圖形的相似中考復(fù)習(xí)

圖形的相似和位似考點1相似圖形的有關(guān)概念相似圖形①相同的圖形稱為相似圖形.相似多邊形兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別②，邊③，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形.相似比相似多邊形對應(yīng)④的比叫做相似比.相似三角形兩個三角形的三個角分別⑤，三條邊⑥，那么這兩個三角形相似.當(dāng)相似比等于1時，這兩個三角形⑦.考點2比例線段比例線段定義在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段.根本性質(zhì)假設(shè)=，那么ad=bc.當(dāng)b=c時，b2=ad，那么b是a、d的比例中項.黃金分割點C把線段AB分成兩條線段AC和BC(AC＞BC)，如果AC是線段AB和BC的比例中項，且==≈0.618，那么點C叫做線段AB的黃金分割點.【易錯提示】求兩條線段的比時，對這兩條線段要統(tǒng)一長度單位.考點3平行線分線段成比例根本領(lǐng)實兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段⑧.推論⑨.考點4相似三角形的判定判定1⑩于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.判定2三邊的兩個三角形相似.判定3兩邊且夾角的兩個三角形相似.判定4兩角分別的兩個三角形相似.判定5滿足斜邊和一條直角邊的兩個直角三角形相似.考點5相似三角形的性質(zhì)性質(zhì)1相似三角形的對應(yīng)角，對應(yīng)邊eq\o\ac(○,17).性質(zhì)2相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比和周長的比都等于eq\o\ac(○,18).性質(zhì)3相似三角形面積的比等于相似比的eq\o\ac(○,19).考點6位似定義如果兩個圖形不僅是eq\o\ac(○,20)圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于eq\o\ac(○,21)，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形.這個點叫做位似eq\o\ac(○,22)，這時的相似比又稱為eq\o\ac(○,23)比.性質(zhì)1.位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比(位似比).2.在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形上的對應(yīng)點的坐標的比等于eq\o\ac(○,24).【易錯提示】兩個位似圖形的位似中心可能在圖形內(nèi)部、外部、邊上或頂點上.判定三角形相似的幾條思路：(1)條件中假設(shè)有平行線，可采用相似三角形的預(yù)備定理.(2)條件中假設(shè)有一對等角，可再找一對等角(用判定4)或再找夾邊成比例(用判定3).(3)條件中假設(shè)有兩邊對應(yīng)成比例，可找夾角相等.(4)條件中假設(shè)有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊、直角邊對應(yīng)成比例.(5)條件中假設(shè)有等腰關(guān)系，可找頂角相等，可找一對底角相等，也可找底和腰對應(yīng)成比例.命題點1相似三角形的判定例1(2023·益陽)如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E.求證：△ABD∽△CBE.【思路點撥】在△ABD和△CBE中，有一個公共角，再根據(jù)等腰三角形三線合一得出AD⊥BC即可證明兩三角形相似.【解答】方法歸納：證明兩三角形相似時，要善于結(jié)合條件來選擇最恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?1.如圖，每個小正方形邊長均為1，那么以下圖中的三角形(陰影局部)與左圖中△ABC相似的是()2.(2023·本溪模擬)如圖，點D在△ABC的邊AC上，要判斷△ADB與△ABC相似，添加一個條件，不正確的選項是()A.∠ABD=∠CB.∠ADB=∠ABCC.=D.=3.(2023·貴陽)如圖，M是Rt△ABC的斜邊BC上異于B、C的一定點，過點M作直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線共有()A.1條B.2條C.3條D.4條4、〔2023湖北荊州第6題3分〕如圖，點P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個條件，不正確的選項是〔〕 A． ∠ABP=∠C B． ∠APB=∠ABC C． = D． =命題點2相似三角形的性質(zhì)例2(1)如圖，點D，E分別在AB、AC上，且∠ABC=∠AED.假設(shè)DE=4，AE=5，BC=8，那么AB的長為.(2)(2023·聊城)如圖，點D是△ABC的邊BC上任一點，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B.假設(shè)△ABD的面積為a，那么△ACD的面積為()A.aB.aC.aD.a【思路點撥】(1)從條件看可以證明△AED∽△ABC，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可求出AB的長;(2)由∠DAC=∠B，可知△ABC∽△DAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求△ACD的面積.方法歸納：求線段的長，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等來計算；求面積，利用相似三角形面積比等于相似比的平方來計算.1.