專題27 相似【有答案】

專題27相似知識點1：相似三角形定義對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形?；橄嗨菩蔚娜切谓凶鱿嗨迫切沃R點2：相似三角形的判定:定理1.平行于三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

定理2.如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等,那么這兩個三角形相似；

定理3.如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個三角形相似；

定理4.如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等,那么這兩個三角形相似；定理5.斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。

定理6.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個直角三角形也相似。知識點3：相似三角形的性質(zhì):性質(zhì)1.相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。

性質(zhì)2.相似三角形周長的比等于相似比。

性質(zhì)3.相似三角形面積的比等于相似比的平方。知識點4：位似1.位似圖形、位似中心、位似的定義每幅圖的兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)定點的連線相交于一點，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這點叫做位似中心。這時我們說這兩個圖形關(guān)于這點位似。2.位似比兩個相似圖形的相似比，成為位似比。3.位似圖形的性質(zhì)。4.要知道用位似將一個圖形放大或者縮小的辦法。能說出平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)和位似之間的異同，并舉出一些他們的實際應(yīng)用的例子。一、用思維導(dǎo)圖記憶本單元知識內(nèi)在聯(lián)系二、以一道幾何題解法為例，說明添加輔助線，構(gòu)造相似形的方法和技巧．已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．求證：BC2＝2CD·AC．整體分析：欲證BC2＝2CD·AC，只需證．但因為結(jié)論中有“2”，無法直接找到它們所在的相似三角形，因此需要結(jié)合圖形特點及結(jié)論形式，通過添加輔助線，對其中某一線段進行倍、分變形，構(gòu)造出單一線段后，再證明三角形相似．由“2”所放的位置不同，證法也不同．證法一（構(gòu)造2CD）：如圖，我們很容易想到，在AC截取DE＝DC，（或者說在AC上取一點E，使得CD=DE,這樣就有CE=2CD）∵BD⊥AC于D，∴BD是線段CE的垂直平分線，∴BC=BE，∴∠C=∠BEC，又∵AB＝AC，∴∠C=∠ABC．∴△BCE∽△ACB．∴，∴∴BC2＝2CD·AC．證法二（構(gòu)造2AC）：如圖，在CA的延長線上截取AE＝AC，連結(jié)BE，得到△EBC．∵AB＝AC，∴AB＝AC=AE．∴∠EBC=90°，又∵BD⊥AC．∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°，∴∠E=∠DBC，∴△EBC∽△BDC∴即∴BC2＝2CD·AC．證法三（構(gòu)造）：如圖，取BC的中點E，連結(jié)AE，則EC=．又∵AB=AC，∴AE⊥BC，∠ACE=∠C∴∠AEC=∠BDC=90°∴△ACE∽△BCD．∴即．∴BC2＝2CD·AC．證法四（構(gòu)造）：如圖，取BC中點E，連結(jié)DE，則CE=．∵BD⊥AC，∴BE=EC=ED，∴∠EDC=∠C又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴△ABC∽△EDC．∴，即．∴BC2＝2CD·AC．說明：此題充分展示了添加輔助線，構(gòu)造相似形的方法和技巧．在解題中方法要靈活，思路要開闊．【例題1】（2020?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原點為位似中心，在原點的同側(cè)畫△DEF，使△DEF與△ABC成位似圖形，且相似比為2：1，則線段DF的長度為（）A．5 B．2 C．4 D．25【答案】D【解析】把A、C的橫縱坐標都乘以2得到D、F的坐標，然后利用兩點間的距離公式計算線段DF的長．∵以原點為位似中心，在原點的同側(cè)畫△DEF，使△DEF與△ABC成位似圖形，且相似比為2：1，而A（1，2），C（3，1），∴D（2，4），F(xiàn)（6，2），∴DF=(2-6【例題2】（2020?鹽城）如圖，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．則AEAC的值為【解析】2【分析】由平行線得三角形相似，得出AB?DE，進而求得AB，DE，再由相似三角形求得結(jié)果．【解析】∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DE∴AB?DE＝16，∵AB+DE＝10，∴AB＝2，DE＝8，∴AE【例題3】（輔助線添法）已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分線．求證：AB/AC=BD/CD【答案】見解析?！窘馕觥勘壤€段常由平行線而產(chǎn)生，因而研究比例線段問題，常應(yīng)注意平行線的作用，在沒有平行線時，可以添加平行線而促成比例線段的產(chǎn)生．此題中AD為△ABC內(nèi)角A的平分線，這里不存在平行線，于是可考慮過定點作某定直線的平行線，添加了這樣的輔助線后，就可以利用平行關(guān)系找出相應(yīng)的比例線段，再比較所證的比例式與這個比例式的關(guān)系，去探求問題的解決．證法1：如圖，過C點作CE∥AD，交BA的延長線于E．

