專題02 勾股定理的經(jīng)典實際應(yīng)用(五大題型)(解析版)_第1頁
專題02 勾股定理的經(jīng)典實際應(yīng)用(五大題型)(解析版)_第2頁
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專題02勾股定理的經(jīng)典實際應(yīng)用(五大題型)重難點題型歸納【題型1梯子滑落問題】【題型2樹枝旗子折斷問題】【題型3航海是否有影響問題】【題型4風(fēng)吹荷花問題】【題型5垂美四邊形問題】(1)構(gòu)造直角三角形解決問題;(2)垂美四邊形【定義】對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.【結(jié)論】如圖,四邊形ABCD的對角線AC⊥BD,則①AB2+CD2=AD2+BC2.②S四ABCD=AC·BD【題型1梯子滑落問題】【典例1】(2023春?隨縣期末)如圖,一架長25米的梯子,斜靠在豎直的墻上,這時梯子底端離墻7米.(1)此時梯子頂端離地面多少米?(2)若梯子頂端下滑4米,那么梯子底端將向左滑動多少米?【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解:(1)∵AB=25米,BE=7米,梯子距離地面的高度AE==24米.答:此時梯子頂端離地面24米;(2)∵梯子下滑了4米,即梯子距離地面的高度CE=(24﹣4)=20米,∴BD+BE=DE===15,∴DB=15﹣7=8(米),即下端滑行了8米.答:梯子底端將向左滑動了8米.【變式1-1】(2023春?鄖陽區(qū)期末)如圖,某工人在兩墻AB,CD之間施工(兩墻與地面垂直),架了一架長為2.5m的梯子DE,此時梯子底端E距離墻角C點0.7m,由于E點沒有固定好,向后滑動到墻角B處,使梯子頂端D沿墻下滑了0.4m到F處,求梯子底端E向后滑動的距離BE的長.【答案】梯子底端E向后滑動的距離BE的長為0.8m.【解答】解:由題意得:∠DCE=90°,BF=DE=2.5m,CE=0.7m,DF=0.4m,在Rt△DCE中,由勾股定理得:DC===2.4(m),∴CF=DC﹣DF=2.4﹣0.4=2(m)在Rt△BCF中,由勾股定理得:BC===1.5(m),∴BE=BC﹣CE=1.5﹣0.7=0.8(m),答:梯子底端E向后滑動的距離BE的長為0.8m.【變式1-3】(2022秋?雁塔區(qū)校級期中)如圖,一架13米長的梯子AB斜靠在墻上,剛好梯頂A與地面的距離AO為12米.如果梯子底部水平滑動的距離BB′為3米,求梯頂下滑的距離AA′為多少米?【答案】梯頂下滑的距離AA′為(12﹣)米.【解答】解:在直角三角形AOB中,根據(jù)勾股定理,得:OB===5(米),根據(jù)題意,得:OB′=5+3=8(米),又∵梯子的長度不變,在Rt△A′OB′中,根據(jù)勾股定理,得:OA′==(米).則AA′=(12﹣)米,答:梯頂下滑的距離AA′為(12﹣)米.【變式1-4】(2023春?淮南期末)如圖,小巷左右兩側(cè)是豎直的墻,一架梯子斜靠在左墻時,梯子底端到左墻角的距離為0.7米,頂端距離地面2.4米.如果保持梯子底端位置不動,將梯子斜靠在右墻時,頂端距離地面2米.則小巷的寬度為()A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米【答案】C【解答】解:如圖,∠ACB=∠ACB=90°,CB=0.7m,AC=2.5m,DE=2m.在Rt△ABC中,AB===2.5(m).∵AB=BE,∴BE=2.5(m),∴BD===1.5(m),∴CD=CB+BD=0.7+1.5=2.2(m),即小巷的寬度為2.2米.故選:C.【變式1-5】(2023春?廬陽區(qū)校級期中)如圖,梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上,這時BO為7m.如果梯子的頂端A沿墻下滑4m,那么梯子底端B也外移8m,則梯子AB的長為()A.24 B.25 C.15 D.20【答案】B【解答】解:設(shè)AO=xm,依題意,得AC=4,BD=8,在Rt△AOB中,根據(jù)勾股定理AB2=AO2+OB2=x2+72在Rt△COD中,根據(jù)勾股定理CD2=CO2+OD2=(x﹣4)2+(7+8)2,x2+72=(x﹣4)2+(7+8)2,解得x=24,∴,故選:B.【變式1-6】(2022秋?黔江區(qū)期末)如圖,小巷左右兩側(cè)是豎直的墻,一架梯子斜靠在左墻時,梯子底端到左墻角的距離BC為0.7m,梯子頂端到地面的距離AC為2.4m.