高等數(shù)學第五章定積分及其應用課件

一定積分的概念二定積分的簡單性質(zhì)三定積分的計算四定積分的應用五廣義積分和Γ函數(shù)

第五章定積分及其應用高等數(shù)學第五章定積分及其應用定積分的演示背景來源——面積的計算！矩形的面積定義為兩直角邊長度的乘積？一般圖形的面積是什么

我們可以用大大小小的矩形將圖形不斷填充，但閃爍部分永遠不可能恰好為矩形，這些“邊角余料”無外乎是右圖所示的“典型圖形”（必要時可旋轉(zhuǎn)）“典型圖形”面積的計算問題就產(chǎn)生了定積分高等數(shù)學第五章定積分及其應用5.1.1兩個實際問題1.曲邊梯形的面積設曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.矩形面積梯形面積5.1.1定積分的概念高等數(shù)學第五章定積分及其應用解決步驟:1)

分割.在區(qū)間[a,b]中任意插入n–1個分點用直線將曲邊梯形分成n

個小曲邊梯形;2)

近似.在第i

個窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小梯形面積近似代替相應窄曲邊梯形面積得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用3)求和.4)取極限.令則曲邊梯形面積機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用│││││││││││定積分的演示1、分割將[a，b]分割為n個小區(qū)間2、取介點

在每個小區(qū)間上任取一點ξi3、局部以直代曲

每個小區(qū)間上的曲線y=f(x)用直線段y=f(ξi)代替4、作和：S?=yx高等數(shù)學第五章定積分及其應用定積分的演示1、分割將[a，b]分割為n個小區(qū)間2、取介點

在每個小區(qū)間上任取一點ξi3、局部以直代曲

每個小區(qū)間上的曲線y=f(x)用直線段y=f(ξi)代替4、作和：S?=5、取極限

abyx高等數(shù)學第五章定積分及其應用2.變速直線運動的路程設某物體作直線運動,且求在運動時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程s.解決步驟:1)分割.將它分成在每個小段上物體經(jīng)2)近似.得已知速度機動目錄上頁下頁返回結(jié)束n

個小段過的路程為高等數(shù)學第五章定積分及其應用3)求和.4)取極限.上述兩個問題的共性:

解決問題的方法步驟相同:“分割,近似,求和,取極限”

所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用5.1.2定積分概念任一種分法任取總趨于確定的極限

I,則稱此極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時稱

f(x)在[a,b]上可積

.記作機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達式積分變量積分和定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無關(guān),即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用高等數(shù)學第五章定積分及其應用高等數(shù)學第五章定積分及其應用高等數(shù)學第五章定積分及其應用定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負值機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用定理1.可積的充分條件:例1.

利用定義計算定積分解:將[0,1]n

等分,分點為取機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用注目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用[注]

利用得兩端分別相加,得即高等數(shù)學第五章定積分及其應用例2.

用定積分表示下列極限:解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用說明:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束根據(jù)定積分定義可得如下近似計算方法:將[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)高等數(shù)學第五章定積分及其應用(梯形公式)為了提高精度,還可建立更好的求積公式,例如辛普森機動目錄上頁下頁返回結(jié)束公式,復化求積公式等,并有現(xiàn)成的數(shù)學軟件可供調(diào)用.高等數(shù)學第五章定積分及其應用性質(zhì)1常數(shù)因子可提到積分號外性質(zhì)2函數(shù)代數(shù)和的積分等于它們積分的代數(shù)和。5.2定積分的簡單性質(zhì)高等數(shù)學第五章定積分及其應用性質(zhì)3若在區(qū)間[a,b]上f(x)≡K，則性質(zhì)4定積分的區(qū)間可加性若c是[a,b]內(nèi)的任一點，則高等數(shù)學第五章定積分及其應用當a,

b,c

的相對位置任意時,例如則有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用性質(zhì)5如果在區(qū)間[a,b]上，f(x)≤g(x)，則性質(zhì)6設在區(qū)間[a,b]上（a<b），函數(shù)f(x)的最大值和最小值分別是M

和m，則高等數(shù)學第五章定積分及其應用性質(zhì)7積分中值定理定理：設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上至少存在一點使或可寫作稱為函數(shù)f(x)在[a,b]上的平均值高等數(shù)學第五章定積分及其應用高等數(shù)學第五章定積分及其應用例1.

試證:證:

設則在上,有即故即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用例2.

