2020-2021學(xué)年人教版八年級下冊數(shù)學(xué)《18.2菱形》同步專項(xiàng)提升

人教版八年級下冊數(shù)學(xué)《18.2菱形》同步專項(xiàng)提升

一.選擇題

1.如圖：在四邊形ABC。中，E是AB上的一點(diǎn)，AWE和△BCE都是等邊三角形，點(diǎn)P、

Q、M、N分別為A3、BC、CD、D4的中點(diǎn)，則四邊形MNPQ是（）

A.等腰梯形B.矩形C.菱形D.正方形

2.如圖所示，在RtZXABC中，乙4BC=90°,ZBAC=30°,分別以直角邊AB、斜邊AC

為邊，向外作等邊△A8O和等邊△ACE,F為AC的中點(diǎn)，CE與AC交于點(diǎn)O,OF與

48交于點(diǎn)G,給出如下結(jié)論：①四邊形ADFE為菱形；②。FJ_A8；③4O=4AE；@CE

=4FG；其中正確的是（）

3.如圖，在△ABC中，N4BC=90°,BO為AC的中線，過點(diǎn)C作CE_L8D于點(diǎn)E,過點(diǎn)

A作8。的平行線，交CE的延長線于點(diǎn)F,在AF的延長線上截取FG=B￡）,連接BG、

DF.若CF=6,AC=AF+2,則四邊形的周長為（）

A.9.5B.10C.12.5D.20

4.如圖，已知四邊形4BCD的四邊相等，等邊△AMN的頂點(diǎn)M、N分別在8C、CD±,

且AM=A8,則NC為（）

B>D

a

A.100°B.105°C.110°D.120°

5.如圖，平行四邊形A8CD中，對角線AC、BO相交于O,BD=2AD,E、F、G分別是

OC、OD、4B的中點(diǎn)，下列結(jié)論：

①BE_LAC；

②EG=GF；

③△EFGZAGBE；

@EA平分/GEF;

⑤四邊形BEFG是菱形.

其中正確的是（）

A.①②③B.①③④C.①②⑤D.②③⑤

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知點(diǎn)A（2,0）,1）,若平移點(diǎn)A到點(diǎn)C,使以

點(diǎn)O,A,C,B為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則正確的平移方法是（）

A.向左平移（4-V3）個單位，再向上平移1個單位

B.向左平移退個單位，再向下平移1個單位

C.向右平移?個單位，再向上平移1個單位

D.向右平移2個單位，再向上平移1個單位

7.如圖，E,F,G,H分別是BD,BC,AC,AO的中點(diǎn)，且A8=CO,下列結(jié)論：①EG

1FH；②四邊形EFGH是菱形；③H/平分/EHG；@EG=1（BC-AD）,其中正確的

A.1個B.2個C.3個D.4個

8.如圖，由兩個長為9,寬為3的全等矩形疊合而得到四邊形ABC。（不完全重合），則四

9.如圖，在平行四邊形ABCO中，AD=2AB,CE_LA8于點(diǎn)E,點(diǎn)尸、G分別是A。、BC

的中點(diǎn)，連接CF、EF、FG,下列結(jié)論：?CE±FG；②四邊形ABGF是菱形；③后尸=

CF；④NEFC=2NCFD.其中正確的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

10.如圖，分別以RtZs4BC的斜邊AB,直角邊AC為邊向外作等邊△48。和△ACE,F為

A8的中點(diǎn)，DE,相交于點(diǎn)G.連接EF,若/84C=30°,下列結(jié)論：?EF±AC；

②四邊形4OFE為菱形；③4O=4AG；?/\DBF^/\EFA.則正確結(jié)論的序號是（

D

A.①③B.②④C.①?@D.②③④

二.填空題

11.已知：如圖所示，四邊形ABCD中，ZABC=ZADC=90°,M是AC上任一點(diǎn)，。是

8D的中點(diǎn)，連接M。，并延長M。到N,使NO=MO,連接BN與ND.若M是AC的

中點(diǎn)，則四邊形的形狀是.

