復(fù)變函數(shù)第一章第一節(jié)

復(fù)變函數(shù)與積分變換張慧清huiqingzhang@2前言二、發(fā)展簡介：十六世紀中葉：十七世紀：十八世紀：Euler一、研究對象和研究內(nèi)容：3十九世紀：CauchyRiemannWeierstrass4三、學(xué)習中的注意點：1、方法2、態(tài)度第一節(jié)復(fù)數(shù)及其代數(shù)運算一、復(fù)數(shù)的概念二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運算三、小結(jié)與思考6第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.復(fù)數(shù)的代數(shù)運算和共軛運算一、復(fù)數(shù)的基本概念二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運算三、復(fù)數(shù)的共軛運算7一、復(fù)數(shù)的基本概念：1、復(fù)數(shù)的定義：

形如的數(shù)稱之為復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，為實數(shù)，分別稱為的實部和虛部，記作：虛部為零，即為實數(shù)，實部為零，稱為純虛數(shù)。

2、

復(fù)數(shù)相等：設(shè)83、共軛復(fù)數(shù)若，它的共軛復(fù)數(shù)就定義為：若兩個復(fù)數(shù)實部相等，虛部互為相反數(shù)，則稱這兩個復(fù)數(shù)是共軛的。二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運算：1、加減法：2、乘除法：9三、復(fù)數(shù)的共軛運算：102.復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)平面：1.定義：建立平面直角坐標系，讓平面上的點表示復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)的全體和平面上的點建立了一一對應(yīng)關(guān)系，這樣的平面稱為復(fù)平面，其中軸稱為實軸，軸稱為虛軸。2.復(fù)數(shù)的點表示法：任意復(fù)數(shù)可用復(fù)平面上的點來表示。113.復(fù)數(shù)的向量表示：復(fù)數(shù)和從原點指向點的向量是一一對應(yīng)的，所以可以用從原點出發(fā)的向量來表示復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)代數(shù)運算的幾何意義：1）加法：

和相加即為以、為邊的平行四邊形的對角線指的向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)。2）減法：

減即為從端點指向端點的向量。124.復(fù)數(shù)的三角表示式：習慣上把表示式稱為復(fù)數(shù)的直角坐標表示式或代數(shù)形式，利用直角坐標系和極坐標之間的聯(lián)系則其中表示所對應(yīng)向量的長度，稱為的模，記作,稱為的幅角，記作把其中落在之間的角稱為主幅角，記為則有：1）模和幅角的定義三角表示式132）主幅角的計算下面的公式給出了主幅角的計算方法：

在第一、四象限

在第二象限

在第三象限

在正軸

在負軸

在正軸

在負軸14例1.將下列各復(fù)數(shù)表示為三角形式：解:(1)因在第三象限，所以：又所以：155.復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式：利用歐拉公式從復(fù)數(shù)的三角表示式即得指數(shù)表示式6.幾個重要不等式：二、復(fù)球面16現(xiàn)在建立這樣的對應(yīng)關(guān)系：這樣，除N點之外，球面上的所有點和復(fù)平面上的所有點之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，該球面即稱為復(fù)球面。注意到當復(fù)數(shù)的模越大時，它所對應(yīng)的復(fù)球面上的點越靠近N,因此我們可以認為N和復(fù)平面上一個模為的點相對應(yīng)，這樣的一個點成為無窮遠點，記為。若把無窮遠點添加到復(fù)平面中，則稱為擴充復(fù)平面，與其對應(yīng)的球面稱為擴充復(fù)球面。17（為特定整數(shù)）3.復(fù)數(shù)的乘冪與方根一、乘積與商1.乘積：設(shè)則：可以看出:1）表達式：182）幾何意義：即為把旋轉(zhuǎn)并將模伸長倍所得向量。2.

商：設(shè)則：(為正，逆時針，為負，順時針)可看出：19例1.證明三角形的內(nèi)角和為。證明：設(shè)三角形的三頂點為三頂角為所以：即：則：又因只能為零。即得結(jié)論。20二、冪與根：1、冪：n個相同的復(fù)數(shù)的乘積稱為的n次冪，記作設(shè)則：特別地，時：稱為莫勒弗公式。2、根：若則稱為的次方根，記作設(shè)21即得：當時，有n個不同的值，即得n個相異根：由得：22例2：求解：因所以：23例3求下列方程所表示的曲線:解24化簡后得25§4、平面點集的幾個基本概念1、點集：點的有限個或無限個集合稱為點集。由于復(fù)平面上的點和復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，所以復(fù)平面上的點集可看作是復(fù)數(shù)的集合。2、-鄰域：設(shè)為復(fù)平面上一點，對于任意給定的正數(shù)滿足的點集稱為點的-鄰域，滿足的點集稱為的去心-鄰域。若為任意正數(shù)，滿足的點集稱為的鄰域，滿足的點集稱為的去心鄰域。263、聚點、孤立點、外點、內(nèi)點、界點1）聚點：對于點集E,若的任意鄰域都有E的無窮為E的聚點或極限點。E,但非E的聚點，稱為E的孤立點。多個點，稱2）孤立點：若4）內(nèi)點：若E，且有一鄰域含于E內(nèi)，則為E的內(nèi)點。5）界點：E的異于內(nèi)點的聚點及E的孤立點均稱為E

