自動(dòng)控制原理 第3版 PPT課件 第7章

自動(dòng)控制原理（第3版）孟華主編機(jī)械工業(yè)出版社普通高等教育“十一五”國家級(jí)規(guī)劃教材

遼寧省“十二五”普通高等教育本科省級(jí)規(guī)劃教材第7章離散控制系統(tǒng)2023/11/272第7章離散控制系統(tǒng)7.1概述7.2采樣過程與采樣定理7.3Z變換理論7.4離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述7.5離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及瞬態(tài)響應(yīng)7.6離散系統(tǒng)的數(shù)字控制器設(shè)計(jì)7.7MATLAB在離散控制系統(tǒng)中的應(yīng)用2023/11/2737.1概述離散控制系統(tǒng)（又稱為采樣控制系統(tǒng)），與連續(xù)控制系統(tǒng)的根本區(qū)別在于：離散系統(tǒng)有一處或幾處信號(hào)是時(shí)間的離散函數(shù)。

(7-1)圖7.1是離散系統(tǒng)的方框圖。圖中兩個(gè)采樣開關(guān)的動(dòng)作一般是同步的，因此可等效地簡化為圖7.2的形式。圖7.1離散系統(tǒng)方框圖圖7.2離散系統(tǒng)簡化方框圖誤差2023/11/274圖7.3離散型時(shí)間函數(shù)采樣開關(guān)經(jīng)一定時(shí)間T后閉合，每次閉合時(shí)間為τ(τ<<T)，如圖所示。

自動(dòng)控制原理5

離散控制系統(tǒng)最常見形式是數(shù)字控制系統(tǒng)。圖中用于控制的計(jì)算機(jī)D工作在離散狀態(tài)，被控對(duì)象G(s)工作在模擬狀態(tài)。

由于A/D和D/A轉(zhuǎn)換器的轉(zhuǎn)換精度一般都比較高，轉(zhuǎn)換所造成的誤差通常可忽略不計(jì)，因此A/D和D/A轉(zhuǎn)換器可以用采樣開關(guān)來表示。簡化2023/11/276

將連續(xù)信號(hào)通過采樣開關(guān)(或采樣器)變換成離散信號(hào)的過程稱為采樣過程。相鄰兩次采樣的時(shí)間間隔稱為采樣周期T。等速采樣:采樣開關(guān)以相同的采樣周期T動(dòng)作，又稱為周期采樣多速采樣:系統(tǒng)中有n個(gè)采樣開關(guān)分別按不同周期動(dòng)作隨機(jī)采樣:采樣開關(guān)動(dòng)作是隨機(jī)的采樣頻率：采樣角頻率：采樣可分為：7.2采樣過程與采樣定理7.2.1采樣過程及其數(shù)學(xué)描述2023/11/277

采樣過程如圖7.6所示。(a)

(b)

(c)

圖7.6采樣過程寫出脈沖序列x*(t)表達(dá)式為(7-2)由于τ<<T，該矩形脈沖可近似用理想單位脈沖來描述，即(7-3)2023/11/278

式(7-4)表明，離散信號(hào)是由一系列脈沖組成，在采樣時(shí)刻t=kT，脈沖的面積就等于該時(shí)刻連續(xù)信號(hào)x(t)的值x(kT)。式(7-4)也可寫作

(7-5)

因此，采樣過程從物理意義上可以理解為脈沖調(diào)制過程。采樣開關(guān)對(duì)連續(xù)信號(hào)x(t)進(jìn)行采樣后，其輸出的離散時(shí)間信號(hào)x*(t)可表示為(7-4)

2023/11/2797.2.2采樣定理

在設(shè)計(jì)離散控制系統(tǒng)中，采樣周期的選擇是一個(gè)關(guān)鍵問題。假設(shè)連續(xù)信號(hào)x(t)的頻率特性為(7-6)該信號(hào)的頻譜|X(jω)|是一個(gè)單一的連續(xù)頻譜，其最高頻率為ωmax，如圖所示。根據(jù)式(7-5)，離散信號(hào)x*(t)的拉普拉斯變換為(7-7)2023/11/2710式中ωs=2π/T為采樣頻率，X(s)為x(t)的拉氏變換。若X*(s)的極點(diǎn)全都位于s左平面，可令s=jω，求得x*(t)的傅氏變換為(7-8)式中X(jω)為連續(xù)信號(hào)x(t)的傅氏變換，|X(jω)|即為x(t)的頻譜，即(7-9)2023/11/2711當(dāng)ωs≥2ωmax時(shí)，離散信號(hào)的頻譜為無限多個(gè)孤立頻譜組成的離散頻譜，其中與k=0對(duì)應(yīng)的是采樣前原連續(xù)信號(hào)的頻譜，幅值為原來的1/T，如圖7.7(b)所示。

若ωs<2ωmax，離散信號(hào)x*(t)的頻譜不再由孤立頻譜構(gòu)成，而是一種與原來連續(xù)信號(hào)x(t)的頻譜毫不相似的連續(xù)頻譜，如圖7.7(c)所示。2023/11/2712定理7.1(Shannon定理)：如果對(duì)一個(gè)具有有限頻譜(-ωmax<ω<ωmax)的連續(xù)信號(hào)采樣，當(dāng)采樣角頻率時(shí)，則由采樣得到的離散信號(hào)能夠無失真地恢復(fù)到原來的連續(xù)信號(hào)。(7-10)幾點(diǎn)說明：(1)采樣定理給出的是由采樣脈沖序列無失真地再現(xiàn)原連續(xù)信號(hào)所必需的最大采樣周期或最低采樣頻率。(2)將離散信號(hào)x*(t)通過一個(gè)理想低通濾波器，就可以把ωs>ωmax的高頻分量全部濾除掉，僅留下X(jω)/T部分，再經(jīng)過放大器對(duì)1/T進(jìn)行補(bǔ)償，便可無失真地將原連續(xù)信號(hào)x(t)完整地提取出來。

(3)采樣周期T是離散控制系統(tǒng)中的一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)。如果采樣周期選得越小，即采樣頻率越高，對(duì)被控系統(tǒng)的信息了解得也就越多，控制效果也就越好。2023/11/27137.2.3信號(hào)的恢復(fù)信號(hào)恢復(fù)/保持就是將離散時(shí)間信號(hào)變成連續(xù)時(shí)間信號(hào)。實(shí)現(xiàn)保持功能的器件稱為保持器(圖7.8)。圖7.8保持器方塊圖具有常值、線性、二次函數(shù)(如拋物線)型外推規(guī)律的保持器，分別稱為零階、一階、二階保持器。工程實(shí)踐中普遍采用零階保持器。零階保持器是一種按常值規(guī)律外推的保持器。它把前一個(gè)采樣時(shí)刻kT的采樣值x(kT)不增不減地保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻(k+1)T。當(dāng)下一個(gè)采樣時(shí)刻(k+1)T到來時(shí)應(yīng)換成新的采樣值[(k+1)T]繼續(xù)外推。也就是說，kT時(shí)刻的采樣值只能保存一個(gè)采樣周期T，到下一個(gè)采樣時(shí)刻到來時(shí)應(yīng)立即停止作用，下降為零。2023/11/2714

零階保持器的時(shí)域特性gh(t)如圖7.9(a)所示。它是高度為1寬度為T的方波。高度等于1，說明采樣值經(jīng)過保持器既不放大、也不衰減；寬度等于T，說明零階保持器對(duì)采樣值保存一個(gè)采樣周期。圖7.9(a)所示的gh(t)可以分解為兩個(gè)階躍函數(shù)之和，如圖7.9(b)所示。圖7.9零階保持器的時(shí)域特性(b)(a)2023/11/2715(7-11)