AC=8C=8a〃，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A8方向以

每秒后?！ǖ乃俣认蚪K點(diǎn)8運(yùn)動；同時動點(diǎn)。從點(diǎn)2出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度

向終點(diǎn)C運(yùn)動，將△PQC沿BC翻折，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P'.設(shè)Q點(diǎn)運(yùn)動的時間/秒,

則f的值為__________________時，四邊形QPCP為菱形.

13.如圖，在△ABC中，ZABC=90°,8。為AC的中線，過點(diǎn)C作CEJ_BO于點(diǎn)E,過

點(diǎn)A作BD的平行線，交CE的延長線于點(diǎn)F,在AF的延長線上截取FG=BD,連接BG、

DF.若AG=13,CF=6,則BG=

14.如圖，在菱形48CD中，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，連接AE交對角線于點(diǎn)凡連接CF,

若NAED=40°,則NBCF=

15.如圖，在菱形ABC。中，過點(diǎn)A作A”_L8C,分別交8。，BC于點(diǎn)E,H,尸為EO的

中點(diǎn)，NBAF=120°,則NC的度數(shù)為

16.如圖，在菱形A8CD中，AB=\Scm,NA=60°,點(diǎn)E以2an/s的速度沿AB邊由A向

8勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)F以4aMs的速度沿CB邊由C向8運(yùn)動，F(xiàn)到達(dá)點(diǎn)B時兩點(diǎn)同時

停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為f秒，當(dāng)△QEF為等邊三角形時，f的值為.

17.如圖，已知平行四邊形ABCD中，AB=BC,2c=10,ZBCD=6Q°,兩頂點(diǎn)8、。分

別在平面直角坐標(biāo)系的y軸、%軸的正半軸上滑動，連接OA,則OA的長的最小值

是

18.如圖，在四邊形48co中，AC=BD=6,E、F、G、”分別是48、BC、CD、D4的中

19.如圖所示，四邊形42CD中，AC_LB。于點(diǎn)。，AO=CO=8,BO=DO=6，前P為線

段AC上的一個動點(diǎn).

(I)填空：AD=CD=.

(2)過點(diǎn)P分別作于M點(diǎn)，作P//LOC于”點(diǎn).連接P8,在點(diǎn)P運(yùn)動過程

三.解答題

20.如圖，菱形ABCD中，E為AB邊上的一點(diǎn)，尸為8c延長線上的一點(diǎn)，且/BED+/F

=180°

求證：DE=DF.

Ey

C

21.如圖，菱形4BCD中，E,尸分別為A。，A8上的點(diǎn)，且AE=AF,連接并延長E尸，與

CB的延長線交于點(diǎn)G,連接BQ.

(1)求證：四邊形EG8Q是平行四邊形；

(2)連接AG,若NFGB=30°,GB=AE=2,求AG的長.

22.如圖，在RtZVIBC中，ZACB=90°,CDLAB,垂足為D,A尸平分NCAB,交,CD

于點(diǎn)E,交CB于點(diǎn)F.

(1)若NB=30°,AC=6,求"的長；

(2)過點(diǎn)尸作AB的垂線，垂足為G,連接EG,試判斷四邊形CEG尸的形狀，并說明

原因.

23.如圖，菱形A8CQ中，NB=60°,點(diǎn)E,尸分別在AB,AO上，且BE=AF.

(1)求證：4ECF為等邊三角形;

(2)連接AC,若AC將四邊形AECF的面積分為1：2兩部分，當(dāng)AB=6時，求ABEC

的面積.

E,

B

24.如圖，在。ABC。中，CE平分N8CD,交4。于點(diǎn)E,。尸平分NA3C,交BC于點(diǎn)尸,

CE與DF交于點(diǎn)P,連接EF,BP.

(1)求證：四邊形CDEF是菱形；

(2)若AB=2,8c=3,/4=120°,求BP的值.

25.在。ABCZ）中，AELBC,AFLCD,垂足分別為點(diǎn)E,F,JiBE=DF.

圖1圖2

(1)如圖1,求證：口438是菱形；

(2)如圖2,連接BO,交AE于點(diǎn)G,交A尸于點(diǎn)〃，連接EF、FG,若NCEf=30°,

在不添加任何字母及輔助線的情況下，請直接寫出圖中面積是aBEG面積2倍的所有三

角形.

