高中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)破題27個(gè)大招

PAGEPAGE147數(shù)學(xué)破題36個(gè)大招目錄高考數(shù)學(xué)?？紗栴}-大闖關(guān)（36關(guān)） 1目錄 1第1關(guān)：極值點(diǎn)偏移問題--對(duì)數(shù)不等式法 2第2關(guān)：參數(shù)范圍問題—常見解題6法 6第3關(guān)：數(shù)列求和問題—解題策略8法 8第4關(guān)：絕對(duì)值不等式解法問題—7大類型 13第5關(guān)：三角函數(shù)最值問題—解題9法 19第6關(guān)：求軌跡方程問題—6大常用方法 23第7關(guān)：參數(shù)方程與極坐標(biāo)問題—“考點(diǎn)”面面看 35第8關(guān)：均值不等式問題—拼湊8法 40第9關(guān)：不等式恒成立問題—8種解法探析 46第10關(guān)：圓錐曲線最值問題—5大方面 51第11關(guān)：排列組合應(yīng)用問題—解題21法 54第12關(guān)：幾何概型問題—5類重要題型 60第13關(guān)：直線中的對(duì)稱問題—4類對(duì)稱題型 63第14關(guān)：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題—4大解題技巧 65第15關(guān)：函數(shù)中易混問題—11對(duì) 70第16關(guān)：三項(xiàng)展開式問題—破解“四法” 75第17關(guān)：由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)問題—“不動(dòng)點(diǎn)”法 76第18關(guān)：類比推理問題—高考命題新亮點(diǎn) 79第19關(guān)：函數(shù)定義域問題—知識(shí)大盤點(diǎn) 85第20關(guān)：求函數(shù)值域問題—7類題型16種方法 91第21關(guān)：求函數(shù)解析式問題—7種求法 111第22關(guān)：解答立體幾何問題—5大數(shù)學(xué)思想方法 114第23關(guān)：數(shù)列通項(xiàng)公式—常見9種求法 120第24關(guān)：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題—9種錯(cuò)解剖析 130第25關(guān)：三角函數(shù)與平面向量綜合問題—6種類型 133第26關(guān)：概率題錯(cuò)解分類剖析—7大類型 139第27關(guān)：抽象函數(shù)問題—分類解析 142以下只要證明上述函數(shù)不等式即可.以下我們來看看對(duì)數(shù)不等式的作用.題目1：（2015長春四模題）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是A.B.C.D.有極小值點(diǎn)，且【答案】C【解析】函數(shù)導(dǎo)函數(shù)：有極值點(diǎn)，而極值，，A正確.有兩個(gè)零點(diǎn)：，，即：①②①-②得：根據(jù)對(duì)數(shù)平均值不等式：，而，B正確，C錯(cuò)誤而①+②得：，即D成立.題目2：（2011遼寧理）已知函數(shù).若函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：【解析】原題目有3問，其中第二問為第三問的解答提供幫助，現(xiàn)在我們利用不等式直接去證明第三問：設(shè)，，，則，①②①-②得：，化簡得：③而根據(jù)對(duì)數(shù)平均值不等式：③等式代換到上述不等式④根據(jù)：（由③得出）∴④式變?yōu)椋骸撸?，∴在函?shù)單減區(qū)間中，即：題目3：(2010天津理)已知函數(shù).如果，且.證明：.【解析】原題目有3問，其中第二問為第三問的解答提供幫助，現(xiàn)在我們利用不等式直接去證明第三問：設(shè)，則，，兩邊取對(duì)數(shù)①②①-②得：根據(jù)對(duì)數(shù)平均值不等式題目4：（2014江蘇南通市二模）設(shè)函數(shù)，其圖象與軸交于兩點(diǎn)，且.證明：（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）.【解析】根據(jù)題意：，移項(xiàng)取對(duì)數(shù)得：①②①-②得：，即：根據(jù)對(duì)數(shù)平均值不等式：，①+②得：根據(jù)均值不等式：∵函數(shù)在單調(diào)遞減∴由題于與交于不同兩點(diǎn)，易得出則∴上式簡化為:∴第2關(guān)：參數(shù)范圍問題—常見解題6法求解參數(shù)的取值范圍是一類常見題型．近年來在各地的模擬試題以及高考試題中更是屢屢出現(xiàn)．學(xué)生遇到這類問題，較難找到解題的切入點(diǎn)和突破口，下面介紹幾種解決這類問題的策略和方法．一、確定“主元”思想常量與變量是相對(duì)的，一般地，可把已知范圍的那個(gè)看作自變量，另一個(gè)看作常量．例1.對(duì)于滿足0的一切實(shí)數(shù)，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范圍．分析：習(xí)慣上把x當(dāng)作自變量，記函數(shù)y=x2+(p-4)x+3-p,于是問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)p時(shí)y>0恒成立，求x的范圍．解決這個(gè)問題需要應(yīng)用二次函數(shù)以及二次方程實(shí)根分布原理，這是相當(dāng)復(fù)雜的．若把x與p兩個(gè)量互換一下角色，即p視為變量，x為常量，則上述問題可轉(zhuǎn)化為在[0,4]內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題．解：設(shè)f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，當(dāng)x=1時(shí)顯然不滿足題意．由題設(shè)知當(dāng)0時(shí)f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范圍為x>3或x<-1．二、分離變量對(duì)于一些含參數(shù)的不等式問題，如果能夠?qū)⒉坏仁竭M(jìn)行同解變形，將不等式中的變量和參數(shù)進(jìn)行分離，即使變量和參數(shù)分別位于不等式的左、右兩邊，然后通過求函數(shù)的值域的方法將問題化歸為解關(guān)于參數(shù)的不等式的問題。例2．若對(duì)于任意角總有成立，求的范圍．分析與解：此式是可分離變量型，由原不等式得，又，則原不等式等價(jià)變形為恒成立．根據(jù)邊界原理知，必須小于的最小值，這樣問題化歸為怎樣求的最小值．因?yàn)榧磿r(shí)，有最小值為0，故．評(píng)析：一般地,分離變量后有下列幾種情形：①f(x)≥g(k)[f(x)]min≥g(k)②f(x)>g(k)g(k)<[f(x)]min③f(x)≤g(k)[f(x)]max≤g(k)④f(x)<g(k)[f(x)]max<g(k)三、數(shù)形結(jié)合對(duì)于含參數(shù)的不等式問題，當(dāng)不等式兩邊的函數(shù)圖象形狀明顯，我們可以作出它們的圖象，來達(dá)到解決問題的目的．例3．設(shè)，若不等式恒成立，求a的取值范圍．分析與解：若設(shè)函數(shù)，則，其圖象為上半圓．設(shè)函數(shù)，其圖象為直線．在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)圖象如圖，依題意要使半圓恒在直線下方，只有圓心到直線的距離且時(shí)成立，即a的取值范圍為．四、分類討論當(dāng)不等式中左、右兩邊的函數(shù)具有某些不確定因素時(shí)，應(yīng)用分類討論的方法來處理，分類討論可使原問題中的不確定因素變成確定因素，為問題的解決提供新的條件。例4．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求a的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，由題設(shè)知恒成立，即，而∴解得（2）當(dāng)時(shí)，由題設(shè)知恒成立，即，而∴解得．∴a的取值范圍是．五、利用判別式當(dāng)問題可化為一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立的問題，可用判別式來求解．例5．不等式，對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：∵在R上恒成立，∴，R∴，解得故實(shí)數(shù)的取值范圍是.一般地二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c恒正，f(x)=ax2+bx+c恒負(fù).六、構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造出函數(shù)，通過對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究，來達(dá)到解決問題的目的．例6．已知不等式對(duì)于一切大于1的自然數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．分析：注意到不等式僅僅左邊是與有關(guān)的式子，從函數(shù)的觀點(diǎn)看，左邊是關(guān)于的函數(shù)，要使原不等式成立，即要求這個(gè)函數(shù)的最小值大于右式．如何求這個(gè)函數(shù)的最小值呢？這又是一個(gè)非常規(guī)問題，應(yīng)該從研究此函數(shù)的單調(diào)性入手．解：設(shè),N∴是關(guān)于N的遞增函數(shù)，則=.∴要使不等式成立，只須，解之得.∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．以上介紹了求參數(shù)的取值范圍問題的處理方法，在具體解題中可能要用到兩種或兩種以上的方法，應(yīng)靈活處理．第3關(guān)：數(shù)列求和問題—解題策略8法數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在高考和數(shù)學(xué)競賽中都占有十分重要的地位，數(shù)列求和問題是數(shù)列的基本內(nèi)容之一，也是高考命題的熱點(diǎn)和重點(diǎn)。由于數(shù)列求和問題題型多樣，技巧性也較強(qiáng)，以致成為數(shù)列的一個(gè)難點(diǎn)。鑒于此，下面就數(shù)列求和問題的常見解題策略作一歸納，供廣大師生參考。1、公式法求和若所給數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)于n的多項(xiàng)式，此時(shí)可采用公式法求和，利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法之一。常用求和公式列舉如下：等差數(shù)列求和公式：，等比數(shù)列求和公式：自然數(shù)的方冪和：k3=13+23+33++n3=n2(n+1)2，k=1+2+3++n=n(n+1)，k2=12+22+32++n2=n(n+1)(2n+1)例1已知數(shù)列，其中，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求。解：由題意，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列前項(xiàng)和，2、錯(cuò)位相減法求和若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其中，中有一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是等比數(shù)列，求和時(shí)一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比q，然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和，這種方法就是錯(cuò)位相減法。