在△BCE中，∵DA∥CE，∴BD/DC=BA/AE又∵CE∥AD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，且AD平分∠BAC，∵∠1=∠2，于是∠3=∠4，∴AC=AE．∴BD/DC=BA/AC證法2：由于BD、CD是點D分BC而得，故可過分點D作平行線．如圖，過D作DE∥AC交AB于E，則∠2=∠3．

∵∠1=∠2，∴∠1=∠3．于是EA=ED．又∵，∴，∴.證法3：欲證式子左邊為AB：AC，而AB、AC不在同一直線上，又不平行，故考慮將AB轉(zhuǎn)移到與AC平行的位置．如圖，過B作BE∥AC，交AD的延長線于E，則∠2=∠E．

∵∠1=∠2，∴∠1=∠E，AB=BE．又∵，∴.證法4：由于AD是∠BAC的平分線，故可過D分別作AB、AC的平行線，構(gòu)造相似三角形求證．如圖，過D點作DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．

易證四邊形AEDF是菱形．則DE=DF．由△BDE∽△DFC，得．又∵，∴.《相似》單元精品檢測試卷本套試卷滿分120分，答題時間90分鐘一、選擇題（每小題3分，共30分）1.（2019湖南邵陽）如圖，以點O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A′B′C′，以下說法中錯誤的是（）A．△ABC∽△A′B′C′B．點C、點O、點C′三點在同一直線上C．AO：AA′=1：2D．AB∥A′B′【答案】C【解析】直接利用位似圖形的性質(zhì)進而分別分析得出答案．解：∵以點O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，點C、點O、點C′三點在同一直線上，AB∥A′B′，AO：OA′＝1：2，故選項C錯誤，符合題意．【點評】此題主要考查了位似變換，正確把握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2020?牡丹江）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，點E在BC邊上，DF⊥AE，垂足為F．若DF＝6，則線段EF的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】證明△AFD∽△EBA，得到AFBE=ADAE=DFAB【解析】∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴AFBE∵DF＝6，∴AF=1∴8BE∴AE＝5，∴EF＝AF﹣AE＝8﹣5＝3．3.（2019?海南?。┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．點P是邊AC上一動點，過點P作PQ∥AB交BC于點Q，D為線段PQ的中點，當BD平分∠ABC時，AP的長度為（）A. B． C． D．【答案】B．【解析】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)得到∠QBD＝∠BDQ，得到QB＝QD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝＝3，∵PQ∥AB，∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，∴∠QBD＝∠BDQ，∴QB＝QD，∴QP＝2QB，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴＝＝，即＝＝，解得，CP＝，∴AP＝CA﹣CP＝4．（2020?嘉興）如圖，在直角坐標系中，△OAB的頂點為O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以點O為位似中心，在第三象限內(nèi)作與△OAB的位似比為13的位似圖形△OCD，則點CA．（﹣1，﹣1） B．（-43，﹣1） C．（﹣1，-43） D．（﹣【答案】B【分析】根據(jù)關(guān)于以原點為位似中心的對應(yīng)點的坐標的關(guān)系，把A點的橫縱坐標都乘以-1【解析】∵以點O為位似中心，位似比為13而A（4，3），∴A點的對應(yīng)點C的坐標為（-43，﹣5．（2020?安徽）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA=45，則BDA．94 B．125 C．154 【答案】C【分析】在△ABC中，由三角函數(shù)求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由三角函數(shù)求得BD．【解析】∵∠C＝90°，AC＝4，cosA=4∴AB=AC∴BC=∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A=BC∴BD6．（2020?