參考答案

一.選擇題

1.解：連接B￡>、AC；

'：/\ADE.△EC3是等邊三角形，

：.AE=DE,EC=BE,NAED=NBEC=6Q°；

：.ZAEC=ZDEB=]20°；

.?.△AEC會ADEB(SAS)；

：.AC^BD；

：M、N是CD、A。的中點(diǎn)，

：.MN是△ACO的中位線，即MN=LAC；

2

同理可證得：NP=LDB,QP=1AC,MQ=^BD；

222

：.MN=NP=PQ=MQ,

?*"四邊形NPQM是菱形；

故選：C.

2.解：VZBAC=30",ZVIBO是等邊三角形,

AZBAD=60°,

：.ZDAF=90°,

：.DF>AD,

四邊形AOFE不可能是菱形.故①錯誤.

連接BF.

?:△ABC是直角三角形，AF=CF,

：.FA=FB,'：DA=DB,

.?.OF垂直平分線段AB,故②正確，

'：AELAB,DFA.AB,

J.AE//DF,

VAE=2AF,DF=2AFf

：.AE=DF,

，四邊形AEFD是平行四邊形,

：?OA=OF,

***AE=AC=^OA,故③正確，

在Rt/XAFG中，ZFAG=30°,

：.AF=2FG,

U：EC=AC=2AF,

；?EC=4FG,故④正確，

故選：D.

???四邊形BGFD是平行四邊形，

VCF±BD,

：.CF.LAGf

又??,點(diǎn)。是AC中點(diǎn)，

:.BD=DF=1AC,

2

四邊形BGFD是菱形，

設(shè)AF=x,則AC=x+2,FC=6,

?..在RtZ\ACF中，ZCFA=90°,

：.AF2+CF2=AC2,即/+62=(2+x)2,

解得：x=8,

故AC=10,

故四邊形BDFG的周長=43Q=2X10=20.

故選：D.

D

B.

4.解：?.?四邊形ABC。的四邊都相等，

...四邊形ABC￡>是菱形，

AZB=ZD,ZDAB=ZC,AD//BC,

.\ZDAB+ZB=\SO°,

是等邊三角形，AM=AB,

：.ZAMN=ZANM=60°,AM=AD,

：.ZB=ZAMB,ND=NAND,

由三角形的內(nèi)角和定理得：NBAM=/NAD,

設(shè)/BAM=NW4O=x,

則/￡>=/AM)=180°-60°-2x,

"：ZNAD+ZD+ZAND=\S0°,

：.x+2(180°-60°-2r)=180°,

解得：x=20°,

.?./C=/8AO=2X20°+60°=100°.

故選:A.

5.解：???四邊形ABC。是平行四邊形

：.BO=DO=^BD,AD=BC,AB=CD,AB//BC,

2

又,；BD=2AD,

：.OB=BC=OD=DA,且點(diǎn)E是OC中點(diǎn)，

：.BEVAC,

故①正確；

D

:圜

；E、產(chǎn)分別是OC、0。的中點(diǎn)，

J.EF//CD,EF=LCD,

2

?.?點(diǎn)G是RtAABE斜邊48上的中點(diǎn)，

:.GE=1AB=AG^BG

2

；.EG=EF=AG=BG,無法證明GE=GF,

故②錯誤；

,：BG=EF,AB//CD//EF,

，四邊形BGFE是平行四邊形，

:.GF=BE,且BG=EF,GE=GE,

:.4BGE@LFEGCSSS)

故③正確；

'."EF//CD//AB,

：.ZBAC=NACD=NAEF,

'：AG=GE,

：.ZGAE^ZAEG,

：./AEG=NAEF,

平分/GEF,

故④正確，

若四邊形3EFG是菱形

：.BE=BG=^AB,

2

：.ZBAC=30Q

與題意不符合

故⑤錯誤，

故選：B.

6.解：VA（2,0）,B（V3，1）,

???OA=2,OB=jF+（近）2=2,

：.OA=OB,

，點(diǎn)A向右平移?個單位，再向上平移1個單位得到點(diǎn)C,則四邊形OACB是菱形.

