概率論與數(shù)理統(tǒng)計(1,6)

第一章概率論的基本概念上節(jié)內(nèi)容復(fù)習(xí)：第一章概率論的基本概念一、獨立性的定義例1袋中有a

只黑球，b

只白球．每次從中取出一球，令：

A={第一次取出白球}，

B={第二次取出白球}，分有放回和不放回情形討論第一章概率論的基本概念§4獨立性（1）有放回情形：（2）不放回情形：第一章概率論的基本概念§4獨立性由此例題你會得到什么結(jié)論？說明由例1，可知，兩種情形中都有這表明，在有放回情形，事件A

是否發(fā)生對事件B

是否發(fā)生在概率上是沒有影響的，即事件A

與B

呈現(xiàn)出某種獨立性．由此，我們引出事件獨立性的概念第一章概率論的基本概念§4獨立性在不放回情形有：在有放回情形有：在不放回情形，事件

A

是否發(fā)生對事件B

是否發(fā)生在概率上是有影響的，即事件A

與B呈現(xiàn)出不獨立性．定義：設(shè)A、B

是兩個隨機事件，如果則稱A

與B

是相互獨立的隨機事件．二、事件獨立性的性質(zhì)：1）如果事件A

與B

相互獨立，而且第一章概率論的基本概念§4獨立性()())()(APABPABPBP==第一章概率論的基本概念§4獨立性2）必然事件S與任意隨機事件A相互獨立；不可能事件Φ與任意隨機事件A相互獨立．證明留給同學(xué)們思考。3)若隨機事件A

與B

相互獨立，則也相互獨立.證明：為方便起見，只證相互獨立即可．這個性質(zhì)很重要！第一章概率論的基本概念§4獨立性注意：在實際應(yīng)用中，對于事件的獨立性，我們往往不是根據(jù)定義來判斷，而是根據(jù)實際意義來加以判斷的。具體的說，題目一般把獨立性作為條件告訴我們，要求直接應(yīng)用定義中的公式進行計算。例2設(shè)事件A

與B

滿足：若事件A

與

B

相互獨立，則AB≠Φ；若AB=Φ，則事件A

與B

不相互獨立．證明：第一章概率論的基本概念§4獨立性若AB=Φ，則但是，由題設(shè)這表明，事件A與B不相互獨立．第一章概率論的基本概念§4獨立性此例說明：互不相容與相互獨立不能同時成立。三、多個事件的獨立性設(shè)A、B、C是三個隨機事件，第一章概率論的基本概念§4獨立性1）三個事件的獨立性：則稱A、B、C是相互獨立的隨機事件．注意：在三個事件獨立性的定義中，四個等式是缺一不可的．即：前三個等式的成立推不出最后一個等式；反之，最后一個等式的成立也推不出前三個等式的成立．試想：n個隨機事件的獨立性的定義及性質(zhì)。如果

例3

袋中裝有4

個外形相同的球，其中三個球分別涂有紅、白、黑色，另一個球涂有紅、白、黑三種顏色．現(xiàn)從袋中任意取出一球，令：

A={取出的球涂有紅色}

B={取出的球涂有白色}

C={取出的球涂有黑色}

則：第一章概率論的基本概念§4獨立性由此可見但是這表明，A、B、C這三個事件是兩兩獨立的，但不是相互獨立的．第一章概率論的基本概念§4獨立性2）n個事件的相互獨立性：第一章概率論的基本概念§4獨立性說明在上面的公式中，第一章概率論的基本概念§4獨立性第一章概率論的基本概念§4獨立性3）獨立隨機事件的性質(zhì)：則：（1）其中任意個隨機事件也相互獨立；若是相互獨立的事件，則4）相互獨立事件至少發(fā)生其一的概率的計算：第一章概率論的基本概念§4獨立性在本章第2節(jié)介紹了下面這個公式在獨立的條件下有：第一章概率論的基本概念§4獨立性注意()()()pAPAPAPn====L21特別地，如果則有,時當￥?n第一章概率論的基本概念§4獨立性此例說明：小概率事件雖然在一次試驗中幾乎是不發(fā)生的，但是遲早要發(fā)生。不論p多么小3）2）1）n例4

如果構(gòu)成系統(tǒng)的每個元件的可靠性均為r，0<r<1.且各元件能否正常工作是相互獨立的，試求下列系統(tǒng)的可靠性：第一章概率論的基本概念