如果保持梯子底端位置不動,將梯子斜靠在右墻時,梯子頂端到地面的距離A'D為1.5m,則小巷的寬為()A.2.4m B.2m C.2.5m D.2.7m【答案】D【解答】解:在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB===2.5(m),∴A′B=AB=2.5米,在Rt△A′BD中,由勾股定理得:BD===2(m),∴CD=BC+BD=2+0.7=2.7(m),即小巷的寬為2.7米,故選:D.【題型2樹枝旗子折斷問題】【典例2-1】(2023春?鶴山市校級期中)在一棵樹的10米高的B處有兩只猴子.一只猴子爬下樹走到離樹20米的池塘的A處.另一只爬到樹頂D后直接躍到A處.距離以直線計算.如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等.則這棵樹高多少米?【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解:如圖,設(shè)樹的高度為x米,因兩只猴子所經(jīng)過的距離相等都為30米.由勾股定理得:x2+202=[30﹣(x﹣10)]2,解得x=15m.故這棵樹高15m【典例2-2】(2023春?南寧期中)如圖1,同學(xué)們想測量旗桿的高度.他們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面,并多出了一段,但這條繩子的長度未知.小明和小亮同學(xué)應(yīng)用勾股定理分別提出解決這個問題的方案如下:小明:①測量出繩子垂直落地后還剩余1.5米,如圖1;②把繩子拉直,繩子末端在地面上離旗桿底部6米,如圖2.小亮:先在旗桿底端的繩子上打了一個結(jié),然后舉起繩結(jié)拉到如圖3點D處.(1)請你按小明的方案求出旗桿的高度;(2)已知小亮舉起繩結(jié)離旗桿6.75米遠,此時繩結(jié)離地面多高??【答案】(1)11.25米;(2)2.25米.【解答】解:(1)如圖2,設(shè)旗桿的長度為x米,則繩子的長度為(x+1.5)米,在Rt△ABC中,由勾股定理得:x2+62=(x+1.5)2,解得:x=11.25,故旗桿的高度為11.25米;(2)由題可知,BD=BC=11.25米,DE=6.75米.在Rt△BDE中,由勾股定理得:BE2+6.752=11.252,解得:BE=9,∴EC=BC﹣BE=11.25﹣9=2.25(米),∴DF=EC=2.25米.故繩結(jié)離地面2.25米高.【變式2-1】(2023春?東港區(qū)校級期中)由于大風(fēng),山坡上的一棵樹甲被從A點處攔腰折斷,如圖所示,其樹頂端恰好落在另一棵樹乙的根部C處,已知AB=4米,BC=13米,兩棵樹的水平距離為12米,求這棵樹原來的高度.【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解:如圖所示:延長AB,過點C作CD⊥AB延長線于點D,由題意可得:BC=13m,DC=12m,故BD==5(m),即AD=9m,則AC===15(m),故AC+AB=15+4=19(m).答:這棵樹原來的高度是19米.【變式2-2】(2021秋?臨渭區(qū)期末)如圖,小旭放風(fēng)箏時,風(fēng)箏線斷了,風(fēng)箏掛在了樹上.他想知道風(fēng)箏距地面的高度.于是他先拉住風(fēng)箏線垂直到地面上,發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線多出1米,然后把風(fēng)箏線沿直線向后拉開5米,發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線末端剛好接觸地面(如圖為示意圖).請你幫小旭求出風(fēng)箏距離地面的高度AB.【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解:設(shè)AB=x,則AC=x+1,由圖可得,∠ABC=90°,BC=5,∴Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2,即x2+52=(x+1)2,解得x=12,答:風(fēng)箏距離地面的高度AB為12米.【變式2-3】(2022秋?常州期末)數(shù)學(xué)興趣小組要測量旗桿的高度,同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端A的繩子沿旗桿垂到地面時,測得多出部分BC的長為2m(如圖1),再將繩子拉直(如圖2),測得繩子末端的位置D到旗桿底部B的距離為6m,求旗桿AB的長.【答案】8m.【解答】解:設(shè)旗桿AB的長為xm.根據(jù)題意,得∠ABD=90°,BD=6m,AD=(x+2)m.在Rt△ABD中,∠ABD=90°,∴AB2+BD2=AD2.