故選：C.

7.解：VE,F、G、H分別是8。、BC、AC、AO的中點(diǎn),

；.EF=LCD,FG=1AB,GH=LCD,HE=1AB,

2222

\"AB=CD,

：.EF=FG=GH=HE,

四邊形EFG”是菱形，

.?.①EG_LFH,正確；

②四邊形EFGH是菱形，正確；

③HF平分NEHG,正確；

④當(dāng)AO〃BC,如圖所示：E,G分別為以)，AC中點(diǎn)，

連接CD,延長EG到CD上一點(diǎn)N,

:.EN=LC,GN=1AD,

22

.,.EG=A(BC-AD),只有AD〃BC時才可以成立，而本題A。與BC很顯然不平行,

2

故本小題錯誤.

綜上所述，①②③共3個正確.

故選：C.

R

8.解：如圖1,作AEJ_BC于E,AFLCD^-F,

圖1,

'：AD//BC,AB//CD,

四邊形ABCD是平行四邊形，

???兩個矩形的寬都是3,

：.AE=AF=3,

:S四邊形ABC￡>=AE，BC=AF，CZ）,

：.BC=CD,

二平行四邊形A8C。是菱形.

如圖2,當(dāng)菱形的一條對角線為矩形的對角線時，四邊形ABCC的面積最大,

設(shè)AB=BC=x,貝ljBE=9-x,

VBC2=BE2+CE2,

；./=（9-x）2+32,

解得x=5,

四邊形ABCD面積的最大值是：

5X3=15.

故選：A.

9.解：???四邊形ABCD是平行四邊形,

J.AD//BC,AD=BC,

?.?點(diǎn)/、G分別是A。、BC的中點(diǎn)，

:.AF=1AD,BG=LBC,

22

；.AF=BG,

,:AF〃BG,

???四邊形ABGF是平行四邊形，

C.AB//FG,

yCE.LAB,

：.CE±FG；故①正確；

9

：AD=2ABfAD=2AF,

：.AB=AF,

???四邊形ABG尸是菱形，故②正確；

延長ER交CO延長線于M,

'/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB//CD,

???NA=NMDF,

???尸為AO中點(diǎn)，

:?AF=FD,

^ZA=ZFDM

在△斗￡尸和△ObM中，JAF=DF

ZAFE=ZDFM

/.AAEF^ADMF(ASA),

；?FE=MF,NAEF=NM,

VCE1/4B,

AZAEC=90°,

AZAEC=ZECD=90°,

?：FM=EF,

:?FC=EF=FM,故③正確；

；?NFCD=NM,

???四邊形A8C。是平行四邊形，

：.AB=CDfAD//BC,

9：AF=DF,AD=2AB,

：.DF=DC,

：.ZDCF=ZDFC,

：.ZM=ZFCD=NCFD,

?：NEFC=NM+NFCD=2NCFD；故④正確,

VZACB=90°,尸為43的中點(diǎn)，

：.FA=FB=FC,

?/△ACE是等邊三角形，

:.EA=EC9

?：FA=FC,EA=EC,

???點(diǎn)尸、點(diǎn)E都在線段AC的垂直平分線上，

?,?EF垂直平分AC,即EFLAC；

:△AB。和△ACE都是等邊三角形，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，

J.DFLAB即NOE4=90°,BD=DA=AB=2AF,ZDBA=ZDAB=ZEAC=ZACE=

60°.

VZBAC=30°,

：.ZDAC=ZEAF=90°,

：.ZDFA=ZEAF=90°,DALAC.

J.DF//AE,DA//EF,

???四邊形ADFE為平行四邊形而不是菱形；

???四邊形ADFE為平行四邊形，

:.DA=EF,AF=2AG,

:?BD=DA=EF,DA=AB=2AF=4AG；

fBD=EF

在△OBF和中，,NDBF=NEFA，

BF=FA

：.^\DBF^/\EFA(SAS)；

綜上所述：①③④正確，

故選：C.

二.填空題

11.解：.；。是8。的中點(diǎn)，

：.BO=DO,且NO=M。，

四邊形BNDM是平行四邊形，

"：ZABC^ZADC=90°,M是AC的中點(diǎn),

:.BM=1AC=DM,

2

平行四邊形BNDM是菱形，

故答案為：菱形.

