小題基準(zhǔn)考法(一)-空間幾何體的表面積及體積

悉高考(1)從近三年新高考試題來看，立體幾何一般以“2小1大”或“3小1大”的情況出現(xiàn)，難度中等，小題有時(shí)會(huì)出現(xiàn)在壓軸題的位置.(2)小題常考點(diǎn)：①空間幾何體的表面積、體積的計(jì)算，有時(shí)和數(shù)學(xué)文化、新情境交匯命題，特別要注意的是球的組合體問題，常作為小題的壓軸題出現(xiàn)，難度較大.②空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系的判定，或空間角的計(jì)算.(3)在高考中，解答題常以棱柱或棱錐為載體，一般設(shè)置兩問，一問是定性分析，一問是定量分析.其中定性分析以線面平行、垂直的證明為主，定量分析主要是應(yīng)用空間向量求線面角、二面角.第三板塊空間幾何體

小題基準(zhǔn)考法(一)——空間幾何體的表面積及體積12目錄3命題點(diǎn)一

空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征命題點(diǎn)二空間幾何體的表面積與側(cè)面積命題點(diǎn)三空間幾何體的體積4命題點(diǎn)四球的切接問題命題點(diǎn)一

空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征答案：B

2.(2020·全國卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為

(

)答案：C

解析：設(shè)正四棱錐的高為h，底面正方形的邊長為2a，斜高為m.3．(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)[多選]下列物體中，能夠被整體放入棱長為1(單位：m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計(jì))內(nèi)的有

(

)A．直徑為0.99m的球體B．所有棱長均為1.4m的四面體C．底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體D．底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體答案：ABD[素養(yǎng)評價(jià)]1．設(shè)有三個(gè)命題：甲：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；乙：底面是矩形的平行六面體是長方體；丙：直四棱柱是平行六面體．以上命題中真命題的個(gè)數(shù)為(

)A．0 B．1C．2 D．3答案：B

解析：由平行六面體的定義可得底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體，命題甲正確；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱不一定垂直于底面，故該幾何體不一定為長方體，命題乙錯(cuò)誤；直四棱柱的底面不一定為平行四邊形，故直四棱柱不一定是平行六面體，命題丙錯(cuò)誤．正確的命題只有1個(gè)．答案：AD

解析：如圖，借助于正方體模型，圖1中三棱錐D－ABC的四個(gè)面都是直角三角形，其直度為1，A正確；四棱錐共有5個(gè)面，底面為四邊形，故其直度不可能為1，C錯(cuò)誤；答案：3.6答案：13π解析：根據(jù)題意，設(shè)蝸牛從圓柱底部M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面爬行4圈到達(dá)頂部的N點(diǎn)，則沿MN將側(cè)面展開后，最短路程，如圖所示，其中矩形的寬等于圓柱的高5π(cm)，[一站補(bǔ)給]知識的“盲點(diǎn)”圓錐、圓柱的側(cè)面展開圖分別為扇形和矩形，底面周長分別為扇形的弧長、矩形的一邊長，據(jù)此建立圓錐、圓柱基本量的聯(lián)系解決問題方法的“疑點(diǎn)”解決多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上與長度有關(guān)的最值問題時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化法，即將表面展開化為平面圖形，通過“化折為直”或“化曲為直”來解決，注意展開前后哪些幾何量發(fā)生變化，哪些不變[一練而過]1.如圖，將一個(gè)圓柱2n(n∈N*)等分切割，再將其重新組合成一個(gè)與圓柱等底等高的幾何體，n越大，重新組合成的幾何體就越接近一個(gè)“長方體”．若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10，則圓柱的側(cè)面積為

(

)A．10π B．20πC．10nπ D．18π答案：A

命題點(diǎn)二空間幾何體的表面積與側(cè)面積解析：顯然新幾何體的表面積比原幾何體的表面積多了原幾何體的軸截面面積，設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則2rh＝10，所以圓柱的側(cè)面積為2πrh＝10π.答案：C

3.已知點(diǎn)M，N在圓錐SO的底面圓周上，S為圓錐頂點(diǎn)，O為圓錐的底面中心，且△SMN的面積為4，∠MSN＝30°，若SM與底面所成的角為60°,則圓錐SO的表面積為(

