第08講二項分布與超幾何分布正態(tài)分布精講

第08講二項分布與超幾何分布、正態(tài)分布目錄TOC\o"12"\h\u第一部分：知識點必背 1第二部分：高考真題回歸 3第三部分：高頻考點一遍過 4高頻考點一：二項分布及其應用 4高頻考點二：超幾何分布及其應用 13高頻考點三：正態(tài)分布的概率計算 21高頻考點四：正態(tài)分布的實際應用 25第一部分：知識點必背知識點一：伯努利試驗與二項分布（1）重伯努利試驗的定義①我們把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗.②將一個伯努利試驗獨立地重復進行次所組成的隨機試驗稱為重伯努利試驗.（2）二項分布一般地，在重伯努利試驗中，設每次試驗中事件發(fā)生的概率為()，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，則的分布列為，.如果隨機變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量服從二項分布，記作．知識點二：兩點分布與二項分布的均值、方差若隨機變量服從兩點分布,則,.

若,則,.

知識點三：超幾何分布一般地，假設一批產(chǎn)品共有件，其中有件次品，從件產(chǎn)品中隨機抽取件(不放回)，用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則的分布列為，.其中，，，，．如果隨機變量的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量服從超幾何分布．知識點四：正態(tài)分布（1）正態(tài)分布定義：若隨機變量的概率密度函數(shù)為，(,其中，為參數(shù))，稱隨機變量服從正態(tài)分布，記為.（2）正態(tài)曲線的特點①曲線位于軸上方，與軸不相交；②曲線是單峰的，它關于直線對稱；③曲線在時達到峰值；④當時，曲線上升；當時，曲線下降.并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以軸為漸近線，向它無限靠近.⑤曲線與軸之間的面積為1；⑥決定曲線的位置和對稱性；當一定時，曲線的對稱軸位置由確定；如下圖所示，曲線隨著的變化而沿軸平移。⑦確定曲線的形狀；當一定時，曲線的形狀由確定。越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散。（3）正態(tài)分布的原則：正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間的概率值假設，可以證明：對給定的是一個只與有關的定值.特別地，，，.上述結果可用右圖表示.此看到，盡管正態(tài)變量的取值范圍是，但在一次試驗中，的值幾乎總是落在區(qū)間內，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027,通常認為這種情況幾乎不可能發(fā)生.在實際應用中，通常認為服從于正態(tài)分布的隨機變量只取中的值，這在統(tǒng)計學中稱為原則.第二部分：高考真題回歸1．（2022·全國新高考Ⅱ卷）已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則．【答案】/．【詳解】因為，所以，因此．故答案為：．2．（2023·全國·新高考Ⅰ卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設，依題可知，，則，即，構造等比數(shù)列，設，解得，則，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因為，，所以當時，，故．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：二項分布及其應用典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習）已知隨機變量，則概率最大時，的取值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【詳解】依題意，由，即，解得或.故選：C.例題2．（2023秋·江蘇常州·高三常州高級中學?？奸_學考試）設隨機變量，記，．在研究的最大值時，某學習小組發(fā)現(xiàn)并證明了如下正確結論：若為正整數(shù)，當時，，此時這兩項概率均為最大值；若不為正整數(shù)，則當且僅當取的整數(shù)部分時，取最大值．