第1章-橋涵水文的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

第1章橋涵水文的數(shù)學(xué)根底1-11-2第1章橋涵水文的數(shù)學(xué)根底本章內(nèi)容1.1水文現(xiàn)象的特性和分析方法*〔補充材料〕1.2概率統(tǒng)計根底1.3水文中常用的概率模型1.4最小二乘法1-3第1章橋涵水文的數(shù)學(xué)根底★分析原始水文資料的數(shù)學(xué)工具就是數(shù)理統(tǒng)計知識?！锎_定設(shè)計洪水流量、設(shè)計通航水位、設(shè)計最高〔低〕潮水位、設(shè)計波浪高度等。第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法*〔補充材料〕●水文現(xiàn)象的特性：√1.周期性；√2.地區(qū)性；√3.不重復(fù)性〔隨機性〕?！芷谛裕核默F(xiàn)象具有周期循環(huán)變化的性質(zhì)?！趟默F(xiàn)象具有以年或者年際〔假設(shè)干年〕為周期變化的規(guī)律。1-4800001955年1954年49500761000123456789101112月200004000060000流量（m3/s）長江漢口水文站1954年和1955年流量過程線第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法*〔補充材料〕●水文現(xiàn)象的特性：▲地區(qū)性：表示水文現(xiàn)象隨地區(qū)而異，即每個地區(qū)都有各自的特殊性?！棠戏酵狈降乃默F(xiàn)象差異很大。原因：影響水文現(xiàn)象的氣候和下墊面〔地質(zhì)構(gòu)造、巖性、地貌、植被的綜合體〕條件不同?！滔嗷ム徑饔虻乃默F(xiàn)象，在一定程度上具有相似性。原因：氣候和下墊面條件有一定的相似性。√水文現(xiàn)象有一定的地區(qū)分布規(guī)律性。如濕潤地區(qū)河流的徑流年內(nèi)分配較為均勻，而干旱地區(qū)的就很不均勻。1-5第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法*〔補充材料〕●水文現(xiàn)象的特性：▲不重復(fù)性〔隨機性〕：指水文現(xiàn)象無論什么時候都不會完全重復(fù)出現(xiàn)。●水文現(xiàn)象的主要分析/研究方法〔1〕成因分析法〔2〕地區(qū)歸納法〔3〕數(shù)理統(tǒng)計法1-6第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法*〔補充材料〕●水文現(xiàn)象的特性：▲不重復(fù)性〔隨機性〕：指水文現(xiàn)象無論什么時候都不會完全重復(fù)出現(xiàn)?！袼默F(xiàn)象的主要分析/研究方法〔1〕成因分析法通過物理成因的分析，以探求水文現(xiàn)象必然性規(guī)律的方法。例如建立因果之間的函數(shù)關(guān)系。〔2〕地區(qū)歸納法利用區(qū)域性規(guī)律確定水文參數(shù)的方法。〔3〕數(shù)理統(tǒng)計法√由水文現(xiàn)象的客觀性質(zhì)〔偶然性和隨機性〕決定。通過統(tǒng)計分析以探求水文現(xiàn)象偶然性規(guī)律的方法。

1-71-8160000123456789101112月4000800012000流量（m3/s）黃河花園口水文站流量過程線融雪降雨枯水期春汛800001955年1954年49500761000123456789101112月200004000060000流量（m3/s）長江漢口水文站1954年和1955年流量過程線地區(qū)歸納法水文計算主要解決三方面的問題:①確定各種水文特征值的數(shù)量大??；②確定該特征值在時間上的分配過程；③確定特征值的地區(qū)分布。第一節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法*〔補充材料〕1-10第二節(jié)概率統(tǒng)計根底一、事件事件分為三類:必然事件、不可能事件和隨機事件。例如，水文現(xiàn)象中年最大流量的出現(xiàn)是必然事件，但出現(xiàn)的具體時間和大小，那么為隨機事件。1.必然事件在一定條件下必定發(fā)生的事件。2.不可能事件在一定條件下必定不會發(fā)生的事件。3.隨機事件在一定條件下可能發(fā)生也可能不會發(fā)生的事件。1-11第二節(jié)概率統(tǒng)計根底一、事件●隨機事件√隨機事件具有統(tǒng)計規(guī)律?！虜?shù)理統(tǒng)計法是研究隨機事件客觀規(guī)律性的方法之一——利用大量同類隨機事件統(tǒng)計數(shù)據(jù)，推求隨機事件所遵循的客觀規(guī)律。1-12第二節(jié)概率統(tǒng)計根底