無錫）如圖，等邊△ABC的邊長為3，點D在邊AC上，AD=12，線段PQ在邊BA上運動，PQ①CP與QD可能相等；②△AQD與△BCP可能相似；③四邊形PCDQ面積的最大值為313④四邊形PCDQ周長的最小值為3+37其中，正確結(jié)論的序號為（）A．①④ B．②④ C．①③ D．②③【答案】D【解析】①利用圖象法可知PC＞DQ，故①錯誤．②∵∠A＝∠B＝60°，∴當∠ADQ＝∠CPB時，△ADQ∽△BPC，故②正確．③設(shè)AQ＝x，則四邊形PCDQ的面積=34×32-12×x×32×1∵x的最大值為3-1∴x=52時，四邊形PCDQ的面積最大，最大值如圖，作點D關(guān)于AB的對稱點D′，作D′F∥PQ，使得D′F＝PQ，連接CF交AB于點P′，此時四邊形P′CD′Q′的周長最?。^點C作CH⊥D′F交D′F的延長線于H，交AB于J．由題意，DD′＝2AD?sin60°=32，HJ=12DD′=34，∴CH＝CJ+HJ=7∴CF=F∴四邊形P′CDQ′的周長的最小值＝3+3927．（2020?成都）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，則DE的長為（）A．2 B．3 C．4 D．10【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【解析】∵直線l1∥l2∥l3，∴ABBC∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，∴56∴DE=8．（2020?哈爾濱）如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，連接AD，點E在AC邊上，過點E作EF∥BC，交AD于點F，過點E作EG∥AB，交BC于點G，則下列式子一定正確的是（）A．AEEC=EFCD B．EFCD=EGAB【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例性質(zhì)進行解答便可．【解析】∵EF∥BC，∴AFFD∵EG∥AB，∴AEEC∴AF9．（2020?遵義）如圖，△ABO的頂點A在函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象上，∠ABO＝90°，過AO邊的三等分點M、N分別作x軸的平行線交AB于點P、Q．若四邊形MNQP的面積為3，則A．9 B．12 C．15 D．18【答案】D【分析】易證△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性質(zhì)：面積比等于相似比的平方可求出△ANQ的面積，進而可求出△AOB的面積，則k的值也可求出．【解析】∵NQ∥MP∥OB，∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，∵M、N是OA的三等分點，∴ANAM=1∴S△∵四邊形MNQP的面積為3，∴S△∴S△ANQ＝1，∵1S△AOB=（AN∴S△AOB＝9，∴k＝2S△AOB＝1810．（2020?銅仁市）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，點F在射線AM上，且AF=2，過點F作AD的平行線交BA的延長線于點H，CF與AD相交于點G，連接EC、EG、EF．下列結(jié)論：①△ECF的面積為172；②△AEG的周長為8；③EG2＝DG2+BEA．①②③ B．①③ C．①② D．②③【答案】C【解析】如圖，在正方形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4，∠B＝∠BAD＝90°，∴∠HAD＝90°，∵HF∥AD，∴∠H＝90°，∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°，∴∠AFH＝∠HAF．∵AF=2，∴AH＝HF＝1＝BE．∴EH＝AE+AH＝AB﹣BE+AH＝4＝BC∴△EHF≌△CBE（SAS），∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，∵∠BCE+∠BEC＝90°，∴HEF+∠BEC＝90°，∴∠FEC＝90°，∴△CEF是等腰直角三角形，在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4，∴EC2＝BE2+BC2＝17，∴S△ECF=12EF?EC=12過點F作FQ⊥BC于Q，交AD于P，∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD，∴四邊形APFH是矩形，∵AH＝HF，∴矩形AHFP是正方形，∴AP＝PF＝AH＝1，同理：四邊形ABQP是矩形，∴PQ＝AB＝4，BQ＝AP＝1，F(xiàn)Q＝FP+PQ＝5，CQ＝BC﹣BQ＝3，∵AD∥BC，∴△FPG∽△FQC，∴FPFQ=PGCQ，∴15=PG3，∴PG=在Rt△EAG中，根據(jù)勾股定理得，EG=A∴△AEG的周長為AG+EG+AE=85+17∵AD＝4，∴DG＝AD﹣AG=12∴DG2+BE2=14425+∵EG2＝（175）2=∴EG2≠DG2+BE2，故③錯誤，∴正確的有①②，二、填空題（每空3分，共30分）11.