某同學重復投擲一枚質地均勻的骰子并實時記錄點數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù)．當投擲到第20次時，記錄到此時點數(shù)1出現(xiàn)4次，若繼續(xù)再進行80次投擲試驗，則在這100次投擲試驗中，點數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為的概率最大．【答案】17【詳解】繼續(xù)再進行80次投擲試驗，出現(xiàn)點數(shù)為1次數(shù)服從二項分布，由，結合題中結論可知，時概率最大，即后面80次中出現(xiàn)13次點數(shù)1的概率最大，加上前面20次中的4次，所以出現(xiàn)17次的概率最大.故答案為：17.例題3．（2023秋·四川成都·高三?？茧A段練習）某部門為了解某企業(yè)生產(chǎn)過程中的用水情況，對每天的用水量作了記錄，得到了大量該企業(yè)的日用水量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)．從這些統(tǒng)計數(shù)據(jù)中隨機抽取12天的數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖（單位：噸）．若用水量不低于95（噸），則稱這一天的用水量超標．(1)從這12天的數(shù)據(jù)中隨機抽取3個數(shù)據(jù)，求至多有1天是用水量超標的概率；(2)以這12天的樣本數(shù)據(jù)中用水量超標的頻率作為概率，估計該企業(yè)未來3天用水量超標的天數(shù)．記隨機變量表示未來3天用水量超標的天數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學期望為1【詳解】（1）記“從這12天的數(shù)據(jù)中隨機抽取3個數(shù)據(jù)，至多有1天用水量超標”為事件，則至多有1天是用水量超標的概率：．（2）以這12天的樣本數(shù)據(jù)中用水量超標的頻率為概率，其概率為，的可能取值為0，1，2，3，，，，．的分布列為：0123，．例題4．（2023秋·山西大同·高三校聯(lián)考階段練習）近日，某企業(yè)舉行“猜燈謎，鬧元宵”趣味競賽活動，每個員工從8道謎語中一次性抽出4道作答．小張有6道謎語能猜中，2道不能猜中；小王每道謎語能猜中的概率均為，且猜中每道謎語與否互不影響．(1)分別求小張，小王猜中謎語道數(shù)的分布列；(2)若預測小張猜中謎語的道數(shù)多于小王猜中謎語的道數(shù)，求的取值范圍．【答案】(1)分布列見解析(2)【詳解】（1）設小張猜中謎語的道數(shù)為，可知隨機變量服從超幾何分布，的取值分別為2，3，4．有，，，故小張猜中謎語道數(shù)的分布列為234設小王猜中謎語的道數(shù)為，可知隨機變量服從二項分布的取值分別為0，1，2，3，4，有，，，，．故小王猜中謎語道數(shù)的分布列為01234（2）由（1）可知，若預測小張猜中謎語的道數(shù)多于小王猜中謎語的道數(shù)，則，可得．例題5．（2023秋·重慶開州·高三重慶市開州中學?？茧A段練習）某學校為了提升學生學習數(shù)學的興趣，舉行了“趣味數(shù)學”闖關比賽，每輪比賽從10道題中任意抽取3道回答，每答對一道題積1分.已知小明同學能答對10道題中的6道題.(1)求小明同學在一輪比賽中所得積分的分布列和期望；(2)規(guī)定參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關成功，若參賽者每輪闖關成功的概率穩(wěn)定且每輪是否闖關成功相互獨立，問：小明同學在5輪闖關比賽中，需幾次闖關成功才能使得對應概率取值最大？【答案】(1)分布列見解析，(2)3次或4次【詳解】（1）由題知：可取0，1，2，3，則:，，，，故的分布列為：0123則的期望為：.（2）方法1、參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關成功，記概率為若小明同學在5輪闖關比賽中，記闖關成功的次數(shù)為，則.故所以的分布列為：012345故小明同學在5輪闖關比賽中，需3次或4次闖關成功才能使得對應概率取值最大.方法2、參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關成功，記概率為若小明同學在5輪闖關比賽中，記闖關成功的次數(shù)為，則故∴假設當時，對應概率取值最大，則解得，而故小明同學在5輪闖關比賽中，需3次或4次闖關成功才能使得對應概率取值最大.