則零階保持器的傳遞函數(shù)為(7-12)

令s=jω，帶入式(7-12)中得零階保持器頻率特性為(7-13)

或?qū)懗?7-14)

因此零階保持器的單位脈沖響應(yīng)gh(t)是一個(gè)幅值為1、持續(xù)時(shí)間為T的矩形脈沖，可表示為兩個(gè)階躍函數(shù)之和，即2023/11/2716式(7-14)中，|Gh(jω)|為零階保持器的幅頻特性或頻譜；∠Gh(jω)為零階保持器的相頻特性。它們與頻率ω的關(guān)系分別為(7-15)(7-16)2023/11/2717

從幅頻特性來看，零階保持器是具有高頻衰減特性的低通濾波器，且頻率越高衰減越劇烈，ω→0時(shí)的幅值為T；從相頻特性來看，零階保持器具有負(fù)的相角，會(huì)對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生不利的影響。圖7.10零階保持器的幅頻與相頻特性2023/11/2718

零階保持器有無窮多個(gè)截止頻率。所以零階保持器并不是只有一個(gè)截止頻率的理想低通濾波器，因此由零階保持器恢復(fù)的連續(xù)信號(hào)xh(t)與原連續(xù)信號(hào)x(t)是有差異的。此外零階保持器引入了附加的滯后相移，xh(t)比x(t)在時(shí)間上平均滯后半個(gè)采樣周期（如圖7.11中虛線所示），這使系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性有所降低。圖7.11零階保持器的輸出信號(hào)2023/11/2719連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)經(jīng)采樣周期為T的采樣開關(guān)后，得到離散信號(hào)x*(t)(式7-4)，即

對(duì)上式表示的離散信號(hào)進(jìn)行拉氏變換，可得(7-17)

式中X*(s)是離散時(shí)間函數(shù)x*(t)的拉氏變換。1、Z變換定義7.3Z變換理論7.3.1Z變換定義和性質(zhì)2023/11/2720因復(fù)變量s包含在指數(shù)函數(shù)e-kTs中不便計(jì)算，故引進(jìn)一個(gè)新變量z，即(7-18)式中，T為采樣周期。將式(7-18)代入式(7-17)，便得到以z為變量的函數(shù)X(z)，即

(7-19)式中X(z)稱為離散時(shí)間函數(shù)X*(s)的Z變換，記為

在Z變換中，考慮的是連續(xù)時(shí)間信號(hào)經(jīng)采樣后的離散時(shí)間信號(hào)，或者說考慮的是連續(xù)時(shí)間函數(shù)在采樣時(shí)刻的采樣值，而不考慮采樣時(shí)刻之間的值。

2023/11/2721

Z變換有一些基本定理，可以使Z變換的應(yīng)用變得簡單和方便，在許多方面與拉普拉斯變換的基本定理有相似之處。(1)線性定理設(shè)函數(shù)x(t)、x1(t)、x2(t)的Z變換分別為X(z)、X1(z)及X2(z)，a為常數(shù)，則有(7-21)(7-22)此定理可由Z變換定義直接證得。2、Z變換性質(zhì)2023/11/2722(2)時(shí)移定理如果函數(shù)x(t)的z變換為X(z)，則式(7-23)亦稱延遲定理，式(7-24)亦稱超前定理。(7-23)(7-24)證明首先證明式(7-23)。令i–k=r，由則求得2023/11/2723因?yàn)閠＜0時(shí)x(t)=0，則x(–kT)=???=x(–2T)=x(–T)=0，則式(7-25)可寫成式7-23，命題得證。延遲定理說明，原函數(shù)在時(shí)域中延遲k個(gè)采樣周期，相當(dāng)于像函數(shù)乘以z–k

。(7-25)2023/11/2724再證明式(7-24)，由，令i+k=r，則求得若滿足x(0)=x(T)=???=x[(k–1)T]=0，上式可簡寫為(7-26)算子zk的意義，相當(dāng)于把時(shí)間信號(hào)超前k個(gè)采樣周期。2023/11/2725(3)初值定理如果函數(shù)x(t)的Z變換為X(z)，并且t＜0時(shí)有x(t)=0，則(7-27)證明由Z變換定義可得在上式中，當(dāng)z→∞時(shí)，除第一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)均為零，即2023/11/2726(4)終值定理如果函數(shù)x(t)的Z變換X(z)的極點(diǎn)均位于z平面的單位圓內(nèi)，且不含有z=1的二重以上的極點(diǎn)，則x(t)的終值為(7-28)證明由得當(dāng)z→1時(shí)，兩邊取極限得2023/11/27277.3.2Z變換方法(1)級(jí)數(shù)求和法式(7-19)是離散函數(shù)x*(t)的Z變換的級(jí)數(shù)展開形式，將其改寫成(7-29)該式是Z變換的一種級(jí)數(shù)表達(dá)式。顯然，只要知道連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)在各采樣時(shí)刻kT(k=0,1,2,???)上的采樣值x(kT)，便可求出Z變換的級(jí)數(shù)展開式。這種級(jí)數(shù)展開式具有無窮多項(xiàng)，是開放的，如果不能寫成閉式，是很難應(yīng)用的。一些常用函數(shù)的Z變換的技術(shù)展開式可以寫成閉式的形式。2023/11/2728例7-1

試求單位階躍函數(shù)1(t)的Z變換。解單位階躍函數(shù)1(t)在所有采樣時(shí)刻上的采樣值均為1，即將上式代入式(7-21)，得或(7-30)上式中，若|z|＞1，可寫成如下的封閉形式，即(7-31)2023/11/2729例7-2

試求衰減的指數(shù)函數(shù)e-at(a＞0)的Z變換。解將e-at在各采樣時(shí)刻的采樣值代入式(7-29)中，得(7-32)若|eatz|>1,則上式可寫成閉式的形式，即(7-33)例7-3

試求函數(shù)ak的Z變換。解將ak在各采樣時(shí)刻的采樣值代入式(7-21)中得(7-34)將該級(jí)數(shù)寫成閉合形式，得ak的Z變換，即(7-35)2023/11/2730例7-4

試求函數(shù)x(t)=sinωt的Z變換。解因?yàn)樗?7-36)通過級(jí)數(shù)求和法求取已知函數(shù)Z變換的缺點(diǎn)在于：需要將無窮級(jí)數(shù)寫成閉合形式。在某些情況下需要很高的技巧。Z變換的無窮級(jí)數(shù)形式(7-29)的優(yōu)點(diǎn)在于具有鮮明的物理含義。2023/11/2731(2)部分分式法設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)的拉普拉斯變換X(s)為有理函數(shù)，并具有如下形式將X(s)展開成部分分式和的形式，即由拉氏變換知，與項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)為，根據(jù)式(7-33)便可求得其Z變換為，因此，函數(shù)x(t)的Z變換可由X(s)求得(7-38)(7-37)(7-39)2023/11/2732例7-5

利用部分分式法求取正弦函數(shù)sinωt的Z變換。解已知，將分解成部分分式和的形式，即由于拉氏變換的原函數(shù)為；再根據(jù)式(7-33)可求得上式的Z變換(7-40)2023/11/2733例7-6