它在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)曾用到的方法。例2已知當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；解：當(dāng)時(shí)，．由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積，這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和．①①式兩邊同乘以，得②①式減去②式，得若，，若，3、反序相加法求和將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)，Sn表示從第一項(xiàng)依次到第n項(xiàng)的和，然后又將Sn表示成第n項(xiàng)依次反序到第一項(xiàng)的和，將所得兩式相加，由此得到Sn的一種求和方法。也稱倒寫相加法，這是在推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)曾用到的方法.例3設(shè)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式的方法，可求得的值為：解：因?yàn)閒（x）=，∴f（1－x）=∴f（x）+f（1－x）=.設(shè)S=f（－5）+f（－4）+…+f（6），則S=f（6）+f（5）+…+f（－5）∴2S=（f（6）+f（－5））+（f（5）+f（－4））+…+（f（－5）+…f（6））=6∴S=f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（6）=3.4、拆項(xiàng)重組求和.有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，能分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列的和、差，則對(duì)拆開后的數(shù)列分別求和，再將其合并即可求出原數(shù)列的和．也稱分組求和法.例4求數(shù)列{n(n+1)(2n+1)}的前n項(xiàng)和.解：設(shè)∴＝將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得：Sn＝＝＝＝5、裂項(xiàng)相消法求和有些數(shù)列求和的問題，可以對(duì)相應(yīng)的數(shù)列的通項(xiàng)公式加以變形，將其寫成兩項(xiàng)的差，這樣整個(gè)數(shù)列求和的各加數(shù)都按同樣的方法裂成兩項(xiàng)之差，其中每項(xiàng)的被減數(shù)一定是后面某項(xiàng)的減數(shù)，從而經(jīng)過逐項(xiàng)相互抵消僅剩下有限項(xiàng)，可得出前項(xiàng)和公式．這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用，也稱為分裂通項(xiàng)法。它適用于型（其中{}是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)）、部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。常見拆項(xiàng)公式有：；；；；；；；等例5設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，，令，，求解：由題意得：（其中n為正整數(shù)）所以：。6、并項(xiàng)求和針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求和。例6設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和滿足關(guān)系式：設(shè)數(shù)列的公比為，作數(shù)列使，求和：b1b2－b2b3+b3b4－b4b5…+b2n－1b2n－b2nb2n+1.解:由題意知為等比數(shù)列，得，故=，故：bn=，可知{b2n－1}和{b2n}是首項(xiàng)分別為1和，公差均為的等差數(shù)列。于是b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1=b2（b1－b3）+b4（b3－b5）+b6（b5－b7）+…+b2n（b2n－1+b2n+1）=－（b2+b4+…+b2n）=－=－（2n2+3n）7、累加法給出數(shù)列｛｝的遞推式和初始值，若遞推式可以巧妙地轉(zhuǎn)化為型，可以考慮利用累加法求和，此法也叫疊加法。例7數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，求解：由得：，即，，對(duì)成立。由，，…，累加得：，又，所以，當(dāng)時(shí)，也成立8多法并取求和根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項(xiàng)和，它通常集分組、裂項(xiàng)、公式求和于一體，是一個(gè)解決綜合性數(shù)列求和的重要途徑.例8已知數(shù)列{an}：的值.解：∵＝＝∴＝＝第4關(guān)：絕對(duì)值不等式解法問題—7大類型類型一：形如型不等式解法:根據(jù)的符號(hào)，準(zhǔn)確的去掉絕對(duì)值符號(hào)，再進(jìn)一步求解.這也是其他類型的解題基礎(chǔ).當(dāng)時(shí)，或當(dāng)，無解使的解集當(dāng)時(shí)，，無解使成立的的解集.例1不等式的解集為（）A.B.C.D.解：因?yàn)?，所?即，解得：，所以，故選A.類型二：形如型不等式解法：將原不等式轉(zhuǎn)化為以下不等式進(jìn)行求解：或需要提醒一點(diǎn)的是，該類型的不等式容易錯(cuò)解為：例2不等式的解集為（）A．B.C．D.解：或或，故選D類型三：形如，型不等式，這類不等式如果用分類討論的方法求解，顯得比較繁瑣，其簡潔解法如下解法：把看成一個(gè)大于零的常數(shù)進(jìn)行求解，即：，或例3設(shè)函數(shù)，若，則的取值范圍是解：，故填：.類型四：形如型不等式解法：可以利用兩邊平方，通過移項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為：“兩式和”與“兩式差”的積的方法進(jìn)行，即：例4不等式的解集為解：所以原不等式的解集為類型五：形如型不等式解法：先利用絕對(duì)值的定義進(jìn)行判斷，再進(jìn)一步求解，即：，無解例5解關(guān)于的不等式解：當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于：當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于：當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于：或或綜上所述當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為：當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為：當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為：類型六：形如使恒成立型不等式.解法：利用和差關(guān)系式：，結(jié)合極端性原理即可解得，即：；；例6不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．B.C.D.解：設(shè)函數(shù)所以而不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立故，故選擇A類型七：形如，，1、解法：對(duì)于解含有多個(gè)絕對(duì)值項(xiàng)的不等式，常采用零點(diǎn)分段法，根據(jù)絕對(duì)值的定義分段去掉絕對(duì)值號(hào)，最后把各種情況綜合得出答案，其步驟是：找出零點(diǎn)，確定分段區(qū)間；分段求解，確定各段解集；綜合取并，去掉所求解集，亦可集合圖像進(jìn)行求解.例7解不等式分析：找出零點(diǎn)：確定分段區(qū)間：解：（1）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為：解得：因?yàn)?，所以不存在?）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為：解得：又因?yàn)?，所以?）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為：，解得：又，所以綜上所述，原不等式的解集為：2、特別地，對(duì)于形如，型不等式的解法，除了可用零點(diǎn)分段法外，更可轉(zhuǎn)化為以下不等式，即：或例8設(shè)函數(shù)（1）若，解不等式（2）如果求的范圍解：當(dāng)由得：即：或解得：，即：或故不等式的解集為：（2）由得：即：或即：或因?yàn)楹愠闪ⅲ猿闪?，解得：或故的取值范圍為：絕對(duì)值不等式一直是高中教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，我們通過化歸思想將其進(jìn)行等價(jià)變換，從而避免了繁瑣的討論，減小了運(yùn)算量，以上所介紹的七種類型的含有絕對(duì)值的不等式總體上囊括了近幾年高考中有關(guān)的題目，當(dāng)然方法可能并不為一，在解決此類問題的時(shí)候很多人也比較喜歡使用數(shù)形結(jié)合的方法來處理，這其實(shí)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)形式多樣化的統(tǒng)一美.方法是多種多樣的，只是無論多么優(yōu)秀的方法最終也是用來解題的工具，如果我們僅僅是停留在最求方法的多樣化而忽略了數(shù)學(xué)的本質(zhì)——思想，那么就有點(diǎn)得不償失了.第5關(guān)：三角函數(shù)最值問題—解題9法三角函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)運(yùn)算工具，三角函數(shù)最值問題是三角函數(shù)中的基本內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉及的問題。這部分內(nèi)容是一個(gè)難點(diǎn)，它對(duì)三角函數(shù)的恒等變形能力及綜合應(yīng)用要求較高。解決這一類問題的基本途徑，同求解其他函數(shù)最值一樣，一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性（如有界性等），另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)（二次函數(shù)等）最值問題。下面就介紹幾種常見的求三角函數(shù)最值的方法：一配方法若函數(shù)表達(dá)式中只含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，切它們次數(shù)是2時(shí)，一般就需要通過配方或換元將給定的函數(shù)化歸為二次函數(shù)的最值問題來處理。例1函數(shù)的最小值為（）.A．2B.0C.D.6[分析]本題可通過公式將函數(shù)表達(dá)式化為，因含有cosx的二次式，可換元，令cosx=t，則配方，得,當(dāng)t=1時(shí),即cosx=1時(shí)，,選B.例2求函數(shù)y=5sinx+cos2x的最值[分析]：觀察三角函數(shù)名和角，其中一個(gè)為正弦，一個(gè)為余弦，角分別是單角和倍角，所以先化簡，使三角函數(shù)的名和角達(dá)到統(tǒng)一。