∴x2+62=(x+2)2.解方程,得x=8.答:旗桿AB的長為8m.【變式2-4】(2022秋?城關(guān)區(qū)期末)如圖所示,小剛想知道學(xué)校的旗桿有多高,他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了0.8m,當(dāng)他把繩子下端拉開4m后,發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面,小剛算了算就知道了旗桿的高度.你知道他是怎樣算出來的嗎?【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解:設(shè)旗桿高為xm,那么繩長為(x+0.8)m,由勾股定理得x2+42=(x+0.8)2,解得x=9.6.答:旗桿的高度為9.6m.【題型3航海是否有影響問題】【典例3-1】(2023春?黃岡期中)如圖所示,某港口位于東西方向的海岸線上.“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口,各自沿一固定方向航行,“遠航”號每小時航行16海里,“海天”號每小時航行12海里.它們離開港口小時后相距30海里.如果知道“遠航”號沿東北方向航行,能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎?【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解:根據(jù)題意,得PQ=16×1.5=24(海里),PR=12×1.5=18(海里),QR=30(海里),∵242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.由“遠航號”沿東北方向航行可知,∠QPS=45°,則∠SPR=45°,即“海天”號沿西北方向航行.【典例3-2】(2023春?邢臺期中)如圖,經(jīng)過A村和B村(將A,B村看成直線l上的點)的筆直公路1旁有一塊山地正在開發(fā),現(xiàn)需要在C處進行爆破.已知C處與A村的距離為900米,C處與B村的距離為1200米,且AC⊥BC.(1)求A,B兩村之間的距離;(2)為了安全起見,爆破點C周圍半徑750米范圍內(nèi)不得進入,在進行爆破時,公路AB段是否有危險而需要封鎖?如果需要,請計算需要封鎖的路段長度;如果不需要,請說明理由.【答案】(1)A,B兩村之間的距離為1500米;(2)AB段公路需要封鎖,需要封鎖的路段長度為420米.【解答】解:(1)在Rt△ABC中,AC=900米,BC=1200米,∴AB===1500(米).答:A,B兩村之間的距離為1500米;(2)公路AB有危險而需要封鎖.理由如下:如圖,過C作CD⊥AB于D.以點C為圓心,750米為半徑畫弧,交AB于點E,F(xiàn),連接CE,CF,∵S△ABC=AB?CD=BC?AC,∴CD===720(米).由于720米<750米,故有危險,因此AB段公路需要封鎖.∴EC=FC=750米,∴ED==210(米),故EF=420米,則需要封鎖的路段長度為420米.【變式3-1】(2023春?千山區(qū)期中)如圖,在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域,我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截,6分鐘后同時到達C處將其攔截.已知甲巡邏艇每小時航行120海里,乙巡邏艇每小時航行50海里,航向為北偏西23°.(1)求甲巡邏艇的航行方向;(2)成功攔截后,甲、乙兩艘巡邏艇同時沿原方向返回且速度不變,3分鐘后甲、乙兩艘巡邏艇相距多少海里?【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解:(1)由題意得:∠CBA=90°﹣23°=67°,AC=120×=12(海里),BC=50×=5(海里),∵AB=13(海里),∵AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,∵∠CBA=67°,∴∠CAB=23°,∴甲的航向為北偏東67°;(2)甲巡邏船航行3分鐘的路程為:120×=6(海里),乙巡邏船航行3分鐘的路程為:50×=2.5(海里),3分鐘后,甲乙兩巡邏船相距為:=6.5(海里).【變式3-2】(2023?灞橋區(qū)校級模擬)如圖,海中有一小島P,它的周圍12海里內(nèi)有暗礁,漁船跟蹤魚群由西向東航行,在M處測得小島P在北偏東60°方向上,航行16海里到N處,這時測得小島P在北偏東30°方向上.