上海實驗學(xué)校2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末考試試題(解析版)

上海實驗學(xué)校2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題滿分40分，本大題共有10題）1．已知等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式是．【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，又，得，即，所以．【答案】2．已知四邊形是邊長為1的正方形，則．【解析】根據(jù)向量加法的三角形法則可得：．【答案】3．設(shè)復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部是．【解析】，的共軛復(fù)數(shù)，的虛部是．【答案】4．已知向量，，則在方向上的數(shù)量投影為．【解析】向量，，所以，所以在方向上的數(shù)量投影為．【答案】5．．【解析】由．【答案】6256．復(fù)數(shù)的輻角主值是．【解析】復(fù)數(shù)的模是，因為對應(yīng)的點在第一象限且輻角的正切，它的輻角主值為，三角形式為：，所以復(fù)數(shù)的輻角主值是．【答案】7．已知向量，，，，則的取值范圍是．【解析】設(shè)，．，，的取值范圍是，．【答案】，8．已知數(shù)列中且，．【解析】根據(jù)題意，，兩邊同除以，得，于是有：，，，，上述個等式累加，可得，又，得，所以．【答案】9．設(shè)、、在復(fù)平面上對應(yīng)的點分別為、、，，若，，，則四邊形的面積為．【解析】由，知，，則，可得，且，，，則，且，，四邊形的面積為．【答案】10．定義“二元函數(shù)”如下：；例如：，對于奇數(shù)，若任意，2，3，，存在、為正整數(shù)，且，、、、彼此不同），滿足，，則最小的正整數(shù)的值為．【解析】因為，所以，，由題設(shè)，存在5組不同的，，使得奇數(shù)，所以至少有5個不同的正的奇約數(shù)，且5個奇約數(shù)中，至少有一個為的形式，因為3為最小的大于1的正奇數(shù)且，所以的最小值為．【答案】243二、選擇題（本大題滿分16分，本大題共有4題）11．在中，“”是“是鈍角三角形”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】由題意可知若“”則必有角為鈍角，可得“是鈍角三角形”，而“是鈍角三角形”不一定角為鈍角，可能角或為鈍角，故推不出角為鈍角，故可得“”是“是鈍角三角形”的充分不必要條件．【答案】A12．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實數(shù)A．2 B． C．或2 D．【解析】為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，，．【答案】A13．已知與是方程在復(fù)數(shù)集中的兩根，則下列等式成立的是A．與共軛 B．Δ C． D．【解析】對于A，若方程有兩個虛數(shù)根，則這兩個虛數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù)，若方程有兩個實數(shù)根，則這兩根未必相等，故A錯誤，對于B，若方程有兩個虛數(shù)根，則Δ，故B錯誤，對于C，由韋達(dá)定理可知，，，故C正確，對于D，令，則兩根為，，，，其中，，故，故D錯誤．【答案】C14．?dāng)?shù)列滿足，為正整數(shù)），則下列命題中真命題的個數(shù)是①若數(shù)列滿足，則，為正整數(shù)）；②若（其中、、、為正整數(shù)），則；③一定存在常數(shù)，使得，為正整數(shù)）都成立；④一定存在常數(shù)，使得，為正整數(shù)）都成立．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解析】，則，數(shù)列為遞增數(shù)列，若，即，可得，則，①為真命題；取，則，數(shù)列為遞減數(shù)列，數(shù)列為遞增數(shù)列符合題意，若令，，則，，，，②為假命題；對，，，取常數(shù)滿足，則，，③為真命題；取，，，顯然滿足，但對，④為假命題．【答案】B三、解答題（本大題滿分0分，本大題共有4題，解答下列各題必須寫出必要的步驟）15．，依照下列條件求實數(shù)的值．（1）與相互平行；（2）與相互垂直．解：，，，（1）與相互平行，則，解得，（2）與相互垂直，則，．16．已知是復(fù)數(shù)，為實數(shù)為虛數(shù)單位），且．（1）求復(fù)數(shù)；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由是實數(shù)，可設(shè)，，故，所以，，又，可得，即，所以．（2）由，可得，又，，即，解得，所以，實數(shù)的取值范圍是．17．某市2013年發(fā)放汽車牌照12萬張，其中燃油型汽車牌照10萬張，電動型汽車2萬張．為了節(jié)能減排和控制總量，從2013年開始，每年電動型汽車牌照按增長，而燃油型汽車牌照每一年比上一年減少0.5萬張，一旦某年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)為0萬張，以后每一年發(fā)放的燃油型的牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變．同時規(guī)定一旦某年發(fā)放的牌照超過15萬張，以后每一年發(fā)放的電動車的牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變．（1）記2013年為第一年，每年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)構(gòu)成數(shù)列，每年發(fā)放的電動型汽車牌照數(shù)為構(gòu)成數(shù)列，寫出這兩個數(shù)列的通項公式；（2）從2013年算起，求到2029年（包含2029年）累計各年發(fā)放的牌照數(shù)．解：（1）當(dāng)且，；當(dāng)且，．而，（2）（萬輛）所以到2029年（包含2029年）累計各年發(fā)放的牌照數(shù)為206萬輛.18．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為，且滿足，若數(shù)列滿足，，且等式對任意成立．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）將數(shù)列與的項相間排列構(gòu)成新數(shù)列，，，，，，，，設(shè)該新數(shù)列為，求數(shù)列的通項公式和前項的和；（3）對于（2）中的數(shù)列前項和，若對任意都成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由，時，，解得．時，，化為：，數(shù)列的各項均為正數(shù)，，，數(shù)列為等差