中考數(shù)學二輪復習對稱性質(zhì)在最值問題中的應用綜合訓練

對稱性質(zhì)在最值問題中的應用1.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是AB邊上的一點，且AE＝1，點Q為對角線AC上的動點，則△BEQ周長的最小值為________．第1題圖第2題圖2.在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB＝8cm，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，M是AB上一動點，CM＋DM的最小值是____．3.如圖，已知點C(1，0)，直線y＝－x＋7與兩坐標軸分別交于A、B兩點，D、E分別是AB，OA上的動點，當△CDE周長最小時，點D坐標為________．第3題圖第4題圖4.如圖，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，若在AC，AB上各取一點M，N，使BM＋MN的值最小，則這個最小值為________．5.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的動點，且EF⊥AC.連接EC，AF，則EC＋AF的最小值為________．第5題圖6.如圖，拋物線的頂點D的坐標為(－1，4)，拋物線與x軸相交于A，B兩點(A在B的左側)，與y軸交于點C(0，3)．若點E的坐標為(0，－3)，在拋物線的對稱軸上有一點F，使得△CEF的周長最小，請求出點F的坐標．第6題圖參考答案1.1＋eq\r(3)【解析】如解圖，作點E關于AC的對稱點E′，連接E′Q，E′E，E′B，且E′B交AC于點Q′.∵四邊形ABCD為菱形，∴點E′在AD上．∵點E與點E′關于AQ對稱，∴QE′＝QE.∵EB為定值，∴當EQ與BQ和最小時，△QEB的周長最?。逹E＋QB＝QE′＋QB≥Q′E′＋BQ′＝BE′，當點E′，Q，B在一條直線上時，△QEB的周長最?。逜E＝AE′，∠DAB＝60°，∴△AEE′為等邊三角形．∴∠E′EA＝∠AE′E＝60°，EE′＝AE.∵AB＝2，AE＝1，∴EB＝AE，∴EE′＝EB.∴∠EE′B＝∠EBE′＝eq\f(1,2)∠E′EA＝30°，∴∠AE′B＝90°.∴E′B＝eq\r(AB2－AE′2)＝eq\r(3).∴△QEB的周長的最小值為E′B＋BE＝1＋eq\r(3).第1題解圖2.8cm【解析】如解圖，作點C關于AB的對稱點C′，連接C′D與AB相交于點M′，連接C′M，CC′，∵C′M＋DM≥C′M′＋DM′＝C′D，∴當M與M′重合時，CM＋DM的值最小，由垂徑定理，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(AC′,\s\up8(︵))，∴eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(AC′,\s\up8(︵))，∵eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，AB為直徑，∴C′D為直徑，∴CM＋DM的最小值是8cm.第2題解圖3.(eq\f(25,7)，eq\f(24,7))【解析】如解圖，作點C關于OA的對稱點C′，點C關于直線AB的對稱點C″，連接CC″交AB于點F，∵直線AB的解析式為y＝－x＋7，∴OA＝OB＝7，AB＝7eq\r(2)，∵C(1，0)，∴BC＝6，易得△BCF∽△BAO，∴eq\f(BC,BA)＝eq\f(BF,BO)即eq\f(6,7\r(2))＝eq\f(BF,7)，∴BF＝3eq\r(2)，易知△ABO為等腰直角三角形，過點F作FG⊥x軸于點G，∴FG＝BG＝3，∴F(4，3)，∵F是CC″中點，∴可得C″(7，6)．連接C′C″與AO交于點E′，與AB交于點D′，此時△DEC周長最小，∵C′(－1，0)，C″(7，6)，∴設直線D′E′的解析式為y＝kx＋b，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－k＋b＝0,7k＋b＝6))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(3,4),b＝\f(3,4)))，∴直線D′E′的解析式為y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(3,4)，聯(lián)立直線AB和直線D′E′的解析式可得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋7,y＝\f(3,4)x＋\f(3,4)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(25,7),y＝\f(24,7)))，∴點D′的坐標為(eq\f(25,7)，eq\f(24,7))．即△CDE周長最小時，點D的坐標為(eq\f(25,7)，eq\f(24,7))．第3題解圖4.16【解析】如解圖，作點B關于直線AC的對稱點B′，交AC于點E，連接B′M，過點B′作B′G⊥AB于點G，交AC于點F，由對稱性可知，B′M＋MN＝BM＋MN≥B′G，當且僅當點M與點F、點N與點G重合時，等號成立，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝10eq\r(5)，∵點B與點B′關于AC對稱，∴BE⊥AC，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BE＝eq\f(1,2)AB·BC，得BE＝eq\f(AB·BC,AC)＝eq\f(20×10,10\r(5))＝4eq\r(5)，BB′＝2BE＝8eq\r(5)，∵∠B′BG＋∠CBE＝∠ACB＋∠CBE＝90°，則∠B′BG＝∠ACB，又∠B′GB＝∠ABC＝90°，得△B′GB∽△ABC，eq\f(B′G,AB)＝eq\f(B′B,AC)，B′G＝eq\f(BB′·AB,AC)＝eq\f(8\r(5)×20,10\r(5))＝16.∴BM＋MN的最小值是16.第4題解圖5.5【解析】如解圖，過點A作AA′∥EF，且AA′＝EF，連接A′E，連接A′C交AB于點E′，∴四邊形AA′EF為平行四邊形，∴AF＝A′E，EC＋AF＝EC＋A′E，當A′，E，C三點共線時，EC＋AF最小，最小值為A′C.過點E作EG⊥CD于點G，∴∠FEG＋∠EFG＝90°，∵EF⊥AC，∴∠EFG＋∠DCA＝90°，∴∠FEG＝∠DCA，∵AB＝4，BC＝2，∴tan∠DCA＝eq\f(1,2)，∴tan∠FEG＝eq\f(FG,EG)＝eq\f(1,2)，∴FG＝1，∴EF＝eq\r(EG2＋FG2)＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，∴AA′＝eq\r(5).∵EF⊥AC，AA′∥EF，∴AA′⊥AC，在Rt△ABC中，由勾股定理易得AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，∴在Rt△AA′C中，A′C＝eq\r(AA2＋AC2)＝eq\r(（\r(5)）2＋（2\r(5)）2)＝5.∴EC＋AF的最小值為5.第5題解圖6.解：設拋物線的表達式為：y＝a(x＋1)2＋4，把x＝0，y＝3代入得：3＝a(0＋1)2＋4，解得：a＝－1，∴拋物線的表達式為y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3，如解圖，作C關于對稱軸的對稱點C′，連接EC′交對稱軸于點F，此時CF＋EF的值最小，則△CEF的周長最?。逤(0，3)，對稱軸為直線x＝－1，∴C′(－2，3)，設直線C′E的解析式為y