上海市上海中學東校2023-2024學年高一上學期期中考試數學試卷

上中東校2023學年第一學期高一年級數學期中2023.11一、填空題（本大題共12題，每題3分，共36分）1．用或填空：0______．2．已知集合且，則______．若集合有且只有兩個子集，則實數______．4．不等式的解集是______．5．若，則______．6．三角不等式中，等號當且僅當______成立．7．如果，那么從小到大的順序是______．8．已知正數滿足，則的最小值為______．9．對于任意實數，不等式恒成立，則實數的取值范圍是______．10．定義：關于的不等式的解集叫的鄰域，著的鄰域為區(qū)間，則的最小值是______．11．設是非空集合，定義：且．已知，則等于______．12．若規(guī)定集合的子集為的第個子集，其中，則的第211個子集是______．二、選擇題（本大題共4題，每題3分，共12分）13．集合中的三個元素是的三邊長，則一定不是（）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形14．已知，下列各不等式恒成立的是（）A． B．C． D．15．集合，若，則（）A． B． C． D．16．已知為實數，，記集合，則下列命題為真命題的是（）A．若集合的元素個數為2，則集合的元素個數也一定為2B．若集合的元素個數為2，則集合的元素個數也一定為2C．若集合的元素個數為3，則集合的元素個數也一定為3D．若集合的元素個數為3，則集合的元素個數也一定為3三．解答題17．已知集合，若，，求的值．18．集合（1）求；（2）求．19．設，若是的必要不充分條件，求實數的取值范圍．20．某化工廠引進一條先進生產線生產某種化工用品，其生產的總成本（萬元）與年產量（噸）之間的函數關系式可以近似地表示為，已知此生產線的年產量最大為210噸．（1）求年產量為多少噸時，生產每噸產品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每噸產品平均出廠價為40萬元，那么當年產量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？21．對于正整數集合，如果去掉其中任意一個元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合，且這兩個集合的所有元素之和相等，就稱集合為“和諧集”．（1）判斷集合是否為“和諧集”，并說明理由；（2）求證：集合是“和諧集”；（3）求證：若集合是“和諧集”，則集合中元素個數為奇數．參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．設是非空集合，定義：且．已知，則等于______．【答案】【解析】集合,則,,12．若規(guī)定集合的子集為的第個子集，其中，則的第211個子集是______．【答案】【解析】由于

根據題意,規(guī)定集合,的子集,為的第個子集,其中則的第211個子集是

故答案為:.二、選擇題13.D14.D15.C16.D15．集合，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設,,,

故選:.16．已知為實數，，記集合，則下列命題為真命題的是（）A．若集合的元素個數為2，則集合的元素個數也一定為2B．若集合的元素個數為2，則集合的元素個數也一定為2C．若集合的元素個數為3，則集合的元素個數也一定為3D．若集合的元素個數為3，則集合的元素個數也一定為3【答案】D【解析】,兩邊除以平方,得如果兩個根不為與的根互為倒數,有一個根為,如果,一定有一個根,這兩個根也是互為倒數,若有兩個根,另外一個根為0,則只有一個根,故不成立,同理不成立,若有三個根,其中一個根為,則不等于有2個與不同的根,其中都不為0,否則得到,顯然不成立,那么這三個根的倒數必然存在,且不相等,故也有三個不同的根,所以成立,反之,根據以上分析,不一定成立,故選:.三．解答題17.-1418.（1）（2）19.20．某化工廠引進一條先進生產線生產某種化工用品，其生產的總成本（萬元）與年產量（噸）之間的函數關系式可以近似地表示為，已知此生產線的年產量最大為210噸．（1）求年產量為多少噸時，生產每噸產品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每噸產品平均出廠價為40萬元，那么當年產量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？【答案】（1）時每噸平均成本最低,且最低成本為32萬元.（2）當年產量為210噸時,最大年利潤1660萬元.【解析】(1)設每噸的平均成本為萬元,則

當且僅當時每噸平均成本最低,且最低成本為32萬元.

（2）設年利潤為(萬元)，則

所以當年產量為210噸時,最大年利潤1660萬元.21．對于正整數集合，如果去掉其中任意一個元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合，且這兩個集合的所有元素之和相等，就稱集合為“和諧集”．（1）判斷集合是否為“和諧集”，并說明理由；（2）求證：集合是“和諧集”；（3）求證：若集合是“和諧集”，則集合中元素個數為奇數．【答案】（1）不是“和諧集”.（2）見解析（3）見解析【解析】(1)對于集合,當去掉元素2時,剩余的所有元素之和為13,

不能分為兩個交集為空集且這兩個集合的所有元素之和相等的集合，

所以集合不是“和諧集”.

(2)證明:設，

當去掉元素1時,有;

當去掉元素3時,有;

當去掉元素5時,有;

當去掉元素7時,有;

當去掉元素9時,有;

當去掉元素11時,有;

當去掉元素13時,有.

所以集合是“和諧集”.

(3)證明:設“和諧集”所有元素之和為.

由題可知,均為偶數,因此的奇偶