如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行,是否有觸礁危險,并說明理由.【答案】漁船不改變航線繼續(xù)向東航行,不會有觸礁危險,理由見解析.【解答】解:漁船不改變航線繼續(xù)向東航行,不會有觸礁危險,理由如下:過點P作PA⊥MN,交MN的延長線于點A,由題意得:∠PMA=90°﹣60°=30°,∠PNA=90°﹣30°=60°,∴∠APN=90°﹣∠PNA=30°,設(shè)AN=x海里,則PN=2x海里,∴AP===x(海里),AM=MN+AN=(16+x)海里,∵∠PMA=30°,∴PM=2AP=2x(海里),在Rt△MAP中,PM2=AP2+AM2,即(2x)2=(x)2+(x+16)2,解得:x1=8,x2=﹣4(不合題意,舍去);∴AP=x=8(海里),∵(8)2=192,122=144,∴8>12,∴漁船不改變航線繼續(xù)向東航行,不會有觸礁危險.【變式3-3】(2022春?天元區(qū)期中)某島C周圍4海里內(nèi)有暗礁,一輪船沿正東方向航行,在A處測得該島在東偏南15°處,繼續(xù)航行10海里到達B處,又測得該島位于東偏南30°處,若該船不改變航向,有無觸礁危險?【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解:作CD⊥AB于D,則Rt△BCD中,∵∠CBD=30°,∴BC=2CD.又∵∠CAB=15°,∴∠ACB=15°.∴AB=BC=10.∴CD=5>4.故該輪船沒有觸礁的危險.【變式3-4】(2021?黃州區(qū)校級自主招生)南海諸島自古以來都是中國的領(lǐng)土,4月12日,中央軍委在南海海域隆重舉行海上閱兵,軍委主席習(xí)近平登上長沙艦檢閱海軍艦艇編隊,包括遼寧號航母在內(nèi)的48艘艦艇參加了閱兵儀式.如圖,A、B是兩處海港,其中A在B東偏南30?方向千米處,遼寧號航母從海港A出發(fā),沿東偏北45?方向,以15千米/小時的速度勻速航行,兩小時后,長沙艦從海港B出發(fā),沿東偏北15?的方向勻速航行,兩艦恰好同時到達閱兵地點C.(1)長沙艦從海港出發(fā)航行到達閱兵地點用了多少時間?(2)求長沙艦的航行速度.(結(jié)果保留根號)【答案】(1)2;(2)(15+15)千米/小時.【解答】解:(1)由題意得:AB=30千米,∠ABC=30°+15°=45°,∠BAC=(90°﹣30°)+45°=105°,∴∠C=180°﹣45°﹣105°=30°,過點A作AD⊥BC,垂足為D,在Rt△ABD中,AD=BD=×30=30(千米),在Rt△ADC中,∠C=30°,∴AC=2AD=60,CD=AD=30(千米),∴BC=(30+30)千米,∴遼寧號航母從A到C的時間為60÷15=4(小時),則長沙艦從B到C所用時間為4﹣2=2(小時),答:長沙艦從海港出發(fā)航行到達閱兵地點用了2小時.(2)長沙艦的速度為(30+30)÷2=(15+15)千米/小時,答:長沙艦的航行速度為(15+15)千米/小時.【變式3-5】(2023春?青陽縣期末)在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開發(fā),現(xiàn)有一C處需要爆破,已知點C與公路上的??空続的距離為300米,與公路上另一??空綛的距離為400米,且CA⊥CB,如圖,為了安全起見,爆破點C周圍半徑250米范圍內(nèi)不得進入,問在進行爆破時,公路AB段是否有危險,是否而需要暫時封鎖?請通過計算進行說明.【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解:如圖,過C作CD⊥AB于D,∵BC=400米,AC=300米,∠ACB=90°,∴根據(jù)勾股定理得AB=500米,∵AB?CD=BC?AC,∴CD=240米.∵240米<250米,故有危險,因此AB段公路需要暫時封鎖.【變式3-6】(2022春?大方縣期中)如圖第4號臺風(fēng)“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省紹興市境內(nèi)的B處,最大風(fēng)力有9級(23m/s),中心最低氣壓為990百帕,臺風(fēng)中心沿大約東北(BC)方向以25km/h的速度向D移動在距離B地250km的正北方有一A地,已知A地到BC的距離AD=70km,那么臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點?如果在距臺風(fēng)中心70km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風(fēng)破壞的危險,正在D點休閑的游人在接到臺風(fēng)警報后的幾個小時內(nèi)撤離才可脫離危險?