1）每條通路要能正常工作，當且僅當該通路上的各元件都正常工作，故可靠性為第一章概率論的基本概念2）一條通路發(fā)生故障的概率為兩條通路同時發(fā)生故障的概率為故系統(tǒng)的可靠性為即附加通路可使系統(tǒng)可靠性增加。3）每對并聯(lián)元件的可靠性為系統(tǒng)由每對并聯(lián)的元件串聯(lián)組成，故可靠性為由數(shù)學(xué)歸納法可證明當解：§4獨立性

例5

設(shè)有電路如圖，其中1,2,3,4為繼電器接點。設(shè)各繼電器接點閉合與否相互獨立，且每一個繼電器接點閉合的概率均為

p。求L至R為通路的概率。LR2134

解：設(shè)事件Ai(i=1,2,3,4)為“第i個繼電器接點閉合”,L

至

R為通路這一事件可表示為：第一章概率論的基本概念§4獨立性由和事件的概率公式及A1,A2,A3,A4的相互獨立性，得到

第一章概率論的基本概念§4獨立性

例6

要驗收一批(100件)樂器。驗收方案如下：自該批樂器中隨機地抽取3件測試(設(shè)3件樂器的測試是相互獨立的），如果至少有一件被測試為音色不純，則拒絕接受這批樂器。不純純純q純、純、純接受ppA1：純純純純、純、純接受pppA0：第一章概率論的基本概念設(shè)一件音色不純的樂器被測試出來的概率為0.95，而一件音色純的樂器被誤測為不純的概率為0.01。如果這件樂器中恰有4件是音色不純的，問這批樂器被接受的概率是多少？p=1-0.01=0.99,

q=1-0.95=0.05p=1-0.01=0.99,

q=1-0.95=0.05解：以Ai

(i=0,1,2,3)表示事件“隨機取出的3件樂器中恰有i件音色不純”，以B表示事件“這批樂器被接受”，即3件都被測試為音色純的樂器。A2：不純純不純q純、純、純接受pq不純、不純、不純q純、純、純接受qqA3：第一章概率論的基本概念§4獨立性p=1-0.01=0.99,

q=1-0.95=0.05純、純、純純、純、純接受不純純、純純、純、純接受不純純不純純、純、純接受不純純、純、純接受A0A1A2A3pppqqqqqqppp第一章概率論的基本概念§4獨立性不純不純由全概率公式有由測試的相互獨立性得：另外，按照超幾何分布的概率計算公式得：第一章概率論的基本概念§4獨立性代入公式有例7

三門火炮向同一目標射擊，設(shè)三門火炮擊中目標的概率分別為0.3，0.6，0.8．若有一門火炮擊中目標，目標被摧毀的概率為0.2；若兩門火炮擊中目標，目標被摧毀的概率為0.6；若三門火炮擊中目標，目標被摧毀的概率為0.9．試求目標被摧毀的概率．第一章概率論的基本概念§4獨立性解：設(shè)B={目標被摧毀}由全概率公式，得由題意知第一章概率論的基本概念§4獨立性所以第一章概率論的基本概念§4獨立性第一章概率論的基本概念§4獨立性例8

甲乙兩人進行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為p,

對甲而言，采用三局兩勝制有利，還是五局三勝制有利。設(shè)各局勝負相互獨立。

解：采用三局兩勝制，其甲最終獲勝的情況有：甲甲，乙甲甲，甲乙甲。由于這三種結(jié)局互不相容，由獨立性有甲獲勝的概率為采用五局三勝制，其甲最終獲勝至少比賽3局，也可能4局或5局，但最后一局必須是甲勝。第一章概率論的基本概念§4獨立性甲獲勝的概率為而對甲而言，采用五局三勝制有利。兩種賽制甲乙最終獲勝機會均等。第一章概率論的基本概念§4獨立性本節(jié)要點：1）兩個事件的獨立性及多個事件的獨立性定義；2）兩個事件的獨立性及多個事件的獨立性的性質(zhì)；3）在獨立性條件下，求n個事件至少發(fā)生一個的概率公式：注意：獨立事件與互不相容事件的區(qū)別與關(guān)系；兩兩獨立與相互獨立的區(qū)別。第一章概率論的基本概念思考題：1.一架長機和兩架僚機一同飛往某地進行轟炸，但要到達目的地，非要有無線電導(dǎo)航不可，而只有長機具有此項設(shè)備。一旦到達目的地，各機將獨立地進行轟炸且炸毀目標的概率為0.3。在到達目的地之前