計算機(jī)圖形學(xué)第七章自由曲線與曲面

自由曲線和曲面2023/11/261曲線分類規(guī)則曲線：可用初等解析函數(shù)來表示如圓、橢圓、雙曲線、圓球、圓柱、圓錐等自由曲線：以復(fù)雜方式自由變化，無法用初等解析函數(shù)來描述的光滑連續(xù)性曲線如汽車車身、船體外殼和飛機(jī)機(jī)翼等隨機(jī)曲線：處處連續(xù)，處處不光滑且處處不可導(dǎo)的非規(guī)則曲線如地圖邊界、海岸線、水波以及超聲等2圖7-1汽車的曲面2023/11/2637.1基本概念

7.1.1樣條曲線曲面7.1.2曲線曲面的表示形式7.1.3擬合和逼近7.1.4連續(xù)性條件2023/11/2647.1.1樣條曲線曲面

在汽車制造廠里，傳統(tǒng)上采用樣條繪制曲線的形狀。繪圖員彎曲樣條（如彈性細(xì)木條）通過各型值點(diǎn)，其它地方自然過渡，然后沿樣條畫下曲線，即得到樣條曲線（SplineCurve)。在計算機(jī)圖形學(xué)中，樣條曲線是指由多項(xiàng)式曲線段連接而成的曲線，在每段的邊界處滿足特定的連續(xù)性條件，而樣條曲面則可用兩組正交樣條曲線來描述。2023/11/2657.1.2曲線曲面的表示形式曲線曲面的可以采用顯式方程、隱函數(shù)方程和參數(shù)方程表示：首先看一下直線的表示形式：已知直線的起點(diǎn)坐標(biāo)P1（x1，y1）和終點(diǎn)坐標(biāo)P2（x2，y2）,直線的顯式方程表示為：2023/11/266直線的隱函數(shù)方程表示為：直線的參數(shù)方程表示為：

2023/11/267由于用參數(shù)方程表示的曲線曲面可以直接進(jìn)行幾何變換，而且易于表示成矢量和矩陣，所以在計算機(jī)圖形學(xué)中一般使用參數(shù)方程來描述曲線曲面。下面以一條三次曲線為例，給出參數(shù)方程的矢量和矩陣表示：參數(shù)方程表示：，t∈〔0,1〕；

2023/11/268矢量表示：

t∈〔0,1〕；

矩陣表示：

t∈〔0,1〕；

2023/11/2697.1.3擬合和逼近

曲線曲面的擬合：當(dāng)用一組型值點(diǎn)（插值點(diǎn)）來指定曲線曲面的形狀時，形狀完全通過給定的型值點(diǎn)序列確定，稱為曲線曲面的擬合，如圖7-2所示。曲線曲面的逼近：當(dāng)用一組控制點(diǎn)來指定曲線曲面的形狀時，求出的形狀不必通過控制點(diǎn)，稱為曲線曲面的逼近，如圖所示。2023/11/2610圖7-2擬合曲線圖7-3逼近曲線2023/11/26117.1.4連續(xù)性條件

通常單一的曲線段或曲面片難以表達(dá)復(fù)雜的形狀，必須將一些曲線段連接成組合曲線，或?qū)⒁恍┣嫫B接成組合曲面，才能描述復(fù)雜的形狀。為了保證在連接點(diǎn)處平滑過渡，需要滿足連續(xù)性條件。連續(xù)性條件有兩種：參數(shù)連續(xù)性和幾何連續(xù)性。2023/11/2612參數(shù)連續(xù)性零階參數(shù)連續(xù)性，記作C0，指相鄰兩個曲線段在交點(diǎn)處具有相同的坐標(biāo)。如圖7-4所示。圖7-4零階連續(xù)性

2023/11/2613一階參數(shù)連續(xù)性，記作C1，指相鄰兩個曲線段在交點(diǎn)處具有相同的一階導(dǎo)數(shù)。如圖7-5所示。圖7-5一階連續(xù)性

2023/11/2614二階參數(shù)連續(xù)性，記作C2，指相鄰兩個曲線段在交點(diǎn)處具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。如圖7-6所示。圖7-6二階連續(xù)性

2023/11/26157.4Bezier曲線

法國雷諾汽車公司的工程師Bezier和法國雪鐵龍汽車公司的deCasteljau分別提出了一種新的參數(shù)曲線表示方法，稱為Bezier曲線。2023/11/2616

