2023年新高一數學暑假課程（人教A版2019）第二十二講基本不等式

第二十二講：基本不等式【教學目標】1.了解基本不等式的證明過程.2.能利用基本不等式證明簡單的不等式及比較代數式的大?。净A知識】基本不等式（1）基本不等式：如果a>0，b>0，，當且僅當a＝b時，等號成立．其中eq\f(a＋b,2)叫做正數a，b的算術平均數，eq\r(ab)叫做正數a，b的幾何平均數．（2）變形：，a，b∈R，當且僅當a＝b時，等號成立．，a，b都是正數，當且僅當a＝b時，等號成立．【題型目錄】考點一：基本不等式的理解考點二：基本不等式性質考點三：基本不等式證明不等式（一）考點四：基本不等式證明不等式（二）【考點剖析】考點一：基本不等式的理解例1．設，則下列不等式成立的是（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以；因為，所以，即，因為，所以，即，因此，故選：D變式訓練1．下列不等式恒成立的是（） A．； B．； C．； D．．【答案】D【詳解】對于A：取，，則，，此時.故A錯誤；對于B：取，，則，，此時.故B錯誤；對于C：取，，則，，此時.故C錯誤；對于D：因為，所以.故D正確.故選：D變式訓練2．設，則下列不等式中成立的是（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】，，，.故選：B.變式訓練3．若且，則，，，中的最大值的是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，實數且，可得，，又由，因為，可得，所以，所以，所以最大值為.故選：C.考點二：基本不等式性質例2．若且，則下列不等式中恒成立的是（）． A． B． C． D．【答案】D【詳解】當時，，A錯；時，滿足，但，B錯；時，滿足，，C錯．，則，，當且僅當時等號成立．D正確．故選：D．變式訓練1．已知，且，則下列結論恒成立的是． A． B． C． D．【答案】C【詳解】當都是負數時，不成立，當一正一負時，不成立，當時，不成立，因此只有是正確的.變式訓練2．已知、，若，則下列不等式： =1\*GB3①； ②； ③； ④．其中恒成立的不等式序號是（） A．①、③ B．①、② C．②、③ D．②、④【答案】B【詳解】對于①中，因為，所以是正確的；對于②中，由，則，所以，當且僅當時，即是等號成立，所以是正確的；對于③中，當時，，所以不正確；對于④中，當時，，所以不正確，故選B.變式訓練3．已知，則下列不等式中不成立的是（）． A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：A：，故A正確；B：，故B正確；C：，故C正確；D：當時，，，此時不成立，故選:D.考點三：基本不等式證明不等式（一）例3．《幾何原本》卷2的幾何代數法（以幾何方法研究代數問題）成了后世西方數學家處理問題的重要依據，通過這一原理，很多的代數的公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明．現有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設，，則該圖形可以完成的無字證明為（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】設，可得圓的半徑為，又由，在中，可得，因為，所以，當且僅當時取等號．故選：D.變式訓練1．三國時期趙爽在《勾股方圓圖注》中，對勾股定理的證明可用現代數學表述為如圖所示，我們教材中利用該圖作為幾何解釋的是（） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．對任意實數a和b，有，當且僅當時，等號成立【答案】D【詳解】直角三角形的兩直角邊長分別為，斜邊長為，則，在正方形的面積為，四個直角三角形的面積和為，因此有，即，當且僅當時，中間沒有小正方形，等號成立．故選：D．變式訓練2．數學命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設，，用該圖形能證明的不等式為（）． A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由圖知：，在中，，所以，即，故選：C變式訓練3．《幾何原本》卷Ⅱ的幾何代數法成了后世西方數學家處理數學問題的重要依據.通過這一原理，很多代數的定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明現有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設AC＝a，BC＝b，可以直接通過比較線段OF與線段CF的長度完成的無字證明為（） A．（a＞0，b＞0） B． C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）【答案】C【詳解】由圖形可知，，，在Rt△OCF中，由勾股定理可得，CF＝，∵CF≥OF，∴，故選：C.考點四：基本不等式證明不等式（二）例4．已知，，，求證：.【答案】證明見解析【詳解】∵，，，∴，當且僅當，即時，等號成立，同理：，，當且僅當，時，等號成立，以上三式相加得：，當且當且僅當時，等號成立，所以.變式訓練1．已知實數均大于0，證明：.【答案】證明見解析【詳解】，當且僅當時取等號，證畢.變式訓練2．（1）已知，，，求證：；（2）已知a，b，c為不全相等的正實數，求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【詳解】（1），當且僅當時等號成立，所以.（2），當且僅當時等號成立，因為a，b，c為不全相等的正實數，所以.變式訓練3．已知，，，且．求證：．【答案】證明見解析【詳解】因為a，b，c都為正實數，且，所以，當且僅當時取等號，所以．【課堂小結】1．