二引入輔助角法例3已知函數(shù)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合。[分析]此類問題為的三角函數(shù)求最值問題，它可通過降次化簡整理為型求解。解：三利用三角函數(shù)的有界性在三角函數(shù)中，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)具有一個(gè)最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的有界性是求解三角函數(shù)最值的最基本方法。例4求函數(shù)的值域[分析]此為型的三角函數(shù)求最值問題，分子、分母的三角函數(shù)同名、同角，這類三角函數(shù)一般先化為部分分式，再利用三角函數(shù)的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三角函數(shù)的有界性去解。解法一：原函數(shù)變形為，可直接得到：或解法一：原函數(shù)變形為或例5已知函數(shù)，求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值。[分析]在本題的函數(shù)表達(dá)式中，既含有正弦函數(shù)，又有余弦函數(shù)，并且含有它們的二次式，故需設(shè)法通過降次化二次為一次式，再化為只含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的表達(dá)式。解： f(x)的最小正周期為，最大值為。四引入?yún)?shù)法（換元法）對(duì)于表達(dá)式中同時(shí)含有sinx+cosx，與sinxcosx的函數(shù)，運(yùn)用關(guān)系式一般都可采用換元法轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)去求最值，但必須要注意換元后新變量的取值范圍。例6求函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值。[分析]解：令sinx+cosx=t，則，其中當(dāng)五利用基本不等式法利用基本不等式求函數(shù)的最值，要合理的拆添項(xiàng)，湊常數(shù)，同時(shí)要注意等號(hào)成立的條件，否則會(huì)陷入誤區(qū)。例7求函數(shù)的最值。解：=當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，故。六利用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性例8已知，求函數(shù)的最小值。[分析]此題為型三角函數(shù)求最值問題，當(dāng)sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，適合用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性來求解。設(shè)，在（0，1）上為減函數(shù)，當(dāng)t=1時(shí)，。七數(shù)形結(jié)合由于，所以從圖形考慮，點(diǎn)(cosx,sinx)在單位圓上，這樣對(duì)一類既含有正弦函數(shù)，又含有余弦函數(shù)的三角函數(shù)的最值問題可考慮用幾何方法求得。例9求函數(shù)的最小值。[分析]法一：將表達(dá)式改寫成y可看成連接兩點(diǎn)A(2,0)與點(diǎn)(cosx,sinx)的直線的斜率。由于點(diǎn)(cosx,sinx)的軌跡是單位圓的上半圓（如圖），所以求y的最小值就是在這個(gè)半圓上求一點(diǎn)，使得相應(yīng)的直線斜率最小。設(shè)過點(diǎn)A的切線與半圓相切與點(diǎn)B,則可求得所以y的最小值為（此時(shí)）.法二：該題也可利用關(guān)系式asinx+bcosx=（即引入輔助角法）和有界性來求解。八判別式法例10求函數(shù)的最值。[分析]同一變量分子、分母最高次數(shù)齊次，常用判別式法和常數(shù)分離法。解：時(shí)此時(shí)一元二次方程總有實(shí)數(shù)解由y=3，tanx=-1，由九分類討論法 含參數(shù)的三角函數(shù)的值域問題，需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論。例11設(shè)，用a表示f(x)的最大值M(a).解：令sinx=t,則當(dāng)，即在[0，1]上遞增，當(dāng)即時(shí)，在[0，1]上先增后減，當(dāng)即在[0，1]上遞減，以上幾種方法中又以配方法和輔助角法及利用三角函數(shù)的有界性解題最為常見。解決這類問題最關(guān)鍵的在于對(duì)三角函數(shù)的靈活應(yīng)用及抓住題目關(guān)鍵和本質(zhì)所在。第6關(guān)：求軌跡方程問題—6大常用方法知識(shí)梳理：（一）求軌跡方程的一般方法：1.待定系數(shù)法：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程，也有人將此方法稱為定義法。2.直譯法：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)P滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)P所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。3.參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的某個(gè)幾何量t，以此量作為參變數(shù)，分別建立P點(diǎn)坐標(biāo)x，y與該參數(shù)t的函數(shù)關(guān)系x＝f（t），y＝g（t），進(jìn)而通過消參化為軌跡的普通方程F（x，y）＝0。4.代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出P（x，y），用（x，y）表示出相關(guān)點(diǎn)P'的坐標(biāo)，然后把P'的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。5.幾何法：若所求的軌跡滿足某些幾何性質(zhì)（如線段的垂直平分線，角平分線的性質(zhì)等），可以用幾何法，列出幾何式，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)較簡單。6：交軌法：在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)要求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這燈問題通常通過解方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程），該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。（二）求軌跡方程的注意事項(xiàng)：1.求軌跡方程的關(guān)鍵是在紛繁復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)變化中，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即P點(diǎn)滿足的等量關(guān)系，因此要學(xué)會(huì)動(dòng)中求靜，變中求不變。來表示，若要判斷軌跡方程表示何種曲線，則往往需將參數(shù)方程化為普通方程。3.求出軌跡方程后，應(yīng)注意檢驗(yàn)其是否符合題意，既要檢驗(yàn)是否增解，（即以該方程的某些解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在軌跡上），又要檢驗(yàn)是否丟解。（即軌跡上的某些點(diǎn)未能用所求的方程表示），出現(xiàn)增解則要舍去，出現(xiàn)丟解，則需補(bǔ)充。檢驗(yàn)方法：研究運(yùn)動(dòng)中的特殊情形或極端情形。4．求軌跡方程還有整體法等其他方法。在此不一一綴述。課前熱身：1.P是橢圓=1上的動(dòng)點(diǎn)，過P作橢圓長軸的垂線，垂足為M，則PM中點(diǎn)的軌跡中點(diǎn)的軌跡方程為：（）A、B、C、D、=1【答案】：B 【解答】:令中點(diǎn)坐標(biāo)為,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(代入橢圓方程得,選B2.圓心在拋物線上，并且與拋物線的準(zhǔn)線及軸都相切的圓的方程是（）A BC D【答案】：D【解答】:令圓心坐標(biāo)為(,則由題意可得,解得,則圓的方程為,選D3:一動(dòng)圓與圓O：外切，而與圓C：內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心M的軌跡是：A：拋物線B：圓C：橢圓D：雙曲線一支【答案】：D【解答】令動(dòng)圓半徑為R，則有，則|MO|-|MC|=2，滿足雙曲線定義。故選D。4:點(diǎn)P(x0，y0)在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)M（2x0，y0）的軌跡是（）A.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線D.焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線【答案】：A【解答】:令M的坐標(biāo)為則代入圓的方程中得,選A【互動(dòng)平臺(tái)】一：用定義法求曲線軌跡求曲線軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一，求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過坐標(biāo)互化將其轉(zhuǎn)化為尋求變量之間的關(guān)系，在求與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問題時(shí)，要特別注意圓錐曲線的定義在求軌跡中的作用，只要?jiǎng)狱c(diǎn)滿足已知曲線定義時(shí)，通過待定系數(shù)法就可以直接得出方程。例1：已知的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-4，0），（4，0），C為動(dòng)點(diǎn)，且滿足求點(diǎn)C的軌跡。【解析】由可知，即，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則，則軌跡方程為（，圖形為橢圓（不含左，右頂點(diǎn)）。【點(diǎn)評(píng)】熟悉一些基本曲線的定義是用定義法求曲線方程的關(guān)鍵。圓：到定點(diǎn)的距離等于定長橢圓：到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)（大于兩定點(diǎn)的距離）雙曲線：到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于兩定點(diǎn)的距離）到定點(diǎn)與定直線距離相等?！咀兪?】:1:已知圓的圓心為M1，圓的圓心為M2，一動(dòng)圓與這兩個(gè)圓外切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程。解：設(shè)動(dòng)圓的半徑為R，由兩圓外切的條件可得：，。。∴動(dòng)圓圓心P的軌跡是以M1、M2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求軌跡方程為2:一動(dòng)圓與圓O：外切，而與圓C：內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心M的軌跡是：A：拋物線B：圓C：橢圓D：雙曲線一支【解答】令動(dòng)圓半徑為R，則有，則|MO|-|MC|=2，滿足雙曲線定義。