專題02新定義閱讀型問題-2022年中考數(shù)學(xué)專題拓展提高講練(解析版)

1.考點解析所謂“新定義”型問題，主要是指在問題中定義了中學(xué)數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過的一些概念、新運算、新符號，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識、能力進(jìn)行理解，根據(jù)新定義進(jìn)行運算、推理、遷移的一種題型.2.考點分類：考點分類見下表考點分類考點內(nèi)容考點分析與常見題型?？紵狳c三角形三角形的性質(zhì)與定理一般考點二次函數(shù)結(jié)合高中二次函數(shù)的內(nèi)容冷門考點圓圓，曲線的新定義【方法點撥】?“新定義型專題”關(guān)鍵要把握兩點：一是掌握問題原型的特點及其問題解決的思想方法；二是根據(jù)問題情景的變化，通過認(rèn)真思考，合理進(jìn)行思想方法的遷移.??一、中考題型分析“新定義”型問題成為近年來中考數(shù)學(xué)壓軸題的新亮點.在復(fù)習(xí)中應(yīng)重視學(xué)生應(yīng)用新的知識解決問題的能力。近幾年命題情況來看，該類題型為必考型，一般一道選擇或填空再加一道答題，占8到12分。????二、典例精析★考點一：規(guī)律題型中的新定義◆典例一：定義：a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是=-1，－1的差倒數(shù)是=．已知a1＝－，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù)，…，依此類推，a2009＝．【考點】有理數(shù)，倒數(shù)，新定義題型找規(guī)律【解析】本題的核心是理解差倒數(shù)的概念，要根據(jù)定義去做，通過計算找出差倒數(shù)的規(guī)律，同時逐一分析循環(huán)的規(guī)律。解答：a2==a3==4a4==-顯然每三個循環(huán)一次，又因為2009÷3=669余2，故a2009=a2◆典例二：古希臘數(shù)學(xué)家把1，3，6，10，15，21，…叫做三角形數(shù)，其中1是第一個三角形數(shù)，3是第二個三角形數(shù)，6是第三個三角形數(shù)，…，依此類推，第100個三角形數(shù)是__5_050__．★考點二：運算題型中的新定義◆典例一：對于兩個不相等的實數(shù)a、b，定義一種新的運算如下，a*b=（a+b＞0），如：3*2==，那么6*（5*4）=1【解析】本題考察了運算的新定義，結(jié)合題目給定的運算方式進(jìn)行模仿去計算學(xué)科@#網(wǎng)【解答】6*（5*4）=6*=6*3==1◆典例二：對于任意實數(shù)m，n，定義一種運算m※n＝mn－m－n＋3，等式的右邊是通常的加減和乘法運算．例如：3※5＝3×5－3－5＋3＝10.請根據(jù)上述定義解決問題：若a<2※x<7，且解集中有兩個整數(shù)解，則a的取值范圍是__4≤a＜5__．【解析】∵2※x＝2x－2－x＋3＝x＋1∴a＜x＋1＜7，即a－1＜x＜6，若解集中有兩個整數(shù)解，則這兩個整數(shù)解為5，4即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1<4，,a－1≥3，))解得4≤a＜5.★考點三：探索題型中的新定義◆典例一：設(shè)a，b是任意兩個實數(shù)，用max{a，b}表示a，b兩數(shù)中較大者，例如：max{－1，－1}＝－1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，參照上面的材料，解答下列問題：(1)max{5，2}＝__5__，max{0，3}＝__3__；`(2)若max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，求x的取值范圍；(3)求函數(shù)y＝x2－2x－4與y＝－x＋2的圖象的交點坐標(biāo)，函數(shù)y＝x2－2x－4的圖象如圖1－1－2所示，請你在圖中作出函數(shù)y＝－x＋2的圖象，并根據(jù)圖象直接寫出max{－x＋2，x2－2x＋4}的最小值．【解析】(1)比較5和2，0和3的大小關(guān)系即可求得答案；(2)若max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，得－x＋1≥3x＋1，由此可求得答案；(3)求得拋物線與直線的交點坐標(biāo)，再利用新定義確定max{－x＋2，x2－2x＋4}的最小值．