專題2.20 軸對稱的最值問題（知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學年八年級數(shù)學上冊基礎知識專項突破講與練（蘇科版）

專題2.20軸對稱的最值問題（知識梳理與考點分類講解）【知識點一】垂直線段最短問題；【知識點二】將軍飲馬問題；【知識點三】造橋選址問題．【考點一】垂線段最短問題???動點所在的直線已知型方法技巧：一動點與一定點連成的線段中，若動點在定直線上，則垂線段最短．【例1】如圖，在銳角三角形中，，，的平分線交于點D，點M、N分別是和上的動點，則的最小值為（

）A． B． C．6 D．5【答案】D【分析】如下圖，先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，再根據(jù)兩點之間線段最短可得的最小值為，然后根據(jù)垂線段最短可得當時，取得最小值，最后利用三角形的面積公式即可得．解：如圖，在上取一點E，使，連接，是的平分線，，在和中，，，，，由兩點之間線段最短得：當點共線時，取最小值，最小值為，又由垂線段最短得：當時，取得最小值，，，解得，即的最小值為5，故選D．【點撥】本題考查了角平分線的定義、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、兩點之間線段最短、垂線段最短等知識點，正確找出取得最小值時的位置是解題關鍵．【舉一反三】【變式】如圖，在銳角中，，，平分，、分別是和上的動點，則的最小值是．【答案】【分析】根據(jù)題意畫出符合題意的圖形，作N關于AD的對稱點R，作AC邊上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根據(jù)垂線段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值.解：作N關于AD的對稱點R，作AC邊上的高BE（E在AC上）∵平分，△ABC是銳角三角形∴R必在AC上∵N關于AD的對稱點是R∴MN=MR∴BM+MN=BM+MR∴BM+MN=BR≥BE（垂線段最短）∵，∴=18∴BE=cm即BM+MN的最小值是cm.【點撥】本題考查了軸對稱——最短路徑問題.解答此類問題時要從已知條件結合圖形認真思考，通過角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最小值.【考點二】垂線段最短問題???動點所在的直線隱藏型方法技巧：一動點與一定點連成的線段中，若動點在定直線上，則垂線段最短．【例2】通過教材“13.4最短路徑問題”的學習，我們體會到軸對稱變換的作用．請你用軸對稱的有關知識解決下面的問題：如圖，為的中點，，，，，則的最大值是．

【答案】9.5【分析】作A關于的對稱點M，B關于的對稱點N，連接，，，，，利用軸對稱的性質(zhì)得出，，，，，，則可求出，，進而證明是等邊三角形，求出，由知，當D，M，N，E共線時，最大，然后代入數(shù)值即可求出最大值．【詳解】解：作A關于的對稱點M，B關于的對稱點N，連接，，，，，