故選D。二：用直譯法求曲線軌跡方程此類問題重在尋找數(shù)量關(guān)系。例2：一條線段AB的長等于2a,兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，求AB中點(diǎn)P的軌跡方程？解設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為由平幾的中線定理：在直角三角形AOB中，OM=M點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓周.【點(diǎn)評(píng)】此題中找到了OM=這一等量關(guān)系是此題成功的關(guān)鍵所在。一般直譯法有下列幾種情況：1）代入題設(shè)中的已知等量關(guān)系：若動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律由題設(shè)中的已知等量關(guān)系明顯給出，則采用直接將數(shù)量關(guān)系代數(shù)化的方法求其軌跡。2）列出符合題設(shè)條件的等式：有時(shí)題中無坐標(biāo)系，需選定適當(dāng)位置的坐標(biāo)系，再根據(jù)題設(shè)條件列出等式，得出其軌跡方程。3）運(yùn)用有關(guān)公式：有時(shí)要運(yùn)用符合題設(shè)的有關(guān)公式，使其公式中含有動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，并作相應(yīng)的恒等變換即得其軌跡方程。4）借助平幾中的有關(guān)定理和性質(zhì)：有時(shí)動(dòng)點(diǎn)規(guī)律的數(shù)量關(guān)系不明顯，這時(shí)可借助平面幾何中的有關(guān)定理、性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質(zhì)等等，從而分析出其數(shù)量的關(guān)系，這種借助幾何定理的方法是求動(dòng)點(diǎn)軌跡的重要方法.【變式2】:動(dòng)點(diǎn)P（x,y）到兩定點(diǎn)A（－3，0）和B（3，0）的距離的比等于2（即），求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程？【解答】∵|PA|=代入得化簡得（x－5）2+y2=16，軌跡是以（5，0）為圓心，4為半徑的圓.三：用參數(shù)法求曲線軌跡方程此類方法主要在于設(shè)置合適的參數(shù)，求出參數(shù)方程，最后消參，化為普通方程。注意參數(shù)的取值范圍。例3．過點(diǎn)P（2，4）作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于A點(diǎn)，l2交y軸于B點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。【解析】分析1：從運(yùn)動(dòng)的角度觀察發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)是由直線l1引發(fā)的，可設(shè)出l1的斜率k作為參數(shù)，建立動(dòng)點(diǎn)M坐標(biāo)（x，y）滿足的參數(shù)方程。解法1：設(shè)M（x，y），設(shè)直線l1的方程為y－4＝k（x－2），（k≠０）∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，消去k，得x＋2y－5＝0。另外，當(dāng)k＝0時(shí)，AB中點(diǎn)為M（1，2），滿足上述軌跡方程；當(dāng)k不存在時(shí)，AB中點(diǎn)為M（1，2），也滿足上述軌跡方程。綜上所述，M的軌跡方程為x＋2y－5＝0。分析2：解法1中在利用k1k2＝－1時(shí)，需注意k1、k2是否存在，故而分情形討論，能否避開討論呢？只需利用△PAB為直角三角形的幾何特性：解法2：設(shè)M（x，y），連結(jié)MP，則A（2x，0），B（0，2y），∵l1⊥l2，∴△PAB為直角三角形化簡，得x＋2y－5＝0，此即M的軌跡方程。分析3：：設(shè)M（x，y），由已知l1⊥l2，聯(lián)想到兩直線垂直的充要條件：k1k2＝－1，即可列出軌跡方程，關(guān)鍵是如何用M點(diǎn)坐標(biāo)表示A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)。事實(shí)上，由M為AB的中點(diǎn)，易找出它們的坐標(biāo)之間的聯(lián)系。解法3：設(shè)M（x，y），∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，∴A（2x，0），B（0，2y）。又l1，l2過點(diǎn)P（2，4），且l1⊥l2∴PA⊥PB，從而kPA·kPB＝－1，注意到l1⊥x軸時(shí)，l2⊥y軸，此時(shí)A（2，0），B（0，4）中點(diǎn)M（1，2），經(jīng)檢驗(yàn)，它也滿足方程x＋2y－5＝0綜上可知，點(diǎn)M的軌跡方程為x＋2y－5＝0?！军c(diǎn)評(píng)】解法1用了參數(shù)法，消參時(shí)應(yīng)注意取值范圍。解法2，3為直譯法，運(yùn)用了kPA·kPB＝－1，這些等量關(guān)系用參數(shù)法求解時(shí)，一般參數(shù)可選用具有某種物理或幾何意義的量，如時(shí)間，速度，距離，角度，有向線段的數(shù)量，直線的斜率，點(diǎn)的橫，縱坐標(biāo)等。也可以沒有具體的意義，選定參變量還要特別注意它的取值范圍對(duì)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)取值范圍的影響【變式3】過圓O：x2+y2=4外一點(diǎn)A（4，0），作圓的割線，求割線被圓截得的弦BC的中點(diǎn)M的軌跡解法一：“幾何法”設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,因?yàn)辄c(diǎn)M是弦BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥BC,所以|OM|２＋|ＭＡ|２＝|ＯＡ|２，即(x2+y2)+(x－４)2+y2=16化簡得：（x－2）2+y2=4①由方程①與方程x2+y2=4得兩圓的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，所以點(diǎn)M的軌跡方程為（x－2）2+y2=4（0≤x＜1）。所以M的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓在圓O內(nèi)的部分。解法二：“參數(shù)法”設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直線AB的方程為y=k(x－4),由直線與圓的方程得（1+k2）x2－8k2x+16k2－4=0(*),由點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，所以x=(1),又OM⊥BC，所以k=(2)由方程（1）（2）消去k得（x－2）2+y2=4,又由方程（*）的△≥0得k2≤,所以x＜1.所以點(diǎn)M的軌跡方程為（x－2）2+y2=4（0≤x＜1）所以M的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓在圓O內(nèi)的部分。四：用代入法等其它方法求軌跡方程例4.軌跡方程。分析：題中涉及了三個(gè)點(diǎn)A、B、M，其中A為定點(diǎn)，而B、M為動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)是有規(guī)律的，顯然M的運(yùn)動(dòng)是由B的運(yùn)動(dòng)而引發(fā)的，可見M、B為相關(guān)點(diǎn)，故采用相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），而設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0）則由M為線段AB中點(diǎn)，可得即點(diǎn)B坐標(biāo)可表為（2x－2a，2y）【點(diǎn)評(píng)】代入法的關(guān)鍵在于找到動(dòng)點(diǎn)和其相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)間的等量關(guān)系【變式4】如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程【解析】：設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng)設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)，所以x1=,代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0整理得x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程【備選題】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)．（I）若動(dòng)點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；（II）在軸上是否存在定點(diǎn)，使·為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：由條件知，，設(shè)，．解法一：（I）設(shè)，則則，，，由得即于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)不與軸垂直時(shí)，，即．又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，，兩式相減得，即．將代入上式，化簡得．當(dāng)與軸垂直時(shí)，，求得，也滿足上述方程．所以點(diǎn)的軌跡方程是．（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是．代入有．則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，，于是．因?yàn)槭桥c無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時(shí)=．當(dāng)與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，，此時(shí)．故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．解法二：（I）同解法一的（I）有當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是．代入有．則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以．．由①②③得．…………………④．……………………⑤當(dāng)時(shí)，，由④⑤得，，將其代入⑤有．整理得．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程．當(dāng)與軸垂直時(shí)，，求得，也滿足上述方程．故點(diǎn)的軌跡方程是．（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)點(diǎn)，使為常數(shù)，當(dāng)不與軸垂直時(shí)，由（I）有，．以上同解法一的（II）．【誤區(qū)警示】1.錯(cuò)誤診斷【例題5】中，B，C坐標(biāo)分別為（-3，0），（3，0），且三角形周長為16，求點(diǎn)A的軌跡方程。