(2023·重慶B卷)如圖，△ABC∽△DEF，相似比為1∶2，假設(shè)BC＝1，那么EF的長是()A.1B.2C.3D.42.(2023·涼山)如果兩個相似多邊形面積的比為1∶5，那么它們的相似比為()A.1∶25B.1∶5C.1∶2.5D.1∶3.(2023·長春)如圖，∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，那么CD的長為()A.B.C.2D.34.(2023·長沙)如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，那么△ADE和△ABC的周長之比等于.〔2023?四川成都,第5題3分〕如圖，在中，，，，, 那么的長為 〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5、〔2023?山東臨沂,第18題3分〕如圖，在△ABC中，BD，CE分別是邊AC，AB上的中線，BD與CE相交于點O，那么_________. 6、〔2023?廣東省,第13題，4分〕假設(shè)兩個相似三角形的周長比為2：3，那么它們的面積比是. 平行線分線段成比例1、〔2023?四川樂山,第5題3分〕如圖，∥∥，兩條直線與這三條平行線分別交于點A、B、C和D、E、F．，那么的值為〔〕 A．B．C．D．2、〔2023?四川眉山，第6題3分〕如圖，AD∥BE∥CF，直線l1、l2這與三條平行線分別交于點A、B、C和點D、E、F．AB=1，BC=3，DE=2，那么EF的長為〔〕 A． 4 B． 5 C． 6 D． 83、(2023·河南，第10題3分)如圖，△ABC中，點D、E分別在邊AB，BC上，DE//AC，EECDBA第10題假設(shè)DB=4，DA=2，BE=3，那么EC=. 4、(2023·貴州六盤水，第14題4分)，那么的值為．命題點3相似三角形的應(yīng)用例3(2023·濱州)某高中學(xué)校為高一新生設(shè)計的學(xué)生板凳的正面視圖如下圖.其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40cm，8cm，為使板凳兩腿底端A，D之間的距離為50cm，那么橫梁EF應(yīng)為多長？(材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計)【思路點撥】利用梯形常用的輔助線，把EF的長放到三角形中，利用相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊成比例，可求解.【解答】方法歸納：利用三角形相似解決實際問題關(guān)鍵扣住兩點：一是構(gòu)造三角形相似；二是靈活地利用相似三角形的性質(zhì).1.(2023·臺州)如圖，蹺蹺板AB的支柱OD經(jīng)過它的中點O，且垂直于地面BC，垂足為D，OD＝50cm，當(dāng)它的一端B著地時，另一端A離地面的高度AC為()A.25cmB.50cmC.75cmD.100cm2.(2023·濟寧)如圖，放映幻燈時，通過光源，把幻燈片上的圖形放大到屏幕上，假設(shè)光源到幻燈片的距離為20cm，到屏幕的距離為60cm，且幻燈片中的圖形的高度為6cm，那么屏幕上圖形的高度為cm.3、(2023?湖南株洲,第7題3分)如圖，AB、CD、EF都與BD垂直，垂足分別是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的長是 () A． B． C． D．4、(2023?江蘇南京,第3題3分)如下圖，△ABC中，DE∥BC，假設(shè)，那么以下結(jié)論中正確的選項是〔〕 A． B．C． D．5、〔2023?甘肅武威,第9題3分〕如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，DE∥AC，假設(shè)S△BDE：S△CDE=1：3，那么S△DOE：S△AOC的值為〔〕 A． B． C． D． 6.〔2023湖南岳陽第8題3分〕如圖，在△ABC中，AB=CB，以AB為直徑的⊙O交AC于點D．過點C作CF∥AB，在CF上取一點E，使DE=CD，連接AE．對于以下結(jié)論：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE為⊙O的切線，一定正確的結(jié)論全部包含其中的選項是〔〕 A． ①② B． ①②③ C． ①④ D． ①②④〔2023?四川資陽,第10題3分〕如圖6，在△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC=1，E、F為線段AB上兩動點，且∠ECF=45°，過點E、F分別作BC、AC的垂線相交于點M，垂足分別為H、G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①AB=；②當(dāng)點E與點B重合時，MH=AC；③AF+BE=EF；④MG?MH=，其中正確結(jié)論為 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ (2023·黑龍江綏化，第9題分)如圖，在矩形ABCD中，AB=10,BC=5．假設(shè)點M、N分別是線段AC、AB上的兩個動點，那么BM+MN的最小值為〔〕 A．10B．8C．5D．6 命題點4位似變換例4如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，那么點B′的坐標是()A.(-2，3)B.(2，-3)C.(3，-2)或(-2，3)D.(-2，3)或(2，-3)【思路點撥】在第二象限與第四象限分別能畫出符合條件的矩形OA′B′C′，根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方，得位似比，再利用比例式分別計算出兩種情況下B′的坐標.