（2019廣西百色）如圖，△ABC與△A'B'C'是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，若點A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），則△A'B'C'的面積為．【答案】18．【解析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置進而得出答案．∵△ABC與△A'B'C'是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，點A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），∴A′（4，4），C′（12，2），∴△A'B'C'的面積為：6×8﹣×2×4﹣×6×6﹣×2×8＝18．【點評】此題主要考查了位似變換以及三角形面積求法，正確得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵．12．（2020?湖州）在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都是格點的三角形稱為格點三角形．如圖，已知Rt△ABC是6×6網(wǎng)格圖形中的格點三角形，則該圖中所有與Rt△ABC相似的格點三角形中．面積最大的三角形的斜邊長是．【解析】52．【解析】∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，∴AB=5，AC：BC＝1：2∴與Rt△ABC相似的格點三角形的兩直角邊的比值為1：2，若該三角形最短邊長為4，則另一直角邊長為8，但在6×6網(wǎng)格圖形中，最長線段為62，但此時畫出的直角三角形為等腰直角三角形，從而畫不出端點都在格點且長為8的線段，故最短直角邊長應(yīng)小于4，在圖中嘗試，可畫出DE=10，EF＝210，DF＝52∵101∴△ABC∽△DEF，∴∠DEF＝∠C＝90°，∴此時△DEF的面積為：10×210÷2＝10，△DEF為面積最大的三角形，其斜邊長為：513．（2020?無錫）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，點D，E分別在邊AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，連接BE，CD，相交于點O，則△ABO面積最大值為．【解析】83【解析】如圖，過點D作DF∥AE，則DFAE∵ECAE∴DF＝2EC，∴DO＝2OC，∴DO=23∴S△ADO=23S△ADC，S△BDO=23∴S△ABO=23S△∵∠ACB＝90°，∴C在以AB為直徑的圓上，設(shè)圓心為G，當CG⊥AB時，△ABC的面積最大為：12×4×2＝此時△ABO的面積最大為：23×414.（2019?浙江寧波）如圖所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，點D在邊BC上，CD＝5，BD＝13．點P是線段AD上一動點，當半徑為6的⊙P與△ABC的一邊相切時，AP的長為．【答案】6.5或3．【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，∴AB＝＝6，在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，∴AD＝＝13，當⊙P于BC相切時，點P到BC的距離＝6，過P作PH⊥BC于H，則PH＝6，∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴PH∥AC，∴△DPH∽△DAC，∴，∴＝，∴PD＝6.5，∴AP＝6.5；當⊙P于AB相切時，點P到AB的距離＝6，過P作PG⊥AB于G，則PG＝6，∵AD＝BD＝13，∴∠PAG＝∠B，∵∠AGP＝∠C＝90°，∴△AGP∽△BCA，∴，∴＝，∴AP＝3，∵CD＝5＜6，∴半徑為6的⊙P不與△ABC的AC邊相切，綜上所述，AP的長為6.5或3，故答案為：6.5或3．15.2019黑龍江省龍東地區(qū)）一張直角三角形紙片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，點D為BC邊上的任一點，沿過點D的直線折疊，使直角頂點C落在斜邊AB上的點E處，當△BDE是直角三角形時，則CD的長為________．【答案】3或.【解析】在△BDE中，∠B是銳角，∴有兩種可能，∠DEB或∠EDB是直角，由此畫出示意圖，逐步求解即可.如圖1，∠DEB是直角時，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC==8,設(shè)CD=x，則BD=8-x，由折疊知CD=ED=x，∵∠ACB＝∠DEB=90°，∴△BED∽△BCA，∴，即，解得x=3;如圖2，∠EDB是直角時，ED∥AC，∴△BED∽△BAC，∴,即，解得x=，綜上，CD的長為3或. 圖1 圖216．