【常見錯(cuò)誤】由題意可知，|AB|+|AC|=10，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則由定義可知，則，得軌跡方程為【錯(cuò)因剖析】ABC為三角形，故A，B，C不能三點(diǎn)共線?！菊_解答】ABC為三角形，故A，B，C不能三點(diǎn)共線。軌跡方程里應(yīng)除去點(diǎn)，即軌跡方程為2.誤區(qū)警示1：在求軌跡方程中易出錯(cuò)的是對(duì)軌跡純粹性及完備性的忽略，因此，在求出曲線方程的方程之后，應(yīng)仔細(xì)檢查有無“不法分子”摻雜其中，將其剔除；另一方面，又要注意有無“漏網(wǎng)之魚”仍逍遙法外，要將其“捉拿歸案”。2：求軌跡時(shí)方法選擇尤為重要，首先應(yīng)注意定義法，幾何法，直接法等方法的選擇。3：求出軌跡后，一般畫出所求軌跡，這樣更易于檢查是否有不合題意的部分或漏掉的部分。【課外作業(yè)】【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1:已知兩點(diǎn)給出下列曲線方程：①；②；③；④，在曲線上存在點(diǎn)P滿足的所有曲線方程是（）A①③ B②④ C①②③D②③④【答案】:D【解答】:要使得曲線上存在點(diǎn)P滿足,即要使得曲線與MN的中垂線有交點(diǎn).把直線方程分別與四個(gè)曲線方程聯(lián)立求解,只有①無解,則選D2.兩條直線與的交點(diǎn)的軌跡方程是.【解答】:直接消去參數(shù)即得(交軌法):3:已知圓的方程為(x-1)2+y2=1,過原點(diǎn)O作圓的弦0A，則弦的中點(diǎn)M的軌跡方程是.【解答】:令M點(diǎn)的坐標(biāo)為(,則A的坐標(biāo)為(2,代入圓的方程里面得:4:當(dāng)參數(shù)m隨意變化時(shí)，則拋物線的頂點(diǎn)的軌跡方程為___________?！痉治觥浚喊阉筌壽E上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x，y分別用已有的參數(shù)m來表示，然后消去參數(shù)m，便可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程?！窘獯稹浚簰佄锞€方程可化為它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為消去參數(shù)m得：故所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為。5:點(diǎn)M到點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線的距離小1，則點(diǎn)M的軌跡方程為____________?！痉治觥浚狐c(diǎn)M到點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線的距離小1，意味著點(diǎn)M到點(diǎn)F（4，0）的距離與它到直線的距離相等。由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可寫出點(diǎn)M的軌跡方程?！窘獯稹浚阂李}意，點(diǎn)M到點(diǎn)F（4，0）的距離與它到直線的距離相等。則點(diǎn)M的軌跡是以F（4，0）為焦點(diǎn)、為準(zhǔn)線的拋物線。故所求軌跡方程為。6:求與兩定點(diǎn)距離的比為1：2的點(diǎn)的軌跡方程為_________【分析】:設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P，由題意，則依照點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中所遵循的條件，可列出等量關(guān)系式?！窘獯稹浚涸O(shè)是所求軌跡上一點(diǎn)，依題意得由兩點(diǎn)間距離公式得：化簡得：7拋物線的通徑（過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦）與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C在拋物線上，求△ABC重心P的軌跡方程?！痉治觥浚簰佄锞€的焦點(diǎn)為。設(shè)△ABC重心P的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為。其中【解答】：因點(diǎn)是重心，則由分點(diǎn)坐標(biāo)公式得：即由點(diǎn)在拋物線上，得：將代入并化簡，得：（【能力訓(xùn)練】8.已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F（，0），直線y=x－1與其相交于M、N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求此雙曲線方程?！窘獯稹浚涸O(shè)雙曲線方程為。將y=x－1代入方程整理得。由韋達(dá)定理得。又有，聯(lián)立方程組，解得?！啻穗p曲線的方程為。9.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）和直線x=3的距離之和等于4，求點(diǎn)P的軌跡方程?！窘獯稹浚涸O(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則由題意可得。（1）當(dāng)x≤3時(shí)，方程變?yōu)椋喌?。?）當(dāng)x>3時(shí)，方程變?yōu)?，化簡得。故所求的點(diǎn)P的軌跡方程是或10.過原點(diǎn)作直線l和拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程?！窘獯稹浚河深}意分析知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程y=kx。把它代入拋物線方程，得。因?yàn)橹本€和拋物線相交，所以△>0，解得。設(shè)A（），B（），M（x，y），由韋達(dá)定理得。由消去k得。又，所以?！帱c(diǎn)M的軌跡方程為?！緞?chuàng)新應(yīng)用】11.一個(gè)圓形紙片，圓心為O，F(xiàn)為圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于P，則P的軌跡是（）A:橢圓B:雙曲線C:拋物線D:圓【答案】：A【解答】：由對(duì)稱性可知||PF|=|PM|，則|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=R（R為圓的半徑），則P的軌跡是橢圓，選A第7關(guān)：參數(shù)方程與極坐標(biāo)問題—“考點(diǎn)”面面看“參數(shù)方程與極坐標(biāo)”主要內(nèi)容是參數(shù)方程和普通方程的互化，極坐標(biāo)系與普通坐標(biāo)系的互化，參數(shù)方程和極坐標(biāo)的簡單應(yīng)用三塊，下面針對(duì)這三塊內(nèi)容進(jìn)行透析：一、參數(shù)方程與普通方程的互化化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式（三角的或代數(shù)的）消去法；化普通方程為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)，先確定一個(gè)關(guān)系（或，再代入普通方程，求得另一關(guān)系（或）.一般地，常選擇的參數(shù)有角、有向線段的數(shù)量、斜率，某一點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）例1、方程表示的曲線是（）A.雙曲線B.雙曲線的上支C.雙曲線的下支D.圓分析：把參數(shù)方程化為我們熟悉的普通方程，再去判斷它表示的曲線類型是這類問題的破解策略.解析：注意到t與互為倒數(shù)，故將參數(shù)方程的兩個(gè)等式兩邊分別平方，再相減，即可消去含的項(xiàng)，即有，又注意到，可見與以上參數(shù)方程等價(jià)的普通方程為.顯然它表示焦點(diǎn)在軸上，以原點(diǎn)為中心的雙曲線的上支，選B.點(diǎn)評(píng)：這是一類將參數(shù)方程化為普通方程的檢驗(yàn)問題，轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是要注意變量范圍的一致性.趁熱打鐵1：與普通方程等價(jià)的參數(shù)方程是（）（為能數(shù)）解析：所謂與方程等價(jià)，是指若把參數(shù)方程化為普通方程后不但形式一致而且的變化范圍也對(duì)應(yīng)相同，按照這一標(biāo)準(zhǔn)逐一驗(yàn)證即可破解.對(duì)于A化為普通方程為；對(duì)于B化為普通方程為；對(duì)于C化為普通方程為;對(duì)于D化為普通方程為.而已知方程為顯然與之等價(jià)的為B.例2、設(shè)P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是，最小值為.分析：注意到變量的幾何意義，故研究二元函數(shù)的最值時(shí)，可轉(zhuǎn)化為幾何問題.若設(shè)，則方程表示一組直線，（對(duì)于取不同的值，方程表示不同的直線），顯然既滿足，又滿足，故點(diǎn)是方程組的公共解，依題意得直線與橢圓總有公共點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為研究消無后的一元二次方程的判別式問題.解析：令，對(duì)于既滿足，又滿足，故點(diǎn)是方程組的公共解，依題意得，由，解得：，所以的最大值為，最小值為.點(diǎn)評(píng)：對(duì)于以上的問題，有時(shí)由于研究二元函數(shù)有困難，也常采用消元，但由滿足的方程來表示出或時(shí)會(huì)出現(xiàn)無理式，這對(duì)進(jìn)一步求函數(shù)最值依然不夠簡潔，但若通過三角函數(shù)換元，則可實(shí)現(xiàn)這一途徑.即，因此可通過轉(zhuǎn)化為的一元函數(shù).以上二個(gè)思路都叫“參數(shù)法”.趁熱打鐵2：已知線段，直線l垂直平分，交于點(diǎn)O，在屬于l并且以O(shè)為起點(diǎn)的同一射線上取兩點(diǎn)，使，求直線BP與直線的交點(diǎn)M的軌跡方程.解析：以O(shè)為原點(diǎn)，BB’為y軸，為軸建立直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則由，得，則直線BP的方程為；直線和方程為；，因此點(diǎn)M的軌跡為長軸長為6，短軸長為4的橢圓（除B，）.二、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化利用兩種坐標(biāo)的互化，可以把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，這二者互化的前提條件是（1）極點(diǎn)與原點(diǎn)重合；（2）極軸與軸正方向重合；（3）取相同的單位長度.設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為，它的極坐標(biāo)為，則；若把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，求極角時(shí)，應(yīng)注意判斷點(diǎn)P所在的象限（即角的終邊的位置），以便正確地求出角.例3、極坐標(biāo)方程表示的曲線是（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線的一支 D.拋物線分析：這類問題需要將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程進(jìn)行判斷.解析：由，化為直角坐標(biāo)系方程為，化簡得.顯然該方程表示拋物線，故選D.點(diǎn)評(píng)：若直接由所給方程是很難斷定它表示何種曲線，因此通常要把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，加以研究.