復(fù)變函數(shù)第5-7講

1第二章柯西積分1.復(fù)積分的概念及基本計(jì)算方法5.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系4.柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式3.復(fù)合閉路定理2.柯西積分定理21、有向曲線§1復(fù)變函數(shù)的積分特別申明今后所說的曲線總是指光滑或逐段光滑曲線,特別說明的例外。3閉曲線正向的定義:與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向.曲線方向的說明:一般:曲線C的正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.那么終點(diǎn)到起點(diǎn)的方向就是曲線C的負(fù)向,記為C-對周線而言,逆時(shí)針方向?yàn)檎较?順時(shí)針方向?yàn)樨?fù)方向C42、積分的定義Bxyo（1）分割（2）取近似（3）求和5.)(,)()(ò?CdzzfBACzfICzf記作的積分從沿曲線為上可積，上述極限值在則稱被積函數(shù)積分路徑（4）取極限6----一元函數(shù)定積分的定義.注73、積分存在的條件1.必要條件2.充分條件

將各函數(shù)代數(shù)化8因此積分存在的條件問題，歸為尋求右端兩個(gè)式子極限存在的條件問題，由分析可知，這只需u(x,y),v(x,y)均在C上連續(xù)即可，且極限分別為9這是實(shí)的第二型曲線積分記憶104、復(fù)積分的性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).被積函數(shù)的線性可加性11積分路徑的可加性積分估值定理12性質(zhì)(5),(6)的證明兩端取極限得[證畢]性質(zhì)5積分估值定理13例1設(shè)C表示連接點(diǎn)a的b任一曲線,證明:證明:(1)因?yàn)?f(z)=114(2)因?yàn)閒(z)=zSn不容易計(jì)算,但由于f(z)=z連續(xù),說明,Sn的極限與介點(diǎn)的選取無關(guān)兩式相加,得15體會:用定義計(jì)算復(fù)積分太困難了!!!任務(wù):探討復(fù)積分的有效的計(jì)算方法165、復(fù)積分計(jì)算的參數(shù)方程法若能寫出C的參數(shù)方程為:C:z(t)=x(t)+iy(t)

t

則因?yàn)镃是光滑曲線

x(t),y(t)C[,]:1718定理設(shè)曲線C的參數(shù)方程為:z=z(t)=x(t)+iy(t)

t

2.f(z)沿曲線C連續(xù)注:該公式可看成由下式形式相乘而得到19（一）計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分有哪些方法？思考1.定義2.性質(zhì)3.4.（二）第四種方法有哪些步驟？1.確定曲線C的復(fù)方程:z(t)=x(t)+iy(t)

t

2.確定被積函數(shù)f[z(t)]=u(t)+iv(t)20（1）連接z1和z2兩點(diǎn)的線段的參數(shù)方程為（2）過兩點(diǎn)z1和z2的直線L的參數(shù)方程為幾類常見曲線的復(fù)數(shù)方程（3）21Oy=x2x解：曲線C的參數(shù)方程可以

寫為下列形式代入，得(1,1)y例2.)11()0,0(22的一弧段，到從上為拋物線，其中計(jì)算AOxyCdzzIc==ò22實(shí)際上，還可以用其它辦法計(jì)算，請考慮.容易驗(yàn)證，上式中積分與路徑無關(guān).23于是，03+4i34yx解:(i)C的參數(shù)方程24可以看出，沿著不同的積分路徑，該積分有不同的值.03+4i34yx25例4解oxyrC26綜上所述，我們有

記住這一結(jié)果，后面經(jīng)常用到，并且注意該結(jié)果與圓心、圓的半徑?jīng)]有關(guān)系27解：練習(xí)：這幾題結(jié)果都跟有關(guān)！?。∫蓡枺哼@里邊到底有什么玄機(jī)呢？還需繼續(xù)研究28例6i2+iOxy練習(xí)計(jì)算積分：29練習(xí)思考題：下列式子成立嗎？30小結(jié)1、積分的定義與性質(zhì)2、積分的計(jì)算3、重要例子31

1、引言§2柯西-古薩積分定理

復(fù)變函數(shù)的積分實(shí)際上等同于對坐標(biāo)的曲線積分，這就很自然地引出積分與路徑無關(guān)的問題.

我們的問題是：在什么條件下復(fù)變函數(shù)的積分與積分路徑無關(guān)？此問題等價(jià)于沿任意的閉曲線積分是否等于零的問題.321.被積函數(shù)f(z)=z在復(fù)平面處處解析；復(fù)平面是單連通區(qū)域；結(jié)論：積分與積分路徑無關(guān)。2.被積函數(shù)在復(fù)平面處處不解析；復(fù)平面是單連通區(qū)域；結(jié)論：積分與積分路徑有關(guān)。3.結(jié)論：積分與積分路徑有關(guān)。33

由此猜想：復(fù)積分的值與路徑無關(guān)或沿閉路的積分值等于零的條件可能與被積函數(shù)的解析性及解析區(qū)域的連通性有關(guān).2、柯西積分定理4.還是上一個(gè)積分在去掉的區(qū)域內(nèi)處處解析；此時(shí)的區(qū)域不是單連通區(qū)域；結(jié)論：積分與積分路徑有關(guān)。34本定理的證明實(shí)際是計(jì)算積分的問題，其中一種方法為若以上各步驟均成立，則定理得證明方法已找到。補(bǔ)充條件