12.解：如圖，連接PP'交CQ于。，

四邊形QPCP'為菱形，

：.PP'J_CQ,CD=DQ,

；點(diǎn)。的速度是每秒\cm,

.\C￡)=Ace=A(8-f)cm,

22

過點(diǎn)P作POVAC于O,

則四邊形CDPO是矩形，

:?CD=PO,

VZC=90°，AC=BC,

???△ABC是等腰直角三角形,

AZA=45°，

：.PO=J^AP,

2

:點(diǎn)P的運(yùn)動速度是每秒&CW,

/.po=^-X\f2t=tcm,

2

A(8-Z)—t,

2

解得f=B.

3

故答案為：1.

3

13.解：YAG//BD,BD=FG,

???四邊形BGFD是平行四邊形,

VCF1BD,

：.CFA.AG,

又???點(diǎn)。是AC中點(diǎn)，

:.BD=DF=1AC,

2

...四邊形BGFL＞是菱形，

設(shè)GF=x,貝ijAF=13-x,AC=2x,

?.?在RtZ\ACF中，ZCM=90°,

：.AF2+CF2=AC2,即(13-x)2+62=⑵)2

解得：x=5,

即BG=5.

故答案是：5.

14.解：,?,四邊形A3CQ是菱形，

：.AD=CD,AD//BC,NADF=/BDC,

*：AD=CD,ZADF=ZBDCfDF=DF,

：./\ADF^/\CDF(SAS),

：.ZDAF=ZDCFf

???N4ED=40°,

Z￡)AE+ZADE=140°,

AZAD￡+ZDCF=140°,

,:KDHBC,

AZADE+ZBC￡>=180°,

AZADE+ZBCF+Z￡)CF=180o,

AZBCF=40°,

故答案為：40.

15.解：設(shè)NCBQ=x,

???四邊形A8C。為菱形，

J.AD//BC,NABD=NCBD=x,

：.ZADB=ZCBD=x,

9

\AH±BCfAD//BC,

???/￡%”=NAH8=90°,

??/為EO的中點(diǎn).

：.AF=FD,

：.ZFAD=ZADB=x,

VZBAF=120°,

：.ZBAD=\20°+x,

°：AD〃BC,

：.ZBAD+ZABC=\S0°,

可得：2x+120°+x=180°,

解得：x=20°,

：,ZBAD=nO°+x=140°

?；四邊形A8CD為菱形,

：.ZC=ZBAD=140°.

故答案為：140°.

：.AD=CD=BC=AB^=18,△AOB,△BQC都是等邊三角形,

J.AD^BD,/AOB=/￡>"=60°,

：是等邊三角形，

AZEDF=60°,

NADB=NEDF,

：./ADE=NBDF,

fZA=ZDBF=60°

在△4￡>E和△BO尸中，，AD=BD，

ZADE=ZBDF

:AADE咨LBDF(ASA),

：.AE=BF,

.?.2f=18-4f,

?*"=3,

故答案為：3s.

17.解：如圖所示：過點(diǎn)A作于點(diǎn)E,

當(dāng)點(diǎn)A,O,E在一條直線上，此時AO最短，

；平行四邊形ABCO中，AB=BC,BC=10,ZBCD=60°,

：.AB=AD=CD=BC=\Q,NBAD=NBCD=60°,

...△ABO是等邊三角形，

；.AE過點(diǎn)O,E為8。中點(diǎn)，

"：ZBOD=90°,B￡>=10,

：.EO=5,

故A。的最小值為：AO=AE-EO=ABsin600-工義2。=5?-5.

故答案為：5y§-5.

18.解：如右圖，連接E凡FG,GH,EH,

?:E、，分別是A3、D4的中點(diǎn)，

:.EH是AABD的中位線，

；.EH=LBD=3,

2

同理可得EF,FG,G"分別是△ABC,△BCD,△AC。的中位線,

：.EF^GH=1AC=3,FG=LBD=3,

22

EH=EF=GH=FG=3,

四邊形EFGH為菱形，

J.EGLHF,且垂足為O,

：.EG=2OE,FH=2OH,

在RtZ\OEH中，根據(jù)勾股定理得：OE2+O42=￡T/2=9,

等式兩邊同時乘以4得：4OE2+4OH2=9X4=36,

(20E)2+(2OH)2=36,

即EG2+FH2=36.