趁熱打鐵3：已知直線的極坐標(biāo)方程為，則極點(diǎn)到該直線的距離是解析：極點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，對(duì)于方程，可得化為直角坐標(biāo)方程為，因此點(diǎn)到直線的距離為.例4、極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為（）A．B．C．D．分析：極坐標(biāo)化為直解坐標(biāo)只須結(jié)合轉(zhuǎn)化公式進(jìn)行化解.解析：，因此選C.點(diǎn)評(píng)：此題在轉(zhuǎn)化過程中要注意不要失解，本題若成為填空題，則更要謹(jǐn)防漏解.趁熱打鐵4：點(diǎn)的直角坐標(biāo)是，則點(diǎn)的極坐標(biāo)為（）A．B．C．D．解析：都是極坐標(biāo)，因此選C.三、參數(shù)方程與極坐標(biāo)的簡單應(yīng)用參數(shù)方程和極坐標(biāo)的簡單應(yīng)用主要是：求幾何圖形的面積、曲線的軌跡方程或研究某些函數(shù)的最值問題.例5、已知的三個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為,判斷三角形ABC的三角形的形狀，并計(jì)算其面積.分析：判斷△ABC的形狀，就需要計(jì)算三角形的邊長或角，在本題中計(jì)算邊長較為容易，不妨先計(jì)算邊長.解析：如圖，對(duì)于，又，由余弦定理得：，，，，，，所以AB邊上的高,趁熱打鐵5：如圖，點(diǎn)A在直線x=5上移動(dòng)，等腰△OPA的頂角∠OPA為120°（O，P，A按順時(shí)針方向排列），求點(diǎn)P的軌跡方程.解析：取O為極點(diǎn)，正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，則直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)A（，），P，因點(diǎn)A在直線上，為等腰三角形，且，以及，把<2>代入<1>，得點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程為：.即時(shí)訓(xùn)練一、選擇題（8題）1.已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，下列所給出的四個(gè)坐標(biāo)中不能表示點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.2．若直線的參數(shù)方程為，則直線的斜率為（）A．B．C．D．3．下列在曲線上的點(diǎn)是（）A．B．C．D．4．將參數(shù)方程化為普通方程為（）A．B．C．D．5．參數(shù)方程為表示的曲線是（）A．一條直線B．兩條直線C．一條射線D．兩條射線6．直線和圓交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．B．C．D．7．極坐標(biāo)方程表示的曲線為（）A．一條射線和一個(gè)圓B．兩條直線C．一條直線和一個(gè)圓D．一個(gè)圓8．直線的參數(shù)方程為，上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)是，則點(diǎn)與之間的距離是（）A．B．C．D．二、填空題（4題）9.點(diǎn)的極坐標(biāo)為10.圓心為C，半徑為3的圓的極坐標(biāo)方程為11.極坐標(biāo)方程為表示的圓的半徑為12若A，B，則|AB|=__________，___________（其中O是極點(diǎn)）三、解答題（3題）13.求橢圓。14.若方程的曲線是橢圓，求實(shí)數(shù)的取值范圍.15.，若A、B是C上關(guān)于坐標(biāo)軸不對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，AB的垂直平分線交x軸于P（a，0），求a的取值范圍.即時(shí)訓(xùn)練參考答案一、選擇題：1.A解析：能表示點(diǎn)M的坐標(biāo)有3個(gè)，分別是B、C、D.2．D解析：3．B解析：轉(zhuǎn)化為普通方程：，當(dāng)時(shí)，4．C解析：轉(zhuǎn)化為普通方程：，但是5、D解析：表示一條平行于軸的直線，而，所以表示兩條射線6．D解析：，得，因此中點(diǎn)為7．C解析：，則或8、C解析：距離為二、填空題：9、或?qū)懗山馕觯河桑枚c(diǎn)位于第四象限且或，故點(diǎn)的極坐標(biāo)為或?qū)懗?10、解析：如下圖，設(shè)圓上任一點(diǎn)為P（），則11、1解析：方程變形為，該方程表示的圓的半徑與圓的半徑相等，故所求的圓的半徑為r=112、解析：在極坐標(biāo)系中畫出點(diǎn)A、B，易得，三、解答題：13.解析：（先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，建立有關(guān)距離的函數(shù)關(guān)系）到定點(diǎn)的距離為，14.解析：將方程兩邊同乘以，化為：，，若方程表示橢圓，則須滿足：15.，若A、B是C上關(guān)于坐標(biāo)軸不對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，AB的垂直平分線交x軸于P（a，0），求a的取值范圍.15.解析：，，，，第8關(guān)：均值不等式問題—拼湊8法利用均值不等式求最值或證明不等式是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)。在運(yùn)用均值不等式解題時(shí),我們常常會(huì)遇到題中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用題設(shè)條件，此時(shí)需要對(duì)題中的式子適當(dāng)進(jìn)行拼湊變形。均值不等式等號(hào)成立條件具有潛在的運(yùn)用功能。以均值不等式的取等條件為出發(fā)點(diǎn)，為解題提供信息，可以引發(fā)出種種拼湊方法。筆者把運(yùn)用均值不等式的拼湊方法概括為八類。拼湊定和通過因式分解、納入根號(hào)內(nèi)、升冪等手段，變?yōu)椤胺e”的形式，然后以均值不等式的取等條件為出發(fā)點(diǎn)，均分系數(shù)，拼湊定和，求積的最大值。例１已知，求函數(shù)的最大值。解：。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取“=”。故。評(píng)注：通過因式分解，將函數(shù)解析式由“和”的形式，變?yōu)椤胺e”的形式，然后利用隱含的“定和”關(guān)系，求“積”的最大值。例2求函數(shù)的最大值。解：。因，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取“=”。故。評(píng)注：將函數(shù)式中根號(hào)外的正變量移進(jìn)根號(hào)內(nèi)的目的是集中變?cè)?，為“拼湊定和”?chuàng)造條件。已知，求函數(shù)的最大值。解：。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取“=”。故，又。拼湊定積通過裂項(xiàng)、分子常數(shù)化、有理代換等手段，變?yōu)椤昂汀钡男问剑缓笠跃挡坏仁降娜〉葪l件為出發(fā)點(diǎn)，配項(xiàng)湊定積，創(chuàng)造運(yùn)用均值不等式的條件設(shè)，求函數(shù)的最小值。解：。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取“=”。故。評(píng)注：有關(guān)分式的最值問題，若分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，則可考慮裂項(xiàng)，變?yōu)楹偷男问?，然后“拼湊定積”，往往是十分方便的。已知，求函數(shù)的最大值。解：，。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取“=”。故。評(píng)注：有關(guān)的最值問題，若分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，可考慮改變?cè)降慕Y(jié)構(gòu)，將分子化為常數(shù)，再設(shè)法將分母“拼湊定積”。已知，求函數(shù)的最小值。解：因?yàn)?，所以，令，則。所以。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取“=”。故。評(píng)注：通過有理代換，化無理為有理，化三角為代數(shù)，從而化繁為簡，化難為易，創(chuàng)造出運(yùn)用均值不等式的環(huán)境。拼湊常數(shù)降冪若，求證：。分析：基本不等式等號(hào)成立的條件具有潛在的運(yùn)用功能，它能在“等”與“不等”的互化中架設(shè)橋梁，能為解題提供信息，開辟捷徑。本題已知與要求證的條件是，為解題提供了信息，發(fā)現(xiàn)應(yīng)拼湊項(xiàng)，巧妙降次，迅速促成“等”與“不等”的辯證轉(zhuǎn)化。證明：。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述各式取“=”，故原不等式得證。評(píng)注：本題借助取等號(hào)的條件，創(chuàng)造性地使用基本不等式，簡潔明了。若，求的最大值。解：。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述各式取“=”，故的最大值為7。已知，求證：。證明：，，又，。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述各式取“=”，故原不等式得證。拼湊常數(shù)升冪若，且，求證。分析：已知與要求證的不等式都是關(guān)于的輪換對(duì)稱式，容易發(fā)現(xiàn)等號(hào)成立的條件是，故應(yīng)拼湊，巧妙升次，迅速促成“等”與“不等”的辯證轉(zhuǎn)化。證明：，。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述各式取“=”，故原不等式得證。若，求證：。證明：。又。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述各式取“=”，故原不等式得證。約分配湊通過“1”變換或添項(xiàng)進(jìn)行拼湊，使分母能約去或分子能降次。已知，求的最小值。解：。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，上式取“=”，故。已知，求函數(shù)的最小值。解：因?yàn)?，所以。所以。?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，上式取“=”，故。若，求證。分析：注意結(jié)構(gòu)特征：要求證的不等式是關(guān)于的輪換對(duì)稱式，當(dāng)時(shí)，等式成立。此時(shí)，設(shè)，解得，所以應(yīng)拼湊輔助式為拼湊的需要而添，經(jīng)此一添，解題可見眉目。證明：。。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述各式取“=”，故原不等式得證。引入?yún)?shù)拼湊某些復(fù)雜的問題難以觀察出匹配的系數(shù)，但利用“等”與“定”的條件，建立方程組，解地待定系數(shù)，可開辟解題捷徑。已知，且，求的最小值。解：設(shè)，故有。。當(dāng)且僅當(dāng)同時(shí)成立時(shí)上述不等式取“=”，即，代入，解得，此時(shí)，故的最小值為36引入對(duì)偶式拼湊根據(jù)已知不等式的結(jié)構(gòu)，給不等式的一端匹配一個(gè)與之對(duì)偶的式子，然后一起參與運(yùn)算，創(chuàng)造運(yùn)用均值不等式的條件。設(shè)為互不相等的正整數(shù)，求證。