已知連續(xù)函數(shù)x(t)的拉氏為，求連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)的Z變換。解將X(s)展成如下部分分式對(duì)上式逐項(xiàng)取拉氏反變換，得據(jù)求得的時(shí)間函數(shù)，逐項(xiàng)寫出相應(yīng)的Z變換，得(7-41)2023/11/2734(3)留數(shù)計(jì)算法假如已知連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)的拉氏變換X(s)及全部極點(diǎn)si(i=1,2,3,???,n)，則x(t)的Z變換X(z)可通過留數(shù)計(jì)算求得。先分析X(z)和X(s)的關(guān)系。由拉氏反變換式有當(dāng)對(duì)x(t)以采樣周期T進(jìn)行采樣后，其采樣值為(7-42)而x(kT)的Z變換為(7-43)2023/11/2735將式(7-42)代入式(7-43)得符合收斂條件|z|＞|eTs|時(shí)，可寫成閉式將此其代入式(7-43)，得(7-44)這就是由拉普拉斯變換函數(shù)直接求相應(yīng)的Z變換函數(shù)的關(guān)系式。這個(gè)積分可以應(yīng)用留數(shù)定理來計(jì)算。2023/11/2736即(7-45)式中，–si為X(s)的極點(diǎn)；n為X(s)的極點(diǎn)個(gè)數(shù)；表示求F(s)在s=–si處的留數(shù)。(7-46)若–si為X(s)的ri重極點(diǎn)，則(7-47)若–si為X(s)的單極點(diǎn)，則

2023/11/2737例7-7

已知解

由X(s)可知s1=0為二重極點(diǎn)，s2=–1為單極點(diǎn)，則可根據(jù)式(7-46)和式(7-47)計(jì)算留數(shù)，即求X(z).2023/11/27387.3.3Z反變換方法

根據(jù)X(z)求離散時(shí)間信號(hào)x*(t)或采樣時(shí)刻值的一般表達(dá)式x(kT)的過程稱為Z反變換，記為Z-1[X(z)]。下面介紹三種常用求Z反變換的方法。(1)長除法由函數(shù)的Z變換表達(dá)式，直接利用長除法求出按z-1升冪排列的級(jí)數(shù)形式，再經(jīng)過拉氏反變換，求出原函數(shù)的脈沖序列。

X(z)的一般形式為2023/11/2739用長除法求出z-1的升冪形式，即(7-48)求X(z)=的Z反變換，其中e-aT=0.5。例7-8解用長除法將X(z)展開為無窮級(jí)數(shù)形式相應(yīng)的脈沖序列為2023/11/2740(2)部分分式法通過部分分式法求取Z反變換的過程，與應(yīng)用部分分式法求取拉普拉斯反變換很相似。首先需將用部分分式法展開成形式的諸項(xiàng)之和，即(7-49)再將等號(hào)兩邊同乘以復(fù)變量z，通過Z反變換求取相應(yīng)的時(shí)間函數(shù)，最后將上述各時(shí)間函數(shù)求和即可。例7-9求的Z反變換。解首先將展開成下列部分分式2023/11/2741由此可得得根據(jù)t=kT，并且只考慮采樣時(shí)刻的函數(shù)值，則x*(t)還可用x(t)來表示，即再由2023/11/2742(3)留數(shù)計(jì)算法留數(shù)法又稱反演積分法。實(shí)際問題中遇到的Z變換函數(shù)X(z)除有理分式外也可能是超越函數(shù)，此時(shí)無法應(yīng)用部分分式法或冪級(jí)數(shù)法來求取Z反變換，只能采用留數(shù)計(jì)算法。若x(kT)的Z變換為X(z)，則有(7-50)式中，積分曲線c為逆時(shí)針方向包圍X(z)zk-1全部極點(diǎn)的圓。式(7-50)可等效為(7-51)上式表明，x(kT)為函數(shù)X(z)zk-1在其全部極點(diǎn)上的留數(shù)之和。2023/11/2743例7-10

求的Z反變換。或解

例7-11

求的Z反變換。

解

X(z)中互不相同的極點(diǎn)為z1=a及z2=1，2023/11/2744由此可求得X(z)的Z反變換為其中z1為單極點(diǎn)，即r1=1；z2為二重極點(diǎn)，即r2=2，不相同的極點(diǎn)數(shù)為l=2。則2023/11/2745差分方程是反映離散系統(tǒng)輸入-輸出序列之間的運(yùn)算關(guān)系。微分方程中的各項(xiàng)包含有連續(xù)自變量的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)。差分方程中自變量是離散的，方程的各項(xiàng)除了包含有這種離散變量的函數(shù)，還包含此函數(shù)序數(shù)增加或減少的函數(shù)。7.4離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述7.4.1線性常系數(shù)差分方程2023/11/2746

設(shè)系統(tǒng)為一階慣性環(huán)節(jié)，如圖7.12(a)所示。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為其微分方程為

該連續(xù)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的離散系統(tǒng)如圖7.12(b)所示。采樣開關(guān)Ka對(duì)輸入信號(hào)每隔T秒采樣一次，得序列。輸出經(jīng)過與Ka同步的采樣開關(guān)Kb后的序列為。下面來研究y(kT)與x(kT)之間的關(guān)系。(7-52)2023/11/2747(a)(b)圖7.12連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng)的方框圖

與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中求解微分方程的方法一樣，對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)，求解差分方程時(shí)也可以分別求出其零輸入分量和零狀態(tài)分量，然后迭加得到方程的全解。考察在t＞kT時(shí)的情況。當(dāng)t→kT而該時(shí)刻的脈沖尚未施加時(shí)，由該時(shí)刻開始的零輸入分量為(7-53)2023/11/2748由于此系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是。(7-54)于是，t＞kT后的系統(tǒng)總輸出為(7-55)當(dāng)t=(k+1)T時(shí)，式(7.55)為或(7-56)(7-57)所以當(dāng)t=kT，第k個(gè)脈沖x(kT)δ(t–kT)加于系統(tǒng)后，系統(tǒng)輸出的零狀態(tài)分量為2023/11/2749

差分方程描述了系統(tǒng)在第k個(gè)采樣周期時(shí)輸入與輸出信號(hào)的關(guān)系。從式中可以看出，差分方程的系數(shù)與采樣周期T有關(guān)。假設(shè)時(shí)間間隔T足夠小，當(dāng)t=kT時(shí)，有因此，式(7-52)可改寫為經(jīng)整理后，可得(7-58)對(duì)于一個(gè)物理系統(tǒng)，用常系數(shù)線性n階差分方程來描述時(shí)，一般形式為(7-59)式中，ai和bi(i=0,1,2,???,n)均為常數(shù)。2023/11/27507.4.2脈沖傳遞函數(shù)(1)脈沖傳遞函數(shù)定義在線性連續(xù)系統(tǒng)中，當(dāng)初始條件為零的情況下分別取輸入r(t)和輸出c(t)的拉氏變換，則它們的比值C(s)/R(s)=G(s)稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。在離散系統(tǒng)中也有同樣的表達(dá)方法，在初始條件為零的情況下取輸出Z變換與輸入Z變換之比(7-60)上式稱為系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)，也稱z傳遞函數(shù)。2023/11/2751下面從系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的角度推導(dǎo)脈沖傳遞函數(shù)，并說明其物理意義。設(shè)輸入信號(hào)r(t)經(jīng)采樣開關(guān)后為一脈沖序列，如圖7.13(a)所示。這一脈沖序列作用于系統(tǒng)的G(s)時(shí)，系統(tǒng)輸出為一系列脈沖響應(yīng)之和，如圖7.13所示。(a)(b)(c)圖7.13脈沖響應(yīng)2023/11/2752當(dāng)0≤t<T時(shí)，作用于G(s)的輸入脈沖為r(0)時(shí)，則系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為式中g(shù)(t)為系統(tǒng)G(s)的單位脈沖響應(yīng)，且滿足當(dāng)T≤t<2T時(shí)，系統(tǒng)處于兩個(gè)輸入脈沖的作用下：一個(gè)是t=0時(shí)的r(0)脈沖作用，它產(chǎn)生的響應(yīng)依然存在；另一個(gè)是t=T時(shí)的r(T)脈沖作用。因此在此區(qū)間內(nèi)的系統(tǒng)輸出響應(yīng)為2023/11/2753在kT≤t<1(k+1)T時(shí)，系統(tǒng)輸出響應(yīng)為(7-61)(7-62)因?yàn)橄到y(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是從t=0才開始出現(xiàn)信號(hào)，當(dāng)t>0時(shí)，g(t)=0，所以當(dāng)i>k時(shí)，式(7-62)中

