大題考法精研(四)-定值問題

大題考法精研(四)——定值問題定值問題，其本質(zhì)為求值，求值過程中含有參數(shù)，利用等量代換、約分等，使得代數(shù)式計(jì)算結(jié)果不含參數(shù)，為一個(gè)常量．也可以賦予參數(shù)特殊值，先得到定值，再進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證．(1)求橢圓E的方程；(2)點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)P(－2,2)，并且與橢圓E交于M，N，直線BM與直線OP交于點(diǎn)T，設(shè)直線AT，AN的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值．[內(nèi)化基本解題思維]直線與圓錐曲線綜合應(yīng)用中的定值問題的求解，基本思路如下：(1)設(shè)出直線方程，與曲線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于x或y的一元二次方程的形式；(2)利用Δ>0求得變量的取值范圍，得到根與系數(shù)的關(guān)系；(3)利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出所求量；(4)化簡整理可得定值.[演進(jìn)題1]已知E(2,2)是拋物線C：y2＝2px上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)(2,0)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)E)，直線EA，EB分別交直線x＝－2于點(diǎn)M，N.(1)求拋物線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知O為原點(diǎn)，求證：∠MON為定值．逐級演進(jìn)·練清悟通(2)證明：如圖．設(shè)直線l方程為x＝my＋2.整理得y2－2my－4＝0，Δ＝4m2＋16>0恒成立．則y1y2＝－4，y1＋y2＝2m.思維變通升華設(shè)出直線的方程聯(lián)立拋物線的方程，表示出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，別為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1,0)，點(diǎn)P是C上任意一點(diǎn)，且|PF1|的最大值為3.(1)求C的方程；(2)設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，A，B兩點(diǎn)在橢圓C上，且OA⊥OB，證明：[規(guī)范解答]

(1)依題意c＝1.由|PF1|的最大值為3，即a＋c＝3，則a＝2，b2＝3，(2)證明：當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2).所以x1x2＋y1y2＝0，即x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)A(x1，y1)，則有kOA＝±1，不妨設(shè)kOA＝1，則x1＝y(tǒng)1，思維變通升華本題第(2)問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法，設(shè)直線AB：y＝kx＋m，再將其與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系式，利用OA⊥OB，從而找到k，m之間的等式，最后利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合k，m的(2)由雙曲線的對稱性不妨設(shè)M在第一象限，設(shè)M(x0，y0)，F(xiàn)1(－2,0)，F(xiàn)2