自動控制原理 第3版 PPT課件 第7章

自動控制原理（第3版）孟華主編機械工業(yè)出版社普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材

遼寧省“十二五”普通高等教育本科省級規(guī)劃教材第7章離散控制系統(tǒng)2023/11/272第7章離散控制系統(tǒng)7.1概述7.2采樣過程與采樣定理7.3Z變換理論7.4離散控制系統(tǒng)的數(shù)學描述7.5離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及瞬態(tài)響應7.6離散系統(tǒng)的數(shù)字控制器設計7.7MATLAB在離散控制系統(tǒng)中的應用2023/11/2737.1概述離散控制系統(tǒng)（又稱為采樣控制系統(tǒng)），與連續(xù)控制系統(tǒng)的根本區(qū)別在于：離散系統(tǒng)有一處或幾處信號是時間的離散函數(shù)。

(7-1)圖7.1是離散系統(tǒng)的方框圖。圖中兩個采樣開關的動作一般是同步的，因此可等效地簡化為圖7.2的形式。圖7.1離散系統(tǒng)方框圖圖7.2離散系統(tǒng)簡化方框圖誤差2023/11/274圖7.3離散型時間函數(shù)采樣開關經(jīng)一定時間T后閉合，每次閉合時間為τ(τ<<T)，如圖所示。

自動控制原理5

離散控制系統(tǒng)最常見形式是數(shù)字控制系統(tǒng)。圖中用于控制的計算機D工作在離散狀態(tài)，被控對象G(s)工作在模擬狀態(tài)。

由于A/D和D/A轉換器的轉換精度一般都比較高，轉換所造成的誤差通?？珊雎圆挥嫞虼薃/D和D/A轉換器可以用采樣開關來表示。簡化2023/11/276

將連續(xù)信號通過采樣開關(或采樣器)變換成離散信號的過程稱為采樣過程。相鄰兩次采樣的時間間隔稱為采樣周期T。等速采樣:采樣開關以相同的采樣周期T動作，又稱為周期采樣多速采樣:系統(tǒng)中有n個采樣開關分別按不同周期動作隨機采樣:采樣開關動作是隨機的采樣頻率：采樣角頻率：采樣可分為：7.2采樣過程與采樣定理7.2.1采樣過程及其數(shù)學描述2023/11/277

采樣過程如圖7.6所示。(a)

(b)

(c)

圖7.6采樣過程寫出脈沖序列x*(t)表達式為(7-2)由于τ<<T，該矩形脈沖可近似用理想單位脈沖來描述，即(7-3)2023/11/278

式(7-4)表明，離散信號是由一系列脈沖組成，在采樣時刻t=kT，脈沖的面積就等于該時刻連續(xù)信號x(t)的值x(kT)。式(7-4)也可寫作

(7-5)

因此，采樣過程從物理意義上可以理解為脈沖調制過程。采樣開關對連續(xù)信號x(t)進行采樣后，其輸出的離散時間信號x*(t)可表示為(7-4)

2023/11/2797.2.2采樣定理

在設計離散控制系統(tǒng)中，采樣周期的選擇是一個關鍵問題。假設連續(xù)信號x(t)的頻率特性為(7-6)該信號的頻譜|X(jω)|是一個單一的連續(xù)頻譜，其最高頻率為ωmax，如圖所示。根據(jù)式(7-5)，離散信號x*(t)的拉普拉斯變換為(7-7)2023/11/2710式中ωs=2π/T為采樣頻率，X(s)為x(t)的拉氏變換。若X*(s)的極點全都位于s左平面，可令s=jω，求得x*(t)的傅氏變換為(7-8)式中X(jω)為連續(xù)信號x(t)的傅氏變換，|X(jω)|即為x(t)的頻譜，即(7-9)2023/11/2711當ωs≥2ωmax時，離散信號的頻譜為無限多個孤立頻譜組成的離散頻譜，其中與k=0對應的是采樣前原連續(xù)信號的頻譜，幅值為原來的1/T，如圖7.7(b)所示。

若ωs<2ωmax，離散信號x*(t)的頻譜不再由孤立頻譜構成，而是一種與原來連續(xù)信號x(t)的頻譜毫不相似的連續(xù)頻譜，如圖7.7(c)所示。2023/11/2712定理7.1(Shannon定理)：如果對一個具有有限頻譜(-ωmax<ω<ωmax)的連續(xù)信號采樣，當采樣角頻率時，則由采樣得到的離散信號能夠無失真地恢復到原來的連續(xù)信號。(7-10)幾點說明：(1)采樣定理給出的是由采樣脈沖序列無失真地再現(xiàn)原連續(xù)信號所必需的最大采樣周期或最低采樣頻率。(2)將離散信號x*(t)通過一個理想低通濾波器，就可以把ωs>ωmax的高頻分量全部濾除掉，僅留下X(jω)/T部分，再經(jīng)過放大器對1/T進行補償，便可無失真地將原連續(xù)信號x(t)完整地提取出來。

(3)采樣周期T是離散控制系統(tǒng)中的一個關鍵參數(shù)。如果采樣周期選得越小，即采樣頻率越高，對被控系統(tǒng)的信息了解得也就越多，控制效果也就越好。2023/11/27137.2.3信號的恢復信號恢復/保持就是將離散時間信號變成連續(xù)時間信號。實現(xiàn)保持功能的器件稱為保持器(圖7.8)。圖7.8保持器方塊圖具有常值、線性、二次函數(shù)(如拋物線)型外推規(guī)律的保持器，分別稱為零階、一階、二階保持器。工程實踐中普遍采用零階保持器。零階保持器是一種按常值規(guī)律外推的保持器。它把前一個采樣時刻kT的采樣值x(kT)不增不減地保持到下一個采樣時刻(k+1)T。當下一個采樣時刻(k+1)T到來時應換成新的采樣值[(k+1)T]繼續(xù)外推。也就是說，kT時刻的采樣值只能保存一個采樣周期T，到下一個采樣時刻到來時應立即停止作用，下降為零。2023/11/2714

零階保持器的時域特性gh(t)如圖7.9(a)所示。它是高度為1寬度為T的方波。高度等于1，說明采樣值經(jīng)過保持器既不放大、也不衰減；寬度等于T，說明零階保持器對采樣值保存一個采樣周期。圖7.9(a)所示的gh(t)可以分解為兩個階躍函數(shù)之和，如圖7.9(b)所示。圖7.9零階保持器的時域特性(b)(a)2023/11/2715(7-11)

則零階保持器的傳遞函數(shù)為(7-12)

令s=jω，帶入式(7-12)中得零階保持器頻率特性為(7-13)

或寫成(7-14)