可見當(dāng)系統(tǒng)輸入為一系列脈沖時(shí)，輸出為各脈沖響應(yīng)之和。在t=kT時(shí)刻系統(tǒng)輸出的采樣信號(hào)值為2023/11/2754

因此，kT時(shí)刻以后的輸入脈沖，如r[(k+1)T],r[(k+2)T],???,不會(huì)對(duì)kT時(shí)刻的輸出信號(hào)產(chǎn)生影響，故式(7-62)中求和上限可擴(kuò)展為i→∞，可得(7-63)由Z變換的定義，得(7-64)于是有下式成立2023/11/2755(7-65)令k–i=n，同樣考慮到當(dāng)n＜0時(shí)，g(nT)=0，又有(7-66)故(7-67)

G(z)就是圖7.13(b)所示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。由于式(7-67)是脈沖響應(yīng)函數(shù)的采樣序列的Z變換，所以又稱為系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)。2023/11/2756

有兩點(diǎn)需要說明：①物理系統(tǒng)在輸入為脈沖序列的作用下，其輸出量是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，如圖7.14的c(t)。但如前所述，Z變換只能表征連續(xù)時(shí)間函數(shù)在采樣時(shí)刻的采樣值。因此，這里所求得的脈沖傳遞函數(shù)，是取系統(tǒng)輸出的脈沖序列作為輸出量。因此，在方框圖上可在輸出端虛設(shè)一個(gè)同步采樣開關(guān)，如圖7.14所示。實(shí)際系統(tǒng)中這個(gè)開關(guān)并不存在。圖7.14z傳遞函數(shù)2023/11/2757

②G(s)表示線性環(huán)節(jié)本身的傳遞函數(shù)，而G(z)表示圖7.14中的線性環(huán)節(jié)與采樣開關(guān)組合形成的傳遞函數(shù)。盡管計(jì)算G(z)時(shí)只需知道該環(huán)節(jié)的G(s)即可，但計(jì)算出來的G(z)卻包括了采樣開關(guān)。若無采樣開關(guān)且輸入信號(hào)是連續(xù)時(shí)間函數(shù)，那么就無法求出z傳遞函數(shù)，即在此情況下不能將輸入信號(hào)和線性環(huán)節(jié)分開進(jìn)行Z變換，只能求出輸出信號(hào)的Z變換。若G(s)形式比較復(fù)雜，要先展開成部分分式，以便與拉氏變換和Z變換中的基本形式相對(duì)應(yīng)。例7-12系統(tǒng)如圖7.14所示，已知

求z傳遞函數(shù)G(z)。2023/11/2758解將G(s)分解成部分分式查表7.1可得例7-13離散系統(tǒng)的差分方程為

假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零，試求系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)。解對(duì)上式兩側(cè)進(jìn)行Z變換，由時(shí)移定理中的延遲定理，并提出公因子可

2023/11/2759整理后得例7-14設(shè)離散系統(tǒng)的差分方程為

式中試求系統(tǒng)響應(yīng)c(k)。解對(duì)差分方程兩側(cè)取Z變換得整理并注意到r(k)的Z變換R(z)=1，得查表7.1Z變換表，并應(yīng)用延遲定理，可以得到2023/11/2760(2)串聯(lián)環(huán)節(jié)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)1)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)圖7.15(a)所示為系統(tǒng)串聯(lián)的兩個(gè)環(huán)節(jié)G1(s)和G2(s)之間無采樣開關(guān)的情形。根據(jù)方框圖簡化原則可簡化為圖7.15(b)。開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)可由連續(xù)工作狀態(tài)的傳遞函數(shù)G1(s)和G2(s)的乘積求得(7-68)即等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之積的z變換。上述結(jié)論可推廣到無采樣開關(guān)間隔的n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。2023/11/2761例7-15

兩串聯(lián)環(huán)節(jié)G1(s)和G2(s)之間無采樣開關(guān)，試求串聯(lián)環(huán)節(jié)等效的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。解串聯(lián)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為2023/11/27622)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)圖7.16環(huán)節(jié)之間有采樣器分隔

圖7.16所示為兩串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)的情形。圖中采樣器T1和T2是同步的。對(duì)于第一個(gè)環(huán)節(jié)，由于前后都存在采樣開關(guān)，其輸入為采樣輸入r(kT)，輸出經(jīng)采樣器后為c1(kT)，有2023/11/2763對(duì)于第二個(gè)環(huán)節(jié)，其輸入為c1(kT)，輸出為c(t)，其Z變換為兩環(huán)節(jié)串聯(lián)后，其總的脈沖傳遞函數(shù)為(7-69)

當(dāng)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時(shí)，系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)等于這兩個(gè)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)的乘積。上述結(jié)論可以推廣到多個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)而且環(huán)節(jié)間都存在同步采樣開關(guān)的情形，總的脈沖傳遞函數(shù)等于各個(gè)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的乘積。2023/11/2764例7-16

兩串聯(lián)環(huán)節(jié)G1(s)和G2(s)之間有采樣開關(guān)，試求串聯(lián)環(huán)節(jié)等效的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。解串聯(lián)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

說明：在串聯(lián)環(huán)節(jié)間有無采樣開關(guān)其脈沖傳遞函數(shù)是完全不同的。勿將G1G2(z)與G1(z)G2(z)相混淆。G1G2(z)表示兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)相乘后再取z變換，而G1(z)G2(z)表示G1(s)和G2(s)先各自取z變換后再相乘。通常G1G2(z)≠G1(z)G2(z)。2023/11/2765(3)閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)

1)設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)如圖7.17所示。在系統(tǒng)中，誤差信號(hào)是采樣的。由方框圖可得由以上兩式可求得圖7.17閉環(huán)離散系統(tǒng)(7-70)2023/11/2766系統(tǒng)輸出的Z變換為C(z)=G(z)E(z)，即(7-71)或(7-72)式(7-72)為圖7.17所示閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。2)設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)如圖7.18所示。討論系統(tǒng)的連續(xù)部分有擾動(dòng)輸入n(t)時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)。此時(shí)假設(shè)給定輸入信號(hào)為零，即r(t)=0。由方框圖得到圖7.18擾動(dòng)輸入時(shí)的離散閉環(huán)系統(tǒng)2023/11/2767由以上兩式可求得(7-73)式中，由于作用在連續(xù)環(huán)節(jié)G2(s)輸入端的擾動(dòng)未經(jīng)采樣，所以只能得到輸出量的Z變換式，而不能得出對(duì)擾動(dòng)的脈沖傳遞函數(shù)，這與連續(xù)系統(tǒng)有所區(qū)別。2023/11/2768例7-17