練透核心考點1．（2023春·河南周口·高二統(tǒng)考期中）某綜藝節(jié)目中，有一個盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方．為了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內隨機抽取了100名盲擰魔方愛好者進行調查，得到的情況如表所示：用時/秒男性人數(shù)1721139女性人數(shù)810166以這100名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率，每位盲擰魔方愛好者用時是否超過10秒相互獨立．若該興趣小組在全市范圍內再隨機抽取20名盲擰魔方愛好者進行測試，其中用時不超過10秒的人數(shù)最有可能（即概率最大）是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【詳解】根據(jù)題意得，1名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率為，設隨機抽取的20名盲擰魔方愛好者中用時不超過10秒的人數(shù)為，則，其中，時，；顯然，即不可能為最大值，當時，由得，化簡得，解得，又這20名盲擰魔方愛好者中用時不超過10秒的人數(shù)最有可能是5，故選：C．2．（2023·全國·高三專題練習）近年來，隨著智能的普及，網(wǎng)絡購物、直播帶貨、網(wǎng)上買菜等新業(yè)態(tài)迅速進入了我們的生活，改變了我們的生活方式現(xiàn)將一周網(wǎng)上買菜次數(shù)超過3次的市民認定為“喜歡網(wǎng)上買菜”，不超過3次甚至從不在網(wǎng)上買菜的市民認定為“不喜歡網(wǎng)上買菜”.某市社區(qū)為了解該社區(qū)市民網(wǎng)上買菜情況，隨機抽取了該社區(qū)100名市民，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：喜歡網(wǎng)上買菜不喜歡網(wǎng)上買菜合計年齡不超過45歲的市民401050年齡超過45歲的市民203050合計6040100參考公式：，其中.(1)是否有的把握認為社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關？(2)社區(qū)的市民張無忌周一、二均在網(wǎng)上買菜，且周一從，兩個買菜平臺隨機選擇其中一個下單買菜.如果周一選擇平臺買菜，那么周二選擇A平臺買菜的概率；如果周一選擇平臺買菜，那么周二選擇A平臺買菜的概率為，求張無忌周二選擇平臺買菜的概率；(3)用頻率估計概率，現(xiàn)從社區(qū)市民中隨機抽取20名市民，記其中喜歡網(wǎng)上買菜的市民人數(shù)為事件“”的概率為，求使取得最大值的的值.【答案】(1)有(2)(3)【詳解】（1）假設：社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡無關.由題意可得，，則假設不成立，所以有的把握認為社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關.（2）記事件：張無忌周一選擇平臺買菜；事件：張無忌周二選擇平臺買菜，則，，，由全概率公式可得，因此，張無忌周二選擇平臺買菜的概率為.（3）由題意可知，抽取的20名市民，喜歡網(wǎng)上買菜的市民人數(shù)服從二項分布，且喜歡上網(wǎng)買菜的頻率為，則，且，，設，，若，即，即，解得，若，即，即，解得或，所以當時，最大，故的值為.3．（2023·江蘇連云港·?？寄M預測）某活動現(xiàn)場設置了抽獎環(huán)節(jié)，在盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“敬業(yè)”或“愛國”圖案，抽獎規(guī)則：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張分別是“愛國”和“敬業(yè)”卡即可獲獎；否則，均為不獲獎．卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復進行．活動開始后，一位參加者問：“盒中有幾張“愛國”卡？”主持人答：“我只知道，從盒中抽取兩張都是“敬業(yè)”卡的概率是.”