因此零階保持器的單位脈沖響應gh(t)是一個幅值為1、持續(xù)時間為T的矩形脈沖，可表示為兩個階躍函數(shù)之和，即2023/11/2716式(7-14)中，|Gh(jω)|為零階保持器的幅頻特性或頻譜；∠Gh(jω)為零階保持器的相頻特性。它們與頻率ω的關系分別為(7-15)(7-16)2023/11/2717

從幅頻特性來看，零階保持器是具有高頻衰減特性的低通濾波器，且頻率越高衰減越劇烈，ω→0時的幅值為T；從相頻特性來看，零階保持器具有負的相角，會對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生不利的影響。圖7.10零階保持器的幅頻與相頻特性2023/11/2718

零階保持器有無窮多個截止頻率。所以零階保持器并不是只有一個截止頻率的理想低通濾波器，因此由零階保持器恢復的連續(xù)信號xh(t)與原連續(xù)信號x(t)是有差異的。此外零階保持器引入了附加的滯后相移，xh(t)比x(t)在時間上平均滯后半個采樣周期（如圖7.11中虛線所示），這使系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性有所降低。圖7.11零階保持器的輸出信號2023/11/2719連續(xù)時間函數(shù)x(t)經(jīng)采樣周期為T的采樣開關后，得到離散信號x*(t)(式7-4)，即

對上式表示的離散信號進行拉氏變換，可得(7-17)

式中X*(s)是離散時間函數(shù)x*(t)的拉氏變換。1、Z變換定義7.3Z變換理論7.3.1Z變換定義和性質2023/11/2720因復變量s包含在指數(shù)函數(shù)e-kTs中不便計算，故引進一個新變量z，即(7-18)式中，T為采樣周期。將式(7-18)代入式(7-17)，便得到以z為變量的函數(shù)X(z)，即

(7-19)式中X(z)稱為離散時間函數(shù)X*(s)的Z變換，記為

在Z變換中，考慮的是連續(xù)時間信號經(jīng)采樣后的離散時間信號，或者說考慮的是連續(xù)時間函數(shù)在采樣時刻的采樣值，而不考慮采樣時刻之間的值。

2023/11/2721

Z變換有一些基本定理，可以使Z變換的應用變得簡單和方便，在許多方面與拉普拉斯變換的基本定理有相似之處。(1)線性定理設函數(shù)x(t)、x1(t)、x2(t)的Z變換分別為X(z)、X1(z)及X2(z)，a為常數(shù)，則有(7-21)(7-22)此定理可由Z變換定義直接證得。2、Z變換性質2023/11/2722(2)時移定理如果函數(shù)x(t)的z變換為X(z)，則式(7-23)亦稱延遲定理，式(7-24)亦稱超前定理。(7-23)(7-24)證明首先證明式(7-23)。令i–k=r，由則求得2023/11/2723因為t＜0時x(t)=0，則x(–kT)=???=x(–2T)=x(–T)=0，則式(7-25)可寫成式7-23，命題得證。延遲定理說明，原函數(shù)在時域中延遲k個采樣周期，相當于像函數(shù)乘以z–k

。(7-25)2023/11/2724再證明式(7-24)，由，令i+k=r，則求得若滿足x(0)=x(T)=???=x[(k–1)T]=0，上式可簡寫為(7-26)算子zk的意義，相當于把時間信號超前k個采樣周期。2023/11/2725(3)初值定理如果函數(shù)x(t)的Z變換為X(z)，并且t＜0時有x(t)=0，則(7-27)證明由Z變換定義可得在上式中，當z→∞時，除第一項外，其余各項均為零，即2023/11/2726(4)終值定理如果函數(shù)x(t)的Z變換X(z)的極點均位于z平面的單位圓內，且不含有z=1的二重以上的極點，則x(t)的終值為(7-28)證明由得當z→1時，兩邊取極限得2023/11/27277.3.2Z變換方法(1)級數(shù)求和法式(7-19)是離散函數(shù)x*(t)的Z變換的級數(shù)展開形式，將其改寫成(7-29)該式是Z變換的一種級數(shù)表達式。顯然，只要知道連續(xù)時間函數(shù)x(t)在各采樣時刻kT(k=0,1,2,???)上的采樣值x(kT)，便可求出Z變換的級數(shù)展開式。這種級數(shù)展開式具有無窮多項，是開放的，如果不能寫成閉式，是很難應用的。一些常用函數(shù)的Z變換的技術展開式可以寫成閉式的形式。2023/11/2728例7-1

試求單位階躍函數(shù)1(t)的Z變換。解單位階躍函數(shù)1(t)在所有采樣時刻上的采樣值均為1，即將上式代入式(7-21)，得或(7-30)上式中，若|z|＞1，可寫成如下的封閉形式，即(7-31)2023/11/2729例7-2

試求衰減的指數(shù)函數(shù)e-at(a＞0)的Z變換。解將e-at在各采樣時刻的采樣值代入式(7-29)中，得(7-32)若|eatz|>1,則上式可寫成閉式的形式，即(7-33)例7-3

試求函數(shù)ak的Z變換。解將ak在各采樣時刻的采樣值代入式(7-21)中得(7-34)將該級數(shù)寫成閉合形式，得ak的Z變換，即(7-35)2023/11/2730例7-4

試求函數(shù)x(t)=sinωt的Z變換。解因為所以(7-36)通過級數(shù)求和法求取已知函數(shù)Z變換的缺點在于：需要將無窮級數(shù)寫成閉合形式。在某些情況下需要很高的技巧。Z變換的無窮級數(shù)形式(7-29)的優(yōu)點在于具有鮮明的物理含義。2023/11/2731(2)部分分式法設連續(xù)時間函數(shù)x(t)的拉普拉斯變換X(s)為有理函數(shù)，并具有如下形式將X(s)展開成部分分式和的形式，即由拉氏變換知，與項相對應的時間函數(shù)為，根據(jù)式(7-33)便可求得其Z變換為，因此，函數(shù)x(t)的Z變換可由X(s)求得(7-38)(7-37)(7-39)2023/11/2732例7-5

利用部分分式法求取正弦函數(shù)sinωt的Z變換。解已知，將分解成部分分式和的形式，即由于拉氏變換的原函數(shù)為；再根據(jù)式(7-33)可求得上式的Z變換(7-40)2023/11/2733例7-6