1-13第二節(jié)概率統(tǒng)計根底二、概率▲概率分類：事先概率和經(jīng)驗概率兩類?！淌孪雀怕剩菏录l(fā)生前可以計算出來的概率。例如，投擲硬幣“出現(xiàn)正面〞的概率即屬此類?！探?jīng)驗概率：無法事先知道事件出現(xiàn)的可能情況，只能通過屢次實驗求得的概率。例如，水文現(xiàn)象中水文特征值(如洪峰、流量、水位等)在數(shù)量上的出現(xiàn)時機，即屬經(jīng)驗概率的范圍。1-14第二節(jié)概率統(tǒng)計根底三、頻率●定義：在一系列重復(fù)的獨立試驗中，某一事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值?！淘囼灤螖?shù)較少時，頻率具有偶然性。√試驗次數(shù)愈多〔n〕，頻率愈接近概率?！l率與概率之間的關(guān)系：√概率是隨機事件在客觀上出現(xiàn)的可能程度。是事件固有的性質(zhì)，是理論值，是常數(shù)?！填l率是利用有限的試驗結(jié)果推算得到的，是實測值?！填l率隨試驗次數(shù)不同而不同?！淘囼灤螖?shù)無限多時，頻率趨向于概率。水文中常用頻率取代概率。1-15第二節(jié)概率統(tǒng)計根底

1-16第二節(jié)概率統(tǒng)計根底

1-17第二節(jié)概率統(tǒng)計根底六、隨機變量系列●隨機變量：隨機事件在其發(fā)生過程中出現(xiàn)的種種結(jié)果，都是以數(shù)值來表示，這些數(shù)值就稱為隨機變量。▲隨機變量有兩種類型：√連續(xù)型隨機變量〔水位、流量或降雨量等〕√離散型隨機變量〔擲骰子〕●隨機變量系列：隨機變量組成的一列數(shù)值。√例如，1950年起至2002年止，某橋橋下通過的年最大流量共有53個數(shù)據(jù)，這53個數(shù)據(jù)組成年最大流量系列。√系列的范圍可以是有限的，也可以是無限的，水文資料一般都是無限系列。1-18第二節(jié)概率統(tǒng)計根底七、總體與樣本*〔補充材料〕1.總體隨機變量可能出現(xiàn)的全部變化數(shù)值的總集合，即隨機變量系列的全體?！倘萘繜o限總體水文現(xiàn)象的總體按時間過程取值，包括過去、現(xiàn)在和將來的全部隨機變量，屬于容量無限的總體?！倘萘坑邢蘅傮w例如:擲骰子，其隨機變量變化只有6個。1-19第二節(jié)概率統(tǒng)計根底七、總體與樣本*〔補充材料〕2.樣本總體中的一局部隨機變量。從總體中隨意選取的樣本叫隨機樣本?！碳僭O(shè)樣本具有足夠的代表性，那么在一定程度上反映總體的特征，因而可以借助樣本的規(guī)律性推斷總體的規(guī)律?！逃捎谒默F(xiàn)象的多年實測數(shù)值系列都是總體之中的樣本，也不可能得到總體系列，所以水文現(xiàn)象只能從樣本情況推論總體情況，并以此預(yù)示未來的水文情勢及選用適宜的設(shè)計數(shù)據(jù)。1-20第三節(jié)水文中常用的概率模型●概率分布：隨機變量與其發(fā)生概率之間的變化關(guān)系，稱為概率分布?！耦l率分布：隨機變量和其出現(xiàn)頻率之間的對應(yīng)關(guān)系，稱為隨機變量的頻率分布?！趟默F(xiàn)象都是復(fù)雜隨機事件，只能用頻率近似代替概率，通常用頻率分布近似地代表概率分布。1-21第三節(jié)水文中常用的概率模型一、統(tǒng)計參數(shù)●統(tǒng)計參數(shù)的定義：隨機變量的頻率分布特征和頻率分布曲線，能夠用該系列的幾個數(shù)值特征值來確定。這些具體數(shù)值常稱為統(tǒng)計參數(shù)?！y(tǒng)計參數(shù)〔數(shù)值特征〕的重要意義:√需要用一些統(tǒng)計參數(shù)來表示一個的概率分布?！虒τ谝粋€未知分布，可以通過統(tǒng)計參數(shù)來估計它的分布。√在水文計算中，通常根據(jù)樣本系列的統(tǒng)計參數(shù)來推求總體的規(guī)律。第三節(jié)水文中常用的概率模型

