復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)課件

《復(fù)變函數(shù)與積分變換》

ComplexAnalysisandIntegralTransforms朱傳喜等編江西高校出版社理學(xué)院數(shù)學(xué)系劉凱電話-mail:liukai418@126.com復(fù)數(shù)的誕生先從二次方程談起:

公元前400年，巴比倫人發(fā)現(xiàn)和使用

則當(dāng)時無解，當(dāng)時有解．二千多年沒有進(jìn)展：尋找三次方程

的一般根式解．

G.Cardano(1501-1576):“怪才”,精通數(shù)學(xué),醫(yī)學(xué),語言學(xué),文學(xué),占星學(xué).在1545年<<ArsMagna>>（《大術(shù)》）中解方程x3+mx+n=0得塔塔利亞（意，1499－1557年）

R.Descartes(笛卡兒)(法國,1596-1650),是偉大的哲學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、生理學(xué)家。解析幾何的創(chuàng)始人。

1637他稱一個負(fù)數(shù)的開方為虛數(shù)(imaginarynumber).

L.Euler(瑞士，1707-1783):史上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學(xué)家，886本書籍和論文,其中分析、代數(shù)、數(shù)論占40%，幾何占18%，物理和力學(xué)占28%，天文學(xué)占11%，彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)等占3%.13歲入大學(xué)，17歲獲碩士,30歲右眼失明，60歲完全失明．1748年：Euler公式1777年：首次使用"i"表示，創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)論，并應(yīng)用到水利學(xué)，地圖制圖學(xué)

．

C.Wessel(挪威1745-1818)和R.Argand(法國1768-1822）將復(fù)數(shù)用平面向量或點來表示．K.F.Gauss(德國1777-1855)與W.R.Hamilton(愛爾蘭1805-1865)定義復(fù)數(shù)為一對有序?qū)崝?shù)后，才消除人們對復(fù)數(shù)真實性的懷疑，“復(fù)變函數(shù)”這一數(shù)學(xué)分支到此才順利地得到建立和發(fā)展．?dāng)?shù)學(xué)王子高斯

Cauchy(1798-1857):法國數(shù)學(xué)家.他是被認(rèn)為在數(shù)學(xué)論文數(shù)量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書.主要貢獻(xiàn)如下:單復(fù)變函數(shù),分析基礎(chǔ),常微分方程等。于1825年的一本小冊子《關(guān)于積分限為虛數(shù)的定積分的報告》，可看成是復(fù)分析發(fā)展史的第一座里程碑。Riemann(1826-1866):德國數(shù)學(xué)家,Gauss晚年的學(xué)生.19世紀(jì)極富創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)家之一.在復(fù)變函數(shù)論、傅立葉級數(shù)、幾何學(xué)基礎(chǔ)、素數(shù)分布等方面都有重要貢獻(xiàn).Weierstrass(德國1815-1897)

.他的工作以嚴(yán)格著稱,獲得了"現(xiàn)代分析之父"的稱號.他不僅拒絕使用Cauchy通過復(fù)積分所獲得的結(jié)果,也不能接受Riemann提出的那種幾何"超驗"方法.他相信函數(shù)論的原理必須建立在代數(shù)真理的基礎(chǔ)上,所以他把目光投向了冪級數(shù),為復(fù)變函數(shù)論開辟了又一條研究途徑.復(fù)變函數(shù)論的應(yīng)用復(fù)變函數(shù)論其它學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，有很多復(fù)雜的計算都是用它來解決的。如物理學(xué)上有很多不同的穩(wěn)定平面場的計算。俄國的茹柯夫斯基用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機機翼的結(jié)構(gòu)問題，在運用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問題上也做出了貢獻(xiàn)。復(fù)變函數(shù)論在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多分支也都應(yīng)用了它的理論。它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學(xué)科，對它們的發(fā)展很有影響。數(shù)學(xué)中的一朵奇葩就像微積分的直接擴展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)。當(dāng)時的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。《復(fù)變函數(shù)》是數(shù)學(xué)所有專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程,理工科學(xué)生必須掌握的數(shù)學(xué)學(xué)科。復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)，自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)，電磁學(xué)，熱學(xué)彈性理論中平面問題的有力工具。第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1.1復(fù)數(shù)及其運算定義對任意兩實數(shù)x、y,稱z=x+iy或z=x+yi為復(fù)數(shù)。1.復(fù)數(shù)的概念虛數(shù)單位的特性:……