已知連續(xù)函數(shù)x(t)的拉氏為，求連續(xù)時間函數(shù)x(t)的Z變換。解將X(s)展成如下部分分式對上式逐項取拉氏反變換，得據(jù)求得的時間函數(shù)，逐項寫出相應的Z變換，得(7-41)2023/11/2734(3)留數(shù)計算法假如已知連續(xù)時間函數(shù)x(t)的拉氏變換X(s)及全部極點si(i=1,2,3,???,n)，則x(t)的Z變換X(z)可通過留數(shù)計算求得。先分析X(z)和X(s)的關系。由拉氏反變換式有當對x(t)以采樣周期T進行采樣后，其采樣值為(7-42)而x(kT)的Z變換為(7-43)2023/11/2735將式(7-42)代入式(7-43)得符合收斂條件|z|＞|eTs|時，可寫成閉式將此其代入式(7-43)，得(7-44)這就是由拉普拉斯變換函數(shù)直接求相應的Z變換函數(shù)的關系式。這個積分可以應用留數(shù)定理來計算。2023/11/2736即(7-45)式中，–si為X(s)的極點；n為X(s)的極點個數(shù)；表示求F(s)在s=–si處的留數(shù)。(7-46)若–si為X(s)的ri重極點，則(7-47)若–si為X(s)的單極點，則

2023/11/2737例7-7

已知解

由X(s)可知s1=0為二重極點，s2=–1為單極點，則可根據(jù)式(7-46)和式(7-47)計算留數(shù)，即求X(z).2023/11/27387.3.3Z反變換方法

根據(jù)X(z)求離散時間信號x*(t)或采樣時刻值的一般表達式x(kT)的過程稱為Z反變換，記為Z-1[X(z)]。下面介紹三種常用求Z反變換的方法。(1)長除法由函數(shù)的Z變換表達式，直接利用長除法求出按z-1升冪排列的級數(shù)形式，再經(jīng)過拉氏反變換，求出原函數(shù)的脈沖序列。

X(z)的一般形式為2023/11/2739用長除法求出z-1的升冪形式，即(7-48)求X(z)=的Z反變換，其中e-aT=0.5。例7-8解用長除法將X(z)展開為無窮級數(shù)形式相應的脈沖序列為2023/11/2740(2)部分分式法通過部分分式法求取Z反變換的過程，與應用部分分式法求取拉普拉斯反變換很相似。首先需將用部分分式法展開成形式的諸項之和，即(7-49)再將等號兩邊同乘以復變量z，通過Z反變換求取相應的時間函數(shù)，最后將上述各時間函數(shù)求和即可。例7-9求的Z反變換。解首先將展開成下列部分分式2023/11/2741由此可得得根據(jù)t=kT，并且只考慮采樣時刻的函數(shù)值，則x*(t)還可用x(t)來表示，即再由2023/11/2742(3)留數(shù)計算法留數(shù)法又稱反演積分法。實際問題中遇到的Z變換函數(shù)X(z)除有理分式外也可能是超越函數(shù)，此時無法應用部分分式法或冪級數(shù)法來求取Z反變換，只能采用留數(shù)計算法。若x(kT)的Z變換為X(z)，則有(7-50)式中，積分曲線c為逆時針方向包圍X(z)zk-1全部極點的圓。式(7-50)可等效為(7-51)上式表明，x(kT)為函數(shù)X(z)zk-1在其全部極點上的留數(shù)之和。2023/11/2743例7-10

求的Z反變換。或解

例7-11

求的Z反變換。

解

X(z)中互不相同的極點為z1=a及z2=1，2023/11/2744由此可求得X(z)的Z反變換為其中z1為單極點，即r1=1；z2為二重極點，即r2=2，不相同的極點數(shù)為l=2。則2023/11/2745差分方程是反映離散系統(tǒng)輸入-輸出序列之間的運算關系。微分方程中的各項包含有連續(xù)自變量的函數(shù)及其導數(shù)。差分方程中自變量是離散的，方程的各項除了包含有這種離散變量的函數(shù)，還包含此函數(shù)序數(shù)增加或減少的函數(shù)。7.4離散控制系統(tǒng)的數(shù)學描述7.4.1線性常系數(shù)差分方程2023/11/2746

設系統(tǒng)為一階慣性環(huán)節(jié)，如圖7.12(a)所示。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為其微分方程為

該連續(xù)系統(tǒng)對應的離散系統(tǒng)如圖7.12(b)所示。采樣開關Ka對輸入信號每隔T秒采樣一次，得序列。輸出經(jīng)過與Ka同步的采樣開關Kb后的序列為。下面來研究y(kT)與x(kT)之間的關系。(7-52)2023/11/2747(a)(b)圖7.12連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)的方框圖

與連續(xù)時間系統(tǒng)中求解微分方程的方法一樣，對于離散時間系統(tǒng)，求解差分方程時也可以分別求出其零輸入分量和零狀態(tài)分量，然后迭加得到方程的全解?？疾煸趖＞kT時的情況。當t→kT而該時刻的脈沖尚未施加時，由該時刻開始的零輸入分量為(7-53)2023/11/2748由于此系統(tǒng)的單位脈沖響應是。(7-54)于是，t＞kT后的系統(tǒng)總輸出為(7-55)當t=(k+1)T時，式(7.55)為或(7-56)(7-57)所以當t=kT，第k個脈沖x(kT)δ(t–kT)加于系統(tǒng)后，系統(tǒng)輸出的零狀態(tài)分量為2023/11/2749

差分方程描述了系統(tǒng)在第k個采樣周期時輸入與輸出信號的關系。從式中可以看出，差分方程的系數(shù)與采樣周期T有關。假設時間間隔T足夠小，當t=kT時，有因此，式(7-52)可改寫為經(jīng)整理后，可得(7-58)對于一個物理系統(tǒng)，用常系數(shù)線性n階差分方程來描述時，一般形式為(7-59)式中，ai和bi(i=0,1,2,???,n)均為常數(shù)。2023/11/27507.4.2脈沖傳遞函數(shù)(1)脈沖傳遞函數(shù)定義在線性連續(xù)系統(tǒng)中，當初始條件為零的情況下分別取輸入r(t)和輸出c(t)的拉氏變換，則它們的比值C(s)/R(s)=G(s)稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。在離散系統(tǒng)中也有同樣的表達方法，在初始條件為零的情況下取輸出Z變換與輸入Z變換之比(7-60)上式稱為系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)，也稱z傳遞函數(shù)。2023/11/2751下面從系統(tǒng)的單位脈沖響應的角度推導脈沖傳遞函數(shù)，并說明其物理意義。設輸入信號r(t)經(jīng)采樣開關后為一脈沖序列，如圖7.13(a)所示。這一脈沖序列作用于系統(tǒng)的G(s)時，系統(tǒng)輸出為一系列脈沖響應之和，如圖7.13所示。(a)(b)(c)圖7.13脈沖響應2023/11/2752當0≤t<T時，作用于G(s)的輸入脈沖為r(0)時，則系統(tǒng)的輸出響應為式中g(t)為系統(tǒng)G(s)的單位脈沖響應，且滿足當T≤t<2T時，系統(tǒng)處于兩個輸入脈沖的作用下：一個是t=0時的r(0)脈沖作用，它產(chǎn)生的響應依然存在；另一個是t=T時的r(T)脈沖作用。因此在此區(qū)間內的系統(tǒng)輸出響應為2023/11/2753在kT≤t<1(k+1)T時，系統(tǒng)輸出響應為(7-61)(7-62)因為系統(tǒng)的單位脈沖響應是從t=0才開始出現(xiàn)信號，當t>0時，g(t)=0，所以當i>k時，式(7-62)中