【答案】臺風(fēng)中心經(jīng)過9.6小時從B移動到D點;游人在6.8小時內(nèi)撤離才可脫離危險.【解答】解:在Rt△ABD中,根據(jù)勾股定理,得BD===240(km),∴240÷25=9.6(小時),則臺風(fēng)中心經(jīng)過9.6小時從B移動到D點;如圖,∵距臺風(fēng)中心70km的圓形區(qū)域內(nèi)都會受到不同程度的影響,∴人們要在臺風(fēng)中心到達E點之前撤離,∵BE=BD﹣DE=240﹣70=170(km),∴170÷25=6.8(小時),答:游人在6.8小時內(nèi)撤離才可脫離危險.【題型4風(fēng)吹荷花問題】【典例4】(2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末)如圖,水池中離岸邊D點4米的C處,直立長著一根蘆葦,出水部分BC的長是2米,把蘆葦拉到岸邊,它的頂端B恰好落到D點,則水池的深度AC為多少米.【答案】3米.【解答】解:設(shè)水池的深度為x米,由題意得:x2+42=(x+2)2,解得:x=3.答:水池的深度為3米.【變式4-1】(2022秋?朝陽區(qū)期末)如圖,一支鉛筆放在圓柱體筆筒中,筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm,內(nèi)壁高12cm.若這支鉛筆長為18cm,則這只鉛筆在筆筒外面部分長度不可能的是()A.3cm B.5cm C.6cm D.8cm【答案】D【解答】解:根據(jù)題意可得圖形:AB=12cm,BC=9cm,在Rt△ABC中:AC===15(cm),所以18﹣15=3(cm),18﹣12=6(cm).則這只鉛筆在筆筒外面部分長度在3cm~6cm之間.觀察選項,只有選項D符合題意.故選:D.【變式4-2】(2022秋?興平市期末)在平靜的湖面上,有一朵荷花高出水面半尺,忽然一陣強風(fēng)吹來把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面.花在水平方向上離開原來的位置2尺遠,則這個湖的水深是3.75尺.【答案】3.75.【解答】解:若設(shè)湖水的深度x尺.則荷花的長是(x+0.5)米.在直角三角形中,根據(jù)勾股定理,得:(x+0.5)2=x2+22,解之得:x=3.75,∴湖水的深度為3.75尺.故答案為:3.75.【變式4-3】(2023春?新化縣期末)如圖,有一架秋千,當(dāng)它靜止時,踏板離地的垂直高度DE=1m,將它往前推送4m(水平距離BC=4m)時,秋千的踏板離地的垂直高度BF=2m,秋千的繩索始終拉得很直,求繩索AD的長度.【答案】8.5m.【解答】解:在Rt△ACB中,AC2+BC2=AB2,設(shè)秋千的繩索長為xm,則AC=(x﹣1)m,故x2=42+(x﹣1)2,解得:x=8.5,答:繩索AD的長度是8.5m.【題型5垂美四邊形問題】【典例5】(2022春?潁上縣校級期末)我們定義:對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.(1)如圖1,垂美四邊形ABCD的對角線AC,BD交于O.求證:AB2+CD2=AD2+BC2;(2)如圖2,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接BE,CG,GE.①求證:四邊形BCGE是垂美四邊形;②若AC=4,AB=5,求GE的長.【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】(1)證明:∵垂美四邊形ABCD的對角線AC,BD交于O,∴AC⊥BD,∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,由勾股定理得:AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,∴AD2+BC2=AB2+CD2;(2)①證明:連接BG、CE相交于點N,CE交AB于點M,如圖2所示:∵正方形ACFG和正方形ABDE,∴AG=AC,AB=AE,∠CAG=∠BAE=90°,∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE,在△GAB和△CAE中,,∴△GAB≌△CAE(SAS),∴∠ABG=∠AEC,∵∠AEC+∠AME=90°,∴∠ABG+∠AME=90°,∴∠ABG+∠BMN=90°,即CE⊥BG,∴四邊形BCGE是垂美四邊形;②解:∵四邊形BCGE是垂美四邊形,∴由(1

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