(1)求抽獎者獲獎的概率；(2)為了增加抽獎的趣味性，規(guī)定每個抽獎者先從裝有9張卡片的盒中隨機抽出1張不放回，再用剩下8張卡片按照之前的抽獎規(guī)則進行抽獎，現(xiàn)有甲、乙、丙三人依次抽獎，用X表示獲獎的人數(shù)，求X的分布列和均值．【答案】(1)(2)分布列見解析，【詳解】（1）設“敬業(yè)”卡有n張，由已知可得，解得，故“愛國”卡有5張，抽獎者獲獎的概率為.（2）若抽出的為“敬業(yè)”卡，則每個抽獎者獲獎的概率為，若抽出的為“愛國”卡，則每個抽獎者獲獎的概率為，所以，新規(guī)則下，每個抽獎者獲獎的概率為，所以，（，1，2，3），則X的分布列為X0123P所以.4．（2023春·湖南常德·高三常德市一中校考階段練習）一個袋子中裝有大小相同的球，其中有個黃球，個白球，從中隨機地摸出個球作為樣本，用表示樣本中黃球的個數(shù).(1)若采取不放回摸球，當，，，時，求的分布列；(2)若采取有放回摸球，當，，，時，用樣本中黃球的比例估計總體黃球的比例，求誤差不超過的概率(用分數(shù)表示).【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）對于不放回摸球，各次試驗的結果不獨立，服從超幾何分布，且，，則，，，則分布列為012（2）對于有放回摸球，各次試驗結果相互獨立，且每次摸到黃球的概率為，服從二項分布，即，且，，樣本中黃球的比例為一個隨機變量，用樣本中黃球的比例估計總體黃球的比例誤差不超過的概率.5．（2023·全國·高二課堂例題）如圖是一塊高爾頓板的示意圖．在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的號碼，求X的分布列.【答案】答案見解析【詳解】設“向右下落”，“向左下落”，則，因為小球最后落入格子的號碼等于事件發(fā)生的次數(shù)，而小球下落的過程中共碰撞小木釘10次，所以，的可能取值為0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，所以，，，，，，，，，，，所以的分布列為：012345678910高頻考點二：超幾何分布及其應用典型例題例題1．（多選）（2023·全國·高三專題練習）某單位推出了道有關二十大的測試題供學習者學習和測試，乙能答對其中的道題，規(guī)定每次測試都是從這道題中隨機抽出道，答對一題加分，答錯一題或不答減分，最終得分最低為分，則下列說法正確的是（

）A．乙得分的概率是 B．乙得分的概率是C．乙得分的概率是 D．乙得分的概率是【答案】ABC【詳解】設乙的得分為，則由題意的所有可能取值為0，10，25，40，所以，，，，故選：ABC例題2．（2023·全國·高三專題練習）某研究小組為研究經(jīng)常鍛煉與成績好差的關系，從全市若干所學校中隨機抽取100名學生進行調查，其中有體育鍛煉習慣的有45人．經(jīng)調查，得到這100名學生近期考試的分數(shù)的頻率分布直方圖．記分數(shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格．(1)請完成下列列聯(lián)表．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析成績優(yōu)秀與體育鍛煉有沒有關系．經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計合格25優(yōu)秀10合計100(2)現(xiàn)采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再從這10人中隨機抽取5人進行進一步調查，記抽到5人中優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列．附：，其中．k【答案】(1)列聯(lián)表見解析；成績優(yōu)秀與是否經(jīng)常體育鍛煉有關聯(lián)(2)分布列見解析【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得到列聯(lián)表經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計合格254570優(yōu)秀201030合計4555100零假設：成績是否優(yōu)秀與是否經(jīng)常體育鍛煉無關，可得．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，所以的把握認為成績優(yōu)秀與是否經(jīng)常體育鍛煉有關聯(lián).