蘇教版數(shù)學選修2-1講義第2章2.1圓錐曲線Word版含答案

2.1圓錐曲線學習目標核心素養(yǎng)1.通過用平面截圓錐面，經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義．(重點、難點)2.通過用平面截圓錐面，感受、了解雙曲線的定義．(難點)1.通過平面截圓錐面，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)．2.借助截得的圓錐面，提升直觀想象素養(yǎng).圓錐曲線(1)用平面截圓錐面能得到的曲線圖形是兩條相交直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線．(2)設(shè)P為圓錐曲線上任意一點，常數(shù)為2a(a定義(自然語言)數(shù)學語言橢圓平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點的軌跡叫做橢圓．兩個定點F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距PF1＋PF2＝2a＞F1雙曲線平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))的點的軌跡叫做雙曲線，兩個定點F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距|PF1－PF2|＝2a＜F1拋物線平面內(nèi)到一個定點F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線PF＝d，其中d為點P到l的距離思考：(1)橢圓定義中將“大于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”的常數(shù)，其他條件不變，點的軌跡是什么？(2)橢圓定義中將“大于|F1F2|”改為“小于|F1F2|[提示](1)點的軌跡是線段F1F2(2)當距離之和小于|F1F21．已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，動點P滿足|PF1|＋|PF2|＝3，則點P的軌跡為()A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．圓A[∵|PF1|＋|PF2|＝3＞|F1F2|，∴點P的軌跡是以F1、F22．已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝1，則點P的軌跡為()A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．雙曲線的一支D[∵|PF1|－|PF2|＜|F1F2|，∴3．已知拋物線上一點P到焦點F的距離為eq\f(3,2)，則點P到拋物線準線的距離為________．eq\f(3,2)[根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點到焦點的距離與它到準線的距離相等，故點P到準線的距離為eq\f(3,2).]4．已知F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝10，則點P的軌跡是________．一條射線(F1F2的延長線)[∵|F1F2|＝10，∴|PF1|－|PF2|＝|F1F2|.則點P的軌跡是一條射線(F1F2的延長線)．]橢圓的定義及應(yīng)用【例1】(1)已知△ABC中，A(0，－3)，B(0,3)，且△ABC的周長為16，試確定頂點C的軌跡；(2)已知F1，F(xiàn)2為橢圓的兩焦點，直線AB過點F1，交橢圓于A，B兩點，若橢圓上任一點P滿足PF1＋PF2＝5，求△ABF2的周長．[思路探究](1)由△ABC的周長為16，AB＝6得CA＋CB＝10，根據(jù)橢圓的定義知，點C在橢圓上；(2)利用橢圓的定義，把△ABF2的周長分解為點A和點B到焦點的距離之和．[解](1)由A(0，－3)，B(0,3)得AB＝6，又△ABC的周長為16，所以CA＋CB＝16－6＝10＞6，由橢圓的定義可知，點C在以A、B為焦點的橢圓上，又因為A、B、C為三角形的頂點，所以A、B、C三點不共線，所以點C的軌跡是以A，B為焦點的橢圓(除去與A、B所在同一直線的兩個點)．(2)由橢圓的定義可知，AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝PF1＋PF2＝5，所以△ABF2的周長為AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝5＋5＝10.橢圓定義的應(yīng)用方法1．判定動點P的軌跡為橢圓，關(guān)鍵分析兩點：①點P到兩定點的距離之和是否為常數(shù)，②該常數(shù)是否大于兩定點之間的距離．2．判定點的軌跡時，應(yīng)注意對個別點進行檢驗，如本例(1)中，因為△ABC三頂點不共線，所以應(yīng)去掉直線AB與橢圓的兩個交點．3．當條件中同時出現(xiàn)橢圓的兩個焦點及橢圓上一點時，可考慮應(yīng)用橢圓的定義進行求解．1．命題甲：動點P到兩定點A，B的距離之和PA＋PB＝2a(a>0，a為常數(shù))；命題乙：P必要不充分[根據(jù)橢圓的定義，應(yīng)填必要不充分．]雙曲線的定義及應(yīng)用【例2】已知點P(x，y)的坐標滿足下列條件，試判斷下列各條件下點P的軌跡是什么圖形？(1)|eq\r(x＋52＋y2)－eq\r(x－52＋y2)|＝6；(2)eq\r(x＋42＋y2)－eq\r(x－42＋y2)＝6.[思路探究]把代數(shù)方程轉(zhuǎn)化為幾何問題解決，嚴格扣準雙曲線的定義．[解](1)∵|eq\r(x＋52＋y2)－eq\r(x－52＋y2)|表示點P(x，y)到兩定點F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)的距離之差的絕對值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，故點P的軌跡是雙曲線．