高三數(shù)學 復習試題30 等比數(shù)列及其前n項和理（含解析）

30等比數(shù)列及其前n項和導學目標：1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.4.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應的問題．自主梳理1．等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的________，通常用字母________表示(q≠0)．2．等比數(shù)列的通項公式設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則它的通項an＝______________.3．等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．4．等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an＝am·________(n，m∈N*)．(2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則__________________________．(3)若{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比數(shù)列．(4)單調(diào)性：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0,0<q<1))?{an}是________數(shù)列；eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0,q>1))?{an}是________數(shù)列；q＝1?{an}是____數(shù)列；q<0?{an}是________數(shù)列．5．等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，其前n項和為Sn，當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1qn－1,q－1)＝eq\f(a1qn,q－1)－eq\f(a1,q－1).6．等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為______．自我檢測1．“b＝eq\r(ac)”是“a、b、c成等比數(shù)列”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n－a，數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則實數(shù)a的值是()A．3 B．1 C．0 3．(2011·溫州月考)設f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1(n∈N*)，則f(n)等于()A.eq\f(2,7)(8n－1) B.eq\f(2,7)(8n＋1－1)C.eq\f(2,7)(8n＋2－1) D.eq\f(2,7)(8n＋3－1)4．(2011·湖南長郡中學月考)已知等比數(shù)列{an}的前三項依次為a－2，a＋2，a＋8，則an等于()A．8·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n B．8·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))nC．8·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1 D．8·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－15．設{an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項在集合{－53，－23,19,37,82}中，則6q＝________.探究點一等比數(shù)列的基本量運算例1已知正項等比數(shù)列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求數(shù)列{a變式遷移1在等比數(shù)列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，Sn＝126，求n和q.探究點二等比數(shù)列的判定例2(2011·岳陽月考)已知數(shù)列{an}的首項a1＝5，前n項和為Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*.(1)證明數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；(2)求{an}的通項公式以及Sn.變式遷移2設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N(1)求a2，a3的值；(2)求證：數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列．探究點三等比數(shù)列性質(zhì)的應用例3(2011·湛江月考)在等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝8，且eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a4)＋eq\f(1,a5)＝2，求a3.變式遷移3(1)已知等比數(shù)列{an}中，有a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，求b5＋b(2)在等比數(shù)列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a分類討論思想與整體思想的應用例(12分)設首項為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為80，它的前2n項和為6560，且前n項中數(shù)值最大的項為54，求此數(shù)列的第2n項．【答題模板】解設數(shù)列{an}的公比為q，若q＝1，則Sn＝na1，S2n＝2na1＝2Sn.∵S2n＝6560≠2Sn＝160，∴q≠1，[2分]由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝80，①,\f(a11－q2n,1－q)＝6560.②))[4分]將①整體代入②得80(1＋qn)＝6560，∴qn＝81.