（2）解：根據(jù)頻率分布直方圖，可得大于600分的頻率為，小于600分的頻率為，所以由分層抽樣知，抽取的10人中合格有人，優(yōu)秀的為人，則從這10人中隨機抽取5人，優(yōu)秀人數(shù)服從超幾何分布，由題意的可能值為0，1，2，3可得，，，所以隨機變量分布列為X0123P例題3．（2023·全國·高三專題練習）袋中有8個白球?2個黑球，從中隨機地連續(xù)抽取3次，每次取1個球.求：(1)有放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)的分布列?數(shù)學期望和方差；(2)不放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)的分布列?數(shù)學期望和方差.【答案】(1)分布列答案見解析，(2)分布列答案見解析，【詳解】（1）有放回抽樣時，取到的黑球數(shù)可能的取值為.又由于每次取到黑球的概率均為，3次取球可以看成3次獨立重復試驗，則.；；；.因此，的分布列為0123.（2）不放回抽樣時，取到的黑球數(shù)可能的取值為，且有：；；.因此，的分布列為012.例題4．（2023春·高二單元測試）某高校為了調查學生對服貿會的了解情況，決定隨機抽取名學生進行采訪.根據(jù)統(tǒng)計結果，采訪的學生中男女比例為，已知抽取的男生中有名不了解服貿會，抽取的女生中有名了解服貿會，請你解答下面所提出的相關問題.(1)完成下面的2×2列聯(lián)表，并回答“是否有的把握認為學生對服貿會的了解情況與性別有關”.了解不了解合計男生女生合計(2)若從被采訪的學生中按性別利用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取3人在校內開展一次“介紹服貿會”的專題活動，記抽取男生人數(shù)為ξ，求出ξ的分布列及數(shù)學期望.【答案】(1)列聯(lián)表見解析；沒有99%的把握認為學生對服貿會的了解情況與性別有關(2)分布列見解析；.【詳解】（1）2×2列聯(lián)表如下：了解不了解合計男生女生合計假設：學生對服貿會的了解情況與性別無關；計算卡方，因為當成立時，的概率大于，所以沒有的把握認為學生對服貿會的了解情況與性別有關.（2）分層抽樣的方法抽取的5人中男生有3人，女生有2人.從這5人中隨機抽取3人，則男生人數(shù)ξ服從超幾何分布，，，,所以ξ的分布列為：ξ123P數(shù)學期望為.練透核心考點1．（多選）（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江中學?？茧A段練習）一個袋子中裝有除顏色外完全相同的10個球，其中有6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個球，記隨機變量為取出白球的個數(shù)，隨機變量為取出黑球的個數(shù)，若取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分，隨機變量為取出4個球的總得分，則下列結論中正確的是（

）A．服從超幾何分布 B．C． D．【答案】ABD【詳解】由題意知，隨機變量服從超幾何分布，故A選項正確，的取值可能為：，所以，故B選項正確，又，，，，所以，的取值可能為：，由題意得，所以，所以，，，所以，所以，故C選項錯誤，若，則，故D選項正確，故選：ABD.2．（2023秋·廣東東莞·高三?？茧A段練習）某乒乓球隊訓練教官為了檢驗學員某項技能的水平，隨機抽取100名學員進行測試，并根據(jù)該項技能的評價指標，按分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求a的值，并估計該項技能的評價指標的中位數(shù)（精確到）；(2)若采用分層抽樣的方法從評價指標在和內的學員中隨機抽取12名，再從這12名學員中隨機抽取5名學員，記抽取到學員的該項技能的評價指標在內的學員人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望．【答案】(1)，(2)分布列見解析；期望為【詳解】（1）由直方圖可知，解得．因為，，所以學員該項技能的評價指標的中位數(shù)在內．設學員該項技能的評價指標的中位數(shù)為，則，解得．（2）由題意可知抽取的12名學員中該項技能的評價指標在內的有4名，在內的有8名．由題意可知的所有可能取值為．，，，，，則的分布列為012343．