上海市上海中學(xué)東校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

上中東校2023學(xué)年第一學(xué)期高一年級(jí)數(shù)學(xué)期中2023.11一、填空題（本大題共12題，每題3分，共36分）1．用或填空：0______．2．已知集合且，則______．若集合有且只有兩個(gè)子集，則實(shí)數(shù)______．4．不等式的解集是______．5．若，則______．6．三角不等式中，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)______成立．7．如果，那么從小到大的順序是______．8．已知正數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)_____．9．對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．10．定義：關(guān)于的不等式的解集叫的鄰域，著的鄰域?yàn)閰^(qū)間，則的最小值是______．11．設(shè)是非空集合，定義：且．已知，則等于______．12．若規(guī)定集合的子集為的第個(gè)子集，其中，則的第211個(gè)子集是______．二、選擇題（本大題共4題，每題3分，共12分）13．集合中的三個(gè)元素是的三邊長(zhǎng)，則一定不是（）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形14．已知，下列各不等式恒成立的是（）A． B．C． D．15．集合，若，則（）A． B． C． D．16．已知為實(shí)數(shù)，，記集合，則下列命題為真命題的是（）A．若集合的元素個(gè)數(shù)為2，則集合的元素個(gè)數(shù)也一定為2B．若集合的元素個(gè)數(shù)為2，則集合的元素個(gè)數(shù)也一定為2C．若集合的元素個(gè)數(shù)為3，則集合的元素個(gè)數(shù)也一定為3D．若集合的元素個(gè)數(shù)為3，則集合的元素個(gè)數(shù)也一定為3三．解答題17．已知集合，若，，求的值．18．集合（1）求；（2）求．19．設(shè)，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工用品，其生產(chǎn)的總成本（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為，已知此生產(chǎn)線的年產(chǎn)量最大為210噸．（1）求年產(chǎn)量為多少?lài)崟r(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬(wàn)元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少?lài)崟r(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？21．對(duì)于正整數(shù)集合，如果去掉其中任意一個(gè)元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空集的集合，且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等，就稱(chēng)集合為“和諧集”．（1）判斷集合是否為“和諧集”，并說(shuō)明理由；（2）求證：集合是“和諧集”；（3）求證：若集合是“和諧集”，則集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)．參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．設(shè)是非空集合，定義：且．已知，則等于______．【答案】【解析】集合,則,,12．若規(guī)定集合的子集為的第個(gè)子集，其中，則的第211個(gè)子集是______．【答案】【解析】由于

根據(jù)題意,規(guī)定集合,的子集,為的第個(gè)子集,其中則的第211個(gè)子集是

故答案為:.二、選擇題13.D14.D15.C16.D15．集合，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè),,,

故選:.16．已知為實(shí)數(shù)，，記集合，則下列命題為真命題的是（）A．若集合的元素個(gè)數(shù)為2，則集合的元素個(gè)數(shù)也一定為2B．若集合的元素個(gè)數(shù)為2，則集合的元素個(gè)數(shù)也一定為2C．若集合的元素個(gè)數(shù)為3，則集合的元素個(gè)數(shù)也一定為3D．若集合的元素個(gè)數(shù)為3，則集合的元素個(gè)數(shù)也一定為3【答案】D【解析】,兩邊除以平方,得如果兩個(gè)根不為與的根互為倒數(shù),有一個(gè)根為,如果,一定有一個(gè)根,這兩個(gè)根也是互為倒數(shù),若有兩個(gè)根,另外一個(gè)根為0,則只有一個(gè)根,故不成立,同理不成立,若有三個(gè)根,其中一個(gè)根為,則不等于有2個(gè)與不同的根,其中都不為0,否則得到,顯然不成立,那么這三個(gè)根的倒數(shù)必然存在,且不相等,故也有三個(gè)不同的根,所以成立,反之,根據(jù)以上分析,不一定成立,故選:.三．解答題17.-1418.（1）（2）19.20．某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工用品，其生產(chǎn)的總成本（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為，已知此生產(chǎn)線的年產(chǎn)量最大為210噸．（1）求年產(chǎn)量為多少?lài)崟r(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬(wàn)元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少?lài)崟r(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）時(shí)每噸平均成本最低,且最低成本為32萬(wàn)元.（2）當(dāng)年產(chǎn)量為210噸時(shí),最大年利潤(rùn)1660萬(wàn)元.【解析】(1)設(shè)每噸的平均成本為萬(wàn)元,則

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)每噸平均成本最低,且最低成本為32萬(wàn)元.

（2）設(shè)年利潤(rùn)為(萬(wàn)元)，則

所以當(dāng)年產(chǎn)量為210噸時(shí),最大年利潤(rùn)1660萬(wàn)元.21．對(duì)于正整數(shù)集合，如果去掉其中任意一個(gè)元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空集的集合，且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等，就稱(chēng)集合為“和諧集”．（1）判斷集合是否為“和諧集”，并說(shuō)明理由；（2）求證：集合是“和諧集”；（3）求證：若集合是“和諧集”，則集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)．【答案】（1）不是“和諧集”.（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析【解析】(1)對(duì)于集合,當(dāng)去掉元素2時(shí),剩余的所有元素之和為13,

不能分為兩個(gè)交集為空集且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等的集合，

所以集合不是“和諧集”.

(2)證明:設(shè)，

當(dāng)去掉元素1時(shí),有;

當(dāng)去掉元素3時(shí),有;

當(dāng)去掉元素5時(shí),有;

當(dāng)去掉元素7時(shí),有;

當(dāng)去掉元素9時(shí),有;

當(dāng)去掉元素11時(shí),有;

當(dāng)去掉元素13時(shí),有.

所以集合是“和諧集”.

(3)證明:設(shè)“和諧集”所有元素之和為.

由題可知,均為偶數(shù),因此的奇偶