可見當系統(tǒng)輸入為一系列脈沖時，輸出為各脈沖響應之和。在t=kT時刻系統(tǒng)輸出的采樣信號值為2023/11/2754

因此，kT時刻以后的輸入脈沖，如r[(k+1)T],r[(k+2)T],???,不會對kT時刻的輸出信號產(chǎn)生影響，故式(7-62)中求和上限可擴展為i→∞，可得(7-63)由Z變換的定義，得(7-64)于是有下式成立2023/11/2755(7-65)令k–i=n，同樣考慮到當n＜0時，g(nT)=0，又有(7-66)故(7-67)

G(z)就是圖7.13(b)所示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。由于式(7-67)是脈沖響應函數(shù)的采樣序列的Z變換，所以又稱為系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)。2023/11/2756

有兩點需要說明：①物理系統(tǒng)在輸入為脈沖序列的作用下，其輸出量是時間的連續(xù)函數(shù)，如圖7.14的c(t)。但如前所述，Z變換只能表征連續(xù)時間函數(shù)在采樣時刻的采樣值。因此，這里所求得的脈沖傳遞函數(shù)，是取系統(tǒng)輸出的脈沖序列作為輸出量。因此，在方框圖上可在輸出端虛設一個同步采樣開關，如圖7.14所示。實際系統(tǒng)中這個開關并不存在。圖7.14z傳遞函數(shù)2023/11/2757

②G(s)表示線性環(huán)節(jié)本身的傳遞函數(shù)，而G(z)表示圖7.14中的線性環(huán)節(jié)與采樣開關組合形成的傳遞函數(shù)。盡管計算G(z)時只需知道該環(huán)節(jié)的G(s)即可，但計算出來的G(z)卻包括了采樣開關。若無采樣開關且輸入信號是連續(xù)時間函數(shù)，那么就無法求出z傳遞函數(shù)，即在此情況下不能將輸入信號和線性環(huán)節(jié)分開進行Z變換，只能求出輸出信號的Z變換。若G(s)形式比較復雜，要先展開成部分分式，以便與拉氏變換和Z變換中的基本形式相對應。例7-12系統(tǒng)如圖7.14所示，已知

求z傳遞函數(shù)G(z)。2023/11/2758解將G(s)分解成部分分式查表7.1可得例7-13離散系統(tǒng)的差分方程為

假設系統(tǒng)的初始條件為零，試求系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)。解對上式兩側進行Z變換，由時移定理中的延遲定理，并提出公因子可

2023/11/2759整理后得例7-14設離散系統(tǒng)的差分方程為

式中試求系統(tǒng)響應c(k)。解對差分方程兩側取Z變換得整理并注意到r(k)的Z變換R(z)=1，得查表7.1Z變換表，并應用延遲定理，可以得到2023/11/2760(2)串聯(lián)環(huán)節(jié)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)1)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關圖7.15(a)所示為系統(tǒng)串聯(lián)的兩個環(huán)節(jié)G1(s)和G2(s)之間無采樣開關的情形。根據(jù)方框圖簡化原則可簡化為圖7.15(b)。開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)可由連續(xù)工作狀態(tài)的傳遞函數(shù)G1(s)和G2(s)的乘積求得(7-68)即等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之積的z變換。上述結論可推廣到無采樣開關間隔的n個環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。2023/11/2761例7-15

兩串聯(lián)環(huán)節(jié)G1(s)和G2(s)之間無采樣開關，試求串聯(lián)環(huán)節(jié)等效的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。解串聯(lián)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為2023/11/27622)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關圖7.16環(huán)節(jié)之間有采樣器分隔

圖7.16所示為兩串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關的情形。圖中采樣器T1和T2是同步的。對于第一個環(huán)節(jié)，由于前后都存在采樣開關，其輸入為采樣輸入r(kT)，輸出經(jīng)采樣器后為c1(kT)，有2023/11/2763對于第二個環(huán)節(jié)，其輸入為c1(kT)，輸出為c(t)，其Z變換為兩環(huán)節(jié)串聯(lián)后，其總的脈沖傳遞函數(shù)為(7-69)

當串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關時，系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)等于這兩個環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)的乘積。上述結論可以推廣到多個環(huán)節(jié)串聯(lián)而且環(huán)節(jié)間都存在同步采樣開關的情形，總的脈沖傳遞函數(shù)等于各個環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的乘積。2023/11/2764例7-16

兩串聯(lián)環(huán)節(jié)G1(s)和G2(s)之間有采樣開關，試求串聯(lián)環(huán)節(jié)等效的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。解串聯(lián)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

說明：在串聯(lián)環(huán)節(jié)間有無采樣開關其脈沖傳遞函數(shù)是完全不同的。勿將G1G2(z)與G1(z)G2(z)相混淆。G1G2(z)表示兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)相乘后再取z變換，而G1(z)G2(z)表示G1(s)和G2(s)先各自取z變換后再相乘。通常G1G2(z)≠G1(z)G2(z)。2023/11/2765(3)閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)

1)設閉環(huán)系統(tǒng)如圖7.17所示。在系統(tǒng)中，誤差信號是采樣的。由方框圖可得由以上兩式可求得圖7.17閉環(huán)離散系統(tǒng)(7-70)2023/11/2766系統(tǒng)輸出的Z變換為C(z)=G(z)E(z)，即(7-71)或(7-72)式(7-72)為圖7.17所示閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。2)設閉環(huán)系統(tǒng)如圖7.18所示。討論系統(tǒng)的連續(xù)部分有擾動輸入n(t)時的脈沖傳遞函數(shù)。此時假設給定輸入信號為零，即r(t)=0。由方框圖得到圖7.18擾動輸入時的離散閉環(huán)系統(tǒng)2023/11/2767由以上兩式可求得(7-73)式中，由于作用在連續(xù)環(huán)節(jié)G2(s)輸入端的擾動未經(jīng)采樣，所以只能得到輸出量的Z變換式，而不能得出對擾動的脈沖傳遞函數(shù)，這與連續(xù)系統(tǒng)有所區(qū)別。2023/11/2768例7-17

設閉環(huán)系統(tǒng)結構如圖7.19所示，試求系統(tǒng)輸出的z變換。圖7.19例7-17的閉環(huán)離散系統(tǒng)解由于整理，得由上式無法解出C(z)/R(z)，因此也不能求出閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。2023/11/2769例7-18