設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7.19所示，試求系統(tǒng)輸出的z變換。圖7.19例7-17的閉環(huán)離散系統(tǒng)解由于整理，得由上式無法解出C(z)/R(z)，因此也不能求出閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。2023/11/2769例7-18

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下，試求閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為其閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為2023/11/2770系統(tǒng)輸出c(kT)如圖所示。對(duì)于單位階躍輸入，因此，可求得輸出量C(z)如下2023/11/2771例7-19

設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7.22所示，試求其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。圖7.22例7-22閉環(huán)離散系統(tǒng)解從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可以得到2023/11/2772

以上三個(gè)方程是對(duì)輸出變量和實(shí)際采樣開關(guān)兩端的變量列出的方程，其中均有離散信號(hào)的拉氏變換。求以上三式對(duì)應(yīng)的Z變換可以得到進(jìn)一步整理，可得即由此可得系統(tǒng)的Z變換為2023/11/2773(4)Z變換法的局限性

1)Z變換的推導(dǎo)過程是建立在采樣開關(guān)是理想開關(guān)的基礎(chǔ)之上。即假設(shè)采樣是瞬時(shí)完成的，則采樣開關(guān)的輸出是一系列理想脈沖，在采樣瞬時(shí)每個(gè)理想脈沖的面積等于采樣開關(guān)輸入信號(hào)的幅值。前面曾經(jīng)提到，若采樣開關(guān)的持續(xù)時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于采樣周期，也遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)連續(xù)部分的最大時(shí)間常數(shù)時(shí)，那么上述假設(shè)是成立的。

2)無論是開環(huán)還是閉環(huán)離散系統(tǒng)，其輸出大多是連續(xù)信號(hào)c(t)而不是采樣信號(hào)c(kT)。而用一般的Z變換只能求出采樣輸出c(kT)，這樣就不能反映采樣間隔內(nèi)的c(t)值。如果要研究采樣間隔內(nèi)的c(t)值，可以采用修正Z變換法或等分采樣周期法。2023/11/2774

雖然Z變換是研究離散時(shí)間線性系統(tǒng)的有效工具，但由于上述原因，研究用c(kT)來代替c(t)時(shí)，就會(huì)提出精確程度的疑問，以及由此產(chǎn)生的錯(cuò)誤的結(jié)果如何處理，是否存在限制條件等問題。下面對(duì)此進(jìn)行討論。用Z變換法研究(開環(huán))離散系統(tǒng)時(shí)，首先必須滿足：系統(tǒng)連續(xù)部分傳遞函數(shù)G(s)的極點(diǎn)至少比零點(diǎn)多兩個(gè)，或者滿足否則，用Z反變換所得到的c(kT)，將其用光滑曲線連接起來，與c(t)相比有較大誤差，有時(shí)甚至是錯(cuò)誤的。為了說明這個(gè)問題，下面舉例進(jìn)行說明。2023/11/2775例7-20

設(shè)開環(huán)離散系統(tǒng)如圖7.23所示，系統(tǒng)連續(xù)部分傳函G(s)不滿足上述條件。設(shè)r(t)=1(t)，采樣周期T=1s，試比較c*(t)與c(t)。圖7.23例7-23的開環(huán)離散系統(tǒng)解先用Z變換法求出c*(t)。因?yàn)樗?023/11/2776用冪級(jí)數(shù)法將C(z)展成于是得作出c*(t)如圖7.24所示。圖7.24例7-23的采樣輸出函數(shù)求出當(dāng)系統(tǒng)連續(xù)部分的輸入為時(shí)，系統(tǒng)連續(xù)輸出c(t)，如圖7.25所示。2023/11/2777

由此例可知，當(dāng)假設(shè)采樣開關(guān)為理想開關(guān)的情況下，系統(tǒng)連續(xù)部分的輸入為一系列理想脈沖，當(dāng)連續(xù)部分的傳遞函數(shù)不滿足極點(diǎn)數(shù)比零點(diǎn)數(shù)多兩個(gè)的條件時(shí)，系統(tǒng)的連續(xù)輸出信號(hào)在采樣點(diǎn)會(huì)發(fā)生跳躍，從而導(dǎo)致了c*(t)與c(t)的顯著差別。因此，不可能用c*(t)來完整地描述c(t)。圖7.25例7-23的連續(xù)輸出函數(shù)2023/11/27787.5.1穩(wěn)定性分析

為了將連續(xù)系統(tǒng)在s平面上的穩(wěn)定性理論移植到z平面上分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先研究s平面與z平面的映射關(guān)系，隨后討論如何在z域中分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(1)s域到z域的映射在連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以根據(jù)特征方程的根在s平面的位置來確定。若系統(tǒng)特征方程的根都具有負(fù)實(shí)部，即都分布在s平面左半部，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由于離散時(shí)間線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是建立在z變換的基礎(chǔ)上，所以為了分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先介紹s平面和z平面之間的映射關(guān)系。7.5離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及瞬態(tài)響應(yīng)2023/11/2779

在Z變換定義中，z=eTs給出了s域到z域的關(guān)系。s域中的任意點(diǎn)可表示為s=σ+jω，映射到z域?yàn)?7-74)于是，s域到z域的基本映射關(guān)系式為(7-75)令σ=0，相當(dāng)于取s平面的虛軸，當(dāng)ω從–∞變到∞時(shí)，由式(7-74)知，映射到z平面的軌跡是以原點(diǎn)為圓心的單位圓。當(dāng)s平面上的點(diǎn)沿虛軸從–∞變到∞時(shí)，z平面上相應(yīng)的點(diǎn)沿著單位圓轉(zhuǎn)了無窮多圈。這是由于當(dāng)s平面上的點(diǎn)沿虛軸從–ωs/2移動(dòng)到ωs/2時(shí)，z平面上的相應(yīng)點(diǎn)沿單位圓從–π逆時(shí)針變化到π，轉(zhuǎn)了一圈，其中ωs為采樣角頻率。依此類推，如圖7.26所示。2023/11/2780

由圖可見，可以把s平面劃分為無窮多條平行于實(shí)軸的周期帶，其中從–ωs/2到ωs/2的周期帶為主頻帶，其余的周期帶為次頻帶。離散函數(shù)z變換的這種周期特性，也說明了連續(xù)函數(shù)經(jīng)離散化后，其頻譜會(huì)產(chǎn)生周期性的延拓。(a)(b)圖7.26s平面內(nèi)頻帶映射到z平面2023/11/2781(2)z平面內(nèi)的穩(wěn)定條件根據(jù)第3章所述，連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)均在s平面左半部，s平面的虛軸是穩(wěn)定區(qū)域的邊界。如果系統(tǒng)中有極點(diǎn)在s平面右半部，則系統(tǒng)就不穩(wěn)定了，如圖7.27(a)所示。對(duì)于離散系統(tǒng)，其穩(wěn)定的條件是系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)均在z平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)，z平面上的單位圓為穩(wěn)定域的邊界。如果系統(tǒng)中有閉環(huán)極點(diǎn)在z平面上的單位圓外，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。這個(gè)結(jié)論很容易得到證實(shí)。根據(jù)s域到z域的映射關(guān)系2023/11/2782可知σi與|zi|存在如下關(guān)系：在s平面內(nèi)在z平面內(nèi)σi>0右半平面(不穩(wěn)定域)|zi|>1單位圓的外部σi=0虛軸上(臨界穩(wěn)定)|zi|=1單位圓的圓周σi<0左半平面(穩(wěn)定域)|zi|<1單位圓的內(nèi)部(a)(b)圖7.27s平面與z平面的對(duì)應(yīng)關(guān)系2023/11/2783