[6分]將qn＝81代入①得a1(1－81)＝80(1－q)，∴a1＝q－1，由a1>0，得q>1，∴數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．[8分]∴an＝a1qn－1＝eq\f(a1,q)·qn＝81·eq\f(a1,q)＝54.∴eq\f(a1,q)＝eq\f(2,3).[10分]與a1＝q－1聯(lián)立可得a1＝2，q＝3，∴a2n＝2×32n－1(n∈N*)．[12分]【突破思維障礙】(1)分類討論的思想：①利用等比數(shù)列前n項和公式時要分公比q＝1和q≠1兩種情況討論；②研究等比數(shù)列的單調(diào)性時應進行討論：當a1>0，q>1或a1<0,0<q<1時為遞增數(shù)列；當a1<0，q>1或a1>0,0<q<1時為遞減數(shù)列；當q<0時為擺動數(shù)列；當q＝1時為常數(shù)列．(2)函數(shù)的思想：等比數(shù)列的通項公式an＝a1qn－1＝eq\f(a1,q)·qn(q>0且q≠1)常和指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系．(3)整體思想：應用等比數(shù)列前n項和時，常把qn，eq\f(a1,1－q)當成整體求解．本題條件前n項中數(shù)值最大的項為54的利用是解決本題的關(guān)鍵，同時將qn和eq\f(a11－qn,1－q)的值整體代入求解，簡化了運算，體現(xiàn)了整體代換的思想，在解決有關(guān)數(shù)列求和的題目時應靈活運用．1．等比數(shù)列的通項公式、前n項公式分別為an＝a1qn－1，Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))2．等比數(shù)列的判定方法：(1)定義法：即證明eq\f(an＋1,an)＝q(q≠0，n∈N*)(q是與n值無關(guān)的常數(shù))．(2)中項法：證明一個數(shù)列滿足aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*且an·an＋1·an＋2≠0)．3．等比數(shù)列的性質(zhì)：(1)an＝am·qn－m(n，m∈N*)；(2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an；(3)設公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.4．在利用等比數(shù)列前n項和公式時，一定要對公比q＝1或q≠1作出判斷；計算過程中要注意整體代入的思想方法．5．等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系是：(1)若一個數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則此數(shù)列是非零常數(shù)列；(2)若{an}是等比數(shù)列，且an>0，則{lgan}構(gòu)成等差數(shù)列．(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．(2010·遼寧)設{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項和．已知a2a4＝1，S3＝7，則S5等于A.eq\f(15,2) B.eq\f(31,4) C.eq\f(33,4) D.eq\f(17,2)2．(2010·浙江)設Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，8a2＋a5＝0，則eq\f(S5,S2)等于()A．－11 B．－8 C．5 3．在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1＝3，前三項的和S3＝21，則a3＋a4＋a5等于()A．33 B．72 C．84 4．等比數(shù)列{an}前n項的積為Tn，若a3a6a18是一個確定的常數(shù)，那么數(shù)列T10，T13，T17，T25A．T10 B．T13 C．T17 D．T5．(2011·佛山模擬)記等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝2，S6＝18，則eq\f(S10,S5)等于()A．－3 B．5 C．－31 題號12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6．設{an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1＝1，a5＝16，則數(shù)列{an}前7項的和為________．7．(2011·平頂山月考)在等比數(shù)列{an}中，公比q＝2，前99項的和S99＝30，則a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.8．(2010·福建)在等比數(shù)列{an}中，若公比q＝4，且前3項之和等于21，則該數(shù)列的通項公式an＝________.三、解答題(共38分)9．(12分)(2010·陜西)已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項；(2)求數(shù)列{2an}的前n項和Sn.10．(12分)(2011·廊坊模擬)已知數(shù)列{log2(an－1)}為等差數(shù)列，且a1＝3，a2＝5.(1)求證：數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列；(2)求eq\f(1,a2－a1)＋eq\f(1,a3－a2)＋…＋eq\f(1,an＋1－an)的值．11．(14分)已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝1，公差d>0，且第2項、第5項、第14項分別是等比數(shù)列{bn}的第2項、第3項、第4項．(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；(2)設數(shù)列{cn}對n∈N*均有eq\f(c1,b1)＋eq\f(c2,b2)＋…＋eq\f(cn,bn)＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2010.答案自主梳理1．公比q2.a1·qn－14.(1)qn－m(2)ak·al＝am·an(4)遞增遞減常擺動6.qn自我檢測1．D2.B3.B4.C5.