.?.△AOZ)為直角三角形.

?*MD=VAO2-K)D2=V82+62=10

???AC_L8O于點(diǎn)O,AO=COf

：.CD=AD=\0.

故答案為：10:

(2)如圖1所示：連接P。.

,?*S>ADP+S&CDP=SMDC，

：.1AD*PM+1-DC*PH=1.AC-OD,即工XIOXPM+AX10XP〃=JLX16X6.

222222

A10X(PM+PH)=16X6.

：.PM+PH=^.=^.,

105

當(dāng)PB最短時，PM+PH+PB有最小值，

?.,由垂線段最短可知：當(dāng)8P_L4C時，PB最短.

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時，PM+PH+PB有最小，最小值=至+6=四.

55

故答案為：10,四.

5

三.解答題

20.解：如圖，過點(diǎn)D作DNLAB于-N,DM_LBC于凡

?..四邊形ABC。是菱形，

：.AB=BC,

'：S^ABCD^ABXDN=BCXDM,

：.DN=DM,

VZ5ED+ZF=180°,ZBEEH-ZAED=\SQ°,

：.ZF=ZAEDf

又丁/DNE=/DMF,

:?/\DNEq/\DMF(A4S)

：.DE=DF.

???四邊形ABC。是菱形,

?'.AC平分NZM8,且AC_L8。,

*：AF=AE,

J.ACLEF,

J.EG//BD.

又???菱形A8C。中，ED〃BG,

???四邊形EGBD是平行四邊形.

圖2

VZFGB=30°,

；?/DBC=30°,

AZABH=2ZDBC=60°,

,.,G8=4E=2,

：.AB=AD=4f

在RtZ^AB”中，/AHB=9U°,

:?AH=2疵,BH=2.

???G”=4,

???4G=JARZ+GH2=V16+12=2V7.

22.解：(1)VZACB=90°,N8=30°,

：.ZCAB=60°,

VCD1AB,

AZADC=90°,

AZACD=30°,

VAF平分NCA3,

AZCAF=ZBAF=30°,

：,CE=AE,

過點(diǎn)E用EH垂直于AC于點(diǎn)H,

：.CH=AH

???AC=6,

：.CE=242

答：CE的長為2?；

(2)VFG1AB,FC±ACf4/平分NC43,

AZACF=ZAGF=90°,CF=GF,

在RtAACF與RtAAGF中，

AF=AFfCF=GF,

ARtAACF^RtAAGF(HL),

：.ZAFC=ZAFG,

VCD1AB,FGLAB,

:?CD〃FG,

：.ZCEF=NEFG,

：,/CEF=/CFE,

:.CE=CF,

：.CE=FG,

，四邊形CEGF是菱形

23.解：(1)證明：連接AC,

?.?四邊形ABC。是菱形，

：.BA=BC=AD=DC,又；/8=60°,

△ABC和△AOC都是等邊三角形，

AZCAD^ZACB=ZACD=60°,

在ACBE和尸中，

<CB=AC

?ZB=ZCAD=60°，

BE=AF

：./\CBE^/\CAF(SAS),

：.CE=CF,/BCE=/ACR

.,.NEC尸=60°,

...△ECF為等邊三角形；

(2)由(1)可知△C8E名△CAF,

,,SACBE-S&CAF，

?.S叫邊彩AECF-S&ABC，

作Aa_LBC交BC于點(diǎn)H,

在△4BH中，NB=60。，A8=6,

:.BH=3,

:?AH=3。

SAABC=2X6x3y=9?，

2

當(dāng)SACBE：S^CAE=1：2時，S^BEC的面積=工S"3。=3f；

3

當(dāng)S&CBE：S^CAE=2：1時，S^BEC=—SAA^C:=:6<\/3；

3

綜上，△8￡C的面積為3正或

AFD