系統(tǒng)結構如下，試求閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應。解系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為其閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為2023/11/2770系統(tǒng)輸出c(kT)如圖所示。對于單位階躍輸入，因此，可求得輸出量C(z)如下2023/11/2771例7-19

設閉環(huán)離散系統(tǒng)結構如圖7.22所示，試求其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。圖7.22例7-22閉環(huán)離散系統(tǒng)解從系統(tǒng)結構圖可以得到2023/11/2772

以上三個方程是對輸出變量和實際采樣開關兩端的變量列出的方程，其中均有離散信號的拉氏變換。求以上三式對應的Z變換可以得到進一步整理，可得即由此可得系統(tǒng)的Z變換為2023/11/2773(4)Z變換法的局限性

1)Z變換的推導過程是建立在采樣開關是理想開關的基礎之上。即假設采樣是瞬時完成的，則采樣開關的輸出是一系列理想脈沖，在采樣瞬時每個理想脈沖的面積等于采樣開關輸入信號的幅值。前面曾經(jīng)提到，若采樣開關的持續(xù)時間遠遠小于采樣周期，也遠遠小于系統(tǒng)連續(xù)部分的最大時間常數(shù)時，那么上述假設是成立的。

2)無論是開環(huán)還是閉環(huán)離散系統(tǒng)，其輸出大多是連續(xù)信號c(t)而不是采樣信號c(kT)。而用一般的Z變換只能求出采樣輸出c(kT)，這樣就不能反映采樣間隔內的c(t)值。如果要研究采樣間隔內的c(t)值，可以采用修正Z變換法或等分采樣周期法。2023/11/2774

雖然Z變換是研究離散時間線性系統(tǒng)的有效工具，但由于上述原因，研究用c(kT)來代替c(t)時，就會提出精確程度的疑問，以及由此產(chǎn)生的錯誤的結果如何處理，是否存在限制條件等問題。下面對此進行討論。用Z變換法研究(開環(huán))離散系統(tǒng)時，首先必須滿足：系統(tǒng)連續(xù)部分傳遞函數(shù)G(s)的極點至少比零點多兩個，或者滿足否則，用Z反變換所得到的c(kT)，將其用光滑曲線連接起來，與c(t)相比有較大誤差，有時甚至是錯誤的。為了說明這個問題，下面舉例進行說明。2023/11/2775例7-20

設開環(huán)離散系統(tǒng)如圖7.23所示，系統(tǒng)連續(xù)部分傳函G(s)不滿足上述條件。設r(t)=1(t)，采樣周期T=1s，試比較c*(t)與c(t)。圖7.23例7-23的開環(huán)離散系統(tǒng)解先用Z變換法求出c*(t)。因為所以2023/11/2776用冪級數(shù)法將C(z)展成于是得作出c*(t)如圖7.24所示。圖7.24例7-23的采樣輸出函數(shù)求出當系統(tǒng)連續(xù)部分的輸入為時，系統(tǒng)連續(xù)輸出c(t)，如圖7.25所示。2023/11/2777

由此例可知，當假設采樣開關為理想開關的情況下，系統(tǒng)連續(xù)部分的輸入為一系列理想脈沖，當連續(xù)部分的傳遞函數(shù)不滿足極點數(shù)比零點數(shù)多兩個的條件時，系統(tǒng)的連續(xù)輸出信號在采樣點會發(fā)生跳躍，從而導致了c*(t)與c(t)的顯著差別。因此，不可能用c*(t)來完整地描述c(t)。圖7.25例7-23的連續(xù)輸出函數(shù)2023/11/27787.5.1穩(wěn)定性分析

為了將連續(xù)系統(tǒng)在s平面上的穩(wěn)定性理論移植到z平面上分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先研究s平面與z平面的映射關系，隨后討論如何在z域中分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(1)s域到z域的映射在連續(xù)時間線性系統(tǒng)中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以根據(jù)特征方程的根在s平面的位置來確定。若系統(tǒng)特征方程的根都具有負實部，即都分布在s平面左半部，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由于離散時間線性系統(tǒng)的數(shù)學模型是建立在z變換的基礎上，所以為了分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先介紹s平面和z平面之間的映射關系。7.5離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及瞬態(tài)響應2023/11/2779

在Z變換定義中，z=eTs給出了s域到z域的關系。s域中的任意點可表示為s=σ+jω，映射到z域為(7-74)于是，s域到z域的基本映射關系式為(7-75)令σ=0，相當于取s平面的虛軸，當ω從–∞變到∞時，由式(7-74)知，映射到z平面的軌跡是以原點為圓心的單位圓。當s平面上的點沿虛軸從–∞變到∞時，z平面上相應的點沿著單位圓轉了無窮多圈。這是由于當s平面上的點沿虛軸從–ωs/2移動到ωs/2時，z平面上的相應點沿單位圓從–π逆時針變化到π，轉了一圈，其中ωs為采樣角頻率。依此類推，如圖7.26所示。2023/11/2780

由圖可見，可以把s平面劃分為無窮多條平行于實軸的周期帶，其中從–ωs/2到ωs/2的周期帶為主頻帶，其余的周期帶為次頻帶。離散函數(shù)z變換的這種周期特性，也說明了連續(xù)函數(shù)經(jīng)離散化后，其頻譜會產(chǎn)生周期性的延拓。(a)(b)圖7.26s平面內頻帶映射到z平面2023/11/2781(2)z平面內的穩(wěn)定條件根據(jù)第3章所述，連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的閉環(huán)極點均在s平面左半部，s平面的虛軸是穩(wěn)定區(qū)域的邊界。如果系統(tǒng)中有極點在s平面右半部，則系統(tǒng)就不穩(wěn)定了，如圖7.27(a)所示。對于離散系統(tǒng)，其穩(wěn)定的條件是系統(tǒng)的閉環(huán)極點均在z平面上以原點為圓心的單位圓內，z平面上的單位圓為穩(wěn)定域的邊界。如果系統(tǒng)中有閉環(huán)極點在z平面上的單位圓外，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。這個結論很容易得到證實。根據(jù)s域到z域的映射關系2023/11/2782可知σi與|zi|存在如下關系：在s平面內在z平面內σi>0右半平面(不穩(wěn)定域)|zi|>1單位圓的外部σi=0虛軸上(臨界穩(wěn)定)|zi|=1單位圓的圓周σi<0左半平面(穩(wěn)定域)|zi|<1單位圓的內部(a)(b)圖7.27s平面與z平面的對應關系2023/11/2783

由此可見，s平面上的虛軸在z平面上映射成一個以原點為中心的單位圓。s左半平面與z平面上單位圓內部相對應，s右半平面與z平面上單位圓的外部相對應。s平面和z平面的這種對應關系如圖7.27所示。定理7.2