－9課堂活動區(qū)例1解題導引(1)在等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中共有a1，an，q，n，Sn五個量，知道其中任意三個量，都可以求出其余兩個量．解題時，將已知條件轉(zhuǎn)化為基本量間的關(guān)系，然后利用方程組的思想求解；(2)本例可將所有項都用a1和q表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和q的方程組求解；也可利用等比數(shù)列的性質(zhì)來轉(zhuǎn)化，兩種方法目的都是消元轉(zhuǎn)化．解方法一由已知得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a\o\al(2,1)q4＋2a\o\al(2,1)q6＋a\o\al(2,1)q8＝100，,a\o\al(2,1)q4－2a\o\al(2,1)q6＋a\o\al(2,1)q8＝36.))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①,,②))①－②，得4aeq\o\al(2,1)q6＝64，∴aeq\o\al(2,1)q6＝16.③代入①，得eq\f(16,q2)＋2×16＋16q2＝100.解得q2＝4或q2＝eq\f(1,4).又數(shù)列{an}為正項數(shù)列，∴q＝2或eq\f(1,2).當q＝2時，可得a1＝eq\f(1,2)，∴an＝eq\f(1,2)×2n－1＝2n－2，Sn＝eq\f(\f(1,2)(1－2n),1－2)＝2n－1－eq\f(1,2)；當q＝eq\f(1,2)時，可得a1＝32.∴an＝32×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝26－n.Sn＝eq\f(32\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))＝64－26－n.方法二∵a1a5＝a2a4＝aeq\o\al(2,3)，a2a6＝a3a5，a3a7＝a4a6＝aeq\o\al(2,5)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，,a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a\o\al(2,3)＋2a3a5＋a\o\al(2,5)＝100，,a\o\al(2,3)－2a3a5＋a\o\al(2,5)＝36，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((a3＋a5)2＝100，,(a3－a5)2＝36.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＋a5＝10，,a3－a5＝±6.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝8，,a5＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝2，,a5＝8.))當a3＝8，a5＝2時，q2＝eq\f(a5,a3)＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).∵q>0，∴q＝eq\f(1,2)，由a3＝a1q2＝8，得a1＝32，∴an＝32×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝26－n.Sn＝eq\f(32－26－n×\f(1,2),1－\f(1,2))＝64－26－n.當a3＝2，a5＝8時，q2＝eq\f(8,2)＝4，且q>0，∴q＝2.由a3＝a1q2，得a1＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).∴an＝eq\f(1,2)×2n－1＝2n－2.Sn＝eq\f(\f(1,2)(2n－1),2－1)＝2n－1－eq\f(1,2).變式遷移1解由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2·an－1＝a1·an＝128，,a1＋an＝66，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝64，,an＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＝64.))若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝64，,an＝2，))則Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)＝eq\f(64－2q,1－q)＝126，解得q＝eq\f(1,2)，此時，an＝2＝64·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，∴n＝6.若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＝64，))則Sn＝eq\f(2－64q,1－q)＝126，∴q＝2.∴an＝64＝2·2n－1.∴n＝6.綜上n＝6，q＝2或eq\f(1,2).例2解題導引(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩個基本方法：①eq\f(an＋1,an)＝q(q為與n值無關(guān)的常數(shù))(n∈N*)．②aeq\o\al(2,n＋1)＝anan＋2(an≠0，n∈N*)．(2)證明數(shù)列不是等比數(shù)列，可以通過具體的三個連續(xù)項不成等比數(shù)列來證明，也可用反證法．(1)證明由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*，可得n≥2時，Sn＝2Sn－1＋n＋4，兩式相減得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1，從而an＋1＋1＝2(an＋1)，當n＝1時，S2＝2S1＋1＋5，所以a2＋a1＝2a1又a1＝5，所以a2＝11，從而a2＋1＝2(a1＋1)，故總有an＋1＋1＝2(an＋1)，n∈N*，又a1＝5，a1＋1≠0，從而eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝2，即數(shù)列{an＋1}是首項為6，公比為2的等比數(shù)列．(2)解由(1)得an＋1＝6·2n－1，所以an＝6·2n－1－1，于是Sn＝eq\f(6·(1－2n),1－2)－n＝6·2n－n－6.