概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(1,6)

第一章概率論的基本概念上節(jié)內(nèi)容復(fù)習(xí)：第一章概率論的基本概念一、獨(dú)立性的定義例1袋中有a

只黑球，b

只白球．每次從中取出一球，令：

A={第一次取出白球}，

B={第二次取出白球}，分有放回和不放回情形討論第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性（1）有放回情形：（2）不放回情形：第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性由此例題你會(huì)得到什么結(jié)論？說(shuō)明由例1，可知，兩種情形中都有這表明，在有放回情形，事件A

是否發(fā)生對(duì)事件B

是否發(fā)生在概率上是沒(méi)有影響的，即事件A

與B

呈現(xiàn)出某種獨(dú)立性．由此，我們引出事件獨(dú)立性的概念第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性在不放回情形有：在有放回情形有：在不放回情形，事件

A

是否發(fā)生對(duì)事件B

是否發(fā)生在概率上是有影響的，即事件A

與B呈現(xiàn)出不獨(dú)立性．定義：設(shè)A、B

是兩個(gè)隨機(jī)事件，如果則稱A

與B

是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件．二、事件獨(dú)立性的性質(zhì)：1）如果事件A

與B

相互獨(dú)立，而且第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性()())()(APABPABPBP==第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性2）必然事件S與任意隨機(jī)事件A相互獨(dú)立；不可能事件Φ與任意隨機(jī)事件A相互獨(dú)立．證明留給同學(xué)們思考。3)若隨機(jī)事件A

與B

相互獨(dú)立，則也相互獨(dú)立.證明：為方便起見(jiàn)，只證相互獨(dú)立即可．這個(gè)性質(zhì)很重要！第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性注意：在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于事件的獨(dú)立性，我們往往不是根據(jù)定義來(lái)判斷，而是根據(jù)實(shí)際意義來(lái)加以判斷的。具體的說(shuō)，題目一般把獨(dú)立性作為條件告訴我們，要求直接應(yīng)用定義中的公式進(jìn)行計(jì)算。例2設(shè)事件A

與B

滿足：若事件A

與

B

相互獨(dú)立，則AB≠Φ；若AB=Φ，則事件A

與B

不相互獨(dú)立．證明：第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性若AB=Φ，則但是，由題設(shè)這表明，事件A與B不相互獨(dú)立．第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性此例說(shuō)明：互不相容與相互獨(dú)立不能同時(shí)成立。三、多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)A、B、C是三個(gè)隨機(jī)事件，第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性1）三個(gè)事件的獨(dú)立性：則稱A、B、C是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件．注意：在三個(gè)事件獨(dú)立性的定義中，四個(gè)等式是缺一不可的．即：前三個(gè)等式的成立推不出最后一個(gè)等式；反之，最后一個(gè)等式的成立也推不出前三個(gè)等式的成立．試想：n個(gè)隨機(jī)事件的獨(dú)立性的定義及性質(zhì)。如果

例3

袋中裝有4

個(gè)外形相同的球，其中三個(gè)球分別涂有紅、白、黑色，另一個(gè)球涂有紅、白、黑三種顏色．現(xiàn)從袋中任意取出一球，令：

A={取出的球涂有紅色}

B={取出的球涂有白色}

C={取出的球涂有黑色}

則：第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性由此可見(jiàn)但是這表明，A、B、C這三個(gè)事件是兩兩獨(dú)立的，但不是相互獨(dú)立的．第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性2）n個(gè)事件的相互獨(dú)立性：第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性說(shuō)明在上面的公式中，第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性3）獨(dú)立隨機(jī)事件的性質(zhì)：則：（1）其中任意個(gè)隨機(jī)事件也相互獨(dú)立；若是相互獨(dú)立的事件，則4）相互獨(dú)立事件至少發(fā)生其一的概率的計(jì)算：第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性在本章第2節(jié)介紹了下面這個(gè)公式在獨(dú)立的條件下有：第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性注意()()()pAPAPAPn====L21特別地，如果則有,時(shí)當(dāng)￥?n第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性此例說(shuō)明：小概率事件雖然在一次試驗(yàn)中幾乎是不發(fā)生的，但是遲早要發(fā)生。不論p多么小3）2）1）n例4

如果構(gòu)成系統(tǒng)的每個(gè)元件的可靠性均為r，0<r<1.且各元件能否正常工作是相互獨(dú)立的，試求下列系統(tǒng)的可靠性：第一章概率論的基本概念

1）每條通路要能正常工作，當(dāng)且僅當(dāng)該通路上的各元件都正常工作，故可靠性為第一章概率論的基本概念2）一條通路發(fā)生故障的概率為兩條通路同時(shí)發(fā)生故障的概率為故系統(tǒng)的可靠性為即附加通路可使系統(tǒng)可靠性增加。3）每對(duì)并聯(lián)元件的可靠性為系統(tǒng)由每對(duì)并聯(lián)的元件串聯(lián)組成，故可靠性為由數(shù)學(xué)歸納法可證明當(dāng)解：§4獨(dú)立性