由此可見，s平面上的虛軸在z平面上映射成一個(gè)以原點(diǎn)為中心的單位圓。s左半平面與z平面上單位圓內(nèi)部相對(duì)應(yīng)，s右半平面與z平面上單位圓的外部相對(duì)應(yīng)。s平面和z平面的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖7.27所示。定理7.2

離散時(shí)間線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：離散時(shí)間線性系統(tǒng)的全部特征根zi(i=1,2,???,n)都分布在z平面的單位圓內(nèi)，或者說全部特征根的模都小于1，即|zi|<1(i=1,2,???,n)。如果在上述特征根中，有位于z平面單位圓之外的特征根，則閉環(huán)系統(tǒng)將是不穩(wěn)定的。2023/11/2784例7-21

二階離散系統(tǒng)的方框圖如圖7.28所示。試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，設(shè)采樣周期T=1s，K=1。圖7.28二階離散系統(tǒng)解先求出系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為式中閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為2023/11/2785將K=1，T=1代入，可得特征方程的兩個(gè)根都在單位圓內(nèi)，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若保持采樣周期T=1s不變，將系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)增大到K=5，則其z特征方程為解之得到解之得到特征方程有一個(gè)根在單位圓外，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果上述二階離散系統(tǒng)是二階連續(xù)系統(tǒng)，只要K值是正的，則連續(xù)系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的。但是當(dāng)系統(tǒng)成為二階離散系統(tǒng)時(shí)，即使K值是正的，也不一定能保證系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這就說明了采樣過程的存在影響了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2023/11/2786(3)穩(wěn)定性代數(shù)判據(jù)根據(jù)上述z平面上的穩(wěn)定條件，假如系統(tǒng)的z特征方程式為(7-76)求出該方程的根zi(i=1,2,???,n)就可知道系統(tǒng)穩(wěn)定與否。與連續(xù)系統(tǒng)相似，不求特征根zi，而借助于穩(wěn)定判據(jù)，同樣可分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。連續(xù)系統(tǒng)的勞斯-赫爾維茨判據(jù)，是通過系統(tǒng)特征方程的系數(shù)及其符號(hào)來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這個(gè)判據(jù)實(shí)質(zhì)是判斷系統(tǒng)特征方程的根是否都在s平面左半平面。但是在離散時(shí)間線性系統(tǒng)中需要判斷系統(tǒng)特征根是否都在z平面上的單位圓內(nèi)。因此連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的勞斯-赫爾維茨判據(jù)不能直接使用，必須尋找一個(gè)新變量。2023/11/2787

引入z域到w域的線性變換，使新的變量w與變量z之間有這樣關(guān)系：z平面上的單位圓正好對(duì)應(yīng)于w平面上的虛軸，z平面上單位圓內(nèi)的區(qū)域?qū)?yīng)于w平面左半平面，z平面上單位圓外的區(qū)域?qū)?yīng)于w平面右半平面。這種新的坐標(biāo)變換稱為雙線性變換，或稱為W變換。滿足上述要求的變換關(guān)系是或

上述變換關(guān)系的正確性證明如下：(a)在w平面的虛軸上，Re[w]=0，則有即(7-77)2023/11/2788(b)w平面的左半平面，Re[w]<0，則有(c)w平面的右半平面，Re[w]>0，則有即即將式(7-77)代入系統(tǒng)的z特征方程，就可以使用代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)了。例7-22

設(shè)具有零階保持器的離散系統(tǒng)(圖7.29)，采樣周期T=0.2s，試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解已知2023/11/2789圖7.29例7-25的閉環(huán)離散系統(tǒng)相應(yīng)的Z變換為特征方程為1+G(z)=0，經(jīng)化簡后得對(duì)上式進(jìn)行W變換，簡化后得列出勞斯表，根據(jù)勞斯-赫爾維茨判據(jù)可以判定，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2023/11/2790(4)z平面上的根軌跡通常，離散時(shí)間系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為(7-78)其中G(z)為開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式(7-78)在形式上，與連續(xù)系統(tǒng)的完全相同，因此，z平面上的根軌跡作圖方法與s平面的作圖方法相同。需注意：在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，穩(wěn)定邊界是虛軸，而在離散系統(tǒng)中，穩(wěn)定邊界是單位圓。2023/11/2791例7-23

如圖7.20所示系統(tǒng)，用根軌跡法確定系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。采樣周期T=0.5s.

解系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為得到脈沖傳遞函數(shù)顯然根軌跡有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1=1,p2=0.6065.一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)z1=-0.8469.

2023/11/2792對(duì)特征方程進(jìn)行w變換，令當(dāng)K=0.221時(shí)，有重根z1,2=0.7915(分離點(diǎn))；當(dāng)K=61.73時(shí)，有重根z3,4=-2.485(會(huì)和點(diǎn)).用勞斯判據(jù)法求與單位圓的交點(diǎn)。簡化后得特征方程化簡得2023/11/2793列出勞斯表如下：第一列大于零，解得.在z平面上做出單位圓，可以看出，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)非震蕩穩(wěn)定當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)震蕩穩(wěn)定當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定圖7.30例7-23的根軌跡圖2023/11/2794設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為當(dāng)r(t)=1(t)，W(z)無重極點(diǎn)時(shí)，有(7-79)式中常數(shù)分別為7.5.2瞬態(tài)響應(yīng)2023/11/2795圖7.31不同閉環(huán)極點(diǎn)的瞬態(tài)分量

根據(jù)pj在單位圓內(nèi)的位置不同，所對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量的形式也不同，如圖7.30所示。只要閉環(huán)極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，則對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量總是衰減的；極點(diǎn)越靠近原點(diǎn)，衰減越快。不過，當(dāng)極點(diǎn)為正時(shí)為指數(shù)衰減；極點(diǎn)為負(fù)或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)為振蕩衰減。2023/11/2796式中，Ge(z)為系統(tǒng)誤差脈沖傳遞函數(shù)，即(7-80)設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7.32所示，其誤差信號(hào)的Z變換為圖7.32單位反饋離散系統(tǒng)7.5.3離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差2023/11/2797

假定Ge(z)的極點(diǎn)全在z平面單位圓的內(nèi)部，且用終值定理可求出采樣瞬時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差(7-81)圖7.32單位反饋離散系統(tǒng)下面分別討論系統(tǒng)在三種典型輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。2023/11/2798(1)系統(tǒng)輸入為單位階躍函數(shù)r(t)=1(t)因?yàn)?，采樣瞬時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為(7-82)式中，常數(shù)Kp定義為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。Kp可以從開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)直接求出，即(7-83)當(dāng)G(z)具有一個(gè)z=1的極點(diǎn)時(shí)，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。2023/11/2799