◆典例二：定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形．如圖①，等腰直角四邊形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°.①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求對角線BD的長．②若AC⊥BD，求證：AD＝CD.【解析】①由AB＝CD，AB∥CD，得到四邊形ABCD是平行四邊形．再根據(jù)AB＝BC，∠ABC＝90°，判斷出平行四邊形ABCD的形狀，利用勾股定理計算出BD的長．②由AB＝BC，AC⊥BD，根據(jù)等腰三角形的三線合一性得到∠ABD＝∠CBD，再證明△ABD≌△CBD；學(xué)科￥%網(wǎng)1.定義一種新的運算：x*y＝eq\f(x＋2y,x)，如：3*1＝eq\f(3＋2×1,3)＝eq\f(5,3)，則(2*3)*2＝__2__．【解析】根據(jù)新運算的定義，(2*3)*2＝eq\f(2＋2×3,2)*2＝4*2＝eq\f(4＋2×2,4)＝2.2.如果三角形滿足一個角是另一個角的3倍，那么我們稱這個三角形為“智慧三角形”，下列各組數(shù)據(jù)中，能作為一個智慧三角形三邊長的一組是(D)A．1，2，3 B．1，1，eq\r(2)C．1，1，eq\r(3) D．1，2，eq\r(3)【解析】A．1＋2＝3，不能構(gòu)成三角形．故錯誤；B.12＋12＝(eq\r(2))2，是等腰直角三角形．故錯誤；C.底邊上的高線長是eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq\f(1,2)，可知是頂角120°，底角30°的等腰三角形．故錯誤；D.解直角三角形可知該三角形是三個角分別為90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°＝3，符合“智慧三角形”的定義．故D正確．故選D.3.我們定義：當(dāng)m，n是正實數(shù)，且滿足m＋n＝mn時，就稱Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(m,n)))為“完美點”，已知點A(0，5)與點B都在直線y＝－x＋b上，且B是“完美點”，若C也是“完美點”且BC＝eq\r(2)，則點C的坐標(biāo)可以是 (B)A．(1，2) B．(2，1)C．(3，4) D．(2，4)4.如果關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說法，正確的是__②③__(寫出所有正確說法的序號)．①方程x2－x－2＝0是倍根方程；②若(x－2)(mx＋n)＝0是倍根方程，則4m2＋5mn＋n2＝0；③若點(p，q)在反比例函數(shù)y＝eq\f(2,x)的圖象上，則關(guān)于x的方程px2＋3x＋q＝0是倍根方程；④若方程ax2＋bx＋c＝0是倍根方程，且相異兩點M(1＋t，s)，N(4－t，s)都在拋物線y＝ax2＋bx＋c上，則方程ax2＋bx＋c＝0的一個根為eq\f(5,4).5.若拋物線L：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，abc≠0)與直線l都經(jīng)過y軸上的一點P，且拋物線L的頂點Q在直線l上，則稱此直線l與該拋物線L具有“一帶一路”關(guān)系．此時，直線l叫做拋物線L的“帶線”，拋物線L叫做直線l的“路線”．學(xué)科￥%網(wǎng)(1)若直線y＝mx＋1與拋物線y＝x2－2x＋n具有“一帶一路”關(guān)系，求m，n的值；(2)若某“路線”L的頂點在反比例函數(shù)y＝eq\f(6,x)的圖象上，它的“帶線”l的表達(dá)式為y＝2x－4，求此“路線”L的表達(dá)式；(3)當(dāng)常數(shù)k滿足eq\f(1,2)≤k≤2時，求拋物線L：y＝ax2＋(3k2－2k＋1)x＋k的“帶線”l與x軸，y軸所圍成的三角形的面積的取值范圍．【解答】(1)令直線y＝mx＋1中x＝0，則y＝1，即直線與y軸的交點為(0，1)，將(0，1)代入拋物線y＝x2－2x＋n中，得n＝1.∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為(1，0)．將點(1，0)代入到直線y＝mx＋1中，得0＝m＋1，解得m＝－1.解得p＝eq\f(3k2－2k＋1,2).∴“帶線”l的表達(dá)式為y＝eq\f(3k2－2k＋1,2)x＋k.令“帶線”l：y＝eq\f(3k2－2k＋1,2)x＋k中，y＝0，則0＝eq\f(3k2－2k＋1,2)x＋k，解得x＝－eq\f(2k,3k2－2k＋1).即“帶線”l與x軸的交點為eq\b\lc\(\rc