中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)輔助圓問題專題綜合訓(xùn)練

輔助圓問題1.如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線折疊，得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值為.第1題圖2.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝1，點(diǎn)D在AC邊上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，將△BCD沿BD翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，則在點(diǎn)D從C到A的運(yùn)動(dòng)過程中，線段EF的最小值為.第2題圖3.如圖，在邊長為3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊上的一點(diǎn)，且AM＝eq\f(1,3)AD，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是.第3題圖4.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合)，連接AD，將△ACD沿AD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連接DE交AB于點(diǎn)F，當(dāng)△DEB是直角三角形時(shí)，DF的長為.第4題圖5.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝8，點(diǎn)P是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，將△ABP沿AP折疊，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在線段BC的垂直平分線上時(shí)，則BP的長等于Ｗ.第5題圖參考答案1.eq\r(10)－1【解析】∵四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，∴如解圖，以點(diǎn)M為圓心，以AM長為半徑畫圓，連接MC與⊙M相交于點(diǎn)A′，此時(shí)A′C最?。逜B＝DC＝3，MD＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)BC＝1，∴MC＝eq\r(MD2＋DC2)＝eq\r(10).∵M(jìn)A′＝MA＝1，∴A′C＝eq\r(10)－1.第1題解圖2.eq\r(3)－1【解析】如解圖①，根據(jù)翻折可知，BC＝BF，∴點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡在以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑的半圓弧CG上．∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AB＝1，∴AC＝2，BC＝BF＝eq\r(3)，∴BE＝eq\f(1,2)AC＝1，∵BE＋EF≥BF，∴如解圖②，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B、E、F共線，且點(diǎn)E在線段BF上時(shí)，線段EF取得最小值，此時(shí)EF＝BF－BE＝eq\r(3)－1.圖①圖②第2題解圖3.eq\r(19)－1【解析】∵菱形的邊長AD＝3，AM＝eq\f(1,3)AD，∴AM＝eq\f(1,3)×3＝1，MD＝2.如解圖，以點(diǎn)M為圓心，MA長為半徑作⊙M.由折疊得MA＝MA′＝1.∴點(diǎn)A′在⊙M上．連接MC交⊙M于點(diǎn)A1.當(dāng)點(diǎn)M、A′、C不在一條直線上時(shí)，則在△MA′C中，A′C＞|MC－MA′|，即A′C＞|MC－1|.當(dāng)點(diǎn)M、A′、C在一條直線上時(shí)，A′C＝|MC－MA′|，即A′C＝|MC－1|.∴折疊過程中，A′C≥|MC－1|.∴A′C的最小值為|MC－1|.過點(diǎn)M作ME⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)E.∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD.∴∠MDE＝∠MAB＝60°.在Rt△MDE中，sin∠MDE＝eq\f(ME,MD)，cos∠MDE＝eq\f(DE,MD).∴ME＝MD·sin∠MDE＝2×sin60°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).DE＝MD·cos∠MDE＝2×cos60°＝2×eq\f(1,2)＝1.∴CE＝ED＋CD＝1＋3＝4.在Rt△MCE中，由勾股定理得MC＝eq\r(ME2＋CE2)＝eq\r(（\r(3)）2＋42)＝eq\r(19).∴A′C的最小值為|eq\r(19)－1|＝eq\r(19)－1.第3題解圖4.eq\f(3,2)或eq\f(3,4)【解析】由題意可得，點(diǎn)C和點(diǎn)E在以線段AD為直徑的圓上，如解圖①，點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)，在Rt△ABC中，BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(52－32)＝4.由翻折的性質(zhì)可知：AE＝AC＝3，DC＝DE，則EB＝2，設(shè)DC＝DE＝x，則DB＝4－x，在Rt△DBE中，DE2＋BE2＝DB2，即x2＋22＝(4－x)2.解得：x＝eq\f(3,2)，∴DF＝DE＝eq\f(3,2).如解圖②，∠EDB＝90°時(shí)，由翻折的性質(zhì)可知：AC＝AE，∠C＝∠AED＝90°，∵∠C＝∠AED＝∠CDE＝90°，∴四邊形ACDE為矩形．又∵AC＝AE，∴矩形ACDE為正方形，∴CD＝AC＝3，∴DB＝BC－DC＝4－3＝1.∵DF∥AC，∴△BDF∽△BCA.∴eq\f(DF,CA)＝eq\f(DB,CB)＝eq\f(1,4)，即eq\f(DF,3)＝eq\f(1,4).解得：DF＝eq\f(3,4).點(diǎn)D在CB上運(yùn)動(dòng)，假設(shè)∠DBE＝90°，則點(diǎn)A到BE的距離為BC的長，而AE＝AC<BC，故∠DBE不可能為直角．故答案為：eq\f(3,2)或eq\f(3,4).圖①圖②第4題解圖5.eq\f(5,2)或10【解析】由題意可得，點(diǎn)B′在以點(diǎn)A為圓心，線段AB長為半徑的圓上．①如解圖①，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，過A，C分別作AD∥BC，CD∥AB兩線交于點(diǎn)D，則四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，過B′作B′F⊥BC于點(diǎn)F，延長FB′交AD于點(diǎn)E，則AD⊥EF，∵點(diǎn)B′落在線段BC的垂直平分線上，∴AE＝BF＝eq\f(1,2)BC＝4，∵將△ABP沿AP折疊得到△AB′P，∴AB′＝AB＝5，BP＝B′P，∵EB′＝3，∴B′F＝2，∴PF＝4－PB，∵在Rt△B′PF中，B′P2＝PF2＋FB′2，∴BP2＝(4－BP)2＋22，解得BP＝eq\f(5,2)；第5題解圖①②如解圖②，當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長線上時(shí)，過A，C分別作AD∥BC，CD∥AB兩線交于點(diǎn)D，則四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，過B′作B′F⊥BC于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)E，則AD⊥EF，∵點(diǎn)B′落在線段BC的垂直平分線上，∴AE＝BF＝eq\f(1,2)BC＝4，∵將△ABP沿