方法歸納：一個圖形和位似中心作位似圖形時，要注意運用分類討論思想，考慮兩個圖形在位似中心同側(cè)或位似中心兩側(cè)兩種情況，防止出現(xiàn)遺漏.1.如圖中的兩個四邊形是位似圖形，它們的位似中心是()A.點MB.點NC.點OD.點P2.如圖，以O(shè)為位似中心，把五邊形ABCDE的面積擴大為原來的4倍，得五邊形A1B1C1D1E1，那么OD∶OD1=.3、〔2023·湖北省武漢市，第6題3分〕如圖，在直角坐標系中，有兩點A(6，3)、B(6，0)．以原點O為位似中心，相似比為，在第一象限內(nèi)把線段AB縮小后得到線段CD，那么點C的坐標為〔〕A．(2，1)B．(2，0)C．(3，3)D．(3，1) 4、〔2023?四川省宜賓市，第6題，3分〕6.如圖，△OAB與△OCD是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為l：2，∠OCD=90°，CO=CD.假設(shè)B(1，0)，那么點C[中國^的坐標為() A.(1,2)B.(1,1)C.(eq\r(\s\do1(),2),eq\r(\s\do1(),2))D.(2,1) 1.(2023·溫州)如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，DE∥BC，AE=6，=，那么EC的長是()A.4.5B.8C.10.5D.142.〔2023?山東東營,第6題3分〕假設(shè)，那么的值為〔〕 A．1B．C．D．3.(2023·宜昌)如圖，點A，B，C，D的坐標分別是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E為頂點的三角形與△ABC相似，那么點E的坐標不可能是()A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2)4.(2023·寧波)如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，那么△ABC與△DCA的面積比為()A.2∶3B.2∶5C.4∶9D.∶5.〔2023?山東東營,第10題3分〕如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC．點D是線段AB上的一點，連結(jié)CD，過點B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連結(jié)DF．給出以下四個結(jié)論：①；②假設(shè)點D是AB的中點，那么AF=AB；③當(dāng)B、C、F、D四點在同一個圓上時，DF=DB；④假設(shè)，那么．其中正確的結(jié)論序號是〔〕 A．①②B．③④C．①②③D．①②③④ 6.(2023·北京)如圖，為估算某河的寬度，在河對岸邊選定一個目標點A，在近岸取點B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點E在BC上，并且點A，E，D在同一條直線上.假設(shè)測得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，那么河的寬度AB等于()A.60mB.40mC.30mD.20m7.(2023·濱州)如圖，平行于BC的直線DE把△ABC分成的兩局部面積相等，那么=.8.(2023·六盤水)如圖，添加一個條件：，使得△ADE∽△ACB.(寫出一個即可)9.(2023·天津)如圖，在邊長為9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，那么AE的長為.10.(2023·福州)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D，E分別是邊AB，AC的中點，延長BC到點F，使CF＝BC，假設(shè)AB＝10，那么EF的長是.11.如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，紙板的兩條直角邊DE=40cm，EF=20cm，測得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=8m，那么樹高AB=m.12.(2023·長沙)如圖，在△ABC中，DE∥BC，=,△ADE的面積是8，那么△ABC的面積為.13.如圖，在□ABCD中，∠ABC的平分線BF分別與AC,AD交于點E,F.(1)求證：AB=AF；(2)當(dāng)AB=3，BC=5時，求的值.14.〔2023?山東聊城,第25題12分〕如圖，在直角坐標系中，Rt△OAB的直角頂點A在x軸上，OA=4，AB=3．動點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿AO向終點O移動；同時點N從點O出發(fā)，以每秒1.25個單位長度的速度，沿OB向終點B移動．當(dāng)兩個動點運動了x秒〔0＜x＜4〕時，解答以下問題： 〔1〕求點N的坐標〔用含x的代數(shù)式表示〕； 〔2〕設(shè)△OMN的面積是S，求S與x之間的函數(shù)表達式；當(dāng)x為何值時，S有最大值？最大值是多少？ 〔3〕在兩個動點運動過程中，是否存在某一時刻，使△OMN是直角三角形？假設(shè)存在，求出x的值；假設(shè)不存在，請說明理由． 15.〔2023湖南岳陽第22題8分〕如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F(xiàn)是AM的中點，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長線于點E，交DC于點N． 〔1〕求證：△ABM∽△EFA； 〔2〕假設(shè)AB=12，BM=5，求DE的長． 16.如圖，正方形ABCD的兩邊BC、AB分別在平面直角坐標系的x軸、y軸的正半軸上，正方形A′B′C′D′與正方形ABCD是以AC的中點O′為中心的位似圖形，AC=3，假設(shè)點A′的坐標為(1，2)，那么正方形A′B′C′D′與正方形ABCD的相似比是()A.B.C.D.17.