人教A版高中數(shù)學(選擇性必修第一冊)同步講義第35講 拓展四：圓錐曲線的方程（面積問題）（原卷版）

第10講拓展四：圓錐曲線的方程（面積問題）一、知識點歸納知識點一：三角形面積問題直線SKIPIF1<0方程：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0知識點二：焦點三角形的面積直線SKIPIF1<0過焦點SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0注意：SKIPIF1<0為聯(lián)立消去SKIPIF1<0后關(guān)于SKIPIF1<0的一元二次方程的二次項系數(shù)知識點三：平行四邊形的面積直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0注意：SKIPIF1<0為直線與橢圓聯(lián)立后消去SKIPIF1<0后的一元二次方程的系數(shù).知識點四：范圍問題首選均值不等式，其實用二次函數(shù)，最后選導數(shù)均值不等式SKIPIF1<0變式：SKIPIF1<0作用：當兩個正數(shù)的積為定值時求出這兩個正數(shù)的和的最小值；當兩個正數(shù)的和為定值時求出這兩個正數(shù)的積的最大值注意：應用均值不等式求解最值時，應注意“一正二定三相等”圓錐曲線經(jīng)常用到的均值不等式形式列舉：（1）SKIPIF1<0（注意分SKIPIF1<0三種情況討論）（2）SKIPIF1<0當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立（3）SKIPIF1<0當且僅當SKIPIF1<0時等號成立.（4）SKIPIF1<0當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立(5)SKIPIF1<0當且僅當SKIPIF1<0時等號成立.二、題型精講題型01橢圓中三角形（四邊形）的面積問題（定值）【典例1】（2023春·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓SKIPIF1<0的焦點坐標為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上一點.(1)求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；(2)經(jīng)過點SKIPIF1<0且傾斜角為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0為坐標原點，求SKIPIF1<0的面積.【典例2】（2023春·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習）已知橢圓C：SKIPIF1<0的一個焦點為SKIPIF1<0，且離心率為SKIPIF1<0．(1)求橢圓C的方程；(2)若過橢圓C的左焦點，傾斜角為SKIPIF1<0的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，求SKIPIF1<0的面積．【典例3】（2023春·湖北·高二黃石二中校聯(lián)考階段練習）已知圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，動圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相外切，與圓SKIPIF1<0相內(nèi)切.(1)求動圓SKIPIF1<0的圓心的軌跡方程；(2)過點SKIPIF1<0的兩直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別交動圓SKIPIF1<0圓心的軌跡于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.求四邊形SKIPIF1<0的面積.【變式1】（2023·湖南長沙·長郡中學?？级＃┮阎獔ASKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上任意一點，線段SKIPIF1<0的垂直平分線與半徑SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，當點SKIPIF1<0運動時，點SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0．(1)求曲線SKIPIF1<0的方程；(2)過點SKIPIF1<0的直線與曲線SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0軸相交于點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的另一條直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0面積的SKIPIF1<0倍，求直線SKIPIF1<0的方程．

【變式2】（2023·上海閔行·上海市七寶中學?？既＃┮阎猄KIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的左頂點，SKIPIF1<0是橢圓上不同的兩點．(1)求橢圓SKIPIF1<0的焦距和離心率；(2)設SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別共線，求證：SKIPIF1<0三點共線；(3)若SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．【變式3】（2023春·湖北荊州·高二統(tǒng)考階段練習）已知橢圓C：SKIPIF1<0的上頂點為K，左右頂點分別為A，B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0．(1)求橢圓C的方程；(2)O為坐標原點，O，B關(guān)于直線L對稱，過直線L與x軸的交點作斜率為k的直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N（異于A，B兩點），直線AM，AN分別交直線L于P，Q兩點，當四邊形APBQ的面積為4時，求k的值．題型02橢圓中三角形（四邊形）的面積問題（最值或范圍）【典例1】（2023春·貴州·高二貴州師大附中校聯(lián)考階段練習）已知SKIPIF1<0為坐標原點，橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的上頂點到右頂點的距離為SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的動點，設直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0的面積的最大值.【典例2】（2023春·江西贛州·高二校聯(lián)考階段練習）已知SKIPIF1<0的兩頂點坐標SKIPIF1<0．(1)求動點SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程；(2)不垂直于SKIPIF1<0軸的動直線SKIPIF1<0與軌跡SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點，定點SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱，求SKIPIF1<0面積的取值范圍．【典例3】（2023春·四川德陽·高二德陽五中?？茧A段練習）已知點SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0滿足直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0.記動點SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0.(1)求曲線SKIPIF1<0的方程，并說明SKIPIF1<0是什么曲線；(2)設SKIPIF1<0為曲線SKIPIF1<0上的兩動點，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.①求證：直線SKIPIF1<0恒過一定點；②設SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.【變式1】（2023·河南·洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0的周長為8，且點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)設直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0交于C，D兩點，當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0面積的取值范圍．