計算從0秒到T秒這段時間內(nèi)自由落體的平均速度.解:

已知自由落體速度為故所求平均速度機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用內(nèi)容小結(jié)1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性質(zhì)3.積分中值定理機動目錄上頁下頁返回結(jié)束連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式高等數(shù)學第五章定積分及其應用一、引例在變速直線運動中,已知位置函數(shù)與速度函數(shù)之間有關(guān)系:物體在時間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程為這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性.5.3定積分的計算高等數(shù)學第五章定積分及其應用則積分上限函數(shù)證:則有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理1.

若5.3.1牛頓–萊布尼茲公式高等數(shù)學第五章定積分及其應用說明:1)定理1證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2)變限積分求導:同時為通過原函數(shù)計算定積分開辟了道路.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用例1.

求解:原式說明目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.確定常數(shù)a,b,c

的值,使解:原式=

c≠0,故又由～,得高等數(shù)學第五章定積分及其應用例3.

證明在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).證:只要證機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用(牛頓-萊布尼茲公式)

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證:根據(jù)定理1,故因此得記作定理2.函數(shù),則高等數(shù)學第五章定積分及其應用例1.

計算解:例2.

計算正弦曲線的面積.解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用例3.

汽車以每小時36

km的速度行駛,速停車,解:

設開始剎車時刻為則此時刻汽車速度剎車后汽車減速行駛,其速度為當汽車停住時,即得故在這段時間內(nèi)汽車所走的距離為剎車,問從開始剎到某處需要減設汽車以等加速度機動目錄上頁下頁返回結(jié)束車到停車走了多少距離?高等數(shù)學第五章定積分及其應用內(nèi)容小結(jié)則有1.微積分基本公式積分中值定理微分中值定理牛頓–萊布尼茲公式2.變限積分求導公式公式目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用備用題1.設求高等數(shù)學第五章定積分及其應用二、定積分的分部積分法不定積分機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、定積分的換元法換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法5.3.2定積分的換元法和分部積分法

第五章高等數(shù)學第五章定積分及其應用定理2（定積分的換元公式）設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；函數(shù)在上單值且有連續(xù)導數(shù)；當時，有，且則高等數(shù)學第五章定積分及其應用例1.

計算解:

令則∴原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束且高等數(shù)學第五章定積分及其應用例2.

計算解:

令則∴原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束且高等數(shù)學第五章定積分及其應用例3.證:(1)若(2)若偶倍奇零機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用定理3（定積分的分部積分公式）設函數(shù)u(x),v(x)在[a,b]上有連續(xù)導數(shù)，則高等數(shù)學第五章定積分及其應用例4.

計算解:原式=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用1.

設求解:(分部積分)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用解：2.右端試證分部積分積分再次分部積分=左端機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用

解

f(x)在區(qū)間[-1,2]上不連續(xù)。利用定積分性質(zhì)4，把在區(qū)間[-1,2]上的積分分成兩個區(qū)間[-1,0]和[0,2]上的積分。

3

計算其中

注意在積分中，相當于定義f(0)=1，而題中f(0)=0，這并不會改變定積分的值。實際上可以證明，改變被積函數(shù)在有限個點上的值都不會改變定積分的值。高等數(shù)學第五章定積分及其應用

解方程x2－2x－3=0有兩個實根－1和3，根據(jù)一元二次不等式的判別，函數(shù)x2－2x－3=0在[-2,3]上分為兩部分，在[-2,-1]取正值，在[-1,3]上取負值，所以

4

計算于是高等數(shù)學第五章定積分及其應用5設求解高等數(shù)學第五章定積分及其應用解我們有根據(jù)定積分的分部積分法，可得6已知f(π)＝2，求f(0).高等數(shù)學第五章定積分及其應用根據(jù)已知條件，得2＋f(0)＝5所以所以f(0)＝3高等數(shù)學第五章定積分及其應用用定積分概念解決實際問題的四個步驟：

5.3定積分的應用高等數(shù)學第五章定積分及其應用定積分應用的微元法：

高等數(shù)學第五章定積分及其應用微元法中微元的兩點說明：

高等數(shù)學第五章定積分及其應用直角坐標情形一、平面圖形的面積A用微元法建立曲邊梯形面積A的計算公式：仿此可得（圖1）的面積：Ayx=f(y)（圖2）的面積：（圖1）（圖2）（圖3）的面積：xy=f(x)（圖3）另解選為積分變量例1.

計算兩條拋物線在第一象限所圍所圍圖形的面積.解:

由得交點5.4.1平面圖形的面積1直角坐標系中平面圖形的面積高等數(shù)學第五章定積分及其應用例2.