(2)∵eq\r(x＋42＋y2)－eq\r(x－42＋y2)表示點P(x，y)到兩定點F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)的距離之差，|F1F2|＝8，∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，故點P的軌跡是雙曲線的右支．雙曲線定義中的關(guān)鍵點在雙曲線的定義中，注意三個關(guān)鍵點：①在平面內(nèi)；②差的絕對值；③定值且定值小于兩定點間距．在這三個條件中，缺少一個條件，其動點軌跡也不是雙曲線．2．已知A(0，－5)，B(0,5)，若|PA|－|PB|＝6，則P點的軌跡為________，若|PA|－|PB|＝10，則P點的軌跡為________．雙曲線的一支一條射線[∵|PA|－|PB|＝6<10時，∴P的軌跡為雙曲線的一支．又∵|PA|－|PB|＝10且|AB|＝10，∴P的軌跡為射線，是以B為端點向上的一條射線．]拋物線的定義及應(yīng)用【例3】已知動點M(x，y)滿足|3x＋4y＋1|＝5eq\r(x－12＋y－22)，試判斷動點M的軌跡．[思路探究]把條件式化為點M到點(1,2)與點M到直線3x＋4y＋1＝0的距離相等，利用拋物線的定義求解．[解]選定直線l：3x＋4y＋1＝0，定點F(1,2)，則M到l的距離為d＝eq\f(|3x＋4y＋1|,5)，MF＝eq\r(x－12＋y－22).由題意知d＝MF，且F?l，由拋物線定義知，M的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線．拋物線定義的應(yīng)用方法1．涉及點線距、兩點間距離的軌跡問題，要充分聯(lián)想拋物線的定義，判別動點的軌跡．2．應(yīng)用拋物線的定義判定動點的軌跡，關(guān)鍵是看動點到定點與到定直線的距離是否相等，并且注意定點不在定直線上．3．若已知某點在拋物線上，則該點到拋物線焦點的距離與該點到拋物線準線的距離相等．3．點P到點F(4,0)的距離比它到直線l：x＝－6的距離小2，則點P的軌跡為________．拋物線[由題意可知，點P到F(4,0)的距離與到直線x＝－4的距離相等．根據(jù)拋物線的定義知，點P的軌跡為拋物線．]如何區(qū)分橢圓與雙曲線[探究問題]1．已知F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，若PF1＋PF2＝6時，點P的軌跡是什么？若|PF1－PF2|＝2時，點P的軌跡是什么？[提示]若PF1＋PF2＝6>4，則P的軌跡為橢圓；若|PF1－PF2|＝2<4，則P的軌跡為雙曲線．理解橢圓關(guān)注幾個詞：“和”“定值”“大于焦距”；理解雙曲線關(guān)注幾個詞：“差”“絕對值”“定值”“小于焦距”．2．拋物線的定義應(yīng)注意什么？定點為F(2,0)，定直線為x＝－2時，動點P到F的距離與到直線x＝－2的距離相等，動點P的軌跡是什么？[提示]在拋物線定義中，要特別注意：①在平面內(nèi)；②到定點距離等于到定直線距離；③定點不在定直線上．因為(2,0)不在直線x＝－2上，所以點P的軌跡為拋物線．【例4】已知圓C1：(x＋2)2＋y2＝1和圓C2：(x－2)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡．[思路探究]根據(jù)M到C1，C2的距離的關(guān)系，扣住圓錐曲線的定義．[解]由已知得，圓C1的圓心C1(－2,0)，半徑r1＝1，圓C2的圓心C2(2,0)，半徑r2＝3.設(shè)動圓M的半徑為r，因為動圓M與圓C1相外切，所以MC1＝r＋1.①又因為動圓M與圓C2相外切，所以MC2＝r＋3.②②－①得MC2－MC1＝2，且2<C1C2＝4.所以動圓圓心M的軌跡為雙曲線的左支，且除去點(－1,0)．設(shè)動圓半徑為r，利用動圓M同時與圓C1及圓C2相外切得兩個等式，相減后消去r，得到點M的關(guān)系式．注意到MC2－MC1＝2中沒有絕對值，所以軌跡是雙曲線的一支，又因為圓C1與圓C2相切于點(－1,0)，所以M的軌跡不過點(－1,0)．4．已知圓A：(x＋3)2＋y2＝100，圓A內(nèi)有一定點B(3,0)，動圓M過B點且與圓A內(nèi)切，求證：圓心M的軌跡是橢圓．[證明]設(shè)MB＝r.∵圓M與圓A內(nèi)切，圓A的半徑為10，∴兩圓的圓心距MA＝10－r，即MA＋MB＝10(大于AB)，∴圓心M的軌跡是以A，B兩點為焦點的橢圓．1．平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)，即|MF1|＋|MF2|＝2a當2a＞|F1F2|時，軌跡是橢圓；當2a＝|F1F2|時，軌跡是一條線段F1F2；當2a＜|F1F2|時，軌跡不存在．2．雙曲線定義中|PF1－PF2|＝2a(2a＜|F1F2|)不要漏了絕對值符號，當2a＝|3．拋物線的定義中不要忽略條件：點F不在直線l上．1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到兩定點F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)的距離之和為10的動點的軌跡是橢圓．()(2)在雙曲線定義中，若去掉“絕對值”，其軌跡不是雙曲線．()(3)在拋物線定義中，“F不在l上”可以省略．()(4)在橢圓、雙曲線、拋物線的定義中“平面內(nèi)”這一條件都不能丟掉，否則動點的軌跡就是空間圖形．()[解析](1)×.因為|F1F2|＝10，所以動點軌跡是線段F1F(2)√.雙曲線定義中，若去掉“絕對值”，其軌跡是雙曲線的一支，不是雙曲線，故正確．(3)×.拋物線定義中，“F不在l上”不能省略，因為F在l上時，軌跡是一條直線，故不正確．(4)√.圓錐曲線是平面圖形，因此是正確的．[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．以F1，F(xiàn)2為焦點作橢圓，橢圓上一點P1到F1，F(xiàn)2的距離之和為10，橢圓上另一點P2滿足P2F1＝P2F2，則P2A．3B．4C．5D．6C[由橢圓的定義可知P2F1＋P2F又∵P2F1＝P2F2，∴P2F1＝5.]3．已知M(－2,0)，N(2,0)，PM－PN＝3，則動點