4.5.3 函數(shù)模型的應(yīng)用（二） 課件

第4章

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）

4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用（二）

人教A版（2019)教學(xué)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)數(shù)學(xué)素養(yǎng)1.會利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題.1.數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.能根據(jù)實(shí)際問題，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型求解問題.2.數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).3.了解擬合函數(shù)函數(shù)模型并解決實(shí)際問題.3.數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).溫故知新我們知道，函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來刻畫.面臨一個(gè)實(shí)際問題，該如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫它呢？（一）常用的函數(shù)模型1.直線型：y＝kx＋b(k≠0)；3.拋物線型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；4.指數(shù)函數(shù)型：y＝a·bx＋c(a≠0,b>0,且b≠1)；5.對數(shù)函數(shù)型：y＝mlogax＋n(m≠0，a>0，且a≠1)；6.冪函數(shù)型：y＝a·xn(a≠0)；

溫故知新（二）解決函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題的一般步驟是：1設(shè)變量2建立函數(shù)模型3求解函數(shù)模型4解決實(shí)際問題

而在實(shí)際問題中，有的能應(yīng)用已知的函數(shù)模型解決，例如上一節(jié)中的兩個(gè)例題.有的需要根據(jù)問題的條件建立函數(shù)模型加以解決，這樣的問題如何解決？新知講解【例1】假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番.請問，你會選擇哪種投資方案？分析：我們可以先建立三種投資方案所對應(yīng)的函數(shù)模型，再通過比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據(jù).一、建立確定性的函數(shù)模型解決實(shí)際問題新知講解思考問題：投資方案選擇的原則：投入資金相同，回報(bào)量多者為優(yōu).1.考慮回報(bào)量,除了要考慮每天的回報(bào)量之外,還得考慮什么?回報(bào)的累積值2.例題中涉及哪些數(shù)量關(guān)系？投資天數(shù)，回報(bào)金額3.要對三個(gè)方案作出選擇，就要對它們的增長情況進(jìn)行分析，如何分析？每天的回報(bào)數(shù)、增加量、累計(jì)回報(bào)數(shù)新知講解解：設(shè)第x天所得回報(bào)是y元，則方案一可以用函數(shù)y=40(x∈N*)進(jìn)行描述；方案二可以用函數(shù)y=10x(x∈N*)進(jìn)行描述；

三個(gè)模型中，第一個(gè)是常數(shù)函數(shù)，后兩個(gè)都是增函數(shù).

要對三個(gè)方案作出選擇，就要對它們的增長情況進(jìn)行分析.

我們先用信息技術(shù)計(jì)算一下三種方案所得回報(bào)的增長情況（見下表）.新知講解x/天

方案一

方案二

方案三

y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140010

0.4

240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.8…………………3040030010214748364.8107374182.4再畫出三個(gè)函數(shù)圖象（如右圖）.你能通過圖象描述一下三種方案的特點(diǎn)嗎？函數(shù)圖象是分析問題的好幫手.為了便于觀察，用虛線連接離散的點(diǎn).新知講解由上表和圖可知，方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但方案三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的增長情況很不相同.可以看到，盡管方案一、方案二在第1天所得回報(bào)分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長量固定不變，而方案三是“指數(shù)增長”，其“增長量”是成倍增加的，從第7天開始，方案三比其他兩個(gè)方案增長得快得多，這種增長速度是方案一、方案二所無法企及的.新知講解從每天所得回報(bào)看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一樣多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天開始，方案三比其他兩個(gè)方案所得回報(bào)多得多，到第30天，所得回報(bào)已超過2億元.根據(jù)這里的分析，是否應(yīng)作這樣的選擇：投資5天以下選方案一，投資5～8天選方案二，投資8天以上選方案三？方案天數(shù)1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8下面再看累計(jì)的回報(bào)數(shù)，通過信息技術(shù)列表如下.新知講解方案天數(shù)1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8下面再看累計(jì)的回報(bào)數(shù)，通過信息技術(shù)列表如下.因此，投資1～6天，應(yīng)選擇方案一；投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資8～10天，應(yīng)選擇方案二；投資11天（含11天）以上，應(yīng)選擇方案三.上述例子只是一種假想情況，但從中可以看到，不同的函數(shù)增長模型，增長變化存在很大差異.新知講解

數(shù)學(xué)建模主要表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗(yàn)和完善模型，分析和解決問題.

這個(gè)例題是利用已知的函數(shù)模型解決實(shí)際問題.在用已知函數(shù)模型刻畫實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)注意模型的適用條件.1.不同函數(shù)模型的增長特點(diǎn)：常數(shù)函數(shù)

一次函數(shù)

指數(shù)函數(shù)沒有增長勻速增長急劇增長保持不變直線上升指數(shù)爆炸2.分析函數(shù)模型的方法：解析法列表法圖象法初試身手1.西安某賓館有100間相同的客房，經(jīng)過一段時(shí)間的經(jīng)營實(shí)踐，賓館經(jīng)理發(fā)現(xiàn)，每間客房每天的價(jià)格與住房率之間有如下關(guān)系：要使每天收入達(dá)到最高，每間定價(jià)應(yīng)為（

）A.200元B.180元C.160元D.140元每間每天房價(jià)200元180元160元140元住房率65%75%85%95C新知講解

二、利用給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問題①本例涉及了哪幾類函數(shù)模型？一次函數(shù)對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)②你能用數(shù)學(xué)語言描述符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案的條件嗎?a.銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)；b.獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元；c.獎(jiǎng)金不超過利潤的25%；d.公司總的利潤目標(biāo)為1000萬元.新知講解

二、利用給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問題分析：本例提供了三個(gè)不同增長方式的獎(jiǎng)勵(lì)模型，按要求選擇其中一個(gè)函數(shù)作為刻畫，獎(jiǎng)金總數(shù)與銷售利潤的關(guān)系，由于公司總的利潤目標(biāo)為1000萬元，所以銷售人員的銷售利潤一般不會超過公司總的利潤，于是，只需在區(qū)間[10，1000]上，尋找并驗(yàn)證所選函數(shù)是否滿足兩條要求：第一，獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，即最大值不大于5；第二，獎(jiǎng)金不超過利潤的25%，即y<0.25x.不妨先畫出函數(shù)圖象，通過觀察函數(shù)圖象，得到初步的結(jié)論，再通過具體計(jì)算，確認(rèn)結(jié)果.新知講解解：

你能說明選擇模型的理由，并給出本題的解答嗎？新知講解下面通過計(jì)算確認(rèn)上述判斷.

先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元.

對于模型y=0.25x，它在區(qū)間[10，1000]上單調(diào)遞增，而且當(dāng)x=20時(shí)，y=5，因此，當(dāng)x>20時(shí)，y>5，所以該模型不符合要求；

觀察f(x)=1.002x-5在（805,806）內(nèi)函數(shù)值的細(xì)微變化新知講解

令f(x)=log7x+1-0.25x，x∈[10，1000]，利用信息技術(shù)畫出它的圖象（圖4.5-9）.由圖象可知函數(shù)f(x)在區(qū)間[10，1000]上單調(diào)遞減，因此

f(x)<f(10)≈-0.3167<0，新知講解即

log7x+1<0.25x.

所以，當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，y≤0.25x，說明按模型y=log7x+1獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)金不會超過利潤的25%.

放大f(x)在10附近的圖像初試身手解：

初試身手解：

課堂小結(jié)用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的基本過程如下：

這一過程包括分析和理解實(shí)際問題的增長情況（是“對