)A．8π B．12πC．10π D．16π答案：B

答案：C

[一站補(bǔ)給]知識的“盲點(diǎn)”圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)，需將曲面展開成平面圖形來計(jì)算方法的“疑點(diǎn)”(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應(yīng)用，并弄清底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系．(2)組合體的表面積注意銜接部分的處理思想的“高點(diǎn)”表面積與側(cè)面積的計(jì)算常常轉(zhuǎn)化為平面圖形面積的計(jì)算，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想[真題導(dǎo)向]1．(2022·新課標(biāo)Ⅰ卷)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫．已知該水庫水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái),則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水命題點(diǎn)三空間幾何體的體積A．1.0×109m3

B．1.2×109m3C．1.4×109m3

D．1.6×109m3答案：C

2．(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)[多選]已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°，PA＝2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P－AC－O為45°，則

(

)A．該圓錐的體積為π答案：AC

3．(2022·新課標(biāo)Ⅱ卷)[多選]如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB＝ED＝2FB.記三棱錐E-ACD，F(xiàn)-ABC，F(xiàn)-ACE的體積分別為V1，V2，V3，則

(

)A．V3＝2V2

B．V3＝V1C．V3＝V1＋V2

D．2V3＝3V1答案：CD

[素養(yǎng)評價(jià)]1.(2023·青島一模)龍洗，是我國著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍紋故稱龍洗，為古代皇宮盥洗用具，其盆體可以近似看作一個(gè)圓臺(tái)．現(xiàn)有一龍洗盆高15cm，盆口直徑40cm，盆底直徑20cm.現(xiàn)往盆內(nèi)倒入水，當(dāng)水深6cm時(shí)，盆內(nèi)水的體積近似為

(

)A．1824cm3

B．2739cm3C．3618cm3

D．4512cm3答案：B

解析：如圖所示，畫出圓臺(tái)的立體圖形和軸截面的平面圖形，并延長EC與FD交于點(diǎn)G.根據(jù)題意，AB＝20cm，CD＝10cm，AC＝15cm，EC＝6cm，設(shè)CG＝xcm，EF＝y(tǒng)cm，2．正多面體共有5種，統(tǒng)稱為柏拉圖體，它們分別是正四面體、正六面體(即正方體)、正八面體、正十二面體、正二十面體．若連接某正方體的相鄰面的中心，就可以得到一個(gè)正八面體，已知該正八面體的體積為36，則生成它的正方體的棱長為

(

)A．8 B．6C．4 D．3答案：B

3.(2023·天津三模)某同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面ABCD是邊長為2的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均為正三角形，且它們所在的平面都與平面ABCD垂直，則該包裝盒的容積為

(

)

答案：A

答案：D

[一站補(bǔ)給]方法的“疑點(diǎn)”(1)對于底面或高不易求的空間幾何體，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法；(2)既然棱(圓)臺(tái)是由棱(圓)錐定義，那么在解決棱(圓)臺(tái)問題時(shí)，要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略思維的“難點(diǎn)”對于不規(guī)則的幾何體的體積，常常分割成規(guī)則的幾何體或者補(bǔ)成規(guī)則的幾何體[典例導(dǎo)析]完備知能(1)內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等．(2)正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合．(3)正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合．命題點(diǎn)四球的切接問題[例1]

(2023·全國乙卷)已知點(diǎn)S，A，B，C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長為3的等邊三角形，SA⊥平面ABC，則SA＝________.[答案]

2[例2]已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________．[解析]易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，其中BC＝2，AB＝AC＝3，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)．[思維建模]1．多面體的外接球的求解策略涉及球與棱柱、棱錐的問題時(shí)，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，確定球心的位置，弄清球的半徑(或直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．2．處理球的“切”問題的求解策略與球有關(guān)的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切于多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決．如果內(nèi)切于多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過球心的對角面來作．[針對訓(xùn)練]1．(2023·聊城統(tǒng)考二模)某正四棱臺(tái)形狀的模型，其上、下底面的面積分別為2cm2，8cm2，若該模型的體積為14cm3，則該模型的外接球的表面積為

(

)A．20πcm2

B．10πcm2答案：A

故該模型的外接球的球心在MN上，設(shè)為點(diǎn)O，連接ME，NA，OE，OA，故EM＝1cm，NA＝2cm，設(shè)ON＝y(tǒng)cm，則MO＝(3－y)cm，由勾股定理得EO2＝OM2＋EM2＝