若G(z)沒有z=1的極點(diǎn)，則Kp≠∞，e(∞)≠0，這類系統(tǒng)稱為0型離散系統(tǒng)；若G(z)有一個(gè)或一個(gè)以上z=1的極點(diǎn)，則Kp=∞，從而e(∞)=0，這類系統(tǒng)稱為I型或I型以上的離散系統(tǒng)。因此，在單位階躍函數(shù)的作用下，0型離散系統(tǒng)在采樣瞬時(shí)存在位置誤差；I型或I型以上的離散系統(tǒng)，在采樣瞬時(shí)不存在位置誤差。(2)系統(tǒng)輸入為單位斜坡函數(shù)r(t)=t因，采樣瞬時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為(7-84)式中，Kv定義為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。2023/11/27100且(7-85)當(dāng)G(z)具有兩個(gè)z=1的極點(diǎn)時(shí)，則系統(tǒng)的速度誤差為零。0型離散系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差為Kv=0，I型系統(tǒng)的Kv為有限值，II型系統(tǒng)Kv=∞。因此，0型離散時(shí)間系統(tǒng)不能承受單位斜坡函數(shù)的作用，I型離散時(shí)間系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)作用下存在速度誤差，II型和II型以上的離散系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)作用下不存在速度誤差。2023/11/27101(3)系統(tǒng)輸入為拋物線函數(shù)r(t)=t2/2因，采樣瞬時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為(7-86)式中常數(shù)Ka定義為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)，且(7-87)當(dāng)G(z)具有三個(gè)z=1的極點(diǎn)時(shí)，則系統(tǒng)的加速度誤差為零。2023/11/271020型和I型系統(tǒng)的Ka=0，II型系統(tǒng)的Ka為常值，III型和III型以上系統(tǒng)的Ka=∞。因此0型和I型離散系統(tǒng)不能承受單位加速度函數(shù)的作用，II型離散系統(tǒng)在單位加速度函數(shù)作用下存在加速度誤差，只有III型和III型以上的離散系統(tǒng)在單位加速度函數(shù)作用下不存在穩(wěn)態(tài)位置誤差。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)中z=1的極點(diǎn)數(shù)密切有關(guān)。在連續(xù)系統(tǒng)中，把開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)的積分環(huán)節(jié)數(shù)用v來表示，把v=0,1,2,???系統(tǒng)分別稱為0型、I型、II型和III型系統(tǒng)等。因此對(duì)于離散系統(tǒng)來說，也可類似地把開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)中z=1的極點(diǎn)數(shù)用v來表示，并把v=0,1,2,???的離散系統(tǒng)分別稱為0型、I型、II型和III型系統(tǒng)等。2023/11/27103例7-24

設(shè)離散系統(tǒng)如圖7.32所示，G(s)=1/s(0.1s+1),T=0.1s，輸入連續(xù)信號(hào)r(t)分別為1(t)和t，試求離散系統(tǒng)相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解G(s)相應(yīng)的Z變換為因此，系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)為由于閉環(huán)極點(diǎn)z1=0.368+j0.482,z2=0.368–j0.482，全部位于z平面上的單位圓內(nèi)，因此可以應(yīng)用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差2023/11/27104當(dāng)r(t)=1(t)，相應(yīng)r(kT)=1(kT)時(shí)，R(z)=z/(z-1)，于是由式(7-82)可求得當(dāng)r(t)=t，相應(yīng)r(kT)=kT時(shí)，R(z)=Tz/(z-1)2，于是由式(7-84)可求得

根據(jù)式(7-82)、(7-84)和(7-86)可求出不同類型的單位反饋系統(tǒng)，在三種典型輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差如表7.3所示。表中Kp

、Kv

、Ka分別為位置、速度、加速度靜態(tài)誤差系數(shù)，T為采樣周期。2023/11/27105表7.3以靜態(tài)誤差系數(shù)表示的穩(wěn)態(tài)誤差位置誤差r(t)=1(t)速度誤差r(t)=t加速度誤差r(t)=t2/20型系統(tǒng)∞∞I型系統(tǒng)0∞II型系統(tǒng)00III型系統(tǒng)0002023/11/271067.6離散系統(tǒng)的數(shù)字控制器設(shè)計(jì)1.數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)設(shè)離散系統(tǒng)如圖所示。圖中，D(z)為數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)，G(s)為保持器與被控對(duì)象的傳遞函數(shù)。設(shè)G(s)的Z變換為G(z)，由圖可求出系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和誤差脈沖傳遞函數(shù)分別為：2023/11/27107因?yàn)橄到y(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)，所以有

求得數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為

離散系統(tǒng)數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)問題就是根據(jù)對(duì)離散系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求，確定閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)W(z)或誤差脈沖傳遞函數(shù)We(z)，然后確定數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)，并加以實(shí)現(xiàn)。2023/11/27108

離散化設(shè)計(jì)中另外一種常見的設(shè)計(jì)是最少拍設(shè)計(jì)。在離散系統(tǒng)中，一個(gè)采樣周期也稱為一拍。所謂最少拍系統(tǒng)，是指對(duì)于典型輸入信號(hào)具有最快的響應(yīng)速度，能在有限的幾拍（幾個(gè)采樣周期）之內(nèi)結(jié)束過渡過程，且在過渡過程結(jié)束后，在采樣時(shí)刻上穩(wěn)態(tài)誤差為零。也稱為小調(diào)節(jié)時(shí)間系統(tǒng)或最快響應(yīng)系統(tǒng)。2.最少拍設(shè)計(jì)

最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)原則是：如果系統(tǒng)被控對(duì)象G(z)無延遲，且在z平面單位圓上及單位圓外無零極點(diǎn)，需選擇閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)W(z)，使系統(tǒng)在典型輸入作用下，經(jīng)最少采樣周期后，能使輸出序列在各采樣時(shí)刻的穩(wěn)態(tài)誤差為零，達(dá)到完全跟蹤的目的，從而確定所需數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)。2023/11/27109其中A(z)是不包含因子(1–z–1)的z–1的多項(xiàng)式。若使在典型輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差終值為零，即

從上式可以看出，只有We(z)中含有(1–z–1)v的因子與典型輸入信號(hào)Z變換表達(dá)式分母中的因子相消，才可能使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差等于零。因此要求閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)的形式為

常見典型輸入有單位階躍函數(shù)、單位速度函數(shù)和單位加速度函數(shù)，其Z變換可表示為如下一般形式2023/11/27110其中，F(xiàn)(z)是不含(1–z–1)因子的多項(xiàng)式。為了使求出的控制器簡單，階數(shù)最低，可取F(z)=1，可以理解為使W(z)的全部極點(diǎn)均位于z平面的原點(diǎn)。

下面以單位階躍輸入為例，討論最少拍系統(tǒng)在該輸入作用下D(z)的確定方法。輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào)r(t)=1(t)，其Z變換為其中v=1，A(z)=1。若取F(z)=1，由于于是，數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為2023/11/27111且系統(tǒng)輸出和誤差分別為

這表明c(0)=0，c(T)=c(2T)=???=1；e(0)=0，e(T)=e(2T)=???=0。系統(tǒng)輸出信號(hào)c*(t)如圖7.35(a)所示。系統(tǒng)經(jīng)過一拍之后便可完全跟蹤階躍輸入，過渡時(shí)間ts=T。同樣可求出最少拍系統(tǒng)在單位斜坡和單位加速度輸入作用時(shí)的D(z)，系統(tǒng)響應(yīng)如圖7.35(b)和(c)所示。三種典型輸入信號(hào)作用下的數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)見表7.4，其一般形式為2023/11/27112(a)單位階躍輸入(b)單位斜坡輸入(c)單位加速度輸入圖7.34典型輸入信號(hào)的最少拍系統(tǒng)的響應(yīng)2023/11/27113表7.4典型輸入信號(hào)的最少拍設(shè)計(jì)結(jié)果典型輸入閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)調(diào)節(jié)時(shí)間tsr(t)R(z)W(z)We(z)1(t)Tt2T3T2023/11/27114例7-24

設(shè)單位反饋線性定常離散系統(tǒng)的連續(xù)部分和零階保持器的傳遞函數(shù)分別為其中采樣周期T=1s。若要求系統(tǒng)在單位斜坡輸入時(shí)實(shí)現(xiàn)最少拍控制，試求數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)D(z)。解系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)由于，故有2023/11/27115