(2023·寧波)如圖，等腰直角三角形ABC頂點A、C在x軸上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象分別與AB、BC交于點D、E.連接DE.當(dāng)△BDE∽△BCA時，點E的坐標為.18.(2023·濱州)如圖，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，點P為AB邊上一動點，DP交AC于點Q.(1)求證：△APQ∽△CDQ；(2)P點從A點出發(fā)沿AB邊以每秒1個單位長度的速度向B點移動，移動時間為t秒，t為何值時，DP⊥AC？19、〔2023?浙江湖州，第23題10分〕問題背景：在△ABC中，AB邊上的動點D由A向B運動(與A，B不重合)，點E與點D同時出發(fā)，由點C沿BC的延長線方向運動(E不與C重合)，連結(jié)DE交AC于點F，點H是線段AF上一點 (1)初步嘗試：如圖1，假設(shè)△ABC是等邊三角形，DH⊥AC，且點D，E的運動速度相等，求證：HF=AH+CF小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以由以下兩種思路解決此問題： 思路一：過點D作DG∥BC，交AC于點G，先證GH=AH，再證GF=CF，從而證得結(jié)論成立. 思路二：過點E作EM⊥AC，交AC的延長線于點M，先證CM=AH，再證HF=MF，從而證得結(jié)論成立. 請你任選一種思路，完整地書寫本小題的證明過程(如用兩種方法作答，那么以第一種方法評分) (2)類比探究：如圖2，假設(shè)在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且點D，E的運動速度之比是：1，求的值. (3)延伸拓展：如圖3，假設(shè)在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，記=m，且點D、E的運動速度相等，試用含m的代數(shù)式表示(直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程). 參考答案考點解讀①形狀②相等③成比例④邊⑤相等⑥成比例⑦全等⑧成比例⑨平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例⑩平行?成比例?成比例?相等?相等?成比例?相等eq\o\ac(○,17)成比例eq\o\ac(○,18)相似比eq\o\ac(○,19)平方eq\o\ac(○,20)相似eq\o\ac(○,21)一點eq\o\ac(○,22)中心eq\o\ac(○,23)位似eq\o\ac(○,24)k或-k各個擊破例1在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC.∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°.又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE.題組訓(xùn)練1.B2.C3.C例2(1)10(2)C題組訓(xùn)練1.B2.D3.B4.1∶2例3過點C作CM∥AB，交EF,AD于N,M，作CP⊥AD，交EF,AD于Q,P.由題意，得四邊形ABCM是平行四邊形，∴EN=AM=BC=20cm.∴MD=AD-AM=50-20=30(cm).由題意知CP=40cm，PQ=8cm，∴CQ=32cm.∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD.∴=，即=.解得NF=24.∴EF=EN+NF=20+24=44(cm).答：橫梁EF應(yīng)為44cm.題組訓(xùn)練1.D2.18例4D題組訓(xùn)練1.D2.1∶2整合集訓(xùn)1.B2.B3.B4.C5.A6.B7.8.9.710.511.5.512.1813.(1)證明：∵在□ABCD中，AD∥BC，∴∠AFB=∠FBC.∵BF是∠ABC的平分線，∴∠ABF=∠FBC.∴∠AFB=∠ABF.∴AB=AF.(2)∵∠AEF=∠CEB，∠AFB=∠FBC，∴△AEF∽△CEB.∴==.∴=.14.： 解：〔1〕根據(jù)題意得：MA=x，ON=1.25x，在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB===5，作NP⊥OA于P，如圖1所示：那么NP∥AB，∴△OPN∽△OAB，∴，即，解得：OP=x，PN=，∴點N的坐標是〔x，〕；〔2〕在△OMN中，OM=4﹣x，OM邊上的高PN=，∴S=OM?PN=〔4﹣x〕?=﹣x2+x，∴S與x之間的函數(shù)表達式為S=﹣x2+x〔0＜x＜4〕，配方得：S=﹣〔x﹣2〕2+，∵﹣＜0，∴S有最大值，當(dāng)x=2時，S有最大值，最大值是；〔3〕存在某一時刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：分兩種情況：①假設(shè)∠OMN=90°，如圖2所示：那么MN∥AB，此時OM=4﹣x，ON=1.25x，∵MN∥AB，∴△OMN∽△OAB，∴，即，解得：x=2；②假設(shè)∠ONM=90°，如圖3所示：那么∠ONM=∠OAB，此時OM=4﹣x，ON=1.25x，∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，∴△OMN∽△OBA，∴，即，解得：x=；綜上所述：x的值是2秒或秒．15.(1)∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°.又∵AC是⊙O的切線，∴AB⊥AC，即∠BAC=90°，∴∠CAD+∠BAD=90°，∴∠ABD=∠CAD.∵∠ABD=∠BDO=∠CD