1-221-23第三節(jié)水文中常用的概率模型

第三節(jié)水文中常用的概率模型

1-241-25第三節(jié)水文中常用的概率模型

1-26第三節(jié)水文中常用的概率模型xxxyyyooo

(a)正偏態(tài)(b)正態(tài)(c)負(fù)偏態(tài)密度曲線圖1-27第三節(jié)水文中常用的概率模型一、統(tǒng)計參數(shù)1.4均值、中值、眾值的位置關(guān)系：①曲線為對稱形時〔峰頂居中〕，表示系列的頻率分布對稱于均值〔分布中心〕，稱為正態(tài)分布，三者的位置重合。曲線為不對稱時〔峰頂偏離中心〕，表示系列的頻率分布偏離均值〔分布中心〕，稱為偏態(tài)分布。②正偏態(tài)：峰頂偏左，橫坐標(biāo)的位置從小到大依次為：眾值＜中值＜均值③負(fù)偏態(tài)：峰頂偏右，橫坐標(biāo)的位置從小到大依次為：均值＜中值＜眾值√眾值、中值、均值的大小可以說明密度曲線的位置，而且三者的差值越大，說明曲線越偏，它們反映了頻率分布的位置特征?！倘狈Γ合盗性椒稚?，它們的代表性就越差?！桃虼?，除了頻率分布的位置特征以外，還需要知道頻率分布的分散或(集中)程度。1-28第三節(jié)水文中常用的概率模型一、統(tǒng)計參數(shù)2.均方差和變異系數(shù)〔離異系數(shù)、離差系數(shù)、變差系數(shù)〕均值只能反映系列的水平，卻不能說明系列對其均值的離散程度。例如，有甲、乙兩個系列：甲:10,50,90乙:49,50,51它們的均值都是50，但甲系列變動幅度大，而乙系列變動幅度卻很小。這種變化特征，可以利用均方差和變差系數(shù)來說明。1-29第三節(jié)水文中常用的概率模型