離散時間線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：離散時間線性系統(tǒng)的全部特征根zi(i=1,2,???,n)都分布在z平面的單位圓內，或者說全部特征根的模都小于1，即|zi|<1(i=1,2,???,n)。如果在上述特征根中，有位于z平面單位圓之外的特征根，則閉環(huán)系統(tǒng)將是不穩(wěn)定的。2023/11/2784例7-21

二階離散系統(tǒng)的方框圖如圖7.28所示。試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，設采樣周期T=1s，K=1。圖7.28二階離散系統(tǒng)解先求出系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為式中閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為2023/11/2785將K=1，T=1代入，可得特征方程的兩個根都在單位圓內，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若保持采樣周期T=1s不變，將系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)增大到K=5，則其z特征方程為解之得到解之得到特征方程有一個根在單位圓外，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果上述二階離散系統(tǒng)是二階連續(xù)系統(tǒng)，只要K值是正的，則連續(xù)系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的。但是當系統(tǒng)成為二階離散系統(tǒng)時，即使K值是正的，也不一定能保證系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這就說明了采樣過程的存在影響了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2023/11/2786(3)穩(wěn)定性代數(shù)判據(jù)根據(jù)上述z平面上的穩(wěn)定條件，假如系統(tǒng)的z特征方程式為(7-76)求出該方程的根zi(i=1,2,???,n)就可知道系統(tǒng)穩(wěn)定與否。與連續(xù)系統(tǒng)相似，不求特征根zi，而借助于穩(wěn)定判據(jù)，同樣可分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。連續(xù)系統(tǒng)的勞斯-赫爾維茨判據(jù)，是通過系統(tǒng)特征方程的系數(shù)及其符號來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這個判據(jù)實質是判斷系統(tǒng)特征方程的根是否都在s平面左半平面。但是在離散時間線性系統(tǒng)中需要判斷系統(tǒng)特征根是否都在z平面上的單位圓內。因此連續(xù)時間線性系統(tǒng)的勞斯-赫爾維茨判據(jù)不能直接使用，必須尋找一個新變量。2023/11/2787

引入z域到w域的線性變換，使新的變量w與變量z之間有這樣關系：z平面上的單位圓正好對應于w平面上的虛軸，z平面上單位圓內的區(qū)域對應于w平面左半平面，z平面上單位圓外的區(qū)域對應于w平面右半平面。這種新的坐標變換稱為雙線性變換，或稱為W變換。滿足上述要求的變換關系是或

上述變換關系的正確性證明如下：(a)在w平面的虛軸上，Re[w]=0，則有即(7-77)2023/11/2788(b)w平面的左半平面，Re[w]<0，則有(c)w平面的右半平面，Re[w]>0，則有即即將式(7-77)代入系統(tǒng)的z特征方程，就可以使用代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)了。例7-22

設具有零階保持器的離散系統(tǒng)(圖7.29)，采樣周期T=0.2s，試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解已知2023/11/2789圖7.29例7-25的閉環(huán)離散系統(tǒng)相應的Z變換為特征方程為1+G(z)=0，經(jīng)化簡后得對上式進行W變換，簡化后得列出勞斯表，根據(jù)勞斯-赫爾維茨判據(jù)可以判定，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2023/11/2790(4)z平面上的根軌跡通常，離散時間系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為(7-78)其中G(z)為開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式(7-78)在形式上，與連續(xù)系統(tǒng)的完全相同，因此，z平面上的根軌跡作圖方法與s平面的作圖方法相同。需注意：在連續(xù)時間系統(tǒng)中，穩(wěn)定邊界是虛軸，而在離散系統(tǒng)中，穩(wěn)定邊界是單位圓。2023/11/2791例7-23

如圖7.20所示系統(tǒng)，用根軌跡法確定系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。采樣周期T=0.5s.

解系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為得到脈沖傳遞函數(shù)顯然根軌跡有兩個開環(huán)極點p1=1,p2=0.6065.一個開環(huán)零點z1=-0.8469.

2023/11/2792對特征方程進行w變換，令當K=0.221時，有重根z1,2=0.7915(分離點)；當K=61.73時，有重根z3,4=-2.485(會和點).用勞斯判據(jù)法求與單位圓的交點。簡化后得特征方程化簡得2023/11/2793列出勞斯表如下：第一列大于零，解得.在z平面上做出單位圓，可以看出，當時，系統(tǒng)非震蕩穩(wěn)定當時，系統(tǒng)震蕩穩(wěn)定當時，系統(tǒng)不穩(wěn)定圖7.30例7-23的根軌跡圖2023/11/2794設閉環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為當r(t)=1(t)，W(z)無重極點時，有(7-79)式中常數(shù)分別為7.5.2瞬態(tài)響應2023/11/2795圖7.31不同閉環(huán)極點的瞬態(tài)分量

根據(jù)pj在單位圓內的位置不同，所對應的瞬態(tài)分量的形式也不同，如圖7.30所示。只要閉環(huán)極點在單位圓內，則對應的瞬態(tài)分量總是衰減的；極點越靠近原點，衰減越快。不過，當極點為正時為指數(shù)衰減；極點為負或為共軛復數(shù)，對應為振蕩衰減。2023/11/2796式中，Ge(z)為系統(tǒng)誤差脈沖傳遞函數(shù)，即(7-80)設系統(tǒng)結構如圖7.32所示，其誤差信號的Z變換為圖7.32單位反饋離散系統(tǒng)7.5.3離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差2023/11/2797

假定Ge(z)的極點全在z平面單位圓的內部，且用終值定理可求出采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差(7-81)圖7.32單位反饋離散系統(tǒng)下面分別討論系統(tǒng)在三種典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。2023/11/2798(1)系統(tǒng)輸入為單位階躍函數(shù)r(t)=1(t)因為，采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差為(7-82)式中，常數(shù)Kp定義為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。Kp可以從開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)直接求出，即(7-83)當G(z)具有一個z=1的極點時，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。2023/11/2799