則，，，，，，∵，∴，∴，∵為的中點，，，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，又，當D，M，N，E共線時，，∴的最大值為9.5．故答案為：9.5．【點撥】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，明確題意，添加合適的輔助線，找出所求問題需要的條件是解題的關鍵．【舉一反三】【變式】小華的作業(yè)中有一道題：“如圖，AC，BD在AB的同側，，，，點E為AB的中點．若，求CD的最大值．”哥哥看見了，提示他將和分別沿CE、DE翻折得到和，連接．最后小華求解正確，得到CD的最大值是．【答案】7【分析】根據(jù)對稱的性質(zhì)得到，結合點E是AB中點，可證明是等邊三角形，從而有，即可求出CD的最大值．解：∵，點E為AB的中點，∴，∵，∴，∵將和分別沿CE、DE翻折得到和，∴，，，，，，∴，，∴是等邊三角形，∴，∵∴當點C，點，點，點D四點共線時，CD有最大值，即，【點撥】本題考查了翻折的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)．【考點三】將軍飲馬問題???兩定一動型方法技巧：定點關于定直線對稱轉化為兩點之間線段最短求最值．【例3】如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，EF垂直平分線段BC，P是直線EF上的任意一點，則△ABP周長的最小值是．【答案】15【分析】如圖，連接PC．求出PA+PB的最小值可得結論．解：如圖，連接PC．∵EF垂直平分線段BC，∴PB=PC，∴PA+PB=PA+PC≥AC=9，∴PA+PB的最小值為9，∴△ABP的周長的最小值為6+9=15，故答案為：15．【點撥】本題考查了軸對稱——最短路線問題，線段垂直平分線的性質(zhì)，解決本題的關鍵是熟練掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)．【舉一反三】【變式】如圖，在中，，，的垂直平分線分別交，于點，，點是上的任意一點，則周長的最小值是cm．【答案】12【分析】當點與重合時，的周長最小，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，即可求出的周長．解：∵DE垂直平分AC，∴點C與A關于DE對稱，∴當點于重合時，即A、D、B三點在一條直線上時，BF+CF=AB最小，（如圖），∴的周長為：，∵是垂直平分線，∴，又∵，∴，∴，故答案為：12．【點撥】本題考查最短路徑問題以及線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，熟練掌握最短路徑的求解方法以及垂直平分線的性質(zhì)是解題的關鍵．【考點三】將軍飲馬問題???一定兩動型方法技巧：定點關于定直線對稱轉化為兩點之間線段最短求最值．【例4】如圖，是內(nèi)一定點，點，分別在邊，上運動，若，，則的周長的最小值為.【答案】3【分析】如圖，作P關于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．根據(jù)對稱的性質(zhì)可以證得：△COD是等邊三角形，據(jù)此即可求解．解：如圖，作P關于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．∵點P關于OA的對稱點為C，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵點P關于OB的對稱點為D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等邊三角形，∴CD=OC=OD=3．∴△PMN的周長的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．【點撥】此題主要考查軸對稱--最短路線問題，綜合運用了等邊三角形的知識．正確作出圖形，理解△PMN周長最小的條件是解題的關鍵．【舉一反三】【變式】如圖，點P是內(nèi)任意一點，，點M和點N分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是．【答案】【分析】分別作點P關于的對稱點C、D，連接，分別交于點M、N，連接，當點M、N在上時，的周長最?。猓悍謩e作點P關于的對稱點C、D，連接，分別交于點M、N，連接．∵點P關于的對稱點為C，關于的對稱點為D，∴；∵點P關于的對稱點為D，∴，∴，，∴是等邊三角形，∴．∴的周長的最小值．故答案為：．【點撥】本題主要考查最短路徑問題和等邊三角形的判定．作點P關于OA、OB的對稱點C、D是解題的關鍵所在．【知識點四】造橋選址問題．方法技巧：將分散的線段平移集中，再求最值．【例4】在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點P、Q為BC邊上的兩個動點（點P位于點Q的左側，P、Q均不與頂點重合），PQ＝2（1）如圖①，若點E為CD邊上的中點，當Q移動到BC邊上的中點時，求證：AP＝QE；（2）如圖②，若點E為CD邊上的中點，在PQ的移動過程中，若四邊形APQE的周長最小時，求BP的長；（3）如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個動點（M、N均不與頂點重合），當BP＝3，且四邊形PQNM的周長最小時，求此時四邊形PQNM的面積．【答案】(1）見解析；(2)4；(3)4【分析】（1）由“SAS”可證△ABP≌△QCE，可得AP=QE；（2）要使四邊形APQE的周長最小，由于AE與PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．為此，先在BC邊上確定點P、Q的位置，可在AD上截取線段AF=DE=2，作F點關于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，則此時AP+EQ=EG最小，然后過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點，那么先證明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的長度；（3）要使四邊形PQNM的周長最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作點P關于AD的對稱點F，作點Q關于CD的對稱點H，連接FH，交AD于M，交CD于N，連接PM，QN，此時四邊形PQNM的周長最小，由面積和差關系可求解．（1）解：證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=8，∵點E是CD的中點，點Q是BC的中點，∴BQ=CQ=4，CE=2，∴AB=CQ，∵PQ=2，∴BP=2，∴BP=CE，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP≌△QCE（SAS），∴AP=QE；（2）如圖②，在AD上截取線段AF=PQ=2，作F點關于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點．∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴∠CEQ=45°，設BP=x，則CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6-x=2，解得x=4，∴BP=4；（3）如圖③，作點P關于AD的對稱點F，作點Q關于CD的對稱點H，連接FH，交AD于M，交CD于N，連接PM，QN，此時四邊形PQNM的周長最小，連接FP交AD于T，∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，∴PF=8，PH=8，∴PF=