例5

設(shè)有電路如圖，其中1,2,3,4為繼電器接點(diǎn)。設(shè)各繼電器接點(diǎn)閉合與否相互獨(dú)立，且每一個(gè)繼電器接點(diǎn)閉合的概率均為

p。求L至R為通路的概率。LR2134

解：設(shè)事件Ai(i=1,2,3,4)為“第i個(gè)繼電器接點(diǎn)閉合”,L

至

R為通路這一事件可表示為：第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性由和事件的概率公式及A1,A2,A3,A4的相互獨(dú)立性，得到

第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性

例6

要驗(yàn)收一批(100件)樂(lè)器。驗(yàn)收方案如下：自該批樂(lè)器中隨機(jī)地抽取3件測(cè)試(設(shè)3件樂(lè)器的測(cè)試是相互獨(dú)立的），如果至少有一件被測(cè)試為音色不純，則拒絕接受這批樂(lè)器。不純純純q純、純、純接受ppA1：純純純純、純、純接受pppA0：第一章概率論的基本概念設(shè)一件音色不純的樂(lè)器被測(cè)試出來(lái)的概率為0.95，而一件音色純的樂(lè)器被誤測(cè)為不純的概率為0.01。如果這件樂(lè)器中恰有4件是音色不純的，問(wèn)這批樂(lè)器被接受的概率是多少？p=1-0.01=0.99,

q=1-0.95=0.05p=1-0.01=0.99,

q=1-0.95=0.05解：以Ai

(i=0,1,2,3)表示事件“隨機(jī)取出的3件樂(lè)器中恰有i件音色不純”，以B表示事件“這批樂(lè)器被接受”，即3件都被測(cè)試為音色純的樂(lè)器。A2：不純純不純q純、純、純接受pq不純、不純、不純q純、純、純接受qqA3：第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性p=1-0.01=0.99,

q=1-0.95=0.05純、純、純純、純、純接受不純純、純純、純、純接受不純純不純純、純、純接受不純純、純、純接受A0A1A2A3pppqqqqqqppp第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性不純不純由全概率公式有由測(cè)試的相互獨(dú)立性得：另外，按照超幾何分布的概率計(jì)算公式得：第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性代入公式有例7

三門火炮向同一目標(biāo)射擊，設(shè)三門火炮擊中目標(biāo)的概率分別為0.3，0.6，0.8．若有一門火炮擊中目標(biāo)，目標(biāo)被摧毀的概率為0.2；若兩門火炮擊中目標(biāo)，目標(biāo)被摧毀的概率為0.6；若三門火炮擊中目標(biāo)，目標(biāo)被摧毀的概率為0.9．試求目標(biāo)被摧毀的概率．第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性解：設(shè)B={目標(biāo)被摧毀}由全概率公式，得由題意知第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性所以第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性例8

甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為p,

對(duì)甲而言，采用三局兩勝制有利，還是五局三勝制有利。設(shè)各局勝負(fù)相互獨(dú)立。

解：采用三局兩勝制，其甲最終獲勝的情況有：甲甲，乙甲甲，甲乙甲。由于這三種結(jié)局互不相容，由獨(dú)立性有甲獲勝的概率為采用五局三勝制，其甲最終獲勝至少比賽3局，也可能4局或5局，但最后一局必須是甲勝。第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性甲獲勝的概率為而對(duì)甲而言，采用五局三勝制有利。兩種賽制甲乙最終獲勝機(jī)會(huì)均等。第一章概率論的基本概念§4獨(dú)立性本節(jié)要點(diǎn)：1）兩個(gè)事件的獨(dú)立性及多個(gè)事件的獨(dú)立性定義；2）兩個(gè)事件的獨(dú)立性及多個(gè)事件的獨(dú)立性的性質(zhì)；3）在獨(dú)立性條件下，求n個(gè)事件至少發(fā)生一個(gè)的概率公式：注意：獨(dú)立事件與互不相容事件的區(qū)別與關(guān)系；兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立的區(qū)別。第一章概率論的基本概念思考題：1.一架長(zhǎng)機(jī)和兩架僚機(jī)一同飛往某地進(jìn)行轟炸，但要到達(dá)目的地，非要有無(wú)線電導(dǎo)航不可，而只有長(zhǎng)機(jī)具有此項(xiàng)設(shè)備。一旦到達(dá)目的地，各機(jī)將獨(dú)立地進(jìn)行轟炸且炸毀目標(biāo)的概率為0.3。在到達(dá)目的地之前