【變式2】（2023春·上海黃浦·高三上海市大同中學?？茧A段練習）已知橢圓SKIPIF1<0．(1)求該橢圓的離心率；(2)設點SKIPIF1<0是橢圓C上一點，求證：過點P的橢圓C的切線方程為SKIPIF1<0；(3)若點M為直線l：x=4上的動點，過點M作該橢圓的切線MA，MB，切點分別為SKIPIF1<0，求△SKIPIF1<0的面積的最小值．【變式3】（2023·北京大興·?？既＃┮阎獧E圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，且離心率為SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)直線SKIPIF1<0分別交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，若線段SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，求SKIPIF1<0面積的最大值.題型03雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題（定值）【典例1】（2023春·上海寶山·高二上海交大附中?？计谥校┮阎p曲線SKIPIF1<0，及直線SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有且只有一個公共點，求實數(shù)SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的左右兩支分別交于A、B兩點，且SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求實數(shù)SKIPIF1<0的值.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線C：SKIPIF1<0的一條漸近線方程為SKIPIF1<0，焦點到漸近線的距離為1．(1)求雙曲線C的標準方程與離心率；(2)已知斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與雙曲線C交于x軸下方的A，B兩點，O為坐標原點，直線OA，OB的斜率之積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．【典例3】（2023·全國·模擬預測）已知雙曲線SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，焦距為SKIPIF1<0．點SKIPIF1<0在第一象限的雙曲線上，過點SKIPIF1<0作雙曲線切線與直線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)已知斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與雙曲線左支交于SKIPIF1<0兩點，若直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率互為相反數(shù)，求SKIPIF1<0的面積．【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知M是平面直角坐標系內(nèi)的一個動點，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0垂直，A為垂足且位于第一象限，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0垂直，B為垂足且位于第四象限，四邊形SKIPIF1<0（O為原點）的面積為8，動點M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程；(2)已知SKIPIF1<0是軌跡C上一點，直線l交軌跡C于P，Q兩點，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之和為1，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積.【變式2】（2023春·湖北荊州·高二統(tǒng)考階段練習）已知雙曲線C：SKIPIF1<0的左，右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都在圓SKIPIF1<0上，連接雙曲線C的兩個實軸端點、兩個虛軸端點組成的菱形的面積為SKIPIF1<0．(1)求雙曲線C的標準方程；(2)設P是雙曲線C與圓SKIPIF1<0在第一象限的交點，求SKIPIF1<0的面積．題型04雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題（最值或范圍）【典例1】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，動點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離與它到直線SKIPIF1<0的距離之比為2，記SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0.(1)求曲線SKIPIF1<0的方程；(2)過SKIPIF1<0的直線交曲線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點（均位于SKIPIF1<0軸右側(cè)），SKIPIF1<0關(guān)于原點的對稱點為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積的取值范圍.【典例2】（2023·浙江金華·模擬預測）P是雙曲線SKIPIF1<0右支上一點，A，B是雙曲線的左右頂點，過A，B分別作直線PA，PB的垂線AQ，BQ，AQ與BQ的交點為Q，PA與BQ的交點為C．(1)記P，Q的縱坐標分別為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)記SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的取值范圍．【變式1】（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習）在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0.以G為圓心作一個半徑為6的圓，點P是圓上一動點，線段AP的垂直平分線與直線GP相交于點Q.(1)求Q的軌跡方程；(2)過原點斜率為SKIPIF1<0的直線l交曲線Q于B，C兩點，求四邊形GBAC面積的最大值.【變式2】（2023·高二課時練習）如圖，已知雙曲線SKIPIF1<0，經(jīng)過點SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，與SKIPIF1<0的漸近線交于SKIPIF1<0兩點（從左至右的順序依次為SKIPIF1<0），其中SKIPIF1<0.(1)若點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0面積的最小值.【變式3】（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學?？茧A段練習）已知雙曲線SKIPIF1<0，其左、右焦點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上有一點P滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求b；(2)過SKIPIF1<0作直線l交SKIPIF1<0于B、C，取BC中點D，連接OD交雙曲線于E、H，當BD與EH的夾角為SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0的取值范圍．題型05拋物線中三角形（四邊形）的面積問題（定值）【典例1】（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考二模）已知拋物線T：SKIPIF1<0和橢圓C：SKIPIF1<0，過拋物線T的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，線段AB的中垂線交橢圓C于M，N兩點．(1)若F恰是橢圓C的焦點，求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0恰好被SKIPIF1<0平分，求SKIPIF1<0的面積．【典例2】（2023春·湖北孝感·高二統(tǒng)考期中）如圖所示，已知直線與拋物線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若線段SKIPIF1<0的垂直平分線與拋物線交于SKIPIF1<0兩點，求SKIPIF1<0的面積.【變式1】（2023·陜西安康·統(tǒng)考三模）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0.(1)求拋物線SKIPIF1<0的方程；(2)過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積.【變式2】（2023秋·青海西寧·高二?？计谀┰O橢圓SKIPIF1<0的四個頂點圍成的菱形的面積為4，且點SKIPIF1<0為橢圓上一點.拋物線SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱.(1)求橢圓SKIPIF1<0及拋物線SKIPIF1<0的方程；(2)直線SKIPIF1<0與橢圓交于SKIPIF1<0，與拋物線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0（異于原點），若SKIPIF1<0，求四邊形SKIPIF1<0的面積.題型06拋物線中三角形（四邊形）的面積問題（最值或范圍）【典例1】（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點在坐標軸上，設SKIPIF1<0是拋物線上一點．(1)求拋物線方程；(2)若拋物線的焦點