知識清單：(1)基本不等式．(2)利用基本不等式比較大?。?3)利用基本不等式證明不等式．2．方法歸納：配湊法．3．常見誤區(qū)：一正、二定、三相等，常因缺少條件導致錯誤．【課后作業(yè)】1、．若，則下列不等式成立的是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】由已知，利用基本不等式得出，因為，則，，所以，，∴.故選：C.2、如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小順序是（） A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P【答案】B【詳解】依題意，根據基本不等式可知，，，所以.所以，即.故選：B3、小明騎自行車從甲地前往乙地，前一半路程以速度騎行，后一半路程以速度騎行，且，其全程的平均速度為，則下列關系中不正確的是（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據題意，設甲地到乙地的距離為，則小明從甲地到乙地的時間為，則其平均速度為，A選項正確；，則，即，由基本不等式可得，，所以，，B選項正確，D選項錯誤；，，C選項正確.故選：D.4、若，，且，則下列代數式中最大的是（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，，且知，所以最大值為A、B中的一個.，由于，所以，所以，所以為四個代數式中最大的.故選：B5、若，則下列不等式①；②；③；④中，正確的不等式有（） A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【詳解】因為，所以.因此，且，且②、③不正確.所以，所以①正確，由得?均為正數，所以，（由條件，所以等號不成立），所以④正確.故選：C.6、（多選）下列命題中正確的是（） A．當時， B．當時， C．當時， D．當時，【答案】AC【詳解】解:選項A.，，等號成立的條件是，故A正確；時，，，所以時，的最小值是2，等號成立的條件是，沒有最大值,故B不正確；選項C.，，等號成立的條件是，等號取不到，即，根據“或”命題的性質可知C正確；時，，等號成立的條件是，即時，但條件，所以等號取不到，即最小值不存在，故D不正確.故選：AC.7、．若a，，則“”是“”的（） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】因為，當且僅當時等號成立，所以，即；當時，，但，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.8、若為非零實數，則以下不等式：①；②；③；④.其中恒成立的個數是（） A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【詳解】解：對于①，由重要不等式可知①正確；對于②，，故②正確；對于③，當時，不等式的左邊為，右邊為，可知③不正確；對于④，令可知④不正確．故恒成立的個數為個.故選：C.9、已知a＞0，b＞0，給出下列三個不等式：①；②；.其中正確的個數是（） A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【詳解】依題意，，，，當且僅當時等號成立，①②正確，當且僅當時等號成立，③正確.正確的個數是3,選D.10、三國時期的數學家趙爽在《勾股方圓圖注》中，對勾股定理進行證明時繪制了弦圖，其大致圖像如圖所示．以下選項中，可利用該圖作為幾何解釋的是（） A．如果，，那么； B．如果，那么； C．對任意實數a和b，有，當且僅當時等號成立； D．如果，那么．【答案】C【詳解】設直角三角形的兩條直角邊為，斜邊為，則外圍的正方形的面積為，即，四個陰影面積之和為，當時，內部的小正方形縮為一個點，所以，所以對任意實數a和b，有，當且僅當時等號成立.故選：C.11、若，則下列關系正確的是（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，因為，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，因為，當且僅當時取等號，所以，即，，當且僅當時取等號，綜上所述，，當且僅當時取等號，故選：A.12、《幾何原本》卷的幾何代數法（以幾何方法研究代數問題）成了后世西方數學家處理問題的重要依據．通過這一原理，很多的代數的公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明．現有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設，，則該圖形可以完成的無字證明為（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】由圖形可知，，，由勾股定理可得，在中，由可得.故選：D.13、已知，，均為正實數，求證：若，則．【答案】證明見解析【詳解】證明：因為，，均為正實數，由基本不等式得，當且僅當時，即a=1取等號，同理，當且僅當時，即b=1取等號，，當且僅當時，即c=1取等號，以上三式相加，得所以，當且僅當時，取等號．14、已知正數滿足，證明；【答案】（1）證明見解析；【詳解】（1）由基本不等式可得，同理，，所以即，當且僅當時等號成立，故成立．15、證明下列式子（1）已知,證明：；（2）已知,證明：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【詳解】(1)因為.因為,故,即.故成立.(2)由基本不等式可得,故.同理有,.相加可得,當且僅當時取等號.即得證.16、已知，，，且.證明：（1）若，，，證明：；（2）設，，，且，證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【詳解】（1）由題