（2023·全國·高三專題練習）某公司生產(chǎn)一種電子產(chǎn)品，每批產(chǎn)品進入市場之前，需要對其進行檢測，現(xiàn)從某批產(chǎn)品中隨機抽取9箱進行檢測，其中有5箱為一等品.(1)若從這9箱產(chǎn)品中隨機抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率；(2)若從這9箱產(chǎn)品中隨機抽取3箱，記表示抽到一等品的箱數(shù)，求的分布列和期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【詳解】（1）設從這9箱產(chǎn)品中隨機抽取的3箱產(chǎn)品中至少有2箱是一等品的事件為，則，因此從這9箱產(chǎn)品中隨機抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率為.（2）由題意可知的所有可能取值為，由超幾何分布概率公式得，，，，所以的分布列為：0123所以.4．（2023·全國·高三專題練習）為提升本地景點的知名度、美譽度，各地文旅局長紛紛出圈，作為西北自然風光與絲路人文歷史大集合的青甘大環(huán)線再次引發(fā)熱議.為了更好的提升服務，某地文旅局對到該地的名旅行者進行滿意度調查，將其分成以下組：，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)若將頻率視為概率，從得分在分及以上的旅行者中隨機抽取人，用表示這人中得分在中的人數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望；(3)若將頻率視為概率，從得分在分及以上的旅行者中按比例抽取人，再從這人中一次性抽取人，用表示這人中得分在中的人數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.【答案】(1)(2)分布列見解析；數(shù)學期望(3)分布列見解析；數(shù)學期望【詳解】（1）由題意得：，解得：.（2）由頻率分布直方圖知：從得分在分及以上的旅行者中隨機抽取人，得分在的概率為，則，所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學期望.（3）從得分在分及以上的旅行者中按比例抽取人，則人中得分在的人數(shù)為人，得分在的人數(shù)為人；則所有可能的取值為，；；；的分布列為：數(shù)學期望.高頻考點三：正態(tài)分布的概率計算典型例題例題1．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開學考試）已知某工廠生產(chǎn)零件的尺寸指標，單位為.該廠每天生產(chǎn)的零件尺寸在的數(shù)量為818600，則可以估計該廠每天生產(chǎn)的零件尺寸在以上的數(shù)量為（

）參考數(shù)據(jù)：若，則，，.A．1587 B．2275 C．2700 D．1350【答案】D【詳解】由已知，，，零件尺寸在以上的概率為，設零件尺寸在以上的零件數(shù)為，則，，故選：D．例題2．（多選）（2023春·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）已知隨機變量，則（

）（附：隨機變量服從正態(tài)分布，則，）A． B．C． D．【答案】CD【詳解】因為，所以，則，故A錯誤；，故D正確；因為，所以，所以，故B錯誤；，故C正確；故選：CD.例題3．（2023秋·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習）已知隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則.【答案】【詳解】隨機變量X服從正態(tài)分布，，由正態(tài)分布圖像的對稱性可得曲線關于對稱。，.故答案為：0.36.例題4．（2023春·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習）已知，且，則的最小值為.【答案】3【詳解】因為，且，所以，得，所以，因為，即，所以，，所以，當且僅當，即時等號成立，故答案為：3練透核心考點1．（多選）（2023秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習）若隨機變量，則（