變式遷移2(1)解∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，∴當n＝1時，a當n＝2時，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2當n＝3時，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a∴a3＝8.(2)證明∵a1＋2a2＋3a3＋…＋＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①∴當n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．②①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴eq\f(Sn＋2,Sn－1＋2)＝2，故{Sn＋2}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列．例3解題導引在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運算量，提高解題速度．解由已知得eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a4)＋eq\f(1,a5)＝eq\f(a1＋a5,a1a5)＋eq\f(a2＋a4,a2a4)＋eq\f(a3,a\o\al(2,3))＝eq\f(a1＋a2＋a3＋a4＋a5,a\o\al(2,3))＝eq\f(8,a\o\al(2,3))＝2，∴aeq\o\al(2,3)＝4，∴a3＝±2.若a3＝－2，設數(shù)列的公比為q，則eq\f(－2,q2)＋eq\f(－2,q)－2－2q－2q2＝8，即eq\f(1,q2)＋eq\f(1,q)＋1＋q＋q2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,q)＋\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q＋\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)＝－4.此式顯然不成立，經(jīng)驗證，a3＝2符合題意，故a3＝2.變式遷移3解(1)∵a3a11＝aeq\o\al(2,7)＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∵{bn}為等差數(shù)列，∴b5＋b9＝2b7＝8.(2)a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝aeq\o\al(4,1)qa13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14＝aeq\o\al(4,1)·q54＝8.②②÷①：eq\f(a\o\al(4,1)·q54,a\o\al(4,1)·q6)＝q48＝8?q16＝2，又a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42＝aeq\o\al(4,1)·q166＝aeq\o\al(4,1)·q6·q160＝(aeq\o\al(4,1)·q6)·(q16)10＝1·210＝1024.課后練習區(qū)1．B[∵{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a2a4∴設{an}的公比為q，則q>0，且aeq\o\al(2,3)＝1，即a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝eq\f(1,q2)＋eq\f(1,q)＋1＝7，即6q2－q－1＝0.故q＝eq\f(1,2)或q＝－eq\f(1,3)(舍去)，∴a1＝eq\f(1,q2)＝4.∴S5＝eq\f(4(1－\f(1,25)),1－\f(1,2))＝8(1－eq\f(1,25))＝eq\f(31,4).]2．A[由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，所以q＝－2，則eq\f(S5,S2)＝eq\f(a1(1＋25),a1(1－22))＝－11.]3．C[由題可設等比數(shù)列的公比為q，則eq\f(3(1－q3),1－q)＝21?1＋q＋q2＝7?q2＋q－6＝0?(q＋3)(q－2)＝0，根據(jù)題意可知q>0，故q＝2.所以a3＋a4＋a5＝q2S3＝4×21＝84.]4．C[a3a6a18＝aeq\o\al(3,1)q2＋5＋17＝(a1q8)3＝aeq\o\al(3,9)，即a9為定值，所以下標和為9的倍數(shù)的積為定值，可知T17為定值．]5．D[因為等比數(shù)列{an}中有S3＝2，S6＝18，即eq\f(S6,S3)＝eq\f(\f(a1(1－q6),1－q),\f(a1(1－q3),1－q))＝1＋q3＝eq\f(18,2)＝9，故q＝2，從而eq\f(S10,S5)＝eq\f(\f(a1(1－q10),1－q),\f(a1(1－q5),1－q))＝1＋q5＝1＋25＝33.]6．127解析∵公比q4＝eq\f(a5,a1)＝16，且q>0，∴q＝2，∴S7＝eq\f(1－27,1－2)＝127.7.eq\f(120,7)解析∵S99＝30，即a1(299－1)＝30，∵數(shù)列a3，a6，a9，…，a99也成等比數(shù)列且公比為8，∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝eq\f(4a1(1－833),1－8)＝eq\f(4a1(299－1),7)＝eq\f(4,7)×30＝eq\f(120,7).8．4n－1解析∵等比數(shù)列{an}的前3項之和為21，公比q＝4，不妨設首項為a1，則a1＋a1q＋a1q2＝a1(1＋4＋16)＝21a1＝21，∴a1＝1，∴an＝1×4n－1＝4n－19．解(1)由題設知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比數(shù)列，得eq\f(1＋2d,1)＝eq\f(1＋8d,1＋2d)，…………(4分)解得d＝1或d＝0(舍去)．故{an}的通項an＝1＋(n－1)×1＝n.……………………(7分)(2)由(1)知2an＝2n，由等比數(shù)列前n項和公式，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝eq\f(2(1－2n),1－2)＝2n＋1－2.……………