一般,任意兩個復(fù)數(shù)不能比較大小。復(fù)數(shù)z的實部Re(z)=x;虛部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)復(fù)數(shù)的模判斷復(fù)數(shù)相等注意：例1解令定義z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代數(shù)運算四則運算z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.運算規(guī)律復(fù)數(shù)的運算滿足交換律、結(jié)合律、分配律。（與實數(shù)相同）即，共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)3.共軛復(fù)數(shù)定義若z=x+iy,稱

z=x-iy

為z的共軛復(fù)數(shù).(conjugate)二、復(fù)數(shù)的幾何表示1.復(fù)平面的定義2.復(fù)數(shù)的模(或絕對值)顯然下列各式成立滿足的θ0稱為輻角Argz的主值，記作θ0=argz。3.

復(fù)數(shù)的輻角說明計算argz(z≠0)

的公式輻角不確定.oxy(z)

z1z2

z1+z2z2-z14.由向量表示法知3.三角表示法4.指數(shù)表示法例1將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此2)顯然,r=|z|=1,又因此練習(xí)：寫出的輻角和它的指數(shù)形式。解：很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來表示;也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來確定它所表示的平面圖形.例1將通過兩點z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線用復(fù)數(shù)形式的方程來表示.

[解]

通過點(x1,y1)與(x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表示為因此,它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為z=z1+t(z2-z1).(-<t<+)由此得知由z1到z2的直線段的參數(shù)方程可以寫成

z=z1+t(z2-z1).(0

t1)取得知直線段的中點為例2求下列方程所表示的曲線:解：設(shè)z=x+iy

,

方程變?yōu)?iOxy幾何上,該方程表示到點2i和-2的距離相等的點的軌跡,所以方程表示的曲線就是連接點2i和-2的線段的垂直平分線,方程為y=-x,也可用代數(shù)的方法求出。Oxy-22iy=-x設(shè)z=x+iy

,那末可得所求曲線的方程為y=-3.Oyxy=-3注:這里A是復(fù)數(shù),B是實數(shù).x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了復(fù)數(shù)的平面表示方法外,還可以用球面上的點來表示復(fù)數(shù).用直線將復(fù)平面內(nèi)任一點z與N相連,必與球面相交于P點,則球面上除N點外的所有點和復(fù)平面上的所有點有一一對應(yīng)的關(guān)系,

而N點本身可代表無窮遠(yuǎn)點,記作.

這樣的球面稱作復(fù)球面.擴充復(fù)數(shù)域---引進(jìn)一個“新”的數(shù)∞:擴充復(fù)平面---引進(jìn)一個“理想點”:無窮遠(yuǎn)點

∞.約定:

注:若無特殊說明,平面均指有限復(fù)平面.定理1

兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模相乘，兩個復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加。證明設(shè)z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1

z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2

則z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)

1.乘積與商因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2§1.3復(fù)數(shù)的乘冪與方根

幾何意義將復(fù)數(shù)z1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度

Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。定理1可推廣到n個復(fù)數(shù)的乘積。oxy(z)z1z2z2例：設(shè)則：即k=m+n+1則有等式Arg(z1z2)=Argz1+Argz2的意思是等式的兩邊都是無限集合,兩邊的集合相等,即每給定等式左邊的一個數(shù),就有等式右邊的一個數(shù)與之對應(yīng),反之亦然.;按照乘積的定義,當(dāng)z10時,有定理2兩個復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商,兩個復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差.練習(xí)：解設(shè)z=reiθ，由復(fù)數(shù)的乘法定理和數(shù)學(xué)歸納法可證明zn=rn(cos

nθ+isin

nθ)=rn

einθ。2.復(fù)數(shù)的乘冪定義n個相同的復(fù)數(shù)z的乘積，稱為z的n次冪，記作zn，即zn=zzz（共n個）。定義特別：當(dāng)|z|=1時，即：zn=cosnθ+isinnθ，則有