）A．的密度曲線與軸只有一個交點 B．的密度曲線關于對稱C． D．若，則，【答案】ACD【詳解】若，則其密度函數(shù)，因此的密度曲線與軸只有一個交點，故A正確；的密度曲線關于直線對稱，故B錯誤；，故C正確；，，故D正確.故選：ACD.2．（2023秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習）已知，若函數(shù)為偶函數(shù)，則.【答案】【詳解】已知，由函數(shù)為偶函數(shù)，所以恒成立.已知，正態(tài)密度函數(shù)圖象關于對稱，由圖象可知，要使恒成立，則區(qū)間與關于對稱，即.故答案為：.3．（2023秋·湖北武漢·高三武鋼三中校考階段練習）已知隨機變量，，且，則.【答案】【詳解】，，，，，，解得，故答案為：4．（2023春·河南開封·高三通許縣第一高級中學?？茧A段練習）若隨機變量，若，則．【答案】/【詳解】由題意知隨機變量，，所以，即，即，而，則，故答案為：高頻考點四：正態(tài)分布的實際應用典型例題例題1．（2023秋·四川成都·高三石室中學?？茧A段練習）為建立健全國家學生體質健康監(jiān)測評價機制，激勵學生積極參加身體鍛煉，教育部印發(fā)《國家學生體質健康標準》，要求各學校每學年開展覆蓋本校各年級學生的《標準》測試工作．為做好全省的迎檢工作，成都市在高三年級開展了一次體質健康模擬測試，并從中隨機抽取了200名學生的數(shù)據(jù)，根據(jù)他們的健康指數(shù)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)估計這200名學生健康指數(shù)的平均數(shù)和樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)由頻率分布直方圖知，該市學生的健康指數(shù)近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均，近似為樣本方差．①求；②已知該市高三學生約有10000名，記體質健康指數(shù)在區(qū)間的人數(shù)為，試求．附：參考數(shù)據(jù)：，若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．【答案】(1)平均數(shù)為60，方差為86(2)①；②【詳解】（1）由題意得，，，所以這200名學生體重的平均數(shù)為60，方差為86；（2）①由（1）可知，，則.②由①可知1名學生的體重位于的概率為，

依題意，服從二項分布，即，則.例題2．（2023·全國·高三專題練習）新高考改革后廣西采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是語文?數(shù)學?外語，這三門科目是必選的；“1”指的是要在物理?歷史里選一門；“2”指考生要在生物學?化學?思想政治?地理4門中選擇2門.(1)若按照“3+1+2”模式選科，求甲乙兩個學生恰有四門學科相同的選法種數(shù)；(2)某教育部門為了調查學生語數(shù)外三科成績，現(xiàn)從當?shù)夭煌瑢哟蔚膶W校中抽取高一學生5000名參加語數(shù)外的網(wǎng)絡測試?滿分450分，假設該次網(wǎng)絡測試成績服從正態(tài)分布.①估計5000名學生中成績介于120分到300分之間有多少人；②某校對外宣傳“我校200人參與此次網(wǎng)絡測試，有10名同學獲得430分以上的高分”，請結合統(tǒng)計學知識分析上述宣傳語的可信度.附：，，.【答案】(1)種(2)①4093人；②不可信【詳解】（1）甲乙兩個學生必選語文?數(shù)學?外語，若另一門相同的選擇物理?歷史中的一門，有種，在生物學?化學?思想政治?地理4門中甲乙選擇不同的2門，則，即種；若另一門相同的選擇生物學?化學?思想政治?地理4門中的一門，則有種，所以甲乙兩個學生恰有四門學科相同的選法種數(shù)共種方法；（2）①設此次網(wǎng)絡測試的成績記為，則，由題知，，，則，所以，所以估計5000名學生中成績介于120分到300分之間有4093人；②不可信.，則，5000名學生中成績大于430分的約有人，這說明5000名考生中，會出現(xiàn)約7人的成績高于430分的“極端”樣本，所以說“某校200人參與此次網(wǎng)絡測試，有10名同學獲得430分以上的高分”，說法錯誤，此宣傳語不可信.例題3．（2023·全國·高三專題練習）零件的精度幾乎決定了產(chǎn)品的質量，越精密的零件其精度要求也會越高.