根據(jù)r(t)=t，由表7.4知最少拍系統(tǒng)應(yīng)具有的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和誤差脈沖傳遞函數(shù)為We(z)的零點(diǎn)z=1正好可以補(bǔ)償G(z)在單位圓中的極點(diǎn)z=1；W(z)已包含G(z)的傳遞函數(shù)延遲z-1。因此，上述G(z)和We(z)滿足對(duì)消G(z)中傳遞延遲z-1及補(bǔ)償G(z)在單位圓上極點(diǎn)z=1的限制要求，故按式(7-91)可求出最少拍控制的數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)為2023/11/271163.數(shù)字PID控制器

為保證控制系統(tǒng)滿足一定的時(shí)域性能指標(biāo)要求，通常設(shè)計(jì)數(shù)字PID控制器校正系統(tǒng)。

數(shù)值積分法離散化方法:把模擬控制器的傳遞函數(shù)用微分方程表示，然后推導(dǎo)出一個(gè)近似于該微分方程解的差分方程，再將差分方程經(jīng)過z變換，變成數(shù)字化的脈沖傳遞函數(shù)。

將D(s)離散成D(z)的方法有多種，這里主要介紹雙線性變換法的計(jì)算過程。2023/11/27117(1)雙線性變換法(圖斯汀變換法)雙線性變換法實(shí)質(zhì)上是一種利用數(shù)值積分法的離散化方法。采用微積分方法對(duì)曲邊梯形面積進(jìn)行計(jì)算時(shí)應(yīng)有定積分，即對(duì)上式兩邊同時(shí)取拉普拉斯變換有從而獲得積分傳遞函數(shù)為

(7-92)2023/11/27118若使用離散化方法計(jì)算梯形面積則有

采用梯形近似法計(jì)算上式，等號(hào)右邊第二項(xiàng)的面積增量，可以假設(shè)其平均高度為則可得近似積分為(T為采樣時(shí)間)：

對(duì)上式求取Z變換可得則積分傳遞函數(shù)的Z變換為

對(duì)比式(7-92)和式(7-96)可知，將D(s)變換成D(z)的離散化方法就是令（7-96）2023/11/27119(7-98)(7-99)式中分別為比例增益、積分時(shí)間和微分時(shí)間常數(shù)經(jīng)雙線性變換后，數(shù)字PID控制器的脈沖傳遞函數(shù)的一般形式為(7-100)當(dāng)則數(shù)字PI控制器的脈沖傳遞函數(shù)為(7-101)模擬量的PID控制器算式為（2）數(shù)字PID控制器算式2023/11/27120

數(shù)字控制器的約束條件：數(shù)字控制器最好是穩(wěn)定的，而且必須是可實(shí)現(xiàn)的。穩(wěn)定條件和離散系統(tǒng)的穩(wěn)定條件基本相同，即脈沖傳遞函數(shù)沒有在z平面單位圓外的極點(diǎn)或單位圓上的重極點(diǎn)。它的可實(shí)現(xiàn)的物理?xiàng)l件是：控制器的輸出信號(hào)只與過去時(shí)刻的輸出信號(hào)以及現(xiàn)在時(shí)刻和過去時(shí)刻的輸入信號(hào)有關(guān)，而于未來的輸入信號(hào)無關(guān)。反映在數(shù)學(xué)表達(dá)式上為(7-102)

上式必須為真有理函數(shù)或者嚴(yán)格真有理函數(shù)，即分母多項(xiàng)式的階數(shù)不能低于分子多項(xiàng)式的階數(shù)，或者說它的極點(diǎn)數(shù)不能少于它的零點(diǎn)數(shù)。2023/11/27121例7-25

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7.33所示，保持器為零階保持器，對(duì)象的傳遞函數(shù)是采樣周期T=0.1s，試設(shè)計(jì)數(shù)字控制器D(z)，使系統(tǒng)階躍響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)無誤差，并且具有較快的上升速度和較小的超調(diào)量。解：未校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為2023/11/27122求得未校正系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)為對(duì)于單位階躍輸入為了達(dá)到無穩(wěn)態(tài)誤差，可以采用PI控制，假設(shè)控制器的脈沖傳遞函數(shù)采用式(7-96)時(shí)，可求得那么校正后系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為2023/11/27123因而求得是待定的。取零、極點(diǎn)相消法，使式中和如果取它是穩(wěn)定的，也是可以實(shí)現(xiàn)的。同時(shí)使得則于是PI控制器的脈沖傳遞函數(shù)為的開環(huán)極點(diǎn)，所以系統(tǒng)是Ⅰ型的，因?yàn)橛幸粋€(gè)2023/11/27124對(duì)于單位階躍輸入，穩(wěn)態(tài)誤差為零。但是由于和都偏大，所以單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量也較大為了減少超調(diào)量，使則在這種情況下，上升時(shí)間將延長，響應(yīng)速度變慢如果采用PID控制，則可克服上面的矛盾。取控制器的脈沖傳遞函數(shù)為式(7-95)，校正后系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)成為2023/11/27125假設(shè)速度誤差系數(shù)并使控制器的兩個(gè)零點(diǎn)與對(duì)象的兩個(gè)極點(diǎn)相消這樣可以得到下列方程組：并解出這樣控制器的脈沖傳遞函數(shù)為它是穩(wěn)定的，也是可以實(shí)現(xiàn)的。2023/11/27126此時(shí)系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為圖中，(a)為未校正系統(tǒng)，(b)為的PI控制；(c)為的PI控制；(d)為的PID控制。例7-25單位階躍響應(yīng)圖2023/11/27127

離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型主要是差分方程和Z傳遞函數(shù)，描述了系統(tǒng)輸出與輸入之間的傳遞關(guān)系。Ztrans:

在符號(hào)運(yùn)算下的Z變換函數(shù)，C2d:離散化函數(shù)，它將連續(xù)時(shí)間模型轉(zhuǎn)化為離散時(shí)間模型，調(diào)用格式為sysd=c2d(sys,T,’method’)或sysd=c2d(sys,T)輸入?yún)?shù)sys為連續(xù)時(shí)間模型對(duì)象，通過tf或zpk函數(shù)定義；T為采樣周期；離散化方法由method指定7.7.1離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立7.7MATLAB在離散控制系統(tǒng)中的應(yīng)用2023/11/27128

如果采用sysd=c2d(sys,T)簡便格式調(diào)用函數(shù)，則默認(rèn)采用’zoh’方法。在需要得到Z傳遞函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式變量的時(shí)候，函數(shù)為[numz,denz]=c2dm(num,den,T,’method’)G(z)=numz(z)/denz(z)，G(s)=num(s)/den(s)，T和method的定義同函數(shù)c2d。

已知系統(tǒng)離散化模型，為特殊應(yīng)用需要求其連續(xù)系統(tǒng)模型。MATLAB提供了離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型到連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)模型的轉(zhuǎn)換方法d2c、d2cm

其格式為sys=d2c(sysd,’method’)或

sys=d2c(sysd)[num,den]=d2cm(numz,denz,’method’)或[num,den]=d2cm(numz,denz)2023/11/27129例7-27

已知系統(tǒng)如框圖7.36所示。采樣周期T=1秒，試求系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)。解對(duì)于系統(tǒng)（1），以下命令求Z傳遞函數(shù)>>num1=1,den1=[10];num2=[1],den2=[11];>>sys1=tf(num1,den1);sys2=tf(num2,den2);>>sys=