（2019?山東泰安）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E為AD中點，F(xiàn)為AB上一點，將△AEF沿EF折疊后，點A恰好落到CF上的點G處，則折痕EF的長是．【答案】2．【解析】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是能夠作出適當?shù)妮o助線，連接CE，構(gòu)造相似三角形，最終利用相似的性質(zhì)求出結(jié)果．連接EC，利用矩形的性質(zhì)，求出EG，DE的長度，證明EC平分∠DCF，再證∠FEC＝90°，最后證△FEC∽△EDC，利用相似的性質(zhì)即可求出EF的長度．如圖，連接EC，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，∵E為AD中點，∴AE＝DE＝AD＝6由翻折知，△AEF≌△GEF，∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴，∵EC＝＝＝3，∴，∴FE＝217.（2019江蘇常州）如圖，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3．點P是AD的中點，點E在BC上，CE＝2BE，點M、N在線段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，則MN＝__________．【答案】6．【解析】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等幾何知識點．首先由勾股定理，求得BD＝10，然后由“AD＝3AB＝3．點P是AD的中點，點E在BC上，CE＝2BE”，求得PD＝，CE＝2，這樣由tan∠DEC＝；第四步過點P作PH⊥BD于點H，在BD上依次取點M、N，使MH＝NH＝2PH，于是因此△PMN是所求符合條件的圖形；第五步由△DPH∽△DBA，得，即，得PH＝，于是MN＝4PH＝6，本題答案為6．18.（2019?山東省濱州市）如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，CE平分∠BCD交AB于點E，交BD于點F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，連接OE．下列結(jié)論：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF?DF．其中正確的結(jié)論有（填寫所有正確結(jié)論的序號）【答案】①③④．【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，OD＝OB，OA＝OC，∴∠DCB+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝60°，∴∠DCB＝120°，∵EC平分∠DCB，∴∠ECB＝∠DCB＝60°，∴∠EBC＝∠BCE＝∠CEB＝60°，∴△ECB是等邊三角形，∴EB＝BC，∵AB＝2BC，∴EA＝EB＝EC，∴∠ACB＝90°，∵OA＝OC，EA＝EB，∴OE∥BC，∴∠AOE＝∠ACB＝90°，∴EO⊥AC，故①正確，∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴＝＝，∴OF＝OB，∴S△AOD＝S△BOC＝3S△OCF，故②錯誤，設(shè)BC＝BE＝EC＝a，則AB＝2a，AC＝a，OD＝OB＝＝a，∴BD＝a，∴AC：BD＝a：a＝：7，故③正確，∵OF＝OB＝a，∴BF＝a，∴BF2＝a2，OF?DF＝a?（a+a）＝a2，∴BF2＝OF?DF，故④正確，故答案為①③④．19.（2019四川瀘州）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，點E在邊CB上，CE＝2EB，點D在邊AB上，CD⊥AE，垂足為F，則AD的長為．【答案】92【解析】過D作DH⊥AC于H，∵在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∴AC＝BC＝15，∴∠CAD＝45°，∴AH＝DH，∴CH＝15﹣DH，∵CF⊥AE，∴∠DHA＝∠DFA＝90°，∴∠HAF＝∠HDF，∴△ACE∽△DHC，∴DHAC∵CE＝2EB，∴CE＝10，∴DH15∴DH＝9，∴AD＝92，故答案為：92．20.（2019?四川省涼山州）在?ABCD中，E是AD上一點，且點E將AD分為2：3的兩部分，連接BE、AC相交于F，則S△AEF：S△CBF是．【答案】4：25或9：25．【解析】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．分AE：ED＝2：3、AE：ED＝3：2兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．