在D內(nèi)連續(xù)，則證明成立.35關(guān)于定理的兩點(diǎn)思考：(2)D為復(fù)連通區(qū)域時(shí)，定理的結(jié)論是否成立？36推論1設(shè)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則在D內(nèi)f(z)的積分與路徑無關(guān).推論2

若f(z)在閉合曲線C上及C內(nèi)無奇點(diǎn)，則

人們對此定理的評價(jià)是很高的，有人稱之為積分的基本定理或函數(shù)論的基本定理。還有人認(rèn)為它是研究復(fù)變函數(shù)論的一把鑰匙。37回憶一下前面的兩個(gè)例子：將他們改寫成猜想：383、原函數(shù)

當(dāng)z在區(qū)域D內(nèi)變化時(shí)，積分值也變化，并且該積分在D內(nèi)確定了一個(gè)單值函數(shù)（變上限的單值函數(shù)），記作

當(dāng)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則在D內(nèi)積分與路徑無關(guān)，即以為起點(diǎn)，z為終點(diǎn)的D內(nèi)任何路徑上的積分值都相等，可記為39定理2設(shè)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則F(z)在D內(nèi)解析，且分析：只須證即而證明：線；40D又則41即42分析定理的證明用到了哪些條件？(1)f(z)在D內(nèi)連續(xù)；(2)f(z)在D內(nèi)的積分與路徑無關(guān)。定義若函數(shù)F(z)

在區(qū)域D內(nèi)的導(dǎo)數(shù)等于f(z)

，即,稱F(z)為f(z)在D內(nèi)的原函數(shù).定理3：任何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)。思考：定理內(nèi)容可以做怎樣的修改？43定理4

設(shè)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，F(xiàn)(z)是f(z)的一個(gè)原函數(shù)，則--------復(fù)積分的牛頓—萊布尼茲公式說明：在區(qū)域單連通而函數(shù)解析的情況下，可用此公式求復(fù)變函數(shù)的積分，特別是處處解析的函數(shù)的積分。44例1計(jì)算下列積分：45定理5§2.3復(fù)合閉路定理下面把定理1推廣多連通域上.46證明DC47此式說明一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的積分值，只要在變形過程中曲線不經(jīng)過f(z)的不解析點(diǎn).DCC1C1C1—閉路變形原理.48例解C1C21xyo49練習(xí)題50思考：51

小結(jié)1、Cauchy—Goursat基本定理2、與積分路徑無關(guān)的條件3、原函數(shù)、定積分4、復(fù)合閉路定理52一、問題的提出二、柯西積分公式三、典型例題四、小結(jié)§3柯西積分公式53一、問題的提出相同點(diǎn)：(1)均是沿圍線的積分，且圍線內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)；(2)被積函數(shù)均為分式；(3)積分值均跟有關(guān)。上節(jié)課的兩個(gè)結(jié)果C1C21xyo回憶54?5556二、柯西積分公式證57[證畢]58關(guān)于柯西積分公式的說明:(---這是解析函數(shù)的又一特征)結(jié)論：如果兩個(gè)解析函數(shù)在區(qū)域的邊界上處處相等，則它們在整個(gè)區(qū)域上也相等。?59(4)一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周C上的平均值.(3)解析函數(shù)可用復(fù)積分表示60三、典型例題解：C2xyC1O61解：被積函數(shù)有奇點(diǎn)

i和

-i.OC1C2Ci-ixy62例3解63例5解：64四、小結(jié)65柯西積分公式66

在以前的討論中我們曾不止一次的看到：新東西的發(fā)現(xiàn)常常屬于勤于觀察、善于觀察的人。提問：解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù)？經(jīng)思索、觀察，它可寫成§4解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)67提問：當(dāng)f(z)滿足一定條件時(shí)，會有68顯然，該公式可視為柯西積分公式的推廣.如何記住公式？69

它從理論上揭示了解析函數(shù)的又一重要特征.70證明利用數(shù)學(xué)歸納法和導(dǎo)數(shù)定義來證明定理6.71令為I7273依次類推，用數(shù)學(xué)歸納法可得74解：C內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)0,-1.-1xyO思考題：75OC1C2Ci-ixy767778(3)計(jì)算積分

，積分曲線沿正方向.79(4)(Morera定理)證依題意可知80參照本章第三節(jié)知識,可證明因?yàn)榻馕龊瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),81小結(jié)82§5解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1、調(diào)和函數(shù)的定義

我們前面已經(jīng)知道:解析函數(shù)的實(shí)部和虛部不是互相獨(dú)立的；解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù).

12832、解析與調(diào)和的關(guān)系84證明：設(shè)f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，則由于f(z)有各階導(dǎo)數(shù)，故有85

解析函數(shù)

調(diào)和函數(shù)

解析函數(shù)的實(shí)部與虛部均為調(diào)和函數(shù)，并且還滿足C.—R.方程，即解析函數(shù)的實(shí)部與虛部并不是不相干的調(diào)和函數(shù)。反例86873、構(gòu)造解析函數(shù)由調(diào)和函數(shù)，構(gòu)造解析函數(shù)的方法如下：(1)不定積分法；(2)利用導(dǎo)數(shù)公式；(3)曲線積分法；(4)全微分法.

作此類題時(shí)，首先一定要驗(yàn)證給定的函數(shù)是否是調(diào)和函數(shù).注意88例2法一不定積分法89法二求導(dǎo)法法三曲線積分法909192故93法四全微分法故94注：如果不附加其他條件，這種由已知解析函數(shù)的實(shí)部和虛部中的一個(gè)