直線的距離相等，則實(shí)數(shù)的值為_______【答案】或【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，到直線的距離相等，所以，解得或，故答案為：或14.由曲線圍成的圖形的面積為_______________．【答案】【解析】當(dāng)時，曲線表示的圖形為以為圓心，以為半徑的圓在第一象限的部分，所以面積為，根據(jù)對稱性，可知由曲線圍成的圖形的面積為15.正方體中，M是棱的中點(diǎn)．記，，，那么用，，表示為_______．【答案】【解析】在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,0,,,2,,,2,,,0,,,2,,,，所以，設(shè)，故，解得所以，故答案為：16.已知是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為該橢圓上一動點(diǎn)，若在橢圓內(nèi)部，則的最大值為_____；的最小值為_______．【答案】①8；②【解析】橢圓中，，，則，設(shè)右焦點(diǎn)為，則，離心率，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在的延長線與橢圓的交點(diǎn)時取等號；又橢圓左準(zhǔn)線方程為，設(shè)到左準(zhǔn)線的距離為，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在過點(diǎn)作左準(zhǔn)線的垂線與橢圓的交點(diǎn)時取等號..故答案為：；四、解答題：17.已知，，，若，，求：（1），，；（2）與夾角的余弦值．解：（1）因?yàn)?，，，，所以，所以，即，解得，所以，，又，所以，解得，所以．?）由（1）知，，所以，，．∴．18.已知△ABC的邊AB，AC所在直線的方程分別為，，點(diǎn)在邊BC上．（1）若△ABC為直角三角形，求邊BC所在直線的方程；（2）若P為BC的中點(diǎn)，求邊BC所在直線的一般方程．解：（1）由△ABC的邊AB，AC所在直線的方程分別為，，可知角A不是直角，①若角B是直角，由點(diǎn)P在邊BC上，得邊BC所在直線的方程為；②若角C是直角，由邊AC所在直線的方程為，得邊BC所在直線的斜率為，又點(diǎn)P在邊BC上，所以邊BC所在直線的方程為，即．綜上，邊BC所在直線的方程為或.（2）由題意可設(shè)，由P為BC的中點(diǎn)，得，將點(diǎn)C坐標(biāo)代入邊AC所在直線的方程，得，解得，所以，得邊BC所在直線的斜率為，所以邊BC所在直線的方程為，即．19.已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率，點(diǎn)在雙曲線上．（1）求雙曲線C的方程；（2）如圖，若直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于點(diǎn)Q，P，且，求證：是定值．解：（1）因?yàn)?，所以，．所以雙曲線的方程為，即．因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，所以．所以所求雙曲線的方程為．（2）設(shè)直線OP的方程為，∵，則直線OQ的方程為，由，得，所以．同理可得，，故．∴是定值．20.如圖，在正方體中，點(diǎn)E在BD上，點(diǎn)F在上，設(shè)正方體的棱長為1．若．（1）當(dāng)a為何值時，EF的長最小？并求出EF的最小值；（2）當(dāng)EF的長最小時，求平面EFD與平面EFC夾角的余弦值．解：（1）∵是正方體，設(shè)棱長為1，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．∵，∴，,則．．當(dāng)時，最小，的最小值為．（2）由（1）知，當(dāng)最小時，點(diǎn)，，，，，，設(shè)平面EFD的法向量，∴，即，，取，∴．設(shè)平面EFC的法向量為，∴，，取，∴，設(shè)平面EFD與平面EFC的夾角為，，∴平面EFD與平面EFC的夾角的余弦值為．21.從點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)x軸鏡面反射后與圓：相切，（1）求反射光線所在直線一般式方程；（2）若圓C與圓外切，并且與直線相切于點(diǎn)．求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：（1）點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為，由題意可知反射光線所在的直線斜率存在且小于0，設(shè)過與圓：相切的直線方程：，由題意得，整理得：，所以；（舍去），故反射光線所在直線的方程：（2）設(shè)圓C的圓心為，半徑為r，∵圓C與相外切，∴，①∵圓C與直線相切于點(diǎn)，∴，得，②因?yàn)閳AC與直線相切，所以，（Ⅰ）當(dāng)時，③，由②，③得，④將②代入①式，得：，⑥由④，⑤兩式得：，代入②式得，；即故圓的方程為．（Ⅱ）當(dāng)時，，⑥由①②式解得：，，，故圓C：．綜上，所求圓的方程為：或．22.已知橢圓E的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M在橢圓E上