證明：記，構(gòu)造對(duì)偶式，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。又因?yàn)闉榛ゲ幌嗟鹊恼麛?shù)，所以，因此評(píng)注：本題通過對(duì)式中的某些元素取倒數(shù)來構(gòu)造對(duì)偶式。確立主元拼湊在解答多元問題時(shí)，如果不分主次來研究，問題很難解決；如果根據(jù)具體條件和解題需要，確立主元，減少變?cè)獋€(gè)數(shù)，恰當(dāng)拼湊，可創(chuàng)造性地使用均值不等式。在中，證明分析：為輪換對(duì)稱式，即的地位相同，因此可選一個(gè)變?cè)獮橹髟瑢⑵渌冊(cè)醋鞒Ａ浚ü潭ǎ?，減少變?cè)獋€(gè)數(shù)，化陌生為熟悉。證明：當(dāng)時(shí)，原不等式顯然成立。當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即為正三角形時(shí)，原不等式等號(hào)成立。綜上所述，原不等式成立。評(píng)注：變形后選擇A為主元，先把A看作常量，B、C看作變量，把B、C這兩個(gè)變量集中到，然后利用的最大值為1將其整體消元，最后再回到A這個(gè)主元，變中求定。綜上可見，許多貌似繁難的最值問題或不等式證明問題，運(yùn)用均值不等式等號(hào)成立條件，恰當(dāng)拼湊，可創(chuàng)造性地使用均值不等式，輕松獲解。這種運(yùn)用等號(hào)成立條件的拼湊方法，既開拓了學(xué)生的思路，又活躍了學(xué)生的思維，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。第9關(guān)：不等式恒成立問題—8種解法探析不等式恒成立問題一般設(shè)計(jì)獨(dú)特，涉及到函數(shù)、不等式、方程、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等知識(shí)，滲透著函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、換元等思想方法，成為歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)．考生對(duì)于這類問題感到難以尋求問題解決的切入點(diǎn)和突破口．這里對(duì)這一類問題的求解策略作一些探討．1最值法例1．已知函數(shù)在處取得極值，其中為常數(shù)．（I）試確定的值；（II）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（III）若對(duì)于任意，不等式恒成立，求的取值范圍．分析：不等式恒成立，可以轉(zhuǎn)化為解：（I）（過程略）．（II）（過程略）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．（III）由（II）可知，函數(shù)在處取得極小值，此極小值也是最小值．要使（）恒成立，只需，解得或．所以的取值范圍為．評(píng)注：最值法是我們這里最常用的方法．恒成立；恒成立．2分離參數(shù)法例2．已知函數(shù)（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）若不等式對(duì)于任意都成立（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求的最大值．分析：對(duì)于（II）不等式中只有指數(shù)含有，故可以將函數(shù)進(jìn)行分離考慮．解：（I）（過程略）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，的單調(diào)減區(qū)間為（II）不等式等價(jià)于不等式，由于，知；設(shè)，則．由（I）知，，即；于是，，即在區(qū)間上為減函數(shù)．故在上的最小值為．所以的最大值為．評(píng)注：不等式恒成立問題中，常常先將所求參數(shù)從不等式中分離出來，即：使參數(shù)和主元分別位于不等式的左右兩邊，然后再巧妙構(gòu)造函數(shù)，最后化歸為最值法求解．3數(shù)形結(jié)合法例3．已知當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是＿＿＿．分析：本題若直接求解則比較繁難，但若在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)在上的圖象，借助圖形可以直觀、簡捷求解．解：在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)在上的圖象（如右），從圖象中容易知道：當(dāng)且時(shí)，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)上方，不合題意；當(dāng)且時(shí)，欲使函數(shù)的圖象恒在函數(shù)下方或部分點(diǎn)重合，就必須滿足，即．故所求的的取值范圍為．評(píng)注：對(duì)不等式兩邊巧妙構(gòu)造函數(shù)，數(shù)形結(jié)合，直觀形象，是解決不等式恒成立問題的一種快捷方法．4變更主元法例4．對(duì)于滿足不等式的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的值恒大于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是＿＿＿．分析：若審題不清，按習(xí)慣以為主元，則求解將非常煩瑣．應(yīng)該注意到：函數(shù)值大于對(duì)一定取值范圍的誰恒成立，則誰就是主元．解：設(shè)，，則原問題轉(zhuǎn)化為恒成立的問題．故應(yīng)該有，解得或．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．評(píng)注：在某些特定的條件下，若能變更主元，轉(zhuǎn)換思考問題的角度，不僅可以避免分類討論，而且可以輕松解決恒成立問題．5特殊化法例5．設(shè)是常數(shù)，且（）．（I）證明：對(duì)于任意，．（II）假設(shè)對(duì)于任意有，求的取值范圍．分析：常規(guī)思路：由已知的遞推關(guān)系式求出通項(xiàng)公式，再根據(jù)對(duì)于任意有求出的取值范圍，思路很自然，但計(jì)算量大．可以用特殊值探路，確定目標(biāo)，再作相應(yīng)的證明．解：（I）遞推式可以化歸為，，所以數(shù)列是等比數(shù)列，可以求得對(duì)于任意，．（II）假設(shè)對(duì)于任意有，取就有解得；下面只要證明當(dāng)時(shí)，就有對(duì)任意有由通項(xiàng)公式得當(dāng)（）時(shí)，當(dāng)（）時(shí)，，可見總有．故的取值范圍是評(píng)注：特殊化思想不僅可以有效解答選擇題，而且是解決恒成立問題的一種重要方法．6分段討論法例6．已知，若當(dāng)時(shí)，恒有＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（i）當(dāng)時(shí)，顯然＜0成立，此時(shí)，（ii）當(dāng)時(shí)，由＜0，可得＜＜，令則＞0，∴是單調(diào)遞增，可知＜0，∴是單調(diào)遞減，可知此時(shí)的范圍是（—1，3）綜合i、ii得：的范圍是（—1，3）．例7．若不等式對(duì)于恒成立，求的取值范圍．解：（只考慮與本案有關(guān)的一種方法）解：對(duì)進(jìn)行分段討論，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，不等式就化為，此時(shí)的最小值為，所以；當(dāng)時(shí)，不等式就化為，此時(shí)的最大值為，所以；由于對(duì)上面的三個(gè)范圍要求同時(shí)滿足，則所求的的范圍應(yīng)該是上三個(gè)的范圍的交集即區(qū)間說明：這里對(duì)變量進(jìn)行分段來處理，那么所求的對(duì)三段的要同時(shí)成立，所以，用求交集的結(jié)果就是所求的結(jié)果．評(píng)注：當(dāng)不等式中左右兩邊的函數(shù)具有某些不確定的因素時(shí)，應(yīng)該用分類或分段討論方法來處理，分類（分段）討論可使原問題中的不確定因素變化成為確定因素，為問題解決提供新的條件；但是最后綜合時(shí)要注意搞清楚各段的結(jié)果應(yīng)該是并集還是別的關(guān)系．7單調(diào)性法例8．若定義在的函數(shù)滿足，且時(shí)不等式成立，若不等式對(duì)于任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是＿＿＿．解：設(shè)，則，有．這樣，，則，函數(shù)在為減函數(shù)．因此；而（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），又，所以的取值范圍是．評(píng)注：當(dāng)不等式兩邊為同一函數(shù)在相同區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)函數(shù)值時(shí)，可以巧妙利用此函數(shù)的單調(diào)性，把函數(shù)值大小關(guān)系化歸為自變量的大小關(guān)系，則問題可以迎刃而解．8判別式法例9．若不等式對(duì)于任意恒成立．則實(shí)數(shù)的取值范圍是＿＿＿．分析：此不等式是否為一元二次不等式，應(yīng)該先進(jìn)行分類討論；一元二次不等式任意恒成立，可以選擇判別式法．解：當(dāng)時(shí)，不等式化為，顯然對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立；當(dāng)時(shí)，要使不等式一切實(shí)數(shù)恒成立，須有，解得．綜上可知，所求的實(shí)數(shù)的取值范圍是．不等式恒成立問題求解策略一般做法就是上面幾種，這些做法是通法，對(duì)于具體問題要具體分析，要因題而異，如下例．例10．關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．通法解：用變量與參數(shù)分離的方法，然后對(duì)變量進(jìn)行分段處理；∵，∴不等式可以化為；下面只要求在時(shí)的最小值即可，分段處理如下．當(dāng)時(shí)，，，再令，，它的根為；所以在區(qū)間上有，遞增，在區(qū)間上有，遞減，則就有在的最大值是，這樣就有，即在區(qū)間是遞減．同理可以證明在區(qū)間是遞增；所以，在時(shí)的最小值為，即．技巧解：由于，所以，，兩個(gè)等號(hào)成立都是在時(shí)；從而有（時(shí)取等號(hào)），即．評(píng)注：技巧解遠(yuǎn)比通法解來得簡單、省力、省時(shí)但需要扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功．第10關(guān)：圓錐曲線最值問題—5大方面最值問題是圓錐曲線中的典型問題，它是教學(xué)的重點(diǎn)也是歷年高考的熱點(diǎn)。解決這類問題不僅要緊緊把握?qǐng)A錐曲線的定義，而且要善于綜合應(yīng)用代數(shù)、平幾、三角等相關(guān)知識(shí)。以下從五個(gè)方面予以闡述。一．求距離的最值例1.設(shè)AB為拋物線y=x2的一條弦，若AB=4，則AB的中點(diǎn)M到直線y+1=0的最短距離為，解析：拋物線y=x2的焦點(diǎn)為F（0，），準(zhǔn)線為y=，過A、B、M準(zhǔn)線y=的垂線，垂足分別是A1、B1、M1，則所求的距離d=MM1+=(AA1+BB1)+=(AF+BF)+≥AB+=×4+=,當(dāng)且僅當(dāng)弦AB過焦點(diǎn)F時(shí)，d取最小值，評(píng)注：靈活運(yùn)用拋物線的定義和性質(zhì)，結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識(shí)，使解題簡潔明快，得心應(yīng)手。二．求角的最值例2．