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第一講不等式和絕對值不等式2、基本不等式及其應(yīng)用a2+b2≥2ab一、重要不等式:文字語言:兩個數(shù)的平方和不小于它們積的2倍
(當且僅當a=b時,取“=”號)一般地,對于任意實數(shù)a,b,我們有
當且僅當a=b時,等號成立。
兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。二、定理2(基本不等式)如果a,b>0,那么如果a,b都是正數(shù),我們就稱為a,b的算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)這樣,基本不等式可以表述為:注意:1、重要不等式與基本不等式有什么區(qū)別與聯(lián)系?基本不等式可以看作是重要不等式的變形,但它們的前提條件不同。重要不等式中a,b屬于全體實數(shù),而基本不等式中a,b均為大于0的實數(shù)。2、重要不等式與基本不等式的幾個推廣公式:(當且僅當a=b時,取“=”號)算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)平方平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)例2:若,則()(1)(2)(3)B例1:設(shè)a>0,b>0,給出下列不等式其中成立的是
等號能成立的是
。(1)(2)(3)(4)題型一:利用基本不等式判斷代數(shù)式的大小關(guān)系題型二:解決最大(?。┲祮栴}(1)一正:各項均為正數(shù)(2)二定:兩個正數(shù)積為定值,和有最小值。兩個正數(shù)和為定值,積有最大值。(3)三相等:求最值時一定要考慮不等式是否能取“=”。結(jié)論:利用求最值時要注意下面三條:積定,和最小和定,積最大2、已知則xy的最大值是
。1、當x>0時,的最小值為
,此時x=
。21
3、若實數(shù),且,則的最小值是()
A、10B、C、D、D練習(xí):例4、求函數(shù)的最小值題型三:構(gòu)造積為定值,利用基本不等式求最值例5、求函數(shù)的最小值例6、已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1,求的最小值例7、求函數(shù)的值域題型四:利用基本不等式證明不等式三個正數(shù)算數(shù)——幾何平均不等式一、知識掃描:上述推導(dǎo)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中由一般到特殊的思想問題1
基本不等式給出了兩個正數(shù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系,這個不等式能否推廣呢?例如,對于3個正數(shù),會有怎樣的不等式成立呢?類比思想應(yīng)用問題2問題2語言表述:三個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均。1.從代數(shù)結(jié)構(gòu)(數(shù)運算角度):和與積的相互轉(zhuǎn)化,可用于含和積不等式的證明。2.積定和最小,和定積最大,可用于最值求解。在求最值時仍然應(yīng)該注意條件:一正,二定,三相等,缺一不可3.推廣
≥
當且僅當a1=a2=…=an時,等號成立.一、用基本不等式證明不等式例2:解:構(gòu)造三個數(shù)相加等于定值.一、用基本不等式求最值(2)求函數(shù)的最小值.下面甲、乙、丙三為同學(xué)解法誰對?試說明理由甲:由知,則
(錯解原因是等號取不到)(錯解原因是不滿足積定)丙:構(gòu)造三個數(shù)相乘等于定值.小結(jié):利用三個正實數(shù)的基本不等式求最值時注意:2、不能直接利用定理時,注意拆項、配項湊定值的技巧1、一正、二定、三相等;缺一不可(拆項時常拆成兩個相同項)。A、6
B、C、9
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