若G(z)沒有z=1的極點，則Kp≠∞，e(∞)≠0，這類系統(tǒng)稱為0型離散系統(tǒng)；若G(z)有一個或一個以上z=1的極點，則Kp=∞，從而e(∞)=0，這類系統(tǒng)稱為I型或I型以上的離散系統(tǒng)。因此，在單位階躍函數(shù)的作用下，0型離散系統(tǒng)在采樣瞬時存在位置誤差；I型或I型以上的離散系統(tǒng)，在采樣瞬時不存在位置誤差。(2)系統(tǒng)輸入為單位斜坡函數(shù)r(t)=t因，采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差為(7-84)式中，Kv定義為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。2023/11/27100且(7-85)當G(z)具有兩個z=1的極點時，則系統(tǒng)的速度誤差為零。0型離散系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差為Kv=0，I型系統(tǒng)的Kv為有限值，II型系統(tǒng)Kv=∞。因此，0型離散時間系統(tǒng)不能承受單位斜坡函數(shù)的作用，I型離散時間系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)作用下存在速度誤差，II型和II型以上的離散系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)作用下不存在速度誤差。2023/11/27101(3)系統(tǒng)輸入為拋物線函數(shù)r(t)=t2/2因，采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差為(7-86)式中常數(shù)Ka定義為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)，且(7-87)當G(z)具有三個z=1的極點時，則系統(tǒng)的加速度誤差為零。2023/11/271020型和I型系統(tǒng)的Ka=0，II型系統(tǒng)的Ka為常值，III型和III型以上系統(tǒng)的Ka=∞。因此0型和I型離散系統(tǒng)不能承受單位加速度函數(shù)的作用，II型離散系統(tǒng)在單位加速度函數(shù)作用下存在加速度誤差，只有III型和III型以上的離散系統(tǒng)在單位加速度函數(shù)作用下不存在穩(wěn)態(tài)位置誤差。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)中z=1的極點數(shù)密切有關。在連續(xù)系統(tǒng)中，把開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)的積分環(huán)節(jié)數(shù)用v來表示，把v=0,1,2,???系統(tǒng)分別稱為0型、I型、II型和III型系統(tǒng)等。因此對于離散系統(tǒng)來說，也可類似地把開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)中z=1的極點數(shù)用v來表示，并把v=0,1,2,???的離散系統(tǒng)分別稱為0型、I型、II型和III型系統(tǒng)等。2023/11/27103例7-24

設離散系統(tǒng)如圖7.32所示，G(s)=1/s(0.1s+1),T=0.1s，輸入連續(xù)信號r(t)分別為1(t)和t，試求離散系統(tǒng)相應的穩(wěn)態(tài)誤差。解G(s)相應的Z變換為因此，系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)為由于閉環(huán)極點z1=0.368+j0.482,z2=0.368–j0.482，全部位于z平面上的單位圓內，因此可以應用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差2023/11/27104當r(t)=1(t)，相應r(kT)=1(kT)時，R(z)=z/(z-1)，于是由式(7-82)可求得當r(t)=t，相應r(kT)=kT時，R(z)=Tz/(z-1)2，于是由式(7-84)可求得

根據(jù)式(7-82)、(7-84)和(7-86)可求出不同類型的單位反饋系統(tǒng)，在三種典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差如表7.3所示。表中Kp

、Kv

、Ka分別為位置、速度、加速度靜態(tài)誤差系數(shù)，T為采樣周期。2023/11/27105表7.3以靜態(tài)誤差系數(shù)表示的穩(wěn)態(tài)誤差位置誤差r(t)=1(t)速度誤差r(t)=t加速度誤差r(t)=t2/20型系統(tǒng)∞∞I型系統(tǒng)0∞II型系統(tǒng)00III型系統(tǒng)0002023/11/271067.6離散系統(tǒng)的數(shù)字控制器設計1.數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)設離散系統(tǒng)如圖所示。圖中，D(z)為數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)，G(s)為保持器與被控對象的傳遞函數(shù)。設G(s)的Z變換為G(z)，由圖可求出系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和誤差脈沖傳遞函數(shù)分別為：2023/11/27107因為系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)，所以有

求得數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為

離散系統(tǒng)數(shù)字控制器的設計問題就是根據(jù)對離散系統(tǒng)性能指標的要求，確定閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)W(z)或誤差脈沖傳遞函數(shù)We(z)，然后確定數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)，并加以實現(xiàn)。2023/11/27108

離散化設計中另外一種常見的設計是最少拍設計。在離散系統(tǒng)中，一個采樣周期也稱為一拍。所謂最少拍系統(tǒng)，是指對于典型輸入信號具有最快的響應速度，能在有限的幾拍（幾個采樣周期）之內結束過渡過程，且在過渡過程結束后，在采樣時刻上穩(wěn)態(tài)誤差為零。也稱為小調節(jié)時間系統(tǒng)或最快響應系統(tǒng)。2.最少拍設計

最少拍系統(tǒng)的設計原則是：如果系統(tǒng)被控對象G(z)無延遲，且在z平面單位圓上及單位圓外無零極點，需選擇閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)W(z)，使系統(tǒng)在典型輸入作用下，經(jīng)最少采樣周期后，能使輸出序列在各采樣時刻的穩(wěn)態(tài)誤差為零，達到完全跟蹤的目的，從而確定所需數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)。2023/11/27109其中A(z)是不包含因子(1–z–1)的z–1的多項式。若使在典型輸入信號作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差終值為零，即

從上式可以看出，只有We(z)中含有(1–z–1)v的因子與典型輸入信號Z變換表達式分母中的因子相消，才可能使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差等于零。因此要求閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)的形式為

常見典型輸入有單位階躍函數(shù)、單位速度函數(shù)和單位加速度函數(shù)，其Z變換可表示為如下一般形式2023/11/27110其中，F(xiàn)(z)是不含(1–z–1)因子的多項式。為了使求出的控制器簡單，階數(shù)最低，可取F(z)=1，可以理解為使W(z)的全部極點均位于z平面的原點。

下面以單位階躍輸入為例，討論最少拍系統(tǒng)在該輸入作用下D(z)的確定方法。輸入信號為單位階躍信號r(t)=1(t)，其Z變換為其中v=1，A(z)=1。若取F(z)=1，由于于是，數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為2023/11/27111且系統(tǒng)輸出和誤差分別為

這表明c(0)=0，c(T)=c(2T)=???=1；e(0)=0，e(T)=e(2T)=???=0。系統(tǒng)輸出信號c*(t)如圖7.35(a)所示。系統(tǒng)經(jīng)過一拍之后便可完全跟蹤階躍輸入，過渡時間ts=T。同樣可求出最少拍系統(tǒng)在單位斜坡和單位加速度輸入作用時的D(z)，系統(tǒng)響應如圖7.35(b)和(c)所示。三種典型輸入信號作用下的數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)見表7.4，其一般形式為2023/11/27112(a)單位階躍輸入(b)單位斜坡輸入(c)單位加速度輸入圖7.34典型輸入信號的最少拍系統(tǒng)的響應2023/11/27113表7.4典型輸入信號的最少拍設計結果典型輸入閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)調節(jié)時間tsr(t)R(z)W(z)We(z)1(t)Tt2T3T2023/11/27114例7-24

設單位反饋線性定常離散系統(tǒng)的連續(xù)部分和零階保持器的傳遞函數(shù)分別為其中采樣周期T=1s。若要求系統(tǒng)在單位斜坡輸入時實現(xiàn)最少拍控制，試求數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)D(z)。解系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)由于，故有2023/11/27115