Bezier的想法從一開始就面向幾何而不是面向代數(shù)。Bezier曲線由控制多邊形惟一定義，Bezier曲線只有第一個頂點(diǎn)和最后一個頂點(diǎn)落在控制多邊形上，且多邊形的第一條和最后一條邊表示了曲線在起點(diǎn)和終點(diǎn)的切矢量方向，其它頂點(diǎn)則用于定義曲線的導(dǎo)數(shù)、階次和形狀，曲線的形狀趨近于控制多邊形的形狀，改變控制多邊形的頂點(diǎn)位置就會改變曲線的形狀。繪制Bezier曲線的直觀交互性使得對設(shè)計對象的控制達(dá)到了直接的幾何化程度，使用起來非常方便。幾種典型的三次Bezier曲線如圖7-7所示。2023/11/2617幾種典型的三次Bezier曲線

2023/11/26187.4.1Bezier曲線的定義7.4.2Bezier曲線的性質(zhì)7.4.3Bezier曲線的可分割性

2023/11/2619給定n+1個控制點(diǎn)Pi（i＝0，1，2……n），稱為n次Bezier曲線。

t∈〔0，1〕

式中，Pi（i＝0，1，2……n）是控制多邊形的n+1個控制點(diǎn)，控制多邊形是連接n條邊構(gòu)成的多邊形。是Bernstein基函數(shù)，其表達(dá)式為：

7.4.1Bezier曲線的定義2023/11/2620

1.一次Bezier曲線

當(dāng)n＝1時，Bezier曲線的控制多邊形有二個控制點(diǎn)P0和P1，Bezier曲線是一次多項(xiàng)式。

可以看出，一次Bezier曲線是一段直線。2023/11/26212.二次Bezier曲線當(dāng)n＝2時，Bezier曲線的控制多邊形有三個控制點(diǎn)P0、P1和P2，Bezier曲線是二次多項(xiàng)式。可以證明，二次Bezier曲線是一段拋物線。

2023/11/26221.什么是傳統(tǒng)機(jī)械按鍵設(shè)計？傳統(tǒng)的機(jī)械按鍵設(shè)計是需要手動按壓按鍵觸動PCBA上的開關(guān)按鍵來實(shí)現(xiàn)功能的一種設(shè)計方式。傳統(tǒng)機(jī)械按鍵設(shè)計要點(diǎn)：1.合理的選擇按鍵的類型，盡量選擇平頭類的按鍵，以防按鍵下陷。2.開關(guān)按鍵和塑膠按鍵設(shè)計間隙建議留0.05~0.1mm，以防按鍵死鍵。3.要考慮成型工藝，合理計算累積公差，以防按鍵手感不良。傳統(tǒng)機(jī)械按鍵結(jié)構(gòu)層圖：按鍵開關(guān)鍵PCBA

3.三次Bezier曲線

當(dāng)n＝3時，Bezier曲線的控制多邊形有四個控制點(diǎn)P0、P1、P2和P3，Bezier曲線是三次多項(xiàng)式。

可以證明，三次Bezier曲線是自由曲線。

2023/11/2624注意：對于Bezier曲線，在區(qū)間〔0,1〕范圍內(nèi)，每個基函數(shù)均不為零，說明不能使用控制多邊形對曲線的形狀進(jìn)行局部調(diào)整，如果要改變某一控制點(diǎn)位置，整個曲線都將受到影響。2023/11/26257.4.2Bezier曲線的性質(zhì)

1.端點(diǎn)性質(zhì)

在閉區(qū)間〔0，1〕內(nèi)，將t＝0和t＝1代入式（7-12），得到p(0)＝P0和p(1)＝Pn。說明Bezier曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別位于頂點(diǎn)P0和Pn上。2023/11/2626

2.一階導(dǎo)數(shù)

將式（7-12）求導(dǎo)，有

在閉區(qū)間〔0，1〕內(nèi)，將t＝0和t＝1代入上式，得到

這說明Bezier曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)的切線方向位于控制多邊形的起始邊和終止邊的切線方向上。

2023/11/2627

3.凸包性質(zhì)由公式（7-13）可以看出，在閉區(qū)間〔0，1〕內(nèi)，，而且。說明Bezier曲線位于控制多邊形構(gòu)成的凸包之內(nèi)。

