2.3確定圓的條件（七大題型）（ 原卷版）

（蘇科版）九年級上冊數(shù)學(xué)《第2章對稱圖形---圓》2.3確定圓的條件知識點一知識點一確定圓的條件◆1、確定圓的條件：圓心的位置和半徑的大小，只有確定了圓心和圓的半徑，這個圓的位置和大小才唯一確定；◆2、過已知點作圓的個數(shù)：（1）過一點可以作無數(shù)個圓；（2）經(jīng)過兩個已知點A、B能作無數(shù)個圓，這些圓的圓心在線段AB的垂直平分線上；（3）過不在同一條直線的三個點可以作一個圓.◆3、不在同一條直線上的三點確定一個圓.知識點二知識點二三角形的外接圓◆1、三角形的外接圓與外心（1）三角形的外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓，這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.（2）叫做三角形的外心．（3）三角形外心的性質(zhì)：三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等.（4）三角形外心的位置：銳角三角形：外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形：外心在三角形的外部;鈍角三角形：外心是直角三角形斜邊的中點.◆5、外接圓的作法：分別作出三角形兩條邊的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點即為該三角形的外接圓圓心，以交點為圓心，以圓心到任一頂點的距離為半徑作圓，即可得到三角形的外接圓.題型一確定圓的條件題型一確定圓的條件【例題1】（2022秋?沙坪壩區(qū)校級月考）下列條件中能夠確定一個圓的是（）A．已知圓心 B．已知半徑 C．已知三個點 D．過一個三角形的三個頂點解題技巧提煉確定一個圓有兩個重要因素，一是圓心，二是半徑，過不在同一條直線的三個點可以作一個圓.【變式1-1】下列條件中，能確定一個圓的是（）A．以點O為圓心 B．以10cm長為半徑 C．以點A為圓心，4cm長為半徑 D．經(jīng)過已知點M【變式1-2】（2022秋?裕華區(qū)校級期末）下列條件中，不能確定一個圓的是（）A．圓心與半徑 B．直徑 C．平面上的三個已知點 D．三角形的三個頂點【變式1-3】下列說法錯誤的是（）A．已知圓心和半徑可以作一個圓 B．經(jīng)過一個已知點A的圓能作無數(shù)個 C．經(jīng)過兩個已知點A，B的圓能作兩個 D．經(jīng)過不在同一直線上的三個點A，B，C只能作一個圓【變式1-4】（2022?綏中縣一模）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中三塊碎片如圖所示，三塊碎片中最有可能配到與原來一樣大小的圓形鏡子的碎片是（）A．① B．② C．③ D．均不可能【變式1-5】過A、B、C三點能確定一個圓的條件是（）①AB＝2，BC＝3，AC＝5；②AB＝3，BC＝3，AC＝2；③AB＝3，BC＝4，AC＝5．A．①② B．①②③ C．②③ D．①③題型二根據(jù)點判斷圓的個數(shù)題型二根據(jù)點判斷圓的個數(shù)【例題2】（2023?江西）如圖，點A，B，C，D均在直線l上，點P在直線l外，則經(jīng)過其中任意三個點，最多可畫出圓的個數(shù)為（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個解題技巧提煉（1）過一點可以作無數(shù)個圓；線上；（3）過不在同一條直線的三個點可以作一個圓.【變式2-1】已知點A，B間的距離為2cm，則經(jīng)過A，B兩點，半徑為2cm的圓能作（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2-2】如圖所示，點A，B，C在同一直線上，點M在AC外，經(jīng)過圖中的三個點作圓，可以作個．【變式2-3】如圖，點ABC在同一條直線上，點D在直線AB外，過這四點中的任意3個點，能畫圓的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2-4】平面上有4個點，它們不在一條直線上，但有3個點在同一條直線上．過其中3個點作圓，可以作的圓的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2-5】平面上有4個點，它們不在同一直線上，過其中3個點作圓，可以作出不重復(fù)的圓n個，則n的值不可能為（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式2-6】平面內(nèi)有A，B，C，D四個點，試探索：（1）若四點共線，則過其中三點作圓，可作個圓；（2）若有三點共線，則過其中三點作圓，可作圓；（3）若任意三點不共線，則過其中三點作圓，可作個圓；（4）過A，B，C，D四個點中的任意三點作圓，最多可以作幾個圓？最少可以作幾個圓？題型三確定圓心的位置題型三確定圓心的位置【例題3】（2023?興慶區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A，B，C的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，過這三個點作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標(biāo)為．解題技巧提煉找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個．【變式3-1】（2023?泗洪縣二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B，C都在格點上，過A，B，C三點作一圓弧，則圓心的坐標(biāo)是．【變式3-2】在平面直角坐標(biāo)系中有A，B，C三點，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．現(xiàn)在要畫一個圓同時經(jīng)過這三點，則圓心坐標(biāo)為．【變式3-3】（2022秋?歷下區(qū)期末）如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，點O，A，B，C在格點（兩條網(wǎng)格線的交點叫格點）上，以點O為原點建立直角坐標(biāo)系．（1）過A，B，C三點的圓的圓心M坐標(biāo)為．（2）求⊙M的面積（結(jié)果保留π）．【變式3-4】將圖中的破輪子復(fù)原，已知弧上三點A，B，C．