的界點，E的全部界點稱為E的邊界。3）外點：若E，又非E的聚點，則稱為E的外點。274、開集、閉集若點集E的點均為內(nèi)點，則稱E為開集。若E的聚點均屬于E，則稱E為閉集。5、區(qū)域：1）區(qū)域：滿足下面兩條件的點集E稱為區(qū)域。A）E是一個開集。B）E是連通的。2）閉區(qū)域：區(qū)域加上邊界稱為閉區(qū)域。3）有界區(qū)域：若一個區(qū)域E可以被包含在一個以原點為

中心的圓里面，則稱E為有界的。否則，為無界的。286、約當曲線：1）連續(xù)曲線：設(shè)是的兩個實函數(shù)，在閉區(qū)間上連續(xù)，則方程組確定了一條平面曲線，若令則即為曲線參數(shù)方程的復(fù)數(shù)形式，和分別稱為該曲線的起點和終點。292）重點：若對于但則稱點為曲線的重點。3）凡沒有重點的連續(xù)曲線，稱為約當曲線或簡單曲線。除外無重點的連續(xù)曲線，稱為約當閉曲線。4）設(shè)約當曲線的參數(shù)方程為在上，及存在、連續(xù)且不全為零，則該曲線稱為光滑曲線，由有限條光滑曲線銜接而成的曲線稱為分段光滑曲線。5）對于光滑閉曲線或分段光滑閉曲線，我們稱之為圍道。圍道方向的規(guī)定：30假設(shè)一觀察者沿圍道而行，圍道內(nèi)部在觀察者的左方，則規(guī)定該方向為圍道正向，反之，為負向。7）單連通區(qū)域：若區(qū)域D的任意一條約當閉曲線的內(nèi)部仍屬于D，則D稱為單連通區(qū)域，否則為多連通區(qū)域。單連通域多連通域31§5復(fù)變函數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的定義：1、單值函數(shù)：設(shè)E為一復(fù)數(shù)集，若對E內(nèi)每一復(fù)數(shù)，按照一定的規(guī)則函數(shù)2、多值函數(shù)：有唯一的復(fù)數(shù)與之對應(yīng)，則稱在E上確定了一個單值若對于E內(nèi)每一個復(fù)數(shù)，有幾個或無窮多個與之對應(yīng)，則稱在E上確定了一個多值函數(shù)集合E稱為定義域，的全體稱為值域。323、復(fù)變函數(shù)的表示：設(shè)是定義在點集E上的單值或多值函數(shù)，設(shè)

又可記為：例：函數(shù)

可寫為這里33二、復(fù)變函數(shù)的幾何意義取兩張復(fù)平面------平面，平面，用平面上的點集到平面的點集的映射來表示復(fù)變函數(shù)。若中的點被映成中的點，則稱為的象，而稱為的原象。3435且是全同圖形.36例2討論函數(shù)把下列曲線映成何種曲線：1）以原點為心，2為半徑的第一象限的圓弧；2）3）其中均為常數(shù)。解：1）曲線可表示為：則：表示的是以原點為心，4為半徑的上半圓周。372）設(shè)則：所以表示的是一條直線。3）的象的參數(shù)方程為：消去得：表示的是以原點為焦點，向左開口的拋物線。38例3解39所以象的參數(shù)方程為40A)41(如下頁圖)B)42

將第一圖中兩塊陰影部分映射成第二圖中同一個長方形.43使得當時，有：

內(nèi)，如果有一確定的數(shù)存在，對任意給定的存在

§6、復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性一、極限：1、定義：設(shè)函數(shù)定義在的去心鄰域成立，則稱為當時的極限，記為：44注2、若已經(jīng)證明一復(fù)變函數(shù)極限存在，可取一特殊路徑來求出它的極限。例1設(shè)試證在原點無極限。注1、極限與的方式無關(guān)。45證明：令則：沿軸：沿所以在原點處無極限。462.極限計算的定理定理一說明47證明：必要性：因?qū)κ沟卯敃r：因所以對當時：48同理即充分性：因所以對使得當時：即是當時：49即得：3、運算法則：定理2、如果則：50二、函數(shù)的連續(xù)性1.連續(xù)的定義:51定理三例如,52定理四53特殊的:(1)有理整函數(shù)(多項式)(2)有理分式函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)使分母不為零的點也是連續(xù)的.54