〔對總體〕

〔對樣本〕★當(dāng)利用樣本推算總體的均方差時，可采用下式：第三節(jié)水文中常用的概率模型

1-301-31第三節(jié)水文中常用的概率模型

〔對總體〕

〔對樣本〕★當(dāng)利用樣本推算總體的變異系數(shù)時，可采用下式：1-32第三節(jié)水文中常用的概率模型一、統(tǒng)計參數(shù)2.均方差和變異系數(shù)〔離異系數(shù)、離差系數(shù)、變差系數(shù)〕√變異系數(shù)無量綱；√CV值較小時，表示系列的離散程度較小，即變量間的變化幅度較小，頻率分布比較集中；√CV值較大時，表示系列的離散程度較大，即變量間的變化幅度較大，頻率分布比較分散。√對于年最大流量系列，CV值的大小反映河流中流量的年際變化幅度。CV值越大，流量的變幅越大，年際分配越不均勻。1-33第三節(jié)水文中常用的概率模型一、統(tǒng)計參數(shù)3.偏差系數(shù)●偏差系數(shù)Cs：說明系列分布對均值是對稱的還是不對稱的，反映頻率分布對均值的偏斜程度，是代表系列分布情況的參數(shù)值?！锂?dāng)利用樣本推算總體的偏差系數(shù)時，可采用下式：〔對總體〕〔對樣本〕1-34第三節(jié)水文中常用的概率模型一、統(tǒng)計參數(shù)3.偏差系數(shù)√Cs=0，系列呈正態(tài)分布；√Cs>0，系列呈正偏態(tài)分布?！藽s<0，系列呈負(fù)偏態(tài)分布。1-35第三節(jié)水文中常用的概率模型二、理論頻率曲線●理論頻率曲線的定義：指用數(shù)學(xué)方程式表示的頻率曲線。√理論頻率曲線是從數(shù)理統(tǒng)計的一些線型中，選擇與水文現(xiàn)象配合較好的線型，借用于水文實踐中?！趟纳纤^的理論頻率曲線，并非是根據(jù)水文現(xiàn)象本身的規(guī)律從理論上推斷出來的，只不過是為了區(qū)別于前述經(jīng)驗頻率曲線的一種習(xí)慣說法。1-36第三節(jié)水文中常用的概率模型二、理論頻率曲線正態(tài)分布式中，

：均值；

：均方差。√正態(tài)分布概率模型可用來描述混凝土的抗壓強度、鋼筋的抗拉強度。1-37第三節(jié)水文中常用的概率模型二、理論頻率曲線2.皮爾遜III型分布√根據(jù)我國多年使用經(jīng)驗，認(rèn)為皮爾遜Ⅲ型曲線比較符合我國多數(shù)地區(qū)水文現(xiàn)象的實際情況?！?895年，英國生物統(tǒng)計學(xué)家皮爾遜為隨機現(xiàn)象提出并建立了一種概括性的曲線族，該曲線族包括十三種形式的曲線，其中第Ⅲ型曲線與水文現(xiàn)象相符合。第三節(jié)水文中常用的概率模型二、理論頻率曲線2.皮爾遜III型分布1-38xf(x)皮爾遜III型曲線的密度函數(shù)式中，：平均值；：變異系數(shù)；：偏差系數(shù)。第三節(jié)水文中常用的概率模型二、理論頻率曲線2.皮爾遜III型分布此公式說明，當(dāng)三個統(tǒng)計參數(shù)確定時，皮爾遜III型曲線亦可以確定?！衿栠dIII型曲線的特點：√Cs>0；√曲線左端有限，右端以橫坐標(biāo)為漸近線無限延長；√均值>中值>眾值。1-39第三節(jié)水文中常用的概率模型二、理論頻率曲線3.皮爾遜III型曲線的表格形式及應(yīng)用皮爾遜III型曲線可進一步簡化整理為：式中，Qp：頻率為p的洪水流量〔m3/s〕；：年最大洪峰流量的平均值；Cv：頻率曲線的變異系數(shù)；p：離均系數(shù)，根據(jù)頻率p和偏差系數(shù)Cs，以表格的形式給出。1-40將隨機變量x以流量Q表示第三節(jié)水文中常用的概率模型二、理論頻率曲線3.皮爾遜III型曲線的表格形式及應(yīng)用▲平均流量▲變異系數(shù)Cv▲偏差系數(shù)CsQi為第i年的年最大洪峰流量。1-41第三節(jié)水文中常用的概率模型三、海森機率坐標(biāo)頻率曲線的繪制方法以頻率p為橫坐標(biāo)，隨機變量xi為縱坐標(biāo)，在坐標(biāo)格紙中繪點(p，xi)，并依據(jù)點分布的平均趨勢目估繪線，即可得頻率曲線。2.普通坐標(biāo)在這種坐標(biāo)格紙中，頻率曲線兩端曲率變化很大，呈“S〞形，這對曲線的延長增加了難度。1-42第三節(jié)水文中常用的概率模型