M，N分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，l是橢圓的一條準(zhǔn)線，點(diǎn)P在l上，則∠MPN的最大值是.解析：不妨設(shè)l為橢圓的右準(zhǔn)線，其方程是，點(diǎn)，直線PM和PN傾斜角分別為.∵∴于是∵∴即∠MPN的最大值為.評(píng)注：審題時(shí)要注意把握∠MPN與PM和PN的傾斜角之間的內(nèi)在聯(lián)系.三、求幾何特征量代數(shù)和的最值例3.點(diǎn)M和F分別是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)和右焦點(diǎn)，定點(diǎn)B(2,2).⑴求|MF|+|MB|的最小值. ⑵求|MF|+|MB|的最小值.解析：易知橢圓右焦點(diǎn)為F(4,0)，左焦點(diǎn)F(-4,0)，離心率e=，準(zhǔn)線方程x=±.⑴|MF|+|MB|=10―|MF|+|MB|=10―（|MF|―|MB|）≥10―|FB|=10―2.故當(dāng)M，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，|MF|+|MB|取最小值10―2.⑵過動(dòng)點(diǎn)M作右準(zhǔn)線x=的垂線，垂足為H，則.于是|MF|+|MB|=|MH|+|MB|≥|HB|=.可見，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B、M、H共線時(shí)，|MF|+|MB|取最小值.評(píng)注：從橢圓的定義出發(fā)，將問題轉(zhuǎn)化為平幾中的問題，利用三角形三邊所滿足的基本關(guān)系，是解決此類問題的常見思路。例4．點(diǎn)P為雙曲線的右支上一點(diǎn)，M，N分別為和上的點(diǎn)，則PM－PN的最大值為.解析：顯然兩已知圓的圓心分別為雙曲線的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn).對(duì)于雙曲線右支上每一個(gè)確定的點(diǎn)P，連結(jié)PF1，并延長PF1交⊙F1于點(diǎn)Mo.則PM0為適合條件的最大的PM，連結(jié)PF2,交⊙F2于點(diǎn)No.則PN0為適合條件的最小的PN.于是故PM－PN的最大值為6.評(píng)注：仔細(xì)審題，合理應(yīng)用平面幾何知識(shí)，溝通條件與所求結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，是解決本題的關(guān)鍵.例5．已知e1，e2分別是共軛雙曲線和的離心率，則e1+e2的最小值為.解析：考慮到，故得.即e1+e2的最小值為.評(píng)注：解題關(guān)鍵在于對(duì)圓錐曲線性質(zhì)的準(zhǔn)確理解，并注意基本不等式等代數(shù)知識(shí)的合理應(yīng)用.四、求面積的最值例6．已知平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離與到定點(diǎn)的距離之比為，點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.⑴求曲線C的方程；⑵過原點(diǎn)O的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn).求△MAN面積的最大值.解析：⑴設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到l的距離為d，由題意根據(jù)圓錐曲線統(tǒng)一定義，點(diǎn)P的軌跡C為橢圓.∵,可得∴故橢圓C的方程為：⑵若直線l存在斜率，設(shè)其方程為l與橢圓C的交點(diǎn)將y=kx代入橢圓C的方程并整理得.∴于是又點(diǎn)A到直線l的距離故△MAN的面積從而①當(dāng)k=0時(shí)，S2=1得S=1②當(dāng)k>0時(shí)，S2<1得S<1③當(dāng)k<0時(shí)，得若直線l不存在斜率，則MN即為橢圓C的短軸，所以MN=2.于是△MAN的面積.綜上，△MAN的最大值為.評(píng)注：本題將△MAN的面積表示為l的斜率k的函數(shù)，其過程涉及弦長公式和點(diǎn)到直線距離等解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，在處理所得的面積函數(shù)時(shí)，運(yùn)用了分類討論的思想方法。當(dāng)然，也可以將該面積函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的一元二次方程，由△≥0求得面積S的最大值。五.求最值條件下的曲線方程例7.已知橢圓的焦點(diǎn)F1(―3,0)、F2(3,0)且與直線x―y+9=0有公共點(diǎn)，求其中長軸最短的橢圓方程.解法1：設(shè)橢圓為=1與直線方程x―y+9=0聯(lián)立并消去y得：(2a2―9)x2+18a2x+90a2―a4=0，由題設(shè)△=(18a2)2―4(2a2―9)(90a2―a4)≥0a4―54a2+405≥0a2≥45或a2≤9.∵a2－9>0,∴a2≥45,故amin=3，得（2a）min=6,此時(shí)橢圓方程為.解法2：設(shè)橢圓=1與直線x―y+9=0的公共點(diǎn)為M(acosα,)，則acosα―+9=0有解.∵=―9cos(α+)=，∴||1≥9a2≥45,∴amin=3，得（2a）min=6,此時(shí)橢圓的方程.解法3：先求得F1(―3，0)關(guān)于直線x―y+9=0的對(duì)稱點(diǎn)F(―9,6)，設(shè)直線x―y+9=0與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為M，則2a=|MF1|+|MF2|=|MF|+|MF2|≥|FF2|=6，于是(2a)min=6,此時(shí)易得：a2=45,b2=36，于是橢圓的方程為.評(píng)注：本題分別從代數(shù)、三角、幾何三種途徑尋求解決。由不同角度進(jìn)行分析和處理，有利于打開眼界，拓寬思路，訓(xùn)練思維的發(fā)散性。解決圓錐曲線中的最值問題，要熟練準(zhǔn)確地掌握?qǐng)A錐曲線的定義、性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，靈活合理地運(yùn)用函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與劃歸及數(shù)形結(jié)合等思想方法，仔細(xì)審題，挖掘隱含，尋求恰當(dāng)?shù)慕忸}方法。此外，解題過程力爭做到思路清晰、推理嚴(yán)密、運(yùn)算準(zhǔn)確、規(guī)范合理。第11關(guān)：排列組合應(yīng)用問題—解題21法排列組合問題聯(lián)系實(shí)際生動(dòng)有趣，但題型多樣，思路靈活，因此解決排列組合問題，首先要認(rèn)真審題，弄清楚是排列問題、組合問題還是排列與組合綜合問題；其次要抓住問題的本質(zhì)特征，采用合理恰當(dāng)?shù)姆椒▉硖幚怼Ｒ?特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置.先排末位共有然后排首位共有最后排其它位置共有由分步計(jì)數(shù)原理得練習(xí)題:7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？=1440二.相鄰元素捆綁策略例2.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法練習(xí)題:某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為20三.不相鄰問題插空策略例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種不同的方法,由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有種練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為30四.定序問題倍縮空位插入策略例4.7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:(倍縮法)對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是：(空位法)設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有1種坐法，則共有種方法。思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?（插入法)先排甲乙丙三個(gè)人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有方法練習(xí)題:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？五.重排問題求冪策略例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有7種分法.把第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種分依此類推,由分步計(jì)數(shù)原理共有種不同的排法練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為422.某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法六.環(huán)排問題線排策略例6.8人圍桌而坐,共有多少種坐法?解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）！種排法即！練習(xí)題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈120七.多排問題直排策略例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.個(gè)特殊元素有種,再排后4個(gè)位置上的特殊元素丙有種,其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有種,則共有種練習(xí)題：有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是346八.排列組合混合問題先選后排策略例8.有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有種方法.再把4個(gè)元素(包含一個(gè)復(fù)合元素)裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有練習(xí)題：一個(gè)班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正副班長有且只有1人參加,則不同的選法有192種九.小集團(tuán)問題先整體后局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾1,５在兩個(gè)奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？解：把１,５,２,４當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與３排隊(duì)共有種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共有種排法.練習(xí)題：１.計(jì)劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫,排成一行陳列,要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為2.5男生和５女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有種十.元素相同問題隔板