人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修第一冊)同步講義第10講 拓展四：空間中距離問題（原卷版）

第10講拓展四：空間中距離問題（等體積法與向量法）一、知識(shí)點(diǎn)歸納知識(shí)點(diǎn)01：用向量法求空間距離1、點(diǎn)到直線的距離已知直線SKIPIF1<0的單位方向向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上的定點(diǎn)，SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0外一點(diǎn).設(shè)SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上的投影向量SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<02、點(diǎn)到平面的距離如圖，已知平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0內(nèi)的定點(diǎn)，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外一點(diǎn).過點(diǎn)SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0，交平面SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0的方向向量，且點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離就是SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上的投影向量SKIPIF1<0的長度.SKIPIF1<0二、題型精講題型01利用向量法求點(diǎn)到直線的距離【典例1】（2023春·四川雅安·高二雅安中學(xué)校考期中）直線SKIPIF1<0的方向向量為SKIPIF1<0，且l過點(diǎn)SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023秋·吉林長春·高二長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┮阎猄KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023春·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0，若點(diǎn)SKIPIF1<0和點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為___________.【變式1】（2023秋·天津·高二校聯(lián)考期末）已知空間內(nèi)三點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離是（

）．A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知空間中三點(diǎn)SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為__________．題型02點(diǎn)到平面的距離等體積法【典例1】（2023春·天津河西·高一天津市第四十二中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，直三棱柱SKIPIF1<0的體積為6，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023春·四川德陽·高二德陽五中?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，已知底面SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上一點(diǎn)．

(1)若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(2)線段SKIPIF1<0上存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．【典例3】（2023春·安徽·高一安徽省郎溪中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知空間幾何體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊長為2的等邊三角形，SKIPIF1<0是腰長為2的等腰三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)作出平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線，并說明理由；(2)求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．【典例4】（2023春·陜西商洛·高二鎮(zhèn)安中學(xué)校考期中）如圖,在四棱錐SKIPIF1<0中,已知棱SKIPIF1<0兩兩垂直且長度分別為1,1,2,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0,證明:SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0;(2)求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．【變式1】（2023春·重慶·高一重慶一中?？计谥校┤鐖D所示，在四棱錐SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0為等腰梯形，SKIPIF1<0.

(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0：(2)若SKIPIF1<0，求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【變式2】（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖，在正三棱柱SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)求直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角正切值(2)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，并求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【變式3】（2023·河南·許昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考二模）在四棱錐SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0為等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．【變式4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且E為SKIPIF1<0中點(diǎn)．求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．題型03點(diǎn)到平面的距離的向量法【典例1】（2023春·浙江溫州·高二校聯(lián)考期末）如圖所示，在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn).

(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【典例2】（2023春·高二單元測試）如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為矩形，側(cè)面SKIPIF1<0為正三角形，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上一點(diǎn)（不與SKIPIF1<0重合），平面SKIPIF1<0交棱SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0.

(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0，求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【典例3】（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，過SKIPIF1<0的平面截此正方體，得如圖所示的多面體，SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn).

(1)點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，試確定動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上的位置，并說明理由；(2)若SKIPIF1<0為底面SKIPIF1<0的中心，求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的最大距離.【變式1】（2023春·江西宜春·高二江西省清江中學(xué)?？计谥校┰诶忾L為4的正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)P在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．(1)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值大??；(2)求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．【變式2】（2023春·重慶·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示的幾何體是一個(gè)半圓柱，點(diǎn)SKIPIF1<0是半圓弧SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不重合），SKIPIF1<0為弧SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0.

(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的銳二面角的平面角為SKIPIF1<0，求此時(shí)點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【變式3】（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）在如圖所示的圓錐中，已知SKIPIF1<0為圓錐的頂點(diǎn)，SKIPIF1<0為底面的圓心，其母線長為6，邊長為SKIPIF1<0的等邊SKIPIF1<0內(nèi)接于圓錐底面，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.

(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，射線SKIPIF1<0與底面圓周交于點(diǎn)SKIPIF1<0，當(dāng)二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0時(shí)，求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.題型04點(diǎn)到平面的距離的探索性問題【典例1】（2023春·福建·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，三棱錐SKIPIF1<0的底面是以SKIPIF1<0為底邊的等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，各側(cè)棱長均為3.(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若點(diǎn)SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，線段SKIPIF1<0上是否存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離與SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離之比為SKIPIF1<0？若存在，求出此時(shí)SKIPIF1<0的長；若不存在，說明理由.【典例2】（2023春·福建漳州·高二漳州三中?？茧A段練習(xí)）如圖,四棱