計算拋物線與直線的面積.解:

由得交點所圍圖形為簡便計算,選取

y

作積分變量,則有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用解先求兩曲線的交點。例3.求橢圓解:

利用對稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應用定積分換元法得當a=b

時得圓面積公式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用曲邊扇形面積元素曲邊扇形的面積公式3.極坐標方程的情形解由對稱性知，總面積=第一象限部分面積的4倍。對應

從0變例4.計算阿基米德螺線解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束到2

所圍圖形面積.高等數(shù)學第五章定積分及其應用例5.計算心形線所圍圖形的面積.解:(利用對稱性)心形線目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用心形線(外擺線的一種)即

尖點:

面積:

弧長:參數(shù)的幾何意義高等數(shù)學第五章定積分及其應用例6.

計算心形線與圓所圍圖形的面積.解:

利用對稱性,所求面積機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用例6.

求雙紐線所圍圖形面積.解:

利用對稱性,則所求面積為思考:用定積分表示該雙紐線與圓所圍公共部分的面積.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束答案:高等數(shù)學第五章定積分及其應用

旋轉(zhuǎn)體——由一個平面圖形繞同平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺二、體積1.旋轉(zhuǎn)體的體積5.4.2旋轉(zhuǎn)體的體積高等數(shù)學第五章定積分及其應用高等數(shù)學第五章定積分及其應用xyo旋轉(zhuǎn)體的體積公式解另解例7.

計算由橢圓所圍圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:

利用直角坐標方程則(利用對稱性)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用5.4.3變力作功

高等數(shù)學第五章定積分及其應用高等數(shù)學第五章定積分及其應用高等數(shù)學第五章定積分及其應用高等數(shù)學第五章定積分及其應用二、無界函數(shù)的廣義積分常義積分積分限有限被積函數(shù)有界推廣一、無窮限的廣義積分機動目錄上頁下頁返回結(jié)束廣義積分5.6廣義積分和Γ函數(shù)

第五章高等數(shù)學第五章定積分及其應用5.6.1廣義積分引例.

曲線和直線及

x軸所圍成的開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為1連續(xù)函數(shù)在無限區(qū)間上的積分高等數(shù)學第五章定積分及其應用定義1.

設若存在,則稱此極限為

f(x)在區(qū)間的廣義積分,記作這時稱廣義積分收斂

;如果上述極限不存在,就稱廣義積分發(fā)散

.類似地,若則定義機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用則定義(c

為任意取定的常數(shù))只要有一個極限不存在,就稱發(fā)散.并非不定型,說明:

上述定義中若出現(xiàn)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束它表明該廣義積分發(fā)散.高等數(shù)學第五章定積分及其應用引入記號則有類似牛–萊公式的計算表達式:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用例1.

計算廣義積分解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考:分析:原積分發(fā)散!注意:

對廣義積分,只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零”的性質(zhì),否則會出現(xiàn)錯誤.高等數(shù)學第五章定積分及其應用例2.

證明第一類p

積分證:當p=1時有當p≠1時有當p>1時收斂;p≤1

時發(fā)散.因此,當p>1

時,反常積分收斂,其值為當p≤1

時,反常積分發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用例2.

計算廣義積分解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用2、暇積分——無界函數(shù)的積分引例:曲線所圍成的與

x軸,y

軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用定義2.

設而在點a

的右鄰域內(nèi)無界,存在,這時稱暇積分收斂;如果上述極限不存在,就稱暇積分發(fā)散.類似地,若而在b

的左鄰域內(nèi)無界,若極限數(shù)f(x)在（a,b]上的暇積分,記作則定義機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則稱此極限為函高等數(shù)學第五章定積分及其應用而在點

c

的無界點常稱鄰域內(nèi)無界,為瑕點

.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則定義高等數(shù)學第五章定積分及其應用下述解法是否正確:,∴積分收斂例3.

計算暇積分解:

顯然瑕點為

a,所以原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

討論暇積分的收斂性.解:所以暇積分發(fā)散.高等數(shù)學第五章定積分及其應用備用題

試證,并求其值.解:令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用5.6.2、函數(shù)1.定義高等數(shù)學第五章定積分及其應用2.性質(zhì)(1)遞推公式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證:(分部積分)注意到:高等數(shù)學第五章定積分及其應用(2)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束高等數(shù)學第五章定積分及其應用習題課一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、有關(guān)定積分計算和證明的方法定積分及其相關(guān)問題

第五章高等數(shù)學第五章定積分及其應用一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法1.用定積分概念與性質(zhì)求