山東省泰安市寧陽(yáng)縣一中2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

山東省泰安市寧陽(yáng)縣一中2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿足，則滿足的的最大取值為（）A.6 B.7C.8 D.92．在等差數(shù)列中，若的值是A.15 B.16C.17 D.183．若雙曲線（，）的焦距為，且漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則此雙曲線的方程為（）A. B.C. D.4．設(shè)是公差的等差數(shù)列，如果，那么（）A. B.C. D.5．設(shè)，則曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角是（）A. B.C. D.6．將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點(diǎn)與重合，求折痕所在直線是（）A. B.C. D.7．設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為（）A. B.C. D.8．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（）A. B.C. D.9．曲線為四葉玫瑰線，這種曲線在苜蓿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應(yīng)用，苜蓿葉型立交橋有兩層，將所有原來(lái)需要穿越相交道路的轉(zhuǎn)向都由環(huán)形匝道來(lái)實(shí)現(xiàn)，即讓左轉(zhuǎn)車輛行駛環(huán)道后自右側(cè)切向匯入高速公路，四條環(huán)形匝道就形成了苜蓿葉的形狀.下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()①曲線C關(guān)于點(diǎn)(0，0)對(duì)稱；②曲線C關(guān)于直線y＝x對(duì)稱；③曲線C的面積超過(guò)4π.A.0 B.1C.2 D.310．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇－1，5]，其部分自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)情況如下表：x－10245f（x）312.513f（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示．給出下列四個(gè)結(jié)論：①f（x）在區(qū)間[－1，0]上單調(diào)遞增；②f（x）有2個(gè)極大值點(diǎn)；③f（x）的值域?yàn)閇1，3]；④如果x∈[t，5]時(shí)，f（x）的最小值是1，那么t的最大值為4其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.③ B.①④C.②③ D.③④11．在直三棱柱中，，，則直線與所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°12．已知命題：若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則；命題：等軸雙曲線的離心率為，則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．中國(guó)的西氣東輸工程把西部地區(qū)的資源優(yōu)勢(shì)變?yōu)榻?jīng)濟(jì)優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)了天然氣能源需求與供給的東西部銜接，工程建設(shè)也加快了西部及沿線地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展.輸氣管道工程建設(shè)中，某段管道鋪設(shè)要經(jīng)過(guò)一處峽谷，峽谷內(nèi)恰好有一處直角拐角，水平橫向移動(dòng)輸氣管經(jīng)過(guò)此拐角，從寬為的峽谷拐入寬為的峽谷，如圖所示，位于峽谷懸崖壁上兩點(diǎn)，的連線恰好經(jīng)過(guò)拐角內(nèi)側(cè)頂點(diǎn)(點(diǎn)，，在同一水平面內(nèi))，設(shè)與較寬側(cè)峽谷懸崖壁所成的角為，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____(用表示).要使輸氣管順利通過(guò)拐角，其長(zhǎng)度不能低于______.14．若直線與直線互相垂直，則___________.15．已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則________；數(shù)列的通項(xiàng)公式________16．已知函數(shù).（1）若的解集為，求a，b的值；（2）若，a，b均正實(shí)數(shù)，求的最小值；（3）若，當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)b的值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)命題，，命題，.若p、q都為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18．（12分）已知拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是5.（1）求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和的值；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與該拋物線交于，兩點(diǎn)，求證：為定值.19．（12分）已知圓的圓心為，且圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若圓：與圓恰有兩條公切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍20．（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明21．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，求數(shù)列的前項(xiàng)和22．（10分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，.（1）若數(shù)列中依次取出第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，第6項(xiàng)，…，第項(xiàng)，按原來(lái)順序組成一個(gè)新數(shù)列，試求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】首先地推公式變形，得，，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式后，再解不等式.【詳解】因?yàn)?，兩邊取倒?shù)，得，整理為：，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，，，因?yàn)?，即，得，解得：?所以的最大值是7.故選：B2、C【解析】由已知直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解【詳解】在等差數(shù)列{an}中，由a1+a2+a3=3，得3a2=3，即a2=1，又a5=9，∴a8=2a5-a2=18-1=17故選C【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題3、B【解析】根據(jù)題意得到，，解得答案.【詳解】雙曲線（，）的焦距為，故，.且漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故，故，雙曲線方程為：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線方程，意在考查學(xué)生對(duì)于雙曲線基本知識(shí)的掌握情況.4、D【解析】由已知可得，即可得解.【詳解】由已知可得.故選：D.5、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可得，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，故所求切線的傾斜角為.故選：C6、D【解析】設(shè)，，則折痕所在直線是線段AB的垂直平分線，故求出AB中點(diǎn)坐標(biāo)，折痕與直線AB垂直，進(jìn)而求出斜率，用點(diǎn)斜式求出折痕所在直線方程.【詳解】，，所以與的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又，所以折痕所在直線的斜率為1，故折痕所在直線是，即.故選：D7、A【解析】列出從5個(gè)點(diǎn)選3個(gè)點(diǎn)的所有情況，再列出3點(diǎn)共線的情況，用古典概型的概率計(jì)算公式運(yùn)算即可.【詳解】如圖，從5個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)有共種不同取法，3點(diǎn)共線只有與共2種情況，由古典概型的概率計(jì)算公式知，取到3點(diǎn)共線的概率為.故選：A【點(diǎn)晴】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題，采用列舉法，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.8、A【解析】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，利用直線的斜率公式模型進(jìn)行求解即可.