（1）畫出該輪的圓心；（2）若△ABC是等腰三角形，底邊BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圓片的半徑R．題型四確定三角形外心的位置題型四確定三角形外心的位置【例題4】（2023春?儀征市期末）點I是△ABC的外心，則點I是△ABC的（）A．三條垂直平分線交點 B．三條角平分線交點 C．三條中線交點 D．三條高的交點解題技巧提煉銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．【變式4-1】若一個三角形的外心在這個三角形的邊上，那么這個三角形是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【變式4-2】（2022秋?桐廬縣期中）△ABC的外心在三角形的一邊上，則△ABC是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法判斷【變式4-3】（2023?任丘市模擬）如圖，在4×4的網(wǎng)格圖中，A、B、C是三個格點，其中每個小正方形的邊長為1，△ABC的外心可能是（）A．M點 B．N點 C．P點 D．Q點【變式4-4】（2023?邢臺一模）如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C，D，E，F(xiàn)，O均在格點上．下列三角形中，外心不是點O的是（）A．△ABC B．△ABD C．△ABE D．△ABF【變式4-5】（2022秋?承德縣期末）如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點A、B、C．D、E、F在小正方形的頂點上，則△ABC的外心是（）A．點D B．點E C．點F D．點G【變式4-6】（1）請借助網(wǎng)格和一把無刻度直尺找出△ABC的外心點O；（2）設(shè)每個小方格的邊長為1，求出外接圓⊙O的面積．題型五利用三角形外心的性質(zhì)求角度題型五利用三角形外心的性質(zhì)求角度【例題5】（2023春?橫山區(qū)校級期中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，連接OD、BD，且BD＝BC，若∠BOD＝50°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．65° B．50° C．30° D．25°解題技巧提煉主要考查了三角形的外接圓與外心，圓心角、弧、弦的關(guān)系，有時要利用等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】如圖，在△ABC中，∠BAC＝70°，AB＝AC，O為△ABC的外心，△OCP為等邊三角形，OP與AC相交于D點，連接OA．（1）求∠OAC的度數(shù)；（2）求∠AOP的度數(shù)．【變式5-2】（2022秋?錫山區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長線交邊AC于點D．（1）求證：∠BAC＝2∠ABD；（2）當(dāng)△BCD是等腰三角形時，求∠BCD的大小．題型六利用三角形外心的性質(zhì)求線段長題型六利用三角形外心的性質(zhì)求線段長【例題6】（2023?巧家縣二模）如圖，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點O為△ABC的外心，連接OA交BC于點M．若OA＝AC＝1，則BC的長為（）?A．3 B．23 C．3 D．解題技巧提煉本題考查了垂徑定理，三角形的中位線定理，勾股定理，三角形的外接圓與外心，熟練掌握垂徑定理，以及三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022?崇明區(qū)二模）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，OE⊥AB交⊙O于點E，垂足為點D，AE，CB的延長線交于點F．如果OD＝3，AB＝8，那么FC的長是．【變式6-2】如圖，點O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D、E，點M、N分別是OD、OE的中點，連接MN，若BC＝6，則MN＝．【變式6-3】（2022秋?江陰市校級月考）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，高AD經(jīng)過圓心O．（1）求證：AB＝AC；（2）若BC＝8，⊙O的半徑為5，求△ABC的面積．題型七三角形的外接圓的綜合題題型七三角形的外接圓的綜合題【例題7】（2023?湖北模擬）已知：如圖，圓O是△ABC的外接圓，AO平分∠BAC．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）當(dāng)OA＝4，AB＝6，求邊BC的長．解題技巧提煉本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵，同時還利用全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2022秋?東莞市期末）如圖，△ABC為圓O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，連接AO并延長交BC于點M．（1）求證：AM⊥BC；（2）若BC＝6，AB=310，求⊙O【變式7-2】如圖，D是△ABC的邊BC的中點，過AD延長線上的點E作AD的垂線EF，E為垂足，EF與AB的延長線相交于點F，點O在AD上，AO＝CO，BC∥EF．（1）證明：AB＝AC；（2）證明：點O是△ABC的外接圓的圓心．【變式7-3】（2022秋?漣水縣校級月考）定義：到一個三角形三個頂點的距離相等的點叫做該三角形的外心．（1）如圖①，△ABC是等邊三角形，點O是△ABC的外心，求證∠ABO＝30°（2）如圖②，△ABC是等邊三角形，分別延長等邊三角形ABC的邊AB、BC、CA到點D、E、F，使BD＝CE＝AF，連接DE，EF，DF．若點O為△ABC的外心，求證：點O也是△DEF的外心．【變式7-4】如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，連接AO，若∠BAC+∠OAB＝90°．（1）求證：AB（2）如圖2，作CD⊥AB交于D，AO的延長線交CD于E，若AO＝3，AE＝4，求線段AC的長．【變式7-5】如圖，點A和動點P在直線l上，點P關(guān)于點A的對稱點為Q，