①當AE：ED＝2：3時，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AE：BC＝2：5，∴△AEF∽△CBF，∴S△AEF：S△CBF＝（）2＝4：25；②當AE：ED＝3：2時，同理可得，S△AEF：S△CBF＝（）2＝9：25。三、解答題（6個小題，每題10分，共60分）21．（2020?菏澤）如圖1，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，OA＝OC，OB＝OD+CD．（1）過點A作AE∥DC交BD于點E，求證：AE＝BE；（2）如圖2，將△ABD沿AB翻折得到△ABD'．①求證：BD'∥CD；②若AD'∥BC，求證：CD2＝2OD?BD．【解析】見解析?！窘馕觥浚?）證明：∵AE∥DC，∴∠CDO＝∠AEO，∠EAO＝∠DCO，又∵OA＝OC，∴△AOE≌△COD（AAS），∴CD＝AE，OD＝OE，∵OB＝OE+BE，OB＝OD+CD，∴BE＝CD，∴AE＝BE；（2）①證明：如圖1，過點A作AE∥DC交BD于點E，由（1）可知△AOE≌△COD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠AEB，∵將△ABD沿AB翻折得到△ABD'，∴∠ABD'＝∠ABD，∴∠ABD'＝∠BAE，∴BD'∥AE，又∵AE∥CD∴BD'∥CD．②證明：如圖2，過點A作AE∥DC交BD于點E，延長AE交BC于點F，∵AD'∥BC，BD'∥AE，∴四邊形AD'BF為平行四邊形．∴∠D'＝∠AFB，∵將△ABD沿AB翻折得到△ABD'．∴∠D'＝∠ADB，∴∠AFB＝∠ADB，又∵∠AED＝∠BEF，∴△AED∽△BEF，∴AEDE∵AE＝CD，∴CDDE∵EF∥CD，∴△BEF∽△BDC，∴BEEF∴CDDE∴CD2＝DE?BD，∵△AOE≌△COD，∴OD＝OE，∴DE＝2OD，∴CD2＝2OD?BD．22．（2020?武漢）問題背景如圖（1），已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；嘗試應(yīng)用如圖（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點F，點D在BC邊上，ADBD=3拓展創(chuàng)新如圖（3），D是△ABC內(nèi)一點，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝23，直接寫出AD的長．【解析】見解析?！窘馕觥繂栴}背景證明：∵△ABC∽△ADE，∴ABAD=ACAE，∠∴∠BAD＝∠CAE，ABAC∴△ABD∽△ACE；嘗試應(yīng)用解：如圖1，連接EC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，∴△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，∴AEEC=ADBD=3，∠在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴ADAE∴ADEC=∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴DFCF=拓展創(chuàng)新解：如圖2，過點A作AB的垂線，過點D作AD的垂線，兩垂線交于點M，連接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴BDMD又∠BDC＝∠ADM，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠ADC，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴BMCA∵AC＝23，∴BM＝23×3∴AM=BM2∴AD=123．（2020?南京）如圖，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分別是AB、A'B'上一點，ADAB（1）當CDC'D'=ACA'C證明的途徑可以用下面的框圖表示，請?zhí)顚懫渲械目崭瘢?）當CDC'D'=ACA'C【解析】見解析?！窘獯稹浚?）證明：∵ADAB∴ADA∵CDC∴CDC∴△ADC∽△A′D′C，∴∠A＝∠A′，∵ACA∴△ABC∽△A′B′C′．故答案為：CDC'D'=（2）如圖，過點D，D′分別作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于E，D′E′交A′C′于E′．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB同理，A'∵ADAB∴DEBC∴DED同理，AEAC∴AC-AEAC∴ECE∵CDC∴CDC∴△DCE∽△D′C′E′，∴∠CED＝∠C′E′D′，∵DE∥BC，∴∠CED+∠ACB＝90°，同理，∠C′E′D′+∠A′C′B′＝180°，∴∠ACB＝∠A′B′C′，∵ACA∴△ABC∽△A′B′C′．24.（2019?湖北省荊門市）如圖，為了測量一棟樓的高度OE，小明同學先在操場上A處放一面鏡