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示：，代數(shù)式表示不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖象可知：直線的斜率最大，由，即，即的最大值為：，因此的最大值為，故選：A9、C【解析】根據(jù)圖像或解析式即可判斷對(duì)稱性①②；估算第一象限內(nèi)圖像面積即可判斷③.【詳解】①將點(diǎn)(－x，－y)代入后依然為，故曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②將點(diǎn)(y，x)代入后依然為，故曲線C關(guān)于y＝x對(duì)稱；③曲線C在四個(gè)象限的圖像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分，∵，∴曲線C上離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)的距離為顯然第一象限內(nèi)曲線C的面積小于以為直徑的圓的面積，又∵，∴第一象限內(nèi)曲線C的面積小于，則曲線C的總面積小于4π.故③錯(cuò)誤.故選：C.10、D【解析】直接利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像，進(jìn)一步畫出函數(shù)的圖像，進(jìn)一步利用函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的極值和端點(diǎn)值可得結(jié)論【詳解】解：由f（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖像，畫出的圖像，如圖所示，對(duì)于①，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以①錯(cuò)誤，對(duì)于②，有1個(gè)極大值點(diǎn)，2個(gè)極小值點(diǎn)，所以②錯(cuò)誤，對(duì)于③，根據(jù)函數(shù)的極值和端點(diǎn)值可知的值域?yàn)?，所以③正確，對(duì)于④，如果x∈[t，5]時(shí)，由圖像可知，當(dāng)f（x）的最小值是1時(shí)，t的最大值為4，所以④正確，故選：D11、B【解析】根據(jù)三棱柱的特征補(bǔ)全為正方體，則，為直線與所成角，連接，則為等邊三角形即可得解.【詳解】根據(jù)直三棱柱的特征，補(bǔ)全可得如圖所示的正方體，易知，為直線與所成角，連接，則為等邊三角形，所以，所以直線與所成角的大小為.故選：B12、D【解析】先判斷出p、q的真假，再分別判斷四個(gè)選項(xiàng)的真假.【詳解】因?yàn)椤叭糁本€的方向向量與平面的法向量垂直，則或”，所以p為假命題；對(duì)于等軸雙曲線，，所以離心率為，所以q為真命題.所以假命題，故A錯(cuò)誤；為假命題，故B錯(cuò)誤；為假命題，故C錯(cuò)誤；為真命題，故D正確.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】(1)利用三角關(guān)系分別利用表示、即可求解；(2)利用導(dǎo)數(shù)求最小值的方法即可求解.【詳解】過(guò)點(diǎn)分別作，，垂足分別為，，則，在中，，則，同理可得，所以.令，則，令，，得，即，由，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，則，故輸氣管的長(zhǎng)度不能低于m.故答案為：；.14、4【解析】由直線垂直的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意得，解得.故答案為：15、①.②.【解析】當(dāng)時(shí)，，推導(dǎo)出，從而數(shù)列是從第二項(xiàng)起，公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而能求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得答案.【詳解】為數(shù)列的前項(xiàng)和，①時(shí)，②①②，得：，，，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：；.16、（1），；（2）；（3）【解析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理解求得答案；（2）根據(jù)題意，，進(jìn)而化簡(jiǎn)，然后結(jié)合基本不等式解得答案；（3）討論，和x=2三種情況，進(jìn)而分參轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，最后求得答案.【小問(wèn)1詳解】由已知可知方程的兩個(gè)根為，2，由韋達(dá)定理得，，故，.【小問(wèn)2詳解】由題意得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【小問(wèn)3詳解】若，，不等式恒成立.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即對(duì)于恒成立，單調(diào)遞減，此時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即即對(duì)于恒成立，在單調(diào)遞減，此時(shí)，所以；當(dāng)x=2時(shí)，.綜上所述：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、【解析】先求出命題為真時(shí)，的取值范圍，再取交集可得答案.【詳解】若命題，為真命題，則，解得；若命題，為真命題，則命題，為假命題，即方程無(wú)實(shí)數(shù)根，因此，，解得.又p、q都為真命題，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題與特稱命題的真假求參數(shù)值、一元二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.18、（1），（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于5，利用拋物線的定義求得p，進(jìn)而得到拋物線方程，然后將點(diǎn)代入拋物線求解；（2）方法一：設(shè)直線方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，利用數(shù)量積的運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)直線過(guò)點(diǎn)，分直線的斜率不存在時(shí)，檢驗(yàn)即可；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】解：∵拋物線焦點(diǎn)在軸上，且過(guò)點(diǎn)，∴設(shè)拋物線方程為，由拋物線定義知，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于5，即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于5，則，，∴拋物線方程為，又點(diǎn)在拋物線上，，，∴所求拋物線方程為，.【小問(wèn)2詳解】方法一：由于直線過(guò)點(diǎn)，可設(shè)直線方程為：，由得，設(shè)，，則，，所以，即為定值；方法二：由于直線過(guò)點(diǎn)，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得直線的方程為，則由可得，，，所以；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)可設(shè)直線方程為：，由得，設(shè)，，則，.所以，即為定值.綜上，為定值.19、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出圓C的半徑，再直接寫出方程作答.(2)由給定條件可得圓C與圓O相交，由此列出不等式求解作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，圓C的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：.【小問(wèn)2詳解】圓：的圓心，半徑為，因圓與圓恰有兩條公切線，則有圓O與圓C相交，即，而，因此有，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.20、（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）求導(dǎo)得，進(jìn)而分和兩種情況討論求解即可；（2）根據(jù)題意證明，進(jìn)而令，再結(jié)合（1）得，研究函數(shù)的性質(zhì)得，進(jìn)而得時(shí)，，即不等式成立.【小問(wèn)1詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，∴?dāng)時(shí)，在上恒成立，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，由得，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問(wèn)2詳解】證明：因?yàn)闀r(shí)，證明，只需證明，由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以.令，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以.所以時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，21