某企業(yè)為了提高零件產(chǎn)品質量，質檢部門隨機抽查了100個零件的直徑進行了統(tǒng)計整理，得到數(shù)據(jù)如下表：零件直徑（單位：厘米）零件個數(shù)1025302510已知零件的直徑可視為服從正態(tài)分布，，分別為這100個零件的直徑的平均數(shù)及方差（同一組區(qū)間的直徑尺寸用該組區(qū)間的中點值代表）.(1)分別求，的值；(2)試估計這批零件直徑在的概率；(3)隨機抽查2000個零件，估計在這2000個零件中，零件的直徑在的個數(shù).參考數(shù)據(jù)：；若隨機變量，則，，.【答案】(1)，;(2)0.8186;(3)1637．【詳解】（1）由平均數(shù)與方差的計算公式分別得：故，.（2）設表示零件直徑，則，即.，由對稱性得，，即.同理，，，即..故這批零件直徑在的概率為0.8186.（3）由（2）知，，所以在這2000個零件中，零件的直徑在的有個.例題4．（2023秋·遼寧錦州·高三渤海大學附屬高級中學?？茧A段練習）法國數(shù)學家龐加萊是個喜歡吃面包的人，他每天都會到同一家面包店購買一個面包.該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質量是，上下浮動不超過.這句話用數(shù)學語言來表達就是：每個面包的質量服從期望為，標準差為的正態(tài)分布.(1)已知如下結論：若，從X的取值中隨機抽取個數(shù)據(jù)，記這k個數(shù)據(jù)的平均值為Y，則隨機變量，利用該結論解決下面問題.（i）假設面包師的說法是真實的，隨機購買25個面包，記隨機購買25個面包的平均值為Y，求；（ii）龐加萊每天都會將買來的面包稱重并記錄，25天后，得到的數(shù)據(jù)都落在上，并經(jīng)計算25個面包質量的平均值為.龐加萊通過分析舉報了該面包師，從概率角度說明龐加萊舉報該面包師的理由；(2)假設有兩箱面包（面包除顏色外，其他都一樣），已知第一箱中共裝有6個面包，其中黑色面包有2個；第二箱中共裝有8個面包，其中黑色面包有3個.現(xiàn)隨機挑選一箱，然后從該箱中隨機取出2個面包.求取出黑色面包個數(shù)的分布列及數(shù)學期望.附：①隨機變量服從正態(tài)分布，則，，；②通常把發(fā)生概率小于的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會發(fā)生.【答案】(1)（i）；（ii）理由見解析(2)分布列見解析，【詳解】（1）（i）因為，所以，因為，所以，因為，所以；（ii）由第一問知，龐加萊計算25個面包質量的平均值為g，，而，為小概率事件，小概率事件基本不會發(fā)生，這就是龐加萊舉報該面包師的理由；（2）設取出黑色面包個數(shù)為隨機變量，則的可能取值為0，1，2.則，，故分布列為：012其中數(shù)學期望.練透核心考點1．（2023秋·甘肅白銀·高三甘肅省會寧縣第一中學校聯(lián)考階段練習）某工廠的工人生產(chǎn)內徑為的一種零件，為了了解零件的生產(chǎn)質量，在某次抽檢中，從該廠的1000個零件中抽出60個，測得其內徑尺寸（單位：）如下：這里用表示有個尺寸為的零件，，均為正整數(shù).若從這60個零件中隨機抽取1個，則這個零件的內徑尺寸小干的概率為.(1)求，的值.(2)已知這60個零件內徑尺寸的平均數(shù)為，標準差為，且，在某次抽檢中，若抽取的零件中至少有80%的零件內徑尺寸在內，則稱本次抽檢的零件合格.試問這次抽檢的零件是否合格？說明你的理由.【答案】(1)(2)不合格，理由見解析【詳解】（1）依題意可得，解得.（2）將每個數(shù)據(jù)都減去后所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以，所以，.所以這60個零件內徑尺寸在內的個數(shù)為，因為，所以這次抽檢的零件不合格.2．（2023秋·云南昆明·高三云南民族大學附屬中學?？茧A段練習）隨著網(wǎng)絡技術的迅速發(fā)展，各種購物群成為網(wǎng)絡銷售的新渠道.在丑橘銷售旺季，某丑橘基地隨機抽查了100個購物群的銷售情況，各購物群銷售丑橘的數(shù)量（都在100箱到600箱之間）情況如下：丑橘數(shù)量（箱）購物群數(shù)量（個）1818(1)求實數(shù)的值，并用組中值估計這100個購物群銷售丑橘總量的平均數(shù)（箱）；(2)假設所有購物群銷售丑橘的數(shù)量服從正態(tài)分布，其中為（1）中的平均數(shù)，12100.若參與銷售該基地丑橘的購物群約有2000個，銷售丑橘的