根據(jù)r(t)=t，由表7.4知最少拍系統(tǒng)應具有的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和誤差脈沖傳遞函數(shù)為We(z)的零點z=1正好可以補償G(z)在單位圓中的極點z=1；W(z)已包含G(z)的傳遞函數(shù)延遲z-1。因此，上述G(z)和We(z)滿足對消G(z)中傳遞延遲z-1及補償G(z)在單位圓上極點z=1的限制要求，故按式(7-91)可求出最少拍控制的數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)為2023/11/271163.數(shù)字PID控制器

為保證控制系統(tǒng)滿足一定的時域性能指標要求，通常設計數(shù)字PID控制器校正系統(tǒng)。

數(shù)值積分法離散化方法:把模擬控制器的傳遞函數(shù)用微分方程表示，然后推導出一個近似于該微分方程解的差分方程，再將差分方程經(jīng)過z變換，變成數(shù)字化的脈沖傳遞函數(shù)。

將D(s)離散成D(z)的方法有多種，這里主要介紹雙線性變換法的計算過程。2023/11/27117(1)雙線性變換法(圖斯汀變換法)雙線性變換法實質上是一種利用數(shù)值積分法的離散化方法。采用微積分方法對曲邊梯形面積進行計算時應有定積分，即對上式兩邊同時取拉普拉斯變換有從而獲得積分傳遞函數(shù)為

(7-92)2023/11/27118若使用離散化方法計算梯形面積則有

采用梯形近似法計算上式，等號右邊第二項的面積增量，可以假設其平均高度為則可得近似積分為(T為采樣時間)：

對上式求取Z變換可得則積分傳遞函數(shù)的Z變換為

對比式(7-92)和式(7-96)可知，將D(s)變換成D(z)的離散化方法就是令（7-96）2023/11/27119(7-98)(7-99)式中分別為比例增益、積分時間和微分時間常數(shù)經(jīng)雙線性變換后，數(shù)字PID控制器的脈沖傳遞函數(shù)的一般形式為(7-100)當則數(shù)字PI控制器的脈沖傳遞函數(shù)為(7-101)模擬量的PID控制器算式為（2）數(shù)字PID控制器算式2023/11/27120

數(shù)字控制器的約束條件：數(shù)字控制器最好是穩(wěn)定的，而且必須是可實現(xiàn)的。穩(wěn)定條件和離散系統(tǒng)的穩(wěn)定條件基本相同，即脈沖傳遞函數(shù)沒有在z平面單位圓外的極點或單位圓上的重極點。它的可實現(xiàn)的物理條件是：控制器的輸出信號只與過去時刻的輸出信號以及現(xiàn)在時刻和過去時刻的輸入信號有關，而于未來的輸入信號無關。反映在數(shù)學表達式上為(7-102)

上式必須為真有理函數(shù)或者嚴格真有理函數(shù)，即分母多項式的階數(shù)不能低于分子多項式的階數(shù)，或者說它的極點數(shù)不能少于它的零點數(shù)。2023/11/27121例7-25

系統(tǒng)結構圖如圖7.33所示，保持器為零階保持器，對象的傳遞函數(shù)是采樣周期T=0.1s，試設計數(shù)字控制器D(z)，使系統(tǒng)階躍響應達到穩(wěn)態(tài)無誤差，并且具有較快的上升速度和較小的超調量。解：未校正系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為2023/11/27122求得未校正系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)為對于單位階躍輸入為了達到無穩(wěn)態(tài)誤差，可以采用PI控制，假設控制器的脈沖傳遞函數(shù)采用式(7-96)時，可求得那么校正后系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為2023/11/27123因而求得是待定的。取零、極點相消法，使式中和如果取它是穩(wěn)定的，也是可以實現(xiàn)的。同時使得則于是PI控制器的脈沖傳遞函數(shù)為的開環(huán)極點，所以系統(tǒng)是Ⅰ型的，因為有一個2023/11/27124對于單位階躍輸入，穩(wěn)態(tài)誤差為零。但是由于和都偏大，所以單位階躍響應的超調量也較大為了減少超調量，使則在這種情況下，上升時間將延長，響應速度變慢如果采用PID控制，則可克服上面的矛盾。取控制器的脈沖傳遞函數(shù)為式(7-95)，校正后系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)成為2023/11/27125假設速度誤差系數(shù)并使控制器的兩個零點與對象的兩個極點相消這樣可以得到下列方程組：并解出這樣控制器的脈沖傳遞函數(shù)為它是穩(wěn)定的，也是可以實現(xiàn)的。2023/11/27126此時系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為圖中，(a)為未校正系統(tǒng)，(b)為的PI控制；(c)為的PI控制；(d)為的PID控制。例7-25單位階躍響應圖2023/11/27127

離散系統(tǒng)的數(shù)學模型主要是差分方程和Z傳遞函數(shù)，描述了系統(tǒng)輸出與輸入之間的傳遞關系。Ztrans:

在符號運算下的Z變換函數(shù)，C2d:離散化函數(shù)，它將連續(xù)時間模型轉化為離散時間模型，調用格式為sysd=c2d(sys,T,’method’)或sysd=c2d(sys,T)輸入?yún)?shù)sys為連續(xù)時間模型對象，通過tf或zpk函數(shù)定義；T為采樣周期；離散化方法由method指定7.7.1離散系統(tǒng)數(shù)學模型的建立7.7MATLAB在離散控制系統(tǒng)中的應用2023/11/27128

如果采用sysd=c2d(sys,T)簡便格式調用函數(shù)，則默認采用’zoh’方法。在需要得到Z傳遞函數(shù)的分子、分母多項式變量的時候，函數(shù)為[numz,denz]=c2dm(num,den,T,’method’)G(z)=numz(z)/denz(z)，G(s)=num(s)/den(s)，T和method的定義同函數(shù)c2d。

已知系統(tǒng)離散化模型，為特殊應用需要求其連續(xù)系統(tǒng)模型。MATLAB提供了離散系統(tǒng)數(shù)學模型到連續(xù)時間系統(tǒng)模型的轉換方法d2c、d2cm

其格式為sys=d2c(sysd,’method’)或

sys=d2c(sysd)[num,den]=d2cm(numz,denz,’method’)或[num,den]=d2cm(numz,denz)2023/11/27129例7-27

已知系統(tǒng)如框圖7.36所示。采樣周期T=1秒，試求系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)。解對于系統(tǒng)（1），以下命令求Z傳遞函數(shù)>>num1=1,den1=[10];num2=[1],den2=[11];>>sys1=tf(num1,den1);sys2=tf(num2,den2);>>sys=