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ

一棣模佛(DeMoivre)公式。問題給定復(fù)數(shù)z=rei

，求所有的滿足ωn=z的復(fù)數(shù)ω。3.復(fù)數(shù)的方根（開方）——乘方的逆運算當(dāng)z≠0時，有n個不同的ω值與相對應(yīng)，每一個這樣的ω值都稱為z的n次方根，當(dāng)k=0，1，…，n-1時，可得n個不同的根，而k取其它整數(shù)時，這些根又會重復(fù)出現(xiàn)。幾何上，的n個值是以原點為中心，為半徑的圓周上n個等分點，即它們是內(nèi)接于該圓周的正n邊形的n個頂點。練習(xí)：計算[解]因為所以即四個根是內(nèi)接于中心在原點半徑為21/8的圓的正方形的四個頂點.1+iw0w1w2w3Oxy1.區(qū)域的概念鄰域復(fù)平面上以z0為中心，任意δ>0為半徑的圓|z-z0|<δ(或0<|z–z0|<δ)

內(nèi)部的點的集合稱為點z0的δ（去心）鄰域。記為Ｕ(z0,δ)即，§1.4復(fù)平面上的點集內(nèi)點:對任意z0屬于E，若存在Ｕ(z0,δ)，使該鄰域內(nèi)的所有點都屬于E，則稱z0是E的內(nèi)點。設(shè)E是一平面上點集

聚點與孤立點邊界點與邊界開集與閉集連通是指區(qū)域

設(shè)E是一個開集，且E是連通的，稱

E是一個區(qū)域。E-區(qū)域內(nèi)點外點P區(qū)域有界區(qū)域與無界區(qū)域若存在R>0,對任意z∈E,均有z∈E={z||z|<R}，則E是有界區(qū)域；否則無界。閉區(qū)域

區(qū)域E與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域,例1例2例3例42.簡單曲線（或Jardan曲線)令z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b;則曲線方程可記為：z=z(t)，a≤t≤b有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線。重點設(shè)連續(xù)曲線C：z=z(t)，a≤t≤b，對于t1∈(a，b),t2∈[a,b],當(dāng)t1≠t2時，若z(t1)=z(t2)，稱z(t1)為曲線C的重點。定義稱沒有重點的連續(xù)曲線C為簡單曲線或Jardan曲線;若簡單曲線C滿足z(a)=z(b)時，則稱此曲線C是簡單閉曲線或Jordan閉曲線。z(a)=z(b)簡單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡單閉曲線,3.單連通域與多連通域簡單閉曲線的性質(zhì)任一條簡單閉曲線C：z=z(t)，t∈[a，b]，把復(fù)平面唯一地分成三個互不相交的部分：一個是有界區(qū)域，稱為C的內(nèi)部；一個是無界區(qū)域，稱為C的外部；還有一個是它們的公共邊界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)內(nèi)部外部邊界定義

復(fù)平面上的一個區(qū)域B，如果B內(nèi)的任何簡單閉曲線的內(nèi)部總在B內(nèi)，就稱B為單連通域；非單連通域稱為多連通域。例如

|z|<R（R>0）是單連通的；

0≤r<|z|≤R是多連通的。單連通域多連通域多連通域單連通域1.復(fù)變函數(shù)的定義—與實變函數(shù)定義相類似定義

§1.5復(fù)變函數(shù)例1例2oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上，w=f(z)可以看作：定義域函數(shù)值集合

2.映射的概念——復(fù)變函數(shù)的幾何意義zw=f(z)w

以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。

在復(fù)變函數(shù)中用兩個復(fù)平面上點集之間的對應(yīng)關(guān)系來表達(dá)兩對變量u，v

與x，y

之間的對應(yīng)關(guān)系，以便在研究和理解復(fù)變函數(shù)問題時，可借助于幾何直觀.復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個映射（變換）例3解—關(guān)于實軸對稱的一個映射oxy(z)圖1-1uv(w)o—旋轉(zhuǎn)變換(映射)例4解x、uy、v(z)、(w)ox、uy、