2023/11/2628（4）幾何不變性。這是指某些幾何特性不隨坐標(biāo)變換而變化的特性。Bezier曲線位置與形狀與其特征多邊形頂點(diǎn)的位置有關(guān)，它不依賴坐標(biāo)系的選擇。Bezier曲線的性質(zhì)297.4.3Bezier曲線的可分割性

Bezier曲線的可分割性可用德卡斯特里奧（DeCasteliau）算法表達(dá)如下。給定空間n+1個點(diǎn)Pi（i=0，1，2

n）及參數(shù)t，有2023/11/2630例如，當(dāng)n=3時，有三次Bezier曲線遞推如下：

2023/11/2631其中：規(guī)定：

2023/11/2632根據(jù)該式可以繪制Bezier曲線，取t=0，t＝1/3，t＝2/3，t=1，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡形成Bezier曲線。圖7-8繪制的是t=1/3的點(diǎn)。2023/11/2633圖7-9繪制的是t=2/3的點(diǎn)。2023/11/2634

幾何設(shè)計中，一條Bezier曲線往往難以描述復(fù)雜的曲線形狀。這是由于增加特征多邊形的頂點(diǎn)數(shù)，會引起B(yǎng)ezier曲線次數(shù)的提高，而高次多項(xiàng)式又會帶來計算上的困難，實(shí)際使用中，一般不超過10次。所以有時采用分段設(shè)計，然后將各段曲線相互連接起來，并在接合處保持一定的連續(xù)條件。下面討論兩段Bezier曲線達(dá)到不同階幾何連續(xù)的條件。Bezier曲線的拼接35

給定兩條Bezier曲線P(t)和Q(t)，相應(yīng)控制點(diǎn)為Pi(i=0,1,...,n)和Qj(j=0,1,...,m)，且令，如圖所示，我們現(xiàn)在把兩條曲線連接起來。

圖Bezier曲線的拼接b1Pn-2Pn-1P(t)an-1anPnQ0Q1b2Q2Q(t)Bezier曲線的拼接36（1）要使它們達(dá)到G0連續(xù)的充要條件是：Pn=Q0；（2）要使它們達(dá)到G1連續(xù)的充要條件是：Pn-1，Pn=Q0

，Q1三點(diǎn)共線，即：（3）要使它們達(dá)到G2連續(xù)的充要條件是：在G1連續(xù)的條件下，并滿足方程。

Bezier曲線的拼接37Bezier曲線的繪制

繪制Bezier曲線時，可以利用其定義式，對參數(shù)t選取足夠多的值，計算曲線上的一些點(diǎn)，然后用折線連接來近似畫出實(shí)際的曲線。隨著選取點(diǎn)增多，折線和曲線可以任意接近。假設(shè)給定的四個型值點(diǎn)是P0=(1，1)，Pl=(2，3)，P2=(4，3)，P3=(3，1)，則計算結(jié)果見表

38t(1-t)33t(1-t)23t2(1-t)t3P(t)01000(1,1)0.150.6140.3250.05740.0034(1.5058,1.765)0.350.2750.4440.2390.043(2.248,2.376)0.50.1250.3750.3750.125(2.75,2.5)0.650.0430.2390.4440.275(3.122,2.36)0.850.00340.05740.3250.614(3.248,1.75)10001(3,1)3940(1)特征點(diǎn)個數(shù)與曲線的次數(shù)有關(guān)，若給定任意n+1個控制點(diǎn),可構(gòu)造出一條n次的Bezier曲線.當(dāng)n值較大時,計算相當(dāng)復(fù)雜。

在實(shí)際應(yīng)用時,一般用分段三次Bezier曲線來實(shí)現(xiàn):將多段三次Bezier曲線依次拼接起來,并保證連接處具有C1和C2連續(xù)性。

(2)Bezier曲線是一個整體的逼近方案（牽一發(fā)動全身），Bezier曲線不能局部修改。Bezier曲線的主要缺點(diǎn)41習(xí)題請利用下面給出的控制點(diǎn)的坐標(biāo)，做三次Brezier曲線：

p0=(1,0)；p1=(5,5)；p2=(15,7)；p3=(10,2)參數(shù)t的取值間隔為0.2。42n=3時，B0(t)=(1-t)3，B1(t)=3(1-t)2t，B2(t)=3(1-t)t2，B3(t)=t3對于參數(shù)t的不同取值，坐標(biāo)P(t)可以用下式求得：